Aula 10

Prévia do material em texto

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Prof. Paula Marinho
Aula 10
APRESENTAÇÃO
Nesta aula, aprenderemos a trabalhar e aplicar o modelo contínuo de probabilidade: a Distribuição Normal. Estudaremos como consultar os valores de probabilidades em uma TABELA DE CURVA NORMAL e a usar as funções do Excel para estes cálculos.
Variáveis Aleatórias
Variável
Numérica
(Quantitativa)
Categórica
(Qualitativa)
Discreta
Contínua
APRESENTAÇÃO
Variável Aleatória Contínua
Número inteiro ou fracionário
Obtido por meio de medição
Números infinitos ou valores em intervalos
Objetivos
Apresentar a Distribuição de Probabilidade Normal
Resolver problemas de probabilidade que envolvem a Distribuição Normal
Interpretar o gráfico da Distribuição Normal
As a result of this class, you will be able to ...
Variável Aleatória Contínua - Exemplos
Experimento
Variável
Aleatória
Possíveis
Valores
Peso de 100 Pessoas
Peso
45.1, 78, ...
Horas trabalhadas por dia
Horas
8, 6.5, 7.1,...
Despesa com alimentação
Despesa
54, 42, ...
Medir o tempo entre a
chegada dos carros
Tempo 
em minutos
0, 1.3, 2.78, ...
Função de Densidade de Probabilidade
Fórmula Matemática
Mostra todos os valores, X, e as Freqüências, f(X)
f(X) Não é Probabilidade
Propriedades
(área sob a curva)
Valor
(Valor, Frequência)
Frequência
f(X)
a
b
X
f
X
dx
f
X
(
)
(
)
 a
 X 
 b
∫
=
³
£
£
1
0
Probabilidade de uma V.A. Contínua
© 1984-1994 T/Maker Co.
P
c
X
d
f
X
dx
c
d
(
)
(
)
£
£
=
f(X)
a
b
X
c
d
∫
Probabilidade é a área sob a curva!
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição
Contínua de 
Probabilidade
Normal
Outras
Com o Modelo Normal podemos resolver situações como a seguir:
O valor sacado diariamente de um caixa eletrônico tem distribuição Normal com média de R$50.000 e desvio-padrão de R$10.000). 
Quanto em dinheiro o caixa deverá ter, por dia, para que a probabilidade de faltar dinheiro seja menor do que 5%?
Importância da Distribuição Normal
Descrição de vários processos e fenômenos
Pode ser usada para aproximar algumas distribuições discretas
É a base da Inferência Estatística
Distribuição Normal
Forma de ‘Sino’ – Simétrica
Média = Moda = Mediana
Média
Moda
Mediana
X
f(X)
Distribuição Normal
Média ()
Desvio-Padrão ()

+
X
- 


Distribuição Normal 
Função de Densidade
f(X)	=	função de densidade da Normal
p	=	3.14159; e = 2.71828
sx	=	desvio-padrão populacional 
X	=	valor da variável aleatória (-¥ < X < ¥)
mx	=	média populacional
f
X
x
X
x
x
(
)
=
-
-
1
2
2
1
2
2
p
s
m
s
e
[
]
Efeito da Variação dos Parâmetros (mx & sx)
X
f(X)
C
A
B
Probabilidade 
Distribuição Normal
Probabilidade é a área sob a curva!
c
d
X
f(X)
P
c
X
d
f
X
dx
c
d
(
)
(
)
?
£
£
=
∫
Tabela de Distibuição Normal
As Distribuições diferem na média e no desvio-padrão.
Seria necessário uma tabela para cada distribuição.
Infinitas Tabelas!
X
f(X)
m
Z 
= 0
s
z
 
= 1
Z
Distribuição Normal Padronizada
 Uma Tabela!
Distribuição Normal 
Distribuição Normal Padronizada
X
m
X
s
X
Z
X
x
x
=
-
m
s
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
.12
Exemplo de Padronização
P(5³ X ³ 6,2)
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padronizada
X
m
X
= 5
s
X
 = 10
6.2
Z
X
x
x
=
-
=
-
=
m
s
6
2
5
10
12
.
.
Tabela Normal
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
.12
Z
.00
.01
0.0
.0000
.0040
.0080
.0398
.0438
0.2
.0793
.0832
.0871
0.3
.1179
.1217
.1255
Encontrando uma Probabilidade
.0478
.02
0.1
.0478
Tabela de Probabilidade Normal Padronizada
Probabilidades
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
-.12
Exemplo
P(3.8 £ X £ 5)
Distribuição Normal
.0478
Distribuição Normal Padronizada
X
m
X
= 5
s
X
 = 10
3.8
Z
X
x
x
=
-
=
-
=
-
m
s
3
8
5
10
12
.
.
Tabela Normal
0
s
Z
 = 1
-.21
Z
.21
Exemplo
P(2.9 £ X £ 7.1) 
Distribuição Normal
.1664
.0832
.0832
Distribuição Normal Padronizada
5
s
X
 = 10
2.9
7.1
X
Z
X
Z
X
x
x
x
x
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
m
s
m
s
2
9
5
10
21
7
1
5
10
21
.
.
.
.
 
Tabela Normal
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
.30
Exemplo
P(X ³ 8)
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padronizada
.1179
.5000
 	.3821
Z
X
x
x
=
-
=
-
=
m
s
8
5
10
30
.
X
m
X
= 5
s
X
 = 10
8
Tabela Normal
m
z
 = 0
s
Z
 = 1
.30
Z
.21
Exemplo
P(7.1 £ X £ 8)
Distribuição Normal
.0832
.1179
 	.0347
Distribuição Normal Padronizada
Z
X
Z
X
x
x
x
x
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
m
s
m
s
7
1
5
10
21
8
5
10
30
.
.
.
 
m
x
 = 5
s
X
 = 10
8
7.1
X
Tabela Normal
Exemplo
Você trabalha no setor de Controle de Qualidade da Empresa ABC. A vida útil de uma lâmpada tem Distribuição Normal com media µx= 2000 horas e desvio padrão σx=200 horas. Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar:
 entre 2000 & 2400 
	horas?
 Menos de 1470 horas?
Allow students about 10-15 minutes to solve this.
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
2.0
Solução*
 P(2000 £ X £ 2400)
Distribuição Normal
 	.4772
Distribuição Normal Padronizada
Z
X
x
x
=
-
=
-
=
m
s
2400
2000
200
2
0
.
X
m
X
= 2000
s
X
 = 200
2400
Tabela Normal
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
-2.65
Solução*
 P(X £ 1470)
Distribuição Normal
.4960
 	.0040
.5000
Distribuição Normal Padronizada
Z
X
x
x
=
-
=
-
=
-
m
s
1470
2000
200
2
65
.
X
m
X
= 2000
s
X
 = 200
1470
Tabela Normal
Z
.00
0.2
0.0
.0000
.0040
.0080
0.1
.0398
.0438
.0478
0.2
.0793
.0832
.0871
.1179
.1255
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
.31
Consultando a Tabela da Normal
.1217
.01
0.3
.1217
Tabela da distribuição Normal Padronizada
Qual é o Z dado 
P(Z) = .1217?
Z
m
Z
= 0
s
Z
 = 1
.31
X
m
X
= 5
s
X
 = 10
?
Achando um Valor X para uma Probabilidade Conhecida
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padronizada
 	.1217
 	.1217
X
Z
x
x
=
+
×
=
+
=
m
s
5
31
10
8
1
.
.
 
Z
X
x
x
=
-
m
s
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Profa. Paula Marinho
ATIVIDADE
ATIVIDADE
37
A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: 
entre 700 e 1000 dias; 
mais que 800 dias; 
menos que 750 dias; 
exatamente 1000 dias.
RESPOSTA
38
MEDIA
850
DIAS
Z = (x - media) / desvio
DESVIO
45
DIAS
A)
PROB DE ESTAR ENTRE 700 E 1000 - CONSULTANDO A TABELA
z1=
-3,33333
z2 =
3,333333
P(700<x<1000) = P(-3,33<z<3,33)=
0,9991
= 2 x 0,4996
RESPOSTA
39
B)
MAIS QUE 800 - CONSULTANDO A TABELA
z1=
-1,11111
P(x>800) = P(z>-1,11)=
0,866500487
= 0,3665+ 0,5
RESPOSTA
40
C)
MENOS QUE 750 - CONSULTANDO A TABELA
z=
-2,22222
P(z<-2,22)=
0,013209384
=0,5-0,4868
RESPOSTA
41
D)
EXATAMENTE 1000 DIAS
z=
3,333333333
P(z=3,33)
= 0
A probabilidade da variável assumir um único valor é zero!
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS
BIBLIOTECA DO CAMPUS
BIBLIOTECA VIRTUAL
MATERIAL DIDÁTICO
CONTEÚDO ONLINE
USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA.
42
REFERÊNCIAS 
 BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005.
43
REFERÊNCIAS 
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, MarioF.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
44
Atividade Estruturada e Avaliação
 Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados.
Desenvolvida ao longo de todo o semestre.
Compondo 2 pontos na AV1 e AV2
Provas online. Agendar com antecedência e não faltar.
45
SÍNTESE DA AULA
 Nesta aula:
Aprendemos a trabalhar com a Distribuição Normal.
Aprendemos a usar a TABELA NORMAL.
Aprendemos a usar as fórmulas e funções do Excel para a distribuição Normal.
Aplicamos os conhecimentos de soma e multiplicação de variáveis aleatórias em situações como por exemplo nos cálculos de risco e de lucro.
46