MATEMÁTICA INSTRUMENTAL##

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Matemática Instrumental – 2008.1 www.damasceno.info Prof.: Luiz Gonzaga Damasceno 
 
 
 
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1 
Matemática Instrumental –2008.1 
 
Aula 1 – Introdução 
 
 Hoje em dia temos a educação presencial, semi-presencial e educação a 
distância. 
 A presencial é a dos cursos regulares, onde professores e alunos se encontram 
sempre num local, chamado sala de aula. É o ensino convencional. 
 A semi-presencial acontece em parte na sala de aula e outra parte a distância, 
através de tecnologias. 
 A educação a distância é a modalidade onde as atividades de ensino são 
desenvolvidas sem que alunos e professores estejam presentes no mesmo lugar à 
mesma hora. 
 Neste curso vamos trabalhar com a modalidade semi-presencial, onde as atividades 
teóricas fundamentais do curso e as dúvidas mais importantes serão discutidas em 
sala de aula. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar números naturais, inteiros e fracionários. 
 Enumerar as propriedades operacionais dos números. 
 Representar números graficamente. 
 Aplicar as propriedades operacionais dos números no desenvolvimento de 
expressões numéricas. 
 
1 – Números. 
 
1.1 – Números naturais, inteiros, racionais e irracionais 
 
Conhecemos os números pela contagem, que surgem, de maneira natural. São 
os números 1, 2, 3, 4, 5, ... , etc. 
Quando estudamos o sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é usado 
para indicar a ausência de elementos em um determinado conjunto de objetos. 
 
Chamamos de números naturais aos números 0, 1, 2, 3, 4 ... 
 
Considerando as operações elementares de adição, subtração, multiplicação e 
divisão quais dessas perguntas são verdadeiras? 
 
A soma de dois números naturais é sempre um número natural? 
A diferença de dois números naturais é sempre um número natural? 
O produto de dois números naturais é sempre um número natural? 
O quociente de dois números naturais é sempre um número natural? 
 
 É de fácil verificação os seguintes resultados: 
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2 
A soma de dois números naturais é um número natural. 
 
 Exemplo: 2 + 3 = 5 
 0 + 5 = 5 
 7 + 13 = 20 
 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
 
 Exemplo: 2 x 3 = 6 
 0 x 5 = 0 
 7 x 13 = 91 
 
A diferença de dois números naturais só é um número natural 
quando o primeiro é maior ou igual ao segundo. 
 
 Exemplo: 7 — 3 = 4 
 2 — 5 = —3 
 7 — 13 = —6 
 
 —3 e —6 não são números naturais. 
 
Chamamos de números inteiros aos números 
..., —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4 ... 
 
Tanto os números naturais como os números inteiros podem ser representados 
numa reta numérica da seguinte maneira: 
 
 
 
Observações: 
 
1) Todo número negativo está à esquerda do zero, portanto todo número 
negativo x é menor que zero, isto é, x < 0; 
 
2) Todo número positivo está à direita do zero, portanto todo número positivo 
x é maior que zero, isto é, x > 0; 
 
3) um número é sempre menor que o número que está à sua direita e sempre 
maior que o número que está à sua esquerda. 
 
Exemplos: - 4 < 0 (- 4 é menor que zero) 
- 2 < 3 (- 2 é menor que 3) 
- 5 < - 3 (- 5 é menor que - 3) 
 3 > - 5 ( 3 é maior que - 5) 
 0 > - 4 ( zero é maior que - 4) 
 
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O quociente de dois números naturais nem sempre é um número 
natural. 
 
 Exemplo: 2 ÷ 4 = 0,5 
 1 ÷ 5 = 0,2 
 
Da mesma forma, o quociente de dois números inteiros nem sempre é 
um número inteiro. 
 
 Exemplo: - 2 ÷ 4 = - 0,5 
 1 ÷ - 5 = - 0,2 
 
Chamamos de números racionais aos números da forma 
q
p
 onde p e q são 
inteiros e q ≠ 0 (q é diferente de zero). 
 
 Exemplo: 2 ÷ 4 = 0,5 = 
2
1
 
 1 ÷ - 5 = - 0,2 = 5
1
 
 
Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na reta 
numérica. 
 
 
 
Chamamos de números irracionais aos números que não são racionais. 
 
 Exemplo: ,3,2 
 
 Considere os conjuntos: 
 
 N = conjunto dos números naturais 
 = { x / x é um número natural } 
 
 Z = conjunto dos números inteiros 
 = { x / x é um número inteiro } 
 
 Q = conjunto dos números racionais 
 = { 
q
p
 / p, q são inteiros e q ≠ 0 } 
 
 I = conjunto dos números irracionais 
 = { x / x é um número irracional } 
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 Podemos representar estes conjuntos por diagramas: 
 
 
 
O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais. 
 
 Exemplo: 0, 2, 7, 13, ... (naturais) 
 -2, -1, 12, 23, ... (inteiros) 
7
5
,
8
3
,
4
3
,
2
1
,
5
2
 ... (racionais) 
,3,2 ... (irracionais) 
onde 
 
1416,3
7321,13
4142,12




 
 
1.2 – Operações com números. Propriedades. 
 
 As operações fundamentais com números são a adição, a subtração, a 
multiplicação e a divisão. 
 A primeira operação é a adição. 
 
 Exemplo: 18 + 40 + 32 = 90 
 
 A adição possui duas propriedades: 
 
 Primeira propriedade: A ordem das parcelas não altera a soma. 
 
 Exemplo: 18 + 40 + 32 = 
 40 + 18 + 32 = 90 
 
 Segunda propriedade: Podemos associar duas ou mais parcelas de uma 
adição, sem que o resultado seja alterado. 
 
 Exemplo: 18 + 40 + 32 = 
 (40 + 18) + 32 = 
 40 + (18 + 32) = 
 40 + 50 = 90 
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 A multiplicação também possui as propriedades acima, onde a primeira é 
chamada de comutativa e a segunda de associativa. 
 
 Primeira propriedade: A ordem dos fatores não altera o produto. 
 
 Exemplo: 18 x 40 = 
 40 x 18 = 720 
 
 Segunda propriedade: Podemos associar dois ou mais fatores de uma 
multiplicação, sem que o resultado seja alterado. 
 
 Exemplo: 18 x 40 x 32 = 
 (18 x 40) x 32 = 
 18 x (40 x 32) = 
 18 + 1280 = 23040 
 
 As outras operações são a subtração e a divisão. 
 
 Uma terceira propriedade é a distributiva da multiplicação em relação à 
adição. Esta propriedade também vale para a subtração. 
 
 Exemplo: 4 x (15 + 25) = 4 x 15 + 4 x 25 
 4 x (25 — 15) = 4 x 25 — 4 x 15 
 
 
1.3 – Expressões numéricas. 
 
 Quando trabalhamos com expressões numércas, as operações a serem 
efetuadas são priorizadas obedecendo a ordem 
 (1) Multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem 
 (2) Soma e subtração, também na ordem em que ocorrem 
 
Quando a expressão apresentar ( ), [ ] e { } a ordem de execução dos 
cálculos obedece a 
(1) os parêntesis 
(2) os colchetes 
(3) as chaves 
 
Efetua-se as operações entre parênteses. A seguir, efetuam-se as operações 
entre colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Se existir chaves, efetuam-se 
as operações entre chaves, também de acordo com a ordem estabelecida. Por fim, 
calculam-seas operações finais. 
 
 Exemplo: – 5 + 3 – 7 + 4 = – 5 – 7 + 3 + 4 = – 12 + 7 = – 5 
 
 Exemplo: + 5 – 3 – 7 = + 5 + ( – 3 – 7 ) = + 5 + ( – 10 ) = 
 + 5 – 10 = – 5 
 
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 Exemplo: 5 + (12 + 3) : 3 = 
= 5 + 15 : 3 = 
= 5 + 5 = 10 
 
Exemplo: [(11 + 12) . 3 - 9] : 15 = 
= [23 . 3 - 9] : 15 = 
= [69 - 9] : 15 = 
= 60 : 15 = 
= 4 
 
Exemplo: {15 - [2 . (9 - 12 : 4)]} : 3 = 
= {15 - [ 2 . (9 - 3)]} : 3 = 
= {15 - [2 . 6]} : 3 = 
= { 15 - 12} : 3 = 
= 3 : 3 = 
= 1 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
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Aula 2 – Frações. Expressões numéricas com números fracionários. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar frações. 
 Enumerar as propriedades operacionais das frações. 
 Escrever frações na forma decimal. 
 Transformar decimais em frações. 
 Aplicar as propriedades operacionais dos números no desenvolvimento de 
expressões numéricas contendo frações. 
 Enumerar os principais produtos notáveis. 
 Utilizar os conceitos e as propriedades operacionais dos números na resolução 
de problemas. 
 
2 – Frações. 
 
2.1 – Operações com números fracionários. 
 
2.1.1 – Adição e subtração 
 
Sabemos que 5,0
8
4
6
3
4
2
2
1
 
 
Portanto, uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos 
o numerador e o denominador pelo mesmo número. 
 
Para somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador, 
basta somar ou subtrair os numeradores. 
 
Exemplo: 5
3
5
12
5
1
5
2


 5
1
5
23
5
2
5
3


 
 
Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores diferentes 
devemos transformar as frações dadas em outras, que sejam iguais às que temos, 
mas com denominadores iguais. 
Utilizamos como novo denominador para cada fração o mínimo múltiplo 
comum (mmc) e obtemos o numerador de cada fração, multiplicando o numerador 
anterior pelo quociente do mínimo pelo denominador da mesma fração. 
 
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Exemplo: 
20
14
20
4
20
10
20
14
20
25
5
1
4
2




 
20522)5,4(
55,1
25,2
25,4)5,4(


mmc
mmc
 
 
Exemplo: 
15
3
15
1512
15
25
15
43
3
2
5
4 






 
 
2.1.2 – Multiplicação e divisão 
 
Para multiplicar duas frações, multiplicamos os numeradores e os 
denominadores 
 
Exemplo: 
15
6
35
23
3
2
5
3



 
 
2
1
60
30
435
523
4
5
3
2
5
3



 
 
2
1
121
111
1
1
2
1
1
1
5
5
4
2
3
3
4
5
3
2
5
3



 
 
Para dividirmos uma fração por outra basta multiplicar a primeira pela 
segunda invertida. 
 
Exemplo: 
10
9
25
33
2
3
5
3
3
2
5
3



 
 
 
7
4
3
2
4
7
3
2
4
7
3
2
:. Obs 
 
 ;
1
11;
1
55;
1
22:. Obs 
 
2.1.3 – Cálculo de expressões numéricas. 
 
Resolver as expressões numéricas: 
 
4
7
3
2
5
3)01(  
4
7
3
2
5
3)02(  
 
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3 
3
2
4
7
3
2
5
3)03(  
2
1
3
2
5
4
6
2
4
3
5
2)04(  
 
 
5
1)
9
4
2
1(
5
7
3
4)05(  
9
7
3
3
7
1
5
3
2
1
)06(


 
 16]2)
8
1
6
4(
4
132[245)07(  
 
 1]1)
3
11(413[1213)08(  
 
2.2 – Números decimais. 
 
2.2.1 – Transformações de frações em decimais. 
 
Para transformarmos uma fração em um número decimal basta dividir o 
numerador pelo denominador. 
 
Exemplo: 4,0
5
2
 75,0
4
3
 
 6,25
13
 75,5
4
23


 
 .....33333,0
3
1
 
 
Transformar as seguintes frações em decimais: 
 
3
2)01( 
7
4)02( 
9
5)03( 
3
10)04( 
 
2.2.2 – Transformações de decimais em frações. 
 
Para transformarmos números decimais em números fracionários podemos 
utilizar o seguinte raciocínio: 
 
multiplicamos o valor x a ser transformado sucessivamente por 
potências positivas de 10, até obtermos duas igualdades em que os 
segundos membros sejam números com partes decimais idênticas. Em 
seguida, por subtração, eliminamos as partes decimais obtendo o número 
escrito na forma fracionária. 
 
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4 
Exemplo: 5,0x ==> 510 x ==> 
 
 
10
5
x ==> 
2
1
x 
 
Exemplo: 12,4x ==> 2,4110 x ==> 412100 x ==> 
 
100
412
x ==> 
25
103
x 
 
Exemplo: ...333,0x ==> 
 
...333,310 x ==> 
 
 ...333,0...333,310  xx ==> 
 
39 x ==> 
 
3
1
9
3
x 
 
Exemplo: ...252525,14x ==> 
 
 ...52525,14210 x ==> 
 
 ...252525,1425100 x ==> 
 
 141425100  xx ==> 
 
 
99
1411
x 
 
3 – Expressões algébricas. 
 
As expressões que apresentam letras, além de operações e números são 
chamadas expressões algébricas. 
As letras são as variáveis. 
 
Exemplo: Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Quanto essa 
pessoa ganhará por um certo número de dias trabalhado? 
 
Para calcular quanto essa pessoa ganhará, podemos escrever a expressão 
algébrica: 
20 . x 
 
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Observações: 
 
1º) Nas expressões algébricas o sinal de multiplicação é opcional, veja: 
3 . x se escreve 3x 
a . b . x se escreve abx 
 
2º) Podemos ter expressões algébricas com uma variável, com mais de uma 
variável ou ainda sem variável: 
2xy expressão com duas variáveis: x e y 
5a² b c³ expressão com três variáveis: a, b e c 
125 expressão sem variável. 
 
3.1– Valor numérico de uma Expressão algébrica. 
 
Valor numérico da expressão é o resultado encontrado quando substituímos 
as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operações indicadas. 
 
Exemplo: O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, é: 
 
 5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14 
 
 A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por 
letras é a parte literal. 
 
Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes 
diferentes são chamados de monômios semelhantes. 
 
Só podemos somar ou subtrair monômios que sejam semelhantes 
 
Exemplo: 4xy + 7xy - 5xy = 
 (4 + 7 - 5) xy = 
 6xy 
 
Exemplo: a + 2a + 3a – 5a = 
 6a – 5a = 
 1a = a 
 
Exemplo: a + 2b + 3a – 5b = 
 a + 3a + 2b – 5b = 
 4a – 3b 
 
Exemplo: a + 2(a+3b) – 5(a – b) = 
 a + 2a + 6b – 5a + 5b = 
 a + 2a – 5a + 6b + 5b = 
 3a – 5a + 11b = 
 – 2a + 11b 
 
Exemplo: (a + 2b)(a+3b) – (5 – a)(a – b) = 
 
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6 
 a (a+3b) + 2b (a+3b) – [5 (a – b) – a(a – b)] = 
 
 a2 + 3ab + 2ab + 6b2 – [5a – 5b – a2 + ab] = 
 
 a2 + 3ab + 2ab + 6b2 – 5a + 5b + a2 – ab = 
 
 2a2 + 4ab + 6b2 – 5a + 5b = 
 
 Exemplo: Determine o valor numérico da expressão x³y² - x² + y³, 
para x = 2 e y = -1 
 
 x³y² – x² + y³ 
 
x = 2 e y = -1  2³(–1)² – 2² + (–1)³ = 
 
 8 . 1 – 4 + (–1) = 
 
 8 – 4 – 1 = 
 
 3 
 
4 – Produtos notáveis. 
 
4.1 – Primeiro Produto notável. 
 
 
 Área: (a + b)2 Área: a2 
 
 (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, 
mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo. 
 
 Exemplo: (3x + 4y)2 = 
 
 (3x)2 + 2(3x)(4y) + (4y)2 = 
 
 9x2 + 24xy + 16y2 
 
 
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7 
4.2 – Segundo Produto notável. 
 
 
 Área: (a – b)2 Área: a2 
 
 (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 
 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º 
termo, menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º 
termo. 
 
 Exemplo: (3x – 4y)2 = 
 
 (3x)2 – 2(3x)(4y) + (4y)2 = 
 
 9x2 – 24xy + 16y2 
 
4.2 – Terceiro Produto notável. 
 
 
Área: (a – b)(a + b) Área: a2 
 
 (a – b)(a + b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 –b2 
 
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8 
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do 1º termo menos o quadrado do 2º termo. 
 
 Exemplo: (3x – 4y) (3x + 4y) = 
 
 (3x)2 – (4y)2 = 
 
 9x2 –16y2 
 
4.3 – Potenciação. 
 
Potenciação é o tipo de multiplicação, em que os fatores são todos iguais. 
 
 Exemplo: 10 · 10 = 10² 
 
 Exemplo: 10 · 10 · 10 = 10³ 
 
Base da potência é o número que é multiplicado várias vezes por ele mesmo 
(no exemplo acima, é o número 10). 
 
Expoente é o número que indica quantas vezes a base está sendo 
multiplicada (nos exemplos acima, são os números 2 e 3). 
 
O resultado da potenciação é chamado de potência. 
 
Exemplo: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 
 
que se lê: 4 elevado à 3ª potência ou 
4 à terceira ou ainda 
4 ao cubo 
 
Exemplo: 5² = 5 · 5 = 25 
 
 Exemplo: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 
 
4.3.1 – Observações importantes: 
 
1. Se a base é igual a 1 e o expoente é qualquer número, então a potência é 
sempre igual a 1. 
 
Exemplo: 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1 
 
2. Se o expoente é igual a 1 e a base é qualquer número, então a potência é 
sempre igual à base. 
 
Exemplo: 31 = 3 
 
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9 
3. Se a base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero, então a 
potência é sempre igual a zero. 
 
Exemplo: 0³ = 0 · 0 · 0 = 0 
 
4. Se a base é 10 e o expoente é qualquer número diferente de zero, então a 
potência é um número que começa com 1 e tem um número de zeros igual ao 
expoente. 
 
Exemplo: 10² = 10 · 10 = 100 
 
105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100.000 
 
5. Se a base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero, 
então a potência, é sempre igual a 1. 
 
Exemplo: 30 = 1 
 
 Observe o seguinte: 34 = 81 
 
 33 = 27 
 
 32 = 9 
 
 31 = 3 
 
 30 = 1 
 
4.3.2 – Regras da potenciação. 
 
Primeira propriedade: Produto de potências de mesma base 
 
53 · 54 = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5 · 5) = 
 
5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 
 
 5(3+4) = 57 
 
Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e 
somamos os expoentes. 
 am · an = am+n 
 
Segunda propriedade: Divisão de potências de mesma base 
 
57 / 54 = (5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5) / (5 · 5 · 5 · 5) = 
 
5 · 5 · 5 = 5(7 – 4) = 53 
 
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10 
Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos 
os expoentes. 
 
nm
m
n aa
a  
 
 
Terceira Propriedade: Potenciação de potência 
 
(32)3 = 32 • 32 • 32 = 32+2+2 = 32•3 = 36 
 
Para elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e 
multiplicamos os expoentes. 
 
mnnm aa )( 
 
Quarta propriedade: Distributividade em relação à multiplicação e à divisão 
 
Para elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos 
cada fator a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo 
e o divisor ao mesmo expoente. 
 
 mmm baba  )( 
 m
m
m
b
a
b
a
)( 
 
Exercícios: 
 
 Efetuar as operações indicadas em cada um dos casos seguintes: 
 
 
22 )()()1( yxyx  
 
22 )()()2( yxyx  
 22 )43()43()3( yxyx  
 22 )43()43)(43()43()4( yxyxyxyx  
 
 Assinale a alternativa correta: 
 
(1) 
2)43( yx  é igual a 
22 4123)( yxyxa  
22 16249)( yxyxb  
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11 
22 169)( yxc  
22 43)( yxd  
 
(2) ))(( yxyx  é igual a 
22)( yxa  
22)( yxb  
22 2)( yxyxc  
22 2)( yxyxd  
 
(3) )43)(43( yxyx  é igual a 
22 4123)( yxyxa  
22 16249)( yxyxb  
22 169)( yxc  
22 43)( yxd  
 
(4) 
2)( yx  é igual a 
22)( yxa  
22)( yxb  
22 2)( yxyxc  
22 2)( yxyxd  
 
 Desenvolver os produtos: 
 
(1) 
2)
3
2
5
4( yx  (2) 2)3
1
2
1( yx  
(3) )43)(43( yxyx  (4) 2)2
2( x 
 
 Resolver os seguintes expressões: 
 
2)2() xa 223 )3() xxb  
 
2)()
x
y
y
xc  2)2
12()  xd 
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12 
))(() 3232 yxyxe  )3
1)(
3
1() 22  xxf 
 
)
2
13)(
2
13() 22  yyg )24
3)(
24
3() 22 xyxyh  
 
)3)(2()  xxi )1)(5()  xxj 
 
)2)(7()  xxk )3)(8()  xxl 
 
)3)(5() axaxm  )3)(8() axaxn  
 
)3)(() axaxo  
 
 Efetuar as seguintes expressões: 
 
22 )1()2()  xxa 22 )5()32()  xxb 
 
22 )12()13()  xxc )3)(3()21() 2  xxxd 
 
)42)(42()1() 2  xxxe )5)(3()1)(1()  xxxxf 
 
 Simplificar as seguintes expressões: 
 
12
23) 2
2


xx
xxa 2
1) 2
2


xx
xb 
 
5
55)


x
yxyxc xyyx
xyyxd


2
5
) 
 
 Transformar as seguintes decimais em frações: 
 
...555,0)01( ...777,12)02( 
...3181818,4)03( ...3125125,14)04( 
 
Resolver os seguintes problemas: 
 
(01) O valor de x que é solução, nos números reais, da equação 
 484
1
3
1
2
1 x
 é igual a 
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13 
a) 36 
b) 44 
c) 52 
d) 60 
e) 68 Resp.: c 
(02) Ao efetuar compras gastei 
4
1
com livros, 
5
1
com cadernos e 
8
3
com 
alimentação. Fiquei ainda com R$ 210,00. Quanto eu tinha antes de efetuar 
as compras? Resp.: R$ 1.200,00 
 
(03) Se 
5
3
do meu ordenado corresponde a R$ 300,00, 
5
1
 do meu ordenado 
corresponderá a 
 
a) R$ 50,00 
b) R$ 100,00 
c) R$ 200,00 
d) R$ 300,00 
e) R$ 50,00 Resp.: b 
 
(04) Quanto vale 
5
3
 de R$ 100,00 mais
3
2
 de R$ 300,00 mais
4
3
 de R$ 
200,00 mais
8
3
 de R$ 400,00 ? Resp.: R$ 560,00 
 
(05) Um aluno da FARN é obrigado a freqüentar 75% das aulas de Matemática. 
Das 36 aulas ele faltou 5. Quantos no máximo ele ainda poderá faltar? 
 Resp.: 4 
 
(06) Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 
3
2
 de entrada e o 
resto em 10 prestações iguais. Qual a fração correspondente a cada 
prestação? Resp.: 
30
1
 
 
(07) Pedro gastou 
3
1
 da quantia que possuía com roupa e 5
2
 do que restou 
com livros. Ficou ainda com R$ 60,00. Quanto possuía Pedro? 
 
Resp.: R$ 150,00 
 
(08) A soma da metade com a terça parte da quantia que certa pessoa tem é 
igual a R$ 15,00. Quanto possui esta pessoa? (C. Pedro II – 1943) 
Resp.: R$ 18,00 
 
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14 
(09) Pedro e Paulo encarregados de uma obra, fariam todo o trabalho em 12 
dias. No fim do quarto dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o 
serviço em dez dias. Que fração da obra cada um executou? (C. Naval – 
1961) Resp.: 1/6 e 5/6 
 
(10) Num time de futebol carioca, metade dos jogadores são cariocas, um terço 
são de outros estados e quatro são estrangeiros. Quantos jogadores 
contratados tem o clube? 
Resp.: 24 
(11) Paulo e Antônio têm juntos R$ 1230,00. Paulo gastou 5
2
 e Antônio 
7
3
 
do que possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um? 
(C. Naval – 1953) Resp.: R$ 600,00 e R$ 630,00 
 
(12) Quais os resultados das seguintes expressões: 
a) 32 + 0,32 
b) 25 – 2,5 
c) 3,2 + 25 – 0,02 
 
(13) Efetuar as operações: 
a) 003,027001,0  
b) 222 5,02,01,0  
c) 06,0003,027001,0  
 
(14) Calcule as geratrizes das seguites dízimas periódicas: 
a) 0,666.... 
b) 0,242424.... 
c) 2,123123123... 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
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15 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
 
Telecurso 2000 - Matemática - http://www.bibvirt.futuro.usp.br/ - 
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/telecurso_2000 
 
Telecurso 2000 - Matemática - http://www.bibvirt.futuro.usp.br/ - 
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/telecurso_2000 
 
KlickEducação O Portal da Educação - http://www.klickeducacao.com.br 
 
Exatas - http://www.exatas.mat.br/index.htm 
 
Só Matemática- http://www.somatematica.com.br/ 
 
Matemática.com.br - http://matematica.com.br/ 
 
 
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Aula 3 – Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais. Regra de 
Três. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar grandezas diretamente e inversamente proporcionais. 
 Aplicar os conceitos de grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
para resolver regra de três simples. 
 Aplicar os conceitos de grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
para resolver regra de três composta. 
 Resolver problemas de regra de três simples. 
 Resolver problemas de regra de três composta. 
 
5 – Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais 
 
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
 
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o 
tempo, são alguns exemplos de grandezas. 
 
 No nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou 
mais grandezas. 
 
 Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto 
nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. 
 
 Numa construção, quanto maior for o número de funcionários, menor será o 
tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de 
funcionário e o tempo. 
 
5.1 – Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
Em um determinado mês do ano observou-se a seguinte situação: 
 
Uma pessoa paga por 1 litro de gasolina R$ 2,75. 
 
Se comprar 2 litro, pagará R$ 5,50. 
 
Se comprar 3 litros, pagará R$ 8,25. 
 
Tomando como base esses dados podemos formar a seguinte tabela. 
 
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2 
Quantidade de 
 gasolina (em litros) 
Quantidade a 
 pagar (em reais) 
1 2,75 
2 5,50 
3 8,25 
 
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. Se a 
quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. 
 
Neste caso as duas grandezas envolvidas,quantia a ser paga e quantidade de 
gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais. 
 
Podemos, então, escrever que: 
 
a razão de 1 para 2 é igual à razão de 2,75 para 5,50; 
a razão de 1 para 3 é igual à razão de 2,75 para 8,25; 
a razão de 2 para 3 é igual à razão de 5,50 para 8,25. 
 
Em linguagem matemática: 
 
50,5
75,2
2
1
 25,8
75,2
3
1
 25,8
50,5
3
2
 
 
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, a razão 
entre os valores da primeira grandeza é igual a razão entre os valores 
correspondentes da segunda. 
 
Em duas grandezas diretamente proporcionais quando dobrando uma delas 
a outra também dobra; quando triplicando uma delas a outra também triplica. 
Observe, que as razões são iguais. 
 
O produto do numerador da primeira fração com o denominador da 
segunda fração é igual ao produto do denominador da primeira fração com o 
numerador da segunda. 
 
75,2250,51  75,2325,81  50,5325,82  
 
Exemplo: Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 
km/h, quantos quilômetros percorrerá em 2 horas? 
 
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira: 
 
Horas Velocidade (em Km/h) 
1 80 
2 X 
 
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3 
x
80
2
1
  8021  x  160x 
 
Exemplo: Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do 
mês obtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento. 
 
Podemos organizar os dados do problema da seguinte forma: 
 
Rendimentos: 00,2100,60000,621  
 
00,21
00,600100


x 
 
00,21
00,600100

x  21100600  x  21600 x  
 
600
21
x  035,0x  100
5,3
x  %5,3x 
 
5.2 – Grandezas inversamente proporcionais 
 
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus 
melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 
livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 
alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
 
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", 
mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo 
correspondente, conforme a tabela abaixo 
 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são 
variáveis dependentes. 
 
Observe que: 
 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 
 
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4 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 
 
Que à medida que a velocidade aumenta o tempo diminui. 
 
Dizemos, então, que as grandezas velocidade e tempo mantêm entre si uma 
relação inversamente proporcional. 
 
Observando um pouco mais a tabela podemos verificar que: 
 
 5 x 200 = 8 x 125 = 10 x 100 = 16 x 62,5 = 20 x 50 
 
Duas grandezas são chamadas, inversamente proporcionais quando, a 
razão entre os valores da primeira grandeza é igual ao inverso da razão entre os 
valores correspondentes da segunda. 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma 
delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. 
 
 Em duas grandezas inversamente proporcionais quando dobrando uma 
delas, a outra se reduz para a metade; quando triplicando uma delas, a outra se 
reduz para a terça parte... e assim por diante. 
 
 Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro, o que é 
equivalente a afirmar que o produto entre êles se mantém constante. 
 
Exemplo: Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto 
tempo levariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço? 
 
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, como segue: 
 
Pintores Tempo (h) 
2 18 
4 X 
 
horasxpin
horaspin


4
182
 
 
1842  x  722 x  36x 
 
Exercícios: Resolver os seguintes exercícios: 
 
1. Numa prova de 20 questões acertei 8. Qual a razão do número de questões 
certas para o de erradas? Resp.: 2/3 
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5 
2. Verifique se são diretamente ou inversamente proporcionais os seguintes pares 
de sucessões de números: 
1596
532)a
 974
362816)b
 81020
542)c
 
3. Dividir um lucro de R$ 48.000,00, de uma sociedade, entre seus 3 sócios sabendo 
que eles trabalharam 2, 3 e 7 meses, respectivamente. Resp.: R$ 8.000,00, R$ 
12.000,00 e R$ 28.000,00 
4. Dei R$ 3.000,00 de gratificação aos meus empregados. Reparti a gratificação em 
partes inversamente proporcionais aos dias que faltaram ao trabalho. Quanto 
recebeu cada um se faltaram ao trabalho 2, 3 e 6 dias, respectivamente? Resp.: 
R$ 1.500,00, R$ 1.000,00 e R$ 500,00 
5. Um carro gasta 3 hs para percorrer 240 km. Quanto tempo levará para percorrer 
360 km? Resp.: 4,5 hs 
6. Uma máquina produz 20.000 unidades em 5 horas. Quanto produzirá em três 
horas e meia? Resp.: 14000 
7. A uma velocidade média de 80 km por hora faço um percurso em 6 horas. Em 
quanto tempo efetuarei o mesmo percurso com uma velocidade média de 120 
km/hs? 
8. Um trem com a velocidade de 45 km horários, percorre certa distância em 3,5 
horas. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60 km/h, quanto tempo 
gastará para percorrer a mesma distância? (E. P. C. do Ar – 1958) Resp.: 2 hs 37 
min e 30 s 
9. Doze homens trabalhando 8 horas por dia, realizam determinada obra em 20 
dias. Se o número de horas de serviço diário for baixado para 6 horas, em que 
tempo se fará o mesmo trabalho? (E. P. C. do Ar – 1958) Resp.: 26 dias e 4 hs 
10. Divide-se R$ 105,00 em três partes a, b e c que são ao mesmo tempo 
diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, 
respectivamente. Qual é a menor dessas partes? (C. Naval – 1972) Resp.: 30 
 
5.3 – Regra de Três. 
 
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. No século 
XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber 
Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. 
 
Podemos definir Regra de três ao cálculo matemático utilizado para resolver 
problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou inversamente 
proporcionais. 
 
5.3.1 – Regra de três simples 
 
O problema que envolve somente duas grandezas diretamente ou inversa-
mente proporcionais é mais comumente chamado de regra de três simples. 
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6 
A regra de três simples pode ser Direta ou Inversa. 
 
Regra de três simples direta: Quando as duas grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais. 
A montagem da solução deste tipo de problema é feita na mesma ordem de 
todas as grandezas. 
 
Passos utilizados numa regra de três simples: Construir uma tabela, agrupando 
as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as 
grandezas de espéciesdiferentes em correspondência. Identificar se as grandezas 
são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo 
tecido? 
 
Tecido Preço 
8 m R$ 156,00 
12 m X 
 
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o 
metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. 
 
234783
24
15612
8
15612156128156
12
8







xx
xx
x
 
 
Regra de três simples inversa: Quando as duas grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais. 
A montagem da solução deste tipo de problema é feita na mesma ordem de 
todas as grandezas. 
Exemplo: Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. 
Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo 
percurso? 
 
Velocidade Tempo (em h) 
60 km 4 horas 
80 km X 
 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a 
velocidade o tempo diminui na razão inversa. 
 
3
24
46
8
46468
480
60





 xxxxx 
 
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7 
Exercícios: Resolver os seguintes exercícios: 
1. Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a 
velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo 
percurso? 
2. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de 
comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento 
correspondente será: Resp.: 2,1m 
3. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas 
mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m2? Resp.: 7 
horas 
4. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se 
mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o 
acampamento estará abastecido? Resp.:15 dias 
5. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de 
mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a 
primeira tem 12m a mais do que a segunda? Resp.: 60m e 48m 
6. De duas fontes, a primeira jorra 18 litros por hora e a segunda 80 litros. Qual é o 
tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a 
primeira jorra em 25 minutos? Resp.: 5min 37,5seg 
7. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, 
produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, 
funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? Resp.: 5 
8. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de 
produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas 
iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de 
peças produzidas seria de: Resp.: 400 
9. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. 
Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas 
de lã para se obter uma largura de 0,90m? Resp.: 2.000 m 
10. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, 
durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, 
durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los? Resp.: 42 dias 
 
5.3.2 – Regra de Três Composta 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas 
grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 
horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3? 
 
Horas Caminhões m3 de areia 
8 h 20 c 160 m3 
5 h x 125 m3 
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8 
 
Horas Caminhões m3 de areia 
8 h 20 c 160 m3 
5 h x 125 m3 
Inversa Direta 
 
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de 
caminhões para descarregar a mesma quantidade de areia. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (Inversa na 1ª coluna). 
 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões 
para que a areia seja descarregada no mesmo tempo. Portanto a relação é 
diretamente proporcional (Direta na 3ª coluna). 
 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras 
razões de acordo com a proporcionalidade. As Diretas permanecem e as Inversas 
são invertidas. 
 
25
20
2025202520
25
2020
8
5
125
16020




xxx
xx
 
 
Exercícios: Resolver os seguintes exercícios: 
 
1. Comprei 10 canetas por R$ 5,00. Quanto pagarei por 16 canetas? 
2. Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5 
pedreiros para fazer o mesmo trabalho? 
3. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor 
movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. 
Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Resp.: 500 
watts 
4. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se 
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 
5. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um 
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, 
se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Resp.: 2,5 hs 
6. Uma fábrica, em 3 dias de trabalho, produz 360m de tecidos, fazendo funcionar 8 
máquinas. Em quantos dias poderá produzir 1.080m de tecidos, fazendo funcionar 
6 máquinas? 
7. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra 
em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que 
prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
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9 
8. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos 
carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
9. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. 
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo 
necessário para completar esse muro? 
10. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 
torneiras para encher 2 piscinas? Resp.: 6 horas. 
11. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de 
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 
5,6 toneladas de carvão? Resp.: 35 dias. 
11. Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, 
quantos operários serão necessários para fazer a mesma casa, em 14 dias, 
trabalhando 10 horas por dia? 
12. Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade 
média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média 
fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? 
13. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma 
mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 
máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias? 
14. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. 
Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? 
15. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um 
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 
horas por dia,para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
16. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a 
uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para 
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resp.: 10 
horas por dia. 
17. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 
90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 
centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resp.: 2025 metros. 
18. Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36 m de certo 
tecido. Quantos dias levarão, para fazer 12 m do mesmo tecido, com o dobro da 
largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia? 
19. Vinte e um pintores trabalhando 8 hs por dia, pintam um edifício em 6 dias. 
Nas mesmas condições, quantos dias serão necessários para que nove pintores, 
trabalhando 7 hs por dia, pintem o mesmo edifício? 
20. Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 
90.000 peças, em quantos dias, 12 dessas máquinas, funcionando 8 horas por 
dia, produzirão 192.000 peças? 
 
 
 
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10 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
 
Telecurso 2000 - Matemática - http://www.bibvirt.futuro.usp.br/ - 
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/telecurso_2000 
 
Telecurso 2000 - Matemática - http://www.bibvirt.futuro.usp.br/ - 
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/telecurso_2000 
 
KlickEducação O Portal da Educação - http://www.klickeducacao.com.br 
 
Exatas - http://www.exatas.mat.br/index.htm 
 
Só Matemática- http://www.somatematica.com.br/ 
 
Matemática.com.br - http://matematica.com.br/ 
 
 
 
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1 
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Aula 4 – Porcentagem. Equações do 1º grau com uma variável. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar porcentagem. 
 Aplicar a conceituação de porcentagem na resolução de problemas. 
 Calcular aumentos e descontos sucessivos. 
 Definir equação do primeiro grau 
 Resolver equações do primeiro grau. 
 Equacionar e resolver os problemas de equações do primeiro grau. 
6 – Porcentagem. Equações do 1º grau com uma variável. 
6.1 – Porcentagem. 
Se o preço de um artigo era de R$ 4,00 e passou a ser de R$ 5,00, o aumento 
de preço foi de 
 
R$ 5,00 — R$ 4,00 = R$ 1,00. 
 
Portanto, a fração que representa o aumento, chamada de taxa de aumento, é 
%2525,0
4
1
00,4
00,1
 
 
6.1.1 – Conceituação. 
 
Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o 
próprio nome, por cem. 
Exemplos: %12100
12)01(  %5100
5)02(  %78100
78)03(  
 
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. 
 
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece 
com muita freqüência em jornais, revistas, televisão, anúncios de liquidação, etc. 
 
Exemplos: 
01) O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%. 
Isto significa que em cada 100, 24 se matriculam no ensino fundamental. 
02) A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. 
Significando que em cada 100, 12 se encontram desempregados. 
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2 
03) Desconto de 25% nas compras à vista. 
O que significa que em cada R$ 100,00 comprados a vista, R$ 25,00 são 
descontados. 
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma 
de números decimal, observe os exemplos. 
 
Exemplos: 12,0%12100
12)01(  05,0%5100
5)02(  
 78,0%78100
78)03(  003,0%3,0100
3,0)04(  
 
6.1.2 – Trabalhando com Porcentagem 
 
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens. 
 
Exemplo: 
01) Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 
10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? 
30300
100
10300%10  Portanto, pagarei 27030300  reais. 
 
02) Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 50m. Determine quantos 
metros de mangueira Pedro usou. 
1650
100
3250%32  Logo, Pedro gastou 16 m de mangueira. 
 
03). Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se 
quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo. 
5002000
100
252000%25  
 
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. Então, 
2000 + 500 = 2500 reais. 
Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. 
 
04). Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se 
quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo. 
Suponha que 100 seja o preço de custo. Como eu quero obter um lucro de 25%, 
isto é, em cada 100 eu quero ganhar 25, então, o preço de venda deve ser 100 + 
25 = 125. Portanto, para 2000,00 o preço de venda é igual a 
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3 
25002000
100
1252000%125  
05) Comprei um objeto por 20.000 reais e o vendi por 25.000 reais. Quantos por 
cento eu obtive de lucro? 
Lucro: 25.000 – 20.000 = 5.000 ( preço de venda menos o preço de custo) 
%25
100
25
200
50
000.20
000.5
 (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) 
06) O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida 
por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento? 
%120%20%100  
x

%100
000.35%120
 
000.35100120 x 
120
000.35100
x 
 
Logo, o preço anterior era 29 166,67 
 
6.1.3 – Aumentos e descontos sucessivos 
Suponha que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e um de 
20% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o preço do 
produto nesses dois meses? 
Essa é uma pergunta interessante. Muitos pensam, erroneamente, que a taxa 
de aumento total foi de 30% + 20% = 50%. 
Se o preço do produto era de 100, 
o primeiro aumento foi de 30% sobre 100, isto é, de 0,30 . 100 = 30, o que 
elevou o preço do produto para 100 + 30 = 130; 
o segundo aumento foi de 20% sobre 130, isto é, de 0,20 . 130 = 26, o que 
elevou o preço do produto para 130 + 26 = 156. 
O aumento total foi de 156 - 100 = 56 sobre o preço de 100. A taxa total de 
aumento foide 56%. 
 
Exemplo: O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e 
de 20%. Qual foi a taxa total de desconto? 
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4 
Se o preço do artigo era 100, o primeiro desconto foi de 0,30 . 100= 30, o 
que baixou o preço para 100 - 30 = 70; 
o segundo desconto foi de 0,20 . 70 = 14, o que mudou o preço para 70 - 14 
= 56; 
a redução total do preço foi de 100 - 56 = 44 sobre um preço de 100. A taxa 
total de desconto foi de 44%. 
Exemplo: Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. 
Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal. Em quantos por cento 
aumenta o preço do artigo? 
Se o preço era 100, o preço com desconto é de: 100 - 0,30 . 100 = 100 - 30 
= 70; 
para retornar ao preço normal, ele deve sofrer um aumento de 30 em relação 
ao preço de 70 (100 – 30). A taxa de aumento será de 30 / 70 = 0,43 = 43%. 
 
6.1.4 – Problemas de percentagens 
 
Exercícios: 
 
(01) Um depósito de água tinha 640 litros. Sabendo-se que gastaram 15% da 
quantidade existente, pergunta-se: a) quantos litros foram gastos? b) que 
quantidade de água ficou no depósito? 
(02) Um vestido estava marcado com o preço de R$ 43,00. Sabendo que o dono da 
loja fez um desconto de 12%, por qual preço foi vendido? 
(03) João foi a uma papelaria comprar um compasso, o qual estava marcado a R$ 
15,00. Mas como João era um cliente antigo da casa, o dono da papelaria fez-lhe um 
desconto de 10%. Pedro, um amigo de João foi a outra papelaria comprar também 
um compasso. Este estava marcado a R$14,00, que Pedro pagou sem qualquer 
desconto. Quem comprou o compasso mais barato, Pedro ou João? 
(04) Maria leu num dia 40 páginas de um livro mas Joana leu apenas 80% do 
número de páginas lidas por Maria. a) Quantas páginas leu Joana? b) Se o Pedro 
tivesse lido 46 páginas, que percentagem a mais teria lido Pedro, em relação a 
Joana? 
(05) Um bilhete de comboio entre duas cidades, custava R$ 3,20. Com a inflação, 
passou a custar R$ 3.28. Qual a percentagem da inflação ("valor da inflação")? 
(06) Uma camisola custava R$ 25,40 mas nos saldos foi vendida a R$ 21,59. Calcule 
a percentagem do desconto efectuado. 
(07) Um traabalhador ganhava R$ 62,00 por dia de trabalho. Tendo sido aumentado, 
passou a ganhar 65,72 por dia de trabalho. Qual a percentagem dp seu aumento? 
(08) Quanto passará a custar um livro de R$ 15,20, se tiver um desconto de 8%? 
 
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5 
(09) Numa empresa com 140 funcionários, 75% dos mesmos são casados. a) 
Determine o número de funcionários solteiros. b) Sabendo que 60% dos funcionários 
solteiros são mulheres, calcule quantas homens solteiros tem a empresa. c) Se a 
empresa passasse a ter 161 funcionários, qual a percentagem de aumento dos 
funcionários? 
(10) Comente a seguinte frase: " João abriu o seu mealheiro e deu 30% do seu 
dinheiro á irmã, 40% ao seu irmão mais novo e ficou com os 50% restantes para ele 
próprio." 
 
6.2 – Equações do 1º grau com uma variável 
 
6.2.1 – Forma geral 
 
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, 
em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. 
Exemplo: x + 3 = 12 – 4 
 
Forma geral: ax + b = 0, 
 
em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com 
a  0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação (ax + b = 0, é a forma 
mais simples da equação do 1º grau). 
Exemplos: 
01) x - 4 = 2 + 7 (variável x) 
02) 2m + 6 = 12 – 3 (variável m) 
03) –2r + 3 = 31 (variável r) 
04) 5t + 3 = 2t – 1 (variável t) 
05) 3(b – 2) = 3 + b (variável b) 
 
4 + 7 = 11 
(é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação 
do 1º grau) 
 
3x – 12 > 13 
(possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação 
do 1º grau) 
 
Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do 
sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual. 
)72(453  xx 
Conjunto Solução: Conjunto formado por valores reais que tornam a 
sentença verdadeira. Representamos pela letra S. 
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6 
Exemplo: 
Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a 
sentença matemática 2x – 4 = 2, verdadeira. 
2(0) – 4 = 2 Falso 
2(2) – 4 = 2 Falso 
2(3) – 4 = 2 Verdadeiro 
2(6) – 4 = 2 Falso 
2(8) – 4 = 2 Falso 
2(9) – 4 = 2 Falso 
 
Devemos observar que o conjunto S = {3} 
 
6.2.2 – Raiz da equação 
 
Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a 
igualdade verdadeira. 
 
Exemplo: 
Vamos verificar se o número 4 é raiz da equação 9x – 4 = 8 + 6x. 
9(4) – 4 = 8 + 6(4) 
36 – 4 = 8 + 24 
 32 = 32 
6.2.3 – Resolvendo Equações do 1º grau 
 
Resolver uma equação do 1º grau significa determinar a raiz ou conjunto 
solução dessa equação, caso exista solução. 
Exemplo: 4115 x 
)11(4)11(115 x 
 155 x 
 51555 x 
 3x 
 
6.2.4 – Resolvendo equações pelo método prático: 
 
Exemplo: 4115 x 
 1145 x 
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7 
 155 x 
 5
15
x 
 3x 
 
Exemplos: Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável. 
 
85)01 x yy 31613)02  
13)1()2(3)03  tt 15
2
10
7
4
)04  xx 
5575)05  zz (Impossível) 
)54(45)06 xx  (Indeterminado) 
 
Exercícios: 
 
(01) 5 (x + 2) – 2 (3x – 1) = 13 
(02) 2)1(3
1)13(
2
1
 xx 
(03) 4
22
3
2 xxx  
(04) 164
5
3
4
2
3





 xxx
 
(05) xx
x
x
x 2
5
8965




 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
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8 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
 
A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro – Telecurso 2000 - 
www.passei.com.br/tc2000/matematica1 
 
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1 
Matemática Instrumental –2008.1 
 
Aula 5 – Problemas e Sistemas de Equações do 1º grau com uma variável. 
 
Objetivos: 
 
 Equacionar problemas de equações do primeiro grau. 
 Resolver problemas de equações do primeiro grau. 
 Resolver sistemas de equações do primeiro grau. 
 Equacionar e resolver problemas envolvendo sistemas de equações do primeiro 
grau. 
7 – Sistemas de Equações do 1º grau. Problemas de Equações do 1º grau 
com uma e duas variáveis. 
7.1 – Problemas de Equação do primeiro grau 
 
Exemplos: 
 
01) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um 
deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. 
 
Andrédeidadex
CarlosdeidadexSolução


4
:
 
262
422442
2242
224




x
x
x
xx
 
13
2
26
2
2
262



x
x
x
 94
4134


x
x
 
 
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos. 
 
02) A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas 
cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a 
cidade B? 
 
Acidadedapopulaçãox
BcidadedapopulaçãoxSolução


3
:
 
 
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2 
000.1004
000.1003


x
xx
 
000.25
4
000.100
4
4


x
x
 000.753
000.2533


x
x
 
 
Resposta: B tem 25.000 habitantes e A tem 75.000 habitantes. 
 
03) Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. 
Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2? 
 
quartocadadeáreaxSolução : 
 
1203
1402601401403
2601403



x
x
x
 
40
3
120
3
3


x
x
 
 
Resposta: Cada quarto tem 40m2. 
 
Exercícios: Resolver os seguintes problemas: 
01) Uma fita de 30 cm de comprimento, serviu para contornar um quadrado, 
sobrando 2 cm de fita. Qual o comprimento de cada lado do quadrado? 
02) O triplo de um número, menos sua metade, é igual a 10. Qual é esse número ? 
03) A soma de três número inteiros consecutivos é igual a 111. Calcule esses 
números. 
04) A soma de minha idade com a do meu pai é 56 anos. Calcule a idade de meu 
pai, sabendo-se que a idade dele é o triplo da minha menos 8 anos. 
05) Um homem deixou 75% de sua herança à esposa e o restante ao filho. A 
esposa aplicou sua parte a 2,5% ao mês e, depois de um mês, recebeu R$ 1.575,00 
de juros. Se o filho aplicou sua parte a 2,15 ao mês, quanto ele recebeu de juros 
depois de um mês? 
06) Marcela aplicou metade do seu décimo terceiro salário à taxa de 1,8% ao mês e 
a outra metade à taxa de 2,4% ao mês. Depois de um mês, recebeu um montante 
de R$ 1.837,50. Quanto Marcela recebeu de décimo terceiro salário? 
07) Um número é composto de 3 algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das 
unidades é o dobro do das centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e 
das centenas. Qual é o número? 
08) Num vaso há 12 litros de vinho e 18 litros de água; noutro há 9 litros de vinho e 
3 litros de água. Quantos litros se devem tirar de cada vaso, para se obterem 14 
litros que contenham partes iguais de água e vinho? 
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3 
7.2 – Sistemas de Equações do 1º grau. 
 
Um cavalo e um burro caminharam juntos levando no lombo pesados sacos. 
Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: .De que te 
queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo 
contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha.. Qual a carga de 
cada um dos animais? 
 
Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem matemática: 
 
Considere 
x a carga do cavalo e 
y a carga do burro. 
 
Se eu levasse um de teus sacos x - 1 
a minha carga y + 1 
seria o dobro da tua y + 1 = 2 (x - 1) (1) 
Se eu te desse um saco y - 1 
a tua carga x + 1 
seria igual à minha y - 1 = x + 1 (2) 
 
Juntando as equações (1) e (2), temos um sistema com duas equações do 1o grau 
 





11
)1(21
xy
xy
 
 
7.3 – Resolvendo Sistemas de Equações do 1º grau. 
 
Os sistemas de equações do 1o grau são ferramentas bastante comuns na 
resolução de problemas em várias áreas e aparecem muito em concursos e exames. 
Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y) que tornem 
verdadeiras as equações que o formam. 
 
Por exemplo, o par (5; 7) é solução do sistema 





11
)1(21
xy
xy
 
Para fazer a verificação, devemos substituir os valores x = 5 e y = 7 em 
ambas as equações: 
 y + 1 = 2 (x – 1) 
 7 + 1 = 2 (5 – 1) 
 8 = 2 ● 4 
 8 = 8 
 
 y – 1 = x + 1 
 7 – 1 = 5 + 1 
 6 = 6 
 
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4 
7.3.1 – Método da adição. 
 
Esse método de resolução consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita 
iguais em valor absoluto e opostos, permitindo assim eliminar uma variável, 
transformando o sistema em uma equação do primeiro grau, ao somarmos membro 
a membro as duas equações. Veja o exemplo: 





1
3
yx
yx
 
Primeiro passo: Como os coeficientes dos têrmos em y são opostos, vamos 
somar membro a membro as duas igualdades e resolver a equação obtida. 
42
1
3






x
yx
yx
 
 22
4
x 
Segundo passo: Substituir x = 2 em uma das equações do sistema para encontrar o 
valor de y. 
123323  yyyyx 
 Exemplo: O problema do cavalo e do burro. 





11
)1(21
xy
xy
  





11
221
xy
xy
  





2
122
yx
xy
  





2
32
yx
yx
  





2
32
yx
yx
  
 
5
2
32






x
yx
yx
 
 Substituindo x = 5 em – x + y = 2 obtemos: 
– 5 + y = 2  y = 2 + 5  y = 7 
 
7.3.2 – Método da substituição. 
 
Esse método de resolução consiste em explicitar uma variável em uma das 
equações, para substituir na outra equação, transformando o sistema em uma 
equação do primeiro grau. Veja o exemplo: 
 Primeiro passo: Consiste em isolar uma das variáveis em uma das equações 
(veja a seguir). 
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5 
xy
yx
yx






3
1
3
 
 Segundo passo: Substituir na outra equação o valor da variável isolada. 
2
42
132
13
1)3(
1






x
x
x
xx
xx
yx
 
Terceiro passo: Substituir x = 2 em uma das equações do sistema para encontrar o 
valor de y. 
123323 yyyyx 
Exemplos: 
Resolver os seguintes sistemas de equações do 1º grau: 





252
152)01
yx
yx
 





xy
xy
6
)12(3)02 
 





264
132)03
yx
yx
 









2
1
24)04
xy
yx
 





12
453)05
yx
yx
 






2
52
42
)06 yx
yx
 















2
4
2
5
3
2
1
32
2
)07
yxyx
yxyx
 
Resolver os seguintes problemas: 
01) Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e 
dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de 
espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química 
existentes nesse depósito é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
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6 
d) 6 
e) 7 
 
Considere: 
E = número de extintores de espuma química 
D = número de extintores de dióxido de carbono 
E + D = 24 E + D = 24 
D = 3E – 3E + D = 0 
Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e 
com o método da adição encontraremos o valor de E. 
 E + D = 24 E + D = 24 
–3E + D = 0 3E – D = 0 
 
 4E = 24 
 E = 24/4 
E = 6 
O número de extintores de espuma química é de 6 extintores Resp.: (d). 
 
02) Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 
anos, minha idade é: 
a) 40 anos 
b) 46 anos 
c) 48 anos 
d) 50 anos 
e) 54 anos Resp.: (b) 
 
03) A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade 
será o dobro da idade da minha filha. A 
minha idade atual , em anos é: 
a) 47 anos 
b) 49 anos 
c) 51 anos 
d) 53 anos 
e) 55 anos Resp.: (b) 
04) Um barco percorre 9 km em 30 min, navegando a favor da corrente; para 
regressar ao ponto de partida, demora 3h. Calcule a velocidade do barco e a 
velocidade da corrente. 
05) A soma de dois números é 12 e um deles é o dobro do outro. Encontre os dois 
números. 
06) A média aritmética de dois números é 2. Um quarto da sua diferença é 4. 
Encontre os dois números. 
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7 
07) Um colecionador de moedas antigas tem 48 moedas de R$ 5,00 e de R$ 10,00, 
num total de R$ 420,00. Quantas moedas de cada valor ele tem? 
08) Ana tem 56 anos e André 48. Há quantos anos a soma das duas idades era igual 
à idade atual de André? 
09) Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha enche-lo-ia 
em 7 horas. Em quantas horas a outra sozinha encheria o tanque? 
10) Uma torneira enche um tanque em 12 horas e a outra em 18 horas. Em quantas 
horas as duas juntas encherão o tanque? 
11) Dois operários fazem juntos um trabalho em 12 dias. Um deles sozinho faz este 
trabalho em 20 dias. Em quantos dias, o outro fará, também só, o mesmo trabalho? 
12) Num vaso há 12 litros de vinho e 18 litros de água; noutro há 9 litros de vinho e 
3 litros de água. Quantos litros se devem tirar de cada vaso, para se obterem 14 
litros que contenham partes iguais de água e vinho? 
 
7.4 – Lista de exercícios de Equações do 1º grau e Sistemas de Equações do 
1º grau. 
 
01 – Em dois mercados, as condições de equilíbrio de manteiga e margarina, onde x 
é o preço da manteiga, e y é o preço da margarina, são dadas pelas equações 
abaixo: 8x – 3y = 18 e – x + 7y = 11. Quais os preços da manteiga e da margarina 
que levarão o modelo ao equilíbrio? 
02 – Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofre uma desvalorização de 
20% ao ano. Qual será seu valor, em reais, após 3 anos? 
03 – Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de ração. Assim, ao aumentarmos 
o número de cães em 75%, de quanto será o consumo mensal, em kg, considerando 
o mês de 30 dias? 
04 – Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo 
a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor 
de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? 
05 – Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo em que outro 
parte de B em direção a A. A distância entre A e B é 120 km. O primeiro desenvolve 
velocidade de 24 km/h e o segundo, 16 km/h. Assim, os ciclistas se encontram ao 
fim de 
a) 1 hora 
b) 2 horas 
c) 3 horas 
d) 4 horas 
e) 5 horas 
06 – Uma prova com 180 questões diferentes foi distribuída a 3 estudantes, A, B e 
C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 60 questões distintas. A 
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8 
apresentou 90% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 70% 
do seu bloco e C errou 80% de suas questões. Desta forma, o número de questões 
não resolvidas da prova é de (não resolvidas são as questões que os estudantes não 
acertaram). 
a) 78 
b) 72 
c) 68 
d) 80 
e) 64 
07 – Se gato e meio comem rato e meio em um minuto e meio, quantos gatos 
comem 60 ratos em 30 minutos? 
a) 3 
b) 3,5 
c) 4 
d) 4,5 
e) 5 
08) Tem-se galinhas e carneiros, ao todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há 
de cada espécie? 
09) Num depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. 
Quantos viaturas há de cada espécie, no depósito? 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
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9 
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1 
Matemática Instrumental –2008.1 
 
Aula 6 –Equações do 2º grau com uma variável. Resolução de problemas. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar e classificar equações do segundo grau. 
 Resolver equações do segundo grau. 
 Resolver problemas de equações do segundo grau. 
 Resolver sistemas que se reduzem a equações do segundo grau. 
 Equacionar e resolver problemas envolvendo sistemas de equações do 
segundo grau. 
8 – Equações do 2º grau com uma variável. 
8.1 – Definição. Tiposde equações do 2º grau. 
 
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, 
em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. 
 
Equação do 2º grau é toda equação que, após as simplificações, se apresenta 
na forma 02  cbxax , onde a, b e c são números reais quaisquer e a ≠ 0. 
 
Exemplos: (1) 41142  xx 
 (2) 7542073 22  xxxx 
 
Forma geral: 02  cbxax , 
 
em que x representa a variável (incógnita) e a, b e c são números racionais, 
com a  0. Dizemos que a, b e c são os coeficientes da equação. 
 
( 02  cbxax , é a forma mais simples da equação do 2º grau ). 
 
Exemplos: 
 (1) 0672  xx 
(2) 072  xx  0072  xx 
 (3) 062 x  0602  xx 
(4) 03 2 x  0003 2  xx 
 
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, 
portanto não é uma equação do 2º grau) 
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2 
3x – 12 = 13, (possui uma variável, mas não é uma equação do 1º grau) 
 
Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do 
sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual. 
 
7542073 22  xxxx 
 
Conjunto Solução: Conjunto formado por valores reais que tornam a sentença 
verdadeira. Representamos pela letra S. 
 
Exemplo: Dentre os elementos do conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, qual 
deles torna a sentença matemática 0672  xx , verdadeira? 
 
660702  Errado 
061712  Verdadeiro 
462722  Errado 
663732  Errado 
664742  Errado 
465752  Errado 
066762  Verdadeiro 
66777 2  Errado 
 
Devemos observar que é o conjunto S = {1, 6}. 
 
Classificação das equações do 2º grau. 
 
Completa – Toda equação do 2º grau que se apresenta na forma 
02  cbxax com a, b, c ≠ 0; 
 
Incompleta – Toda equação do 2º grau que se apresenta na forma 
02  cbxax com a ≠ 0 e 
 b = 0 ou 
 c = 0 ou 
 b = 0 e c = 0. 
 
Exemplos: 
(1) 0672  xx Completa 
(2) 072  xx  0072  xx Incompleta 
(3) 062 x  0602  xx Incompleta 
(4) 03 2 x  0003 2  xx Incompleta 
 
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3 
8.2 – Raizes da equação do 2º grau. 
 
Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a igualdade 
verdadeira. 
 
Verificando se um dado número é raiz da equação: 
 
Exemplos: Vamos verificar se os números 4, 5 e 6 são raizes da equação 
0672  xx . 
 
66126281664742  (4 não é raiz) 
46106352565752  (5 não é raiz) 
0666423666762  (6 é raiz) 
 
8.2.1 – Resolvendo Equações do 2º grau. Determinação das raizes. 
 
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as raizes ou o conjunto 
solução dessa equação, caso exista solução. 
 
Exemplo: 0962  xx 
0)3( 2 x 
Observe que 96332)3( 2222  xxxxx 
0)3)(3(  xx 
0303  xoux 
0´´0´  xoux 
 
8.2.2 – Revisando produtos notáveis: 
 
222 2)( bababa  
 
222 2)( bababa  
 
22))(( bababa  
 
8.2.3 – Resolvendo equações do 2º grau incompletas 
 
Exemplo: (1) 02 x 
0 xx 
0x ou 0x 
0x
 ou 0x 
 
Exemplo: (2) 062  xx 
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4 
0)6( xx 
0x ou 06 x 
0x ou 6x 
0x
 ou 6x 
 
Exemplo: (3) 092 x 
 0)3)(3(  xx 
03 x ou 03 x 
3x
 ou 3x 
3x ou 3x 
 
 
Exemplo: (4) 16)3( 2 x 
 16)3)(3(  xx 
43 x ou 43 x 
34x ou 34 x 
7x
 ou 1x 
 
8.2.4 – Resolvendo equações do 2º grau completas 
 
Exemplo: (5) 1662  xx 
 916962  xx 
 25)3)(3(  xx 
53 x
 ou 53 x 
35x ou 35x 
2x ou 8x 
 
Exemplo: (6) 0862  xx 
 Comecemos completando o quadrado 
 xaxa  22 
 936262 2  bbxxbxab 
862  xx 
 98962  xx 
 Portanto 1962  xx pode ser escrito como 
 1)3( 2 x ou 
 13 x 
1313  xoux
 
13´´13´  xoux 
2´´4´  xoux 
 
Utilizando a fórmula de Bháskara para resolver a equação: Ax²+Bx+C=0 
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5 
 
Uma equação do segundo grau tem a forma geral Ax² + Bx + C = 0, onde os 
coeficientes A, B e C, são constantes conhecidas e A  0. 
 
A equação pode ter no máximo duas soluções, dependendo do valor do discriminante 
 
  = B² - 4AC. 
 
Se  = 0 a equação tem uma única solução, 
 
Se   0 a equação tem duas soluções distintas x’ e x’’, e 
 
Se   0 a equação não tem solução. 
 
Para obtermos as soluções da equação do segundo grau utilizamos a fórmula 
de Báskara 
A
Bx
2

 
 
Exemplo: (1) 0862  xx 
 861  CBA 
 ACB 42  
814)6( 2 
 
3236 
 
4 
2 
12
26


x 
2
2
4
2
26




x 
4
2
8
2
26




x 
 
Exercícios: Resolver as seguintes equações do 2º grau com uma variável. 
 
01) 0122  xx 02) 0125 2  xx 
03) 22 14 12 0x x   04) 27 10 0x x   
05) 25 7 0x x   06) 2 25 0x   
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6 
07) 0273 2  xx 08) 0442  xx 
09) 
2 1 0
4
x   10) 25 10 0x x   
11) 0565 2  xx 12) 0442  xx 
13) 25 9x  14) 2 27 3 4x x x x   
15) 
4 3; 0
2
x x
x
   16) 
2 5 1
; 1, 2
1 ( 1)( 2)
x x x x
x x x

   
  
 
17) 
x
x 5
5
4
 18) 
x
x
x
1
2
53 

 
19) 2
3
1
11



xx
 20) 2
1
2
1
3
1



 xx
 
 
8.3 – Resolver problemas de equações do segundo grau 
 
Exemplo: (1) Achar dois números sabendo que a soma e o produto deles valem, 
respectivamente, 30 e 224. 
 
xy
yx
yx






30
224
30
 
224)30(  xx 
02243022430 22  xxxx 
 
Exemplo: (2) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. 
Qual é o número? 
 3522  xx 
 
Exemplo: (3) Qual é o número que adicionado ao triplo de seu quadrado vale 14? 
 
143 2  xx 
 
Exemplo: (4) Uma torneira leva x horas para encher um tanque. Uma segunda 
torneira leva 2 horas a mais que a primeira. Sabendo que abertas ao mesmo tempo 
levam 2 horas e 24 minutos para encher o tanque, em que tempo x a primeira 
torneira o faria sozinha ? 
 
a) 3h b) 4h c) 5h d) 6h e) 7h 
 
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7 
Primeira torneira Segunda torneira 
Enche o tanque hsx hsx 2 
Fração do tanque em 1 h x
1
 2
1
x 
 Fração do tanque em 1 h com as duas torneiras abertas 
mmxxmhsxx 144
1
120
11
242
1
2
11




 
 
Exercícios: 
 
01) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 
30. Determine esse número. 
 
02) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse 
número? 
 
03) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a 12. Qual é 
esse número? 
 
04) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195. 
 
05) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 e o produto de suas idades é 
270. Qual é a idade de cada um? 
 
06) Calcule as dimensões de um retângulo de 16 cm de perímetro e 15 cm2 de 
área. 
 
07) A diferença de um número e seu inverso é 8/3. Qual é esse número? 
 
08) Um comboio percorre a distância de 18km com uma velocidade constante, em 
km/h. Se a velocidade diminuísse de 3km/h, o comboio demoraria mais uma hora 
no percurso. Então a velocidade do comboio, em km/h, é 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
09) A soma de dois números é 3 e a soma de seus quadrados é 17. O produto 
desses números é 
 a) 4 b) –4 c) 5 d) –5 e) 6 
 
10) Uma doceira preparou 315 doces em algumas horas. Para terminar este 
mesmo serviço duas horas mais cedo, ela precisaria produzir, em média, 10 
doces a mais por hora de trabalho. O número médio de doces por ela produzido 
em cada hora de trabalho correspondeu a: 
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8 
 a) 45 b) 35 c) 21 d) 19 e) 9 
 
11) Numa pesquisa eleitoral, vários jovens foram selecionados para aplicar 240 
questionários numa determinada área. No dia marcado, cinco jovens não 
compareceram e cada um dos demais teve que passar oito questionários a mais. 
O número de jovens selecionados foi igual a: 
 a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
 
 
12) Um piloto faz uma viagem de ida e volta (sem escala) entre duas localidades 
A e B, que distam 75km, com velocidade constante. Na ida, o vento lhe é 
favorável, à velocidade de 20km/h; na volta, o vento, com a mesma velocidade, 
lhe é contrário. Sabendo que ele gastou o tempo total de 5 horas, podemos 
afirmar que a velocidade do avião, em km / h, é: 
 
13) O lucro devido a comercialização de um produto é calculado pela equação 
2 8 10L x x   , onde x é a quantidade comercializada. Determinar o menor 
valor de x para o qual o lucro seja de R$ 2,00. (Funções quadráticas) 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
 
A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro – Telecurso 2000 - 
www.passei.com.br/tc2000/matematica1 
 
KlickEducação O Portal da Educação - http://www.klickeducacao.com.br 
 
Exatas - http://www.exatas.mat.br/index.htm 
 
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Matemática Instrumental –2008.1 
 
Aula 7 –Capitalização simples e composta. Resolução de problemas. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar juros simples. 
 Resolver problemas de juros simples. 
 Conceituar capitalização simples. 
 Resolver problemas que envolvam capitalização simples. 
 Conceituar capitalização composta. 
 Resolver problemas que envolvam capitalização composta. 
9 – Capitalização simples. 
9.1 – Juros simples. Montante. 
 
Valor Principal, ou simplesmente Principal, ou Capital é o valor financeiro inicial 
emprestado ou aplicado, antes de fazer a soma aos juros auferidos no período. 
 
Juro é aquela quantia que é cobrada a mais sobre uma determinada quantia a ser 
paga ou recebida. 
 
O dinheiro que se empresta ou se deposita chamaremos de Capital. 
 
A Taxa é a porcentagem que deverá ser cobrada, pelo tempo que o dinheiro ficou 
depositado ou emprestado. 
 
O Montante é o capital e o juro acumulados. 
 
Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e de i a taxa, temos as seguintes 
relações: 
 
CiJ  JCM  
 
onde J é o juro e i é a taxa no período do empréstimo. 
 
Exemplo 01) Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% 
a.a. (22% ao ano). 
 a) Qual o juro? b) Qual o montante? 
 
Resolução: 00,760.122,000,000.8%2200,000.8 J 
 
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2 
 00,760.900,760.100,000.8  JCM 
 
Exemplo 02) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante 3 meses, gerando um 
montante de R$ 12.540,00. Qual a taxa de juros no período? 
 
Resolução: 00,540.100,000.1200,540.12  JMC 
CiJ   i00,000.1200,540.1  
00,000.12
00,540.1
i  %5,4045,0 i ao trimestre. 
Observação: Quando não for especificado os juros como exatos, para efeito de 
cálculos, será considerado o seguinte: 
1 ano = 360 dias 
1 ano = 12 meses 
1 ano = 2 semestres 
1 ano = 4 trimestres 
1 ano = 6 bimestres 
1 mês = 30 dias 
1 dia = 24 horas 
 
Exercícios: Resolver os seguintes problemas 
 
01) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 50% a.a pelo prazo de 1 ano. 
Obtenha o juro e o montante. 
02) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 30% a.s pelo prazo de 1 
semestre. Obtenha o juro e o montante. 
03) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 12% a.t pelo prazo de 1 
trimestre. Obtenha o juro e o montante. 
04) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 5% a.b pelo prazo de 1 
bimestre. Obtenha o juro e o montante. 
05) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 1,7% a.m pelo prazo de 1 
mês. Obtenha o juro e o montante. 
06) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a taxa de 0,03% a.d pelo prazo de 1 
dia. Obtenha o juro e o montante. 
 
9.2 - Regimes de capitalização. 
 
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o 
montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas de regime de 
capitalização. 
 
Regimes de capitalização simples. 
Regimes de capitalização composta. 
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9.2.1 - Regimes de capitalização simples. 
 
Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do 
capital pela taxa. 
 
O Tempo ou número de períodosque este dinheiro ficará depositado ou 
emprestado, representaremos pela letra t. 
 
CiJ  em cada período 
 
CitJ  em t períodos 
 
Exercícios: 
 
01) Um funcionário tem uma dívida de R$ 500,00 que deve ser paga com juros de 
6% a.m pelo sistema de juros simples e este deve fazer o pagamento em 03 meses. 
Calcule o valor dos juros e o montante a ser pago. 
 
02) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante três anos à taxa de 10% a.a. (10% ao ano). De quanto foi o juro gerado? 
 
03) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante dois anos à taxa de 10% a.a. (10% ao ano). De quanto foi o juro gerado? 
 
04) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante quatro anos à taxa de 10% a.a. (10% ao ano). De quanto foi o juro gerado? 
 
05) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 20% a.a. (20% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 2 anos? 
 
06) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 20% a.a. (20% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 4 anos? 
 
07) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 20% a.a. (20% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 5 anos? 
 
08) Um capital de R$ 36.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 60% a.a. (60% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 2 meses? 
 
09) Um capital de R$ 36.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 60% a.a. (60% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 1 dia? 
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4 
 
10) Um capital de R$ 36.000,00 foi aplicado, num regime de capitalização simples, 
à taxa de 60% a.a. (60% ao ano). De quanto foi o juro gerado e qual a taxa 
equivalente para um período de 1 hora? 
 
11) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 5 anos? 
 
12) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 ano? 
 
13) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 2 anos? 
 
14) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 3 anos? 
 
15) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 4 anos? 
 
16) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 mês? 
 
17) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 bimestre? 
 
18) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 semestre? 
 
19) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 dia? 
 
20) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 semana? 
 
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5 
21) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 15 dias? 
 
22) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 1 hora? 
 
23) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 7 horas? 
 
24) Um capital de R$ 36.000,00 aplicado, num regime de capitalização simples, 
durante cinco anos rendeu um juro de R$ 21.600,00. Qual a taxa equivalente para 
um período de 15 horas? 
 
25) Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à 
taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s). 
 
26) Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de 
juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos? 
 
27) Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 
5% ao mês. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
28) Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 
10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? 
 
29) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 
30) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% 
a.a., durante 125 dias. 
 
31) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de 
juros em 75 dias? 
 
32) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários 
para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
33) Aplicou-se a importância de R$ 30.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 
1,2% ao mês. Qual o valor do juros simples a receber? 
 
34) Calcular os juros simples de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de 24% ao ano, 
durante 9 meses. 
 
35) O capital de R$ 500,00 foi aplicado a 20% ao trimestre durante 9 meses. Qual o 
valor dos juros simples produzidos? 
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9.2.2 - Regimes de capitalização composta. 
Neste regime o juro gerado em cada período é agregado ao montante do período 
anterior. 
Exemplos: 
01) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a. (10% 
ao ano) em regime de juros compostos. 
Durante o primeiro ano o juro gerado foi de 
00,100%1000,000.1 J 
e o montante após um ano foi de 
00,100.100,10000,000.1 M 
Durante o segundo ano o juro gerado foi de 
00,110%1000,100.1 J 
e o montante após o segundo ano foi de 
00,210.100,11000,100.1 M 
Durante o terceiro ano o juro gerado foi de 
00,121%1000,210.1 J 
e o montante após o terceiro ano foi de 
00,331.100,12100,210.1 M 
Exercícios: 
36) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 20% a.a. 
(20% ao ano). Obtenha o montante para o prazo de 1 ano. 
37) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 20% a.a. 
(20% ao ano). Obtenha o montante para o prazo de 2 anos. 
38) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juroscompostos à taxa de 20% a.a. 
(20% ao ano). Obtenha o montante para o prazo de 3 anos. 
39) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 20% a.a. 
(20% ao ano). Obtenha o montante para o prazo de 4 anos. 
40) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 20% a.a. 
(20% ao ano). Obtenha o montante para o prazo de 5 anos. 
41) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 5 anos, à 
taxa de 20% a.a. (20% ao ano). Determinar a taxa de juros em uma capitalização 
simples para gerar o mesmo montante, sendo a taxa anual. 
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42) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 5 anos, à 
taxa de 20% a.a. (20% ao ano). Determinar a taxa de juros em uma capitalização 
simples para gerar o mesmo montante, sendo a taxa semestral. 
43) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 5 anos, à 
taxa de 20% a.a. (20% ao ano). Determinar a taxa de juros em uma capitalização 
simples para gerar o mesmo montante, sendo a taxa bimestral. 
44) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 5 anos, à 
taxa de 20% a.a. (20% ao ano). Determinar a taxa de juros em uma capitalização 
simples para gerar o mesmo montante, sendo a taxa mensal. 
45) Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 5 anos, à 
taxa de 20% a.a. (20% ao ano). Determinar a taxa de juros em uma capitalização 
simples para gerar o mesmo montante, sendo a taxa diária. 
46) Um capital de A de R$ 20.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 10% 
a.m.. Um outro capital B de R$ 16.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 
12% a.m.. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será 
superior ao produzido por A? 
47) Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e recebeu, um ano depois, um 
montante de R$ 17.958,56. Determine (a) a taxa mensal de juros simples. (b) a 
taxa mensal de juros compostos. 
 
Referências Bibliográficas: 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro – Telecurso 2000 - 
www.passei.com.br/tc2000/matematica1 
KlickEducação O Portal da Educação - http://www.klickeducacao.com.br 
Exatas - http://www.exatas.mat.br/index.htm 
 
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Aula 8 –Funções. Função do primeiro grau. Gráficos. 
 
Objetivos: 
 
 Conceituar funções. 
 Representar uma função através de uma tabela. 
 Elaborar gráficos de funções. 
 Definir função do primeiro grau. 
 Resolver problemas que envolvam funções. 
10 – Funções. 
10.1 – Conceituação. 
 
Um dos conceitos mais utilizados em Matemática é o de função. Ele se aplica a 
várias áreas, como à Física, à Química, à Economia e à Biologia. Além disso, está 
muito presente em nosso dia-a-dia, ajudando a melhor compreender o mundo que 
nos cerca. 
 
Vejamos alguns exemplos da aplicação desse conceito: 
 
 a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada; 
 a altura de uma criança é função de sua idade; 
 o salário de um vendedor é função do volume de vendas; 
 a área de um quadrado é função da medida de seus lados; 
 o consumo mensal de combustível é função da quilometragem percorrida. 
 
Para entender o conceito de função vamos pensar em duas grandezas que 
variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra. 
 
 Considere a seguinte situação salarial. Uma empresa comercial paga 
mensalmente a cada vendedor um salário fixo de R$ 600,00 acrescidos de um 
percentual de 5% sobre o seu total de vendas. 
 
 Dizemos então que o salario mensal de cada vendedor é função do seu total de 
vendas, podendo ser equacionado como segue: 
 
 Y = 5% X + 600,00 ou ainda 
 Y = 0,05 X + 600,00 
 
onde X corresponde ao total de vendas e Y ao salário do vendedor. 
 Neste caso, dizemos que Y é função de X, pois a variação de Y depende da 
variação de X. 
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10.2 – Representações de uma função. 
 
 Podemos representar uma função mediante uma tabela, através de uma 
representação por diagrama ou por intermédio de um gráfico. 
 
10.2.1 – Representação de uma função mediante uma tabela. 
 
 A tabela a seguir representa a função Y = 0,05 X + 600,00 do exemplo 
acima. 
 
X Y 
1000,00 650,00 
2000,00 700,00 
3000,00 750,00 
4000,00 800,00 
5000,00 850,00 
6000,00 900,00 
7000,00 950,00 
 
10.2.2 – Representação de uma função mediante um diagrama. 
 
Uma outra forma de representarmos uma função é por diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
O conjunto A é o conjunto dos números que expressam o total de vendas e e o 
conjunto B é o conjunto dos salários do vendedor. 
 
A cada elemento de A, corresponde um único elemento de B, ou seja, 
para cada total de vendas, temos um único salário. 
 
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3 
10.2.3 – Representação de uma função mediante um gráfico. 
 
Podemos também representar uma função graficamente. Para isso, vamos 
usar o plano cartesiano. 
 
No eixo horizontal, também conhecido como eixo X ou eixo das abscissas, 
vamos marcar os valores de X (totais de vendas) que constam na tabela. No eixo 
vertical, também conhecido como eixo Y ou eixo das ordenadas, vamos marcar os 
valores de Y (valor do salário) para cada valor de X. 
 
 Observe no gráfico, a associação entre os valores de X com os valores 
correspondentes de Y, como (0, 600,00), (2000, 700,00), (4000, 800,00) e (6000, 
900,00), 
 
 Unindo os pontos do plano correspondentes as associações, obtemos o gráfico 
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2.4 – Taxa de variação. 
 
Taxa de variação é a medida de variação de uma grandeza em relação a outra. 
Numa função, temos duas variáveis. Para calcular a taxa de variação, verificamos 
como Y varia em função de X. 
 
Isso é feito dividindo-se a diferença dos valores de Y pela diferença dos 
valores correspondentes de X. 
 
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Exemplo: %505,002000
600700



vt 
 
%505,0
20004000
700800



vt 
 
%505,0
40006000
800900



vt 
 
Exemplo: O gráfico a seguir mostra as cotações das ações da VALE ON durante as 
últimas sete semanas (42 dias). É possível responder as seguintes perguntas: 
Quantos por cento está ganhando quem investiu a partir da 
1) primeira semana 
2) segunda semana 
3) terceira semana 
4) quarta semana 
5) quinta semana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3 – A função y = ax + b. 
 
No exemplo do salário do vendedor, vimos que a função que representa o seu salário 
é da forma y = ax + b e que tem para gráfico uma reta. 
 
Se a = 0, a nossa equação fica com a forma y = b e passaremos a chamá-la de 
função constante, pois o y não varia com o x. Seu gráfico vai ser uma reta 
horizontal. 
 
 
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Se a ≠ 0, a expressão y = ax + b chama-se função do primeiro grau. 
 
Se a > 0 (a positivo) ela é uma função crescente (taxa de variação positiva) 
 
Se a < 0 (a negativo), ela é uma função decrescente (taxa de variação negativa). 
 
Veja os gráficos: 
 
10.3.1 – Gráfico da função y = ax + b. 
 
Toda função polinomial representada pela relação y = ax + b, com a e b 
números reais e a  0. 
 
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta. 
 
 Escolha dois valores para x, e determine os valores correspondentes de y, 
formando uma tabela. Veja o exemplo a seguir: 
 
 Exemplo: y = 2x + 1 
 
x y 
0 1 
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Veja o gráfico abaixo: 
 
O número real a, coeficiente de x, chama-se coeficiente angular ou 
declividade da reta. Corresponde a taxa de variação da função. 
 O termo constante b chama-se coeficiente linear. 
 
Exemplo 01: (1) y = 2 x – 3 (2) y = -3 x + 4 
 (3) y = -0.5 x + 5 (4) y = 7 - x 
 
Exemplo 02: Dada a função f(x) = 2 x – 3 calcular: 
(1) f(2) (2) f(-3) 
 (3) f(0) (4) f(x – 2) 
 
Exemplo 03: Sabendo que f(x - 1) = 2 x – 3 calcular: 
(1) f(2) (2) f(-3) 
 (3) f(0) (4) f(x – 2) 
 
Exemplo 04: Dada a função f(x) = a x + b, sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. 
Determinar a função f(x) e calcular f(2). 
 
Exemplo 05: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas 
partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que 
corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. 
(a) Expressar a função que representa seu salário mensal. 
(b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 
10.000,00 em produtos. 
 
10.3.2 - Zeros da função do 1o grau ou função afim. 
 
 Denomina-se zero ou raiz da função y = ax + b o valor de x que anula a 
função. 
 
y = 0  a x + b = 0  a x = - b  x = - b /a 
 
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Exemplos: (1) f(x) = - 3x + 5 
 
 - 3x + 5 = 0  - 3x = - 5  x = 5/3 
 
Exercícios: 
 
1 - Construa o gráfico da função definida por (a) f(x)=x+1 (b) f(x)=-x+1. 
 
2 - A figuras abaixo representam o gráfico de uma função, de R em R, determine a 
 
expressão que a define. 
 
3 – O lucro de uma indústria que vende um único produto é dado pela fórmula L(x) 
=4x – 1000; L expressando o lucro e x, a quantidade de produto vendido. Determine 
a quantidade mínima desse produto que deve ser vendido para que haja lucro. 
 
4 – Para cada uma das funções dadas abaixo, (a) determinar os zeros; (b) fazer o 
gráfico. 
 
42)(.1  xxf 182)(.2  xxf 
5
2
4
3)(.3  xxf 72,024,0)(.4  xxf 
)29(10)(.5 xxxf  6
1
9
42)(.6  xxf 
4
208
6
410)(.7  xxxf 8. ( ) 2( 1) 3( 1) 4( 2)f x x x x     
 
Referências Bibliográficas: 
Silva, Sebastião Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e contabilidade. 5.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
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8 
Viveiro, Tânia Cristina Neto G.. Manual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 
2.ed. São Paulo: Editora Rideel, 1996. 
Giovanni, José Rui; Bonjorno, José Roberto; Giovanni Jr., José Rui, Matemática 
completa: ensino médio – vol. Único, São Paulo : Editora FTD, 2002. 
Lemos, Aluisio Andrade; Higuchi, Fidefico; Fridman, Salomão, Matemática, São 
Paulo: Editora Moderna, 1976. 
Bezerra, Manoel; Jairo, Questões de Matemática, São Paulo: Editora Nacional, 1976. 
Sodré, Ulysses; Matemática para o Ensino Fundamental, Médio e Superior; 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html - Out/2007 
A Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro – Telecurso 2000 - 
www.passei.com.br/tc2000/matematica1 
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