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MATEMÁTICA CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 2 O inteiro teor desta apostila está sujeito à proteção de direitos autorais. Copyright © 2022 Loja do Concurseiro. Todos os direitos reservados. O conteúdo desta apostila não pode ser copiado de forma diferente da referência individual comercial com todos os direitos autorais ou outras notas de propriedade retidas, e depois, não pode ser reproduzido ou de outra forma distribuído. Exceto quando expressamente autorizado, você não deve de outra forma copiar, mostrar, baixar, distribuir, modificar, reproduzir, republicar ou retransmitir qualquer informação, texto e/ou documentos contidos nesta apostila ou qualquer parte desta em qualquer meio eletrônico ou em disco rígido, ou criar qualquer trabalho derivado com base nessas imagens, texto ou documentos, sem o consentimento expresso por escrito da Loja do Concurseiro. Nenhum conteúdo aqui mencionado deve ser interpretado como a concessão de licença ou direito de qualquer patente, direito autoral ou marca comercial da Loja do Concurseiro. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 3 PROGRAMA: MATEMÁTICA: Números Inteiros e Racionais- Operações Fundamentais, Números Inteiros e Racionais - Potenciação e Expressões Numéricas, Conjuntos e Suas Operações, Equações do 1º Grau, Equações do 2º Grau, Noções de Funções, Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Exponencial, Função Logarítmica, Progressão Aritmética, Progressão Geométrica NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS NÚMEROS INTEIROS O conjunto dos números Inteiros, representado pela letra Z (maiúscula), inclui todos os números naturais (inteiros positivos e o zero) e os negativos. Z = {... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...} Operações com números inteiros: 1) Adição (soma) É uma das quatro operações básicas da álgebra. Consiste em combinar dois números (chamados de termos, somandos ou parcelas) em um único número, a soma. Para se adicionar mais números, basta repetir a operação. Em termos mais simples, podemos pensar na operação de adição quando nosso desejo é juntar coisas que estão separadas. Em um colégio, existem 3 turmas. A primeira turma tem 14 alunos, a segunda tem 19 alunos e a terceira tem 15 alunos. Quantos alunos o colégio possui? 1.1) Propriedades Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Assim, se x + y = z, logo y + x = z. Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w. Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x + y = z, logo x + y + 0 = z. Fechamento: A soma de dois números naturais será sempre um número natural. Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Então, 2 + (-2) = 0. 2) Subtração (diferença) A subtração pode ser considerada como o oposto da adição. Pensamos em subtração quando queremos tirar um valor de outro, para saber quanto restará. Ex.: a - b = c Nesta subtração, temos que: a é o minuendo, b é o subtraendo e c é a diferença (ou resto). Um carteiro, de nome Francisco, deve entregar 100 correspondências por dia. Se em determinado dia, até seu almoço, Francisco entregar 63 correspondências, quantas ele deverá entregar após o almoço para atingir sua meta? 2.1) Propriedades Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da subtração. Assim, x - 0 = x, y - 0 = y e x - 0 - y = x - y. Fechamento: A diferença de dois números naturais será sempre um número natural. Anulação: Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0 (zero). Então, 2 - 2 = 0. 3) Multiplicação (produto) Em sua forma mais simples, a multiplicação nada mais é do que uma simples forma de se somar uma quantidade finita de números iguais. Na multiplicação cada número é chamado de fator (multiplicando e multiplicador), e o resultado da multiplicação é chamado de produto. Representação: 3 x 4 = 3 . 4 = 3 * 4 Sabemos que Patrícia treina natação durante 45 horas a cada mês. Quantas horas Patrícia treina durante um ano? MATEMÁTICA CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 4 3.1) Propriedades Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números naturais ainda é um número natural. Associativa: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. Ex.: 3.5.2 =15.2 =30 Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural. Ex.: 8 x 1 = 8 e 1 x 5 = 5 Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 7 x 5 = 35 e 5 x 7 = 35 4) Divisão (quociente) A divisão é a operação aritmética que permite identificar quantas vezes um número, chamado divisor, está contido em outro número chamado dividendo. Representação: 𝟏𝟐 ÷ 𝟒 = 𝟏𝟐: 𝟒 = 𝟏𝟐 𝟒 Quatro agricultores formaram uma pequena cooperativa, conseguindo arrecadar R$ 2.540,00 na colheita de milho. Quanto cada um vai receber? 4.1) Propriedades - Se R = 0, então a divisão é exata. - O maior resto possível numa divisão é uma unidade menor que o divisor. - Se a 0, então a : a = 1, pois 1 a = a. - Temos a : 1 = a, pois a 1 = a. - Se a 0, então 0 : a = 0, pois 0 a = 0. - Se a = 0, então a : 0 é impossível, pois não há nenhum número que multiplicado por 0, reproduz o número a. - É sempre indeterminado o resultado de 0 : 0, pois todo número que é multiplicado por 0 dá resultado 0. NÚMEROS RACIONAIS É o conjunto dos números que podem ser escritos em forma de fração. A letra “Q” que representa o conjunto dos números racionais vem da palavra quociente, isto é, um número racional é o resultado do quociente (divisão) entre dois números inteiros. 𝑸 = {𝒙/𝒙 = 𝒂 𝒃 , 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝒁 𝒆 𝒃 ∈ 𝒁∗} Na divisão entre dois números inteiros, podem ocorrer três resultados: número inteiro, número decimal com casas decimais finitas, ou dízimas periódicas. RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS NUMÉRICOS Tipos de fração a) Própria: quando o numerador é menor que o denominador, a divisão não é exata. Ex.: 𝟏 𝟑 , 𝟒 𝟓 b) Imprópria: quando o numerador é maior que o denominador, a divisão não é exata. Ex.: 𝟖 𝟓 , 𝟏𝟖 𝟒 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 5 c) Aparente: quando o numerador é maior ou igual ao denominador, a divisão é exata. Ex.: 𝟖 𝟒 , 𝟗 𝟗 Operações com números racionais: 1) Adição (soma) a) Denominadores iguais: Ex.: 𝟏 𝟑 + 𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟑 = b) Denominadores diferentes: Ex.: 𝟐 𝟑 + 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟓 = 2) Subtração (diferença) a) Denominadores iguais: Ex.: 𝟒 𝟑 − 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟑 = b) Denominadores diferentes: Ex.: 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟐 = 3) Multiplicação (produto) Ex.: 𝟒 𝟑 × 𝟐 𝟓 × 𝟏 𝟐 = Ex.: 𝟐 𝟑 ∙ 𝟏 𝟒 = 4) Divisão (quociente) Ex.: 𝟐 𝟑 ÷ 𝟓 𝟐 = Ex.: 𝟑 𝟓 𝟏𝟎 = 5) Número misto É a soma de um número inteiro com uma fração própria. Ex.: 𝟏 𝟐 𝟓 = 𝟏 + 𝟐 𝟓 Conversão do número misto em fração: Ex.: 𝟏 𝟐 𝟓 = 𝟓.𝟏+𝟐 𝟓 = 𝟕 𝟓 Ex.: 𝟑 𝟓 𝟐 = NÚMEROS DECIMAIS São numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente após oalgarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. Todos os números decimais finitos ou infinitos e periódicos podem ser escritos na forma de fração, porém, os números decimais irracionais, como o 𝜋 (pi), por exemplo, não podem ser escritos na forma de fração pois são infinitos e não têm período (número irracional). Operações com números decimais 1) Adição (soma) Em seu aniversário de 7 anos, Leonardo recebeu presentes em dinheiro. Seu pai lhe deu R$ 15,50, sua mãe R$ 7,65 e seu irmão R$ 8,28. Qual o valor total recebido por Leonardo? 2) Subtração (diferença) Marta foi à feira e levou R$ 43,50. Durante suas compras, Marta gastou 31,23. Com quanto dinheiro Marta voltou para casa? 3) Multiplicação (produto) João foi ao supermercado e comprou 3,5kg de carne. Na embalagem da carne dizia assim: “Preço = R$ 16,96/kg”. Nesta situação hipotética, quanto ele pagou pela carne? CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 6 4) Divisão (quociente) Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir? Dízima Periódica Ex.: 0,444 ... = 𝟎, �̅� 2,4111 ... = 𝟐, 𝟒�̅� 0,462757575 ... = 𝟎, 𝟒𝟔𝟐𝟕𝟓̅̅̅̅ Elementos de uma dízima periódica Ex.: 4,79555 ... 4 é a parte inteira 79 é a parte não periódica (parte que não repete) 5 é a parte periódica (parte que repete) Conversão de uma dízima periódica em fração (geratriz) a) a quantidade de 9 (nove) no denominador é a quantidade de algarismos no período e a quantidade de 0(zero) no denominador é a quantidade algarismos no não-período. Sempre 9 na frente de 0. b) para o numerador, fazemos a seguinte operação: todo o número sem a vírgula, menos a parte que não é período. Ex.: 𝟒, 𝟑𝟐𝟐𝟐 … = 𝟒, 𝟑�̅� = 𝟒𝟑𝟐−𝟒𝟑 𝟗𝟎 = 𝟑𝟖𝟗 𝟗𝟎 Encontre a fração geratriz da dízima periódica abaixo: 1,23535... EXERCÍCIO 01. Sabendo-se que 123456 x 789 = 97406784, conclui- se que o resultado de 1234,56 x 78,9 é: a) 9740,6784 b) 97406,784 c) 974067,84 d) 9740678,4 e) 974,06784 02. A divisão 654 ÷ 9870 têm o mesmo resultado que: a) 0,654 ÷ 0,987 b) 65,4 ÷ 9,87 c) 65,4 ÷ 98,7 d) 6,54 ÷ 98,7 e) 6,54 ÷ 9,87 03. (ESPP–BANPARÁ/12) Considere a soma representada pelo algoritmo abaixo: Sabendo-se que letras iguais tem valores iguais e letras diferentes tem valores diferentes, podemos dizer que um dos valores da expressão 2A + 3B + C é: a) 15 b) 27 c) 25 d) 26 e) 28 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 7 04. (CESGRANRIO–CASA DA MOEDA/09) Os nadadores estão cada vez mais rápidos. Esse ano, o nadador brasileiro Cesar Cielo completou a prova de 100 metros em 46,91 segundos. Em 2000, esse recorde pertencia ao holandês Pieter Van Den Hoogenband, que completou a mesma prova em 47,84 segundos. Qual é, em segundos, a diferença entre os dois recordes? a) 0,93 b) 0,95 c) 1,05 d) 1,13 e) 1,15 05. (TRT 23ªReg) Em uma estante, a prateleira B é reservada para os livros de literatura brasileira, e a prateleira E para os livros de literatura estrangeira. Sabe- se que: 1. Ambas as prateleiras tem, de inicio, o mesmo número de livros; 2. Retiram-se 25 livros da prateleira B colocando-os na prateleira E; 3. Após a etapa anterior, retiram-se 25 livros, ao acaso da prateleira E colocando-os na prateleira B. Após a etapa 3, é correto afirmar que o número de livros de literatura brasileira em: a) B é o dobro que em E. b) B é menor que em E. c) B é igual ao de E. d) E é igual ao de literatura estrangeira em B. e) E é a terça parte que em B. 06. Do total de processos arquivados por um assistente administrativo, sabe-se que: 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e 1/4 numa segunda etapa. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era: a) 18 b) 24 c) 27 d) 30 e) 36 07. (CESGRANRIO/05) Em uma empresa, 1/3 do total de funcionários é do setor de serviços gerais e os outros 36 trabalham no Departamento de Pessoal. Quantos são os funcionários dessa empresa? a) 44 b) 52 c) 54 d) 56 e) 108 08. (CESGRANRIO/05) Um restaurante popular oferece dois tipos de refeição: a comum e a especial. Certo dia, foram servidas 35 refeições comuns e 14 especiais, e o restaurante arrecadou R$ 238,00. Se a refeição comum custa R$ 4,00, qual o preço, em reais, da especial? a) 7,00 b) 8,00 c) 9,00 d) 10,00 e) 11,00 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 8 09. Manoel, que é pai de Antônio, João e Paulo, repartiu certa quantia de dinheiro entre esses três filhos. Antônio recebeu 1/3 dessa quantia, João recebeu 3/5, e Paulo recebeu o restante, que correspondia a R$ 2.000,00. Com base nessas informações, assinale a opção correta. a) Antônio recebeu a maior quantia. b) A quantia repartida por Manoel é inferior a R$ 20.000,00. c) João e Paulo receberam juntos, o dobro da quantia recebida por Antônio. d) João recebeu menos de R$ 15.000,00. e) A quantia recebida por Paulo foi equivalente a 1/6 do total repartido por seu pai. 10. Verificou-se que, em uma escola fundamental, 2/5 dos alunos são do sexo feminino. Entre os alunos do sexo masculino, 3/7 são mais novos que 12 anos. Os representantes do sexo masculino, com 12 anos ou mais, são em número de 144 alunos. Calcule o número total de alunos dessa escola. a) 275 b) 420 c) 588 d) 630 e) 700 11. (FCC) Marinalva foi às compras de Natal, na 1ª loja ela gastou 1/3 do que tinha, na 2ª loja, ela gastou 3/5 do restante, ficando ainda com R$ 400,00. Quanto Marinalva possuía inicialmente? a) R$ 1500,00 b) R$ 3000,00 c) R$ 3500,00 d) R$ 4500,00 e) R$ 6000,00 12. (CESGRANRIO – BNDES 2013 – Téc. Adm.) Mauro precisava resolver alguns exercícios de Matemática. Ele resolveu 1/5 dos exercícios no primeiro dia. No segundo dia, resolveu 2/3 dos exercícios restantes e, no terceiro dia, os 12 últimos exercícios. Ao todo, quantos exercícios Mauro resolveu? a) 30 b) 40 c) 45 d) 75 e) 90 13. (CESGRANRIO – BNDES 2013 – Téc. Adm.) Gilberto levava no bolso três moedas de R$ 0,50, cinco de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,25. Gilberto retirou do bolso oito dessas moedas, dando quatro para cada filho. A diferença entre as quantias recebidas pelos dois filhos de Gilberto é de, no máximo: a) R$ 0,45 b) R$ 0,90 c) R$ 1,10 d) R$ 1,15 e) R$ 1,35 14.(FGV) Ordenando os números racionais p = 13/24, q = 2/3 e r = 5/8, obtemos: a) p < r < q b) q < p < r c) r < p < q d) q < r < p CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 9 15. (FCC–Metrô/SP) Uma pessoa iniciou sua jornada de trabalho quando eram decorridos 11/32 do dia e trabalhou por um período equivalente a 1/20 de uma semana. Assim sendo, nesse dia sua jornada de trabalho foi encerrada às: a) 16 horas e 26 minutos. b) 16 horas e 39 minutos. c) 16 horas e 42 minutos. d) 17 horas e 28 minutos. e) 17 horas e 36 minutos. 16. (FGV – SP) Simplificando a fração obteremos: a) 51/73 b) 47/69 c) 49/71 d) 45/67 e) 53/75 17. (CEFET) Uma família composta por 5 pessoas adquiriu um plano de saúde cujos valores cobrados por pessoa estão indicados na tabela abaixo e variam conforme a faixa etária: Sabendo que as idades do pai, da mãe e dos 3 filhos são, respectivamente, 43; 40; 20; 18 e 9 anos, podemos afirmar que o valor a ser pago é de: a) R$ 243,07 b) R$ 229,11 c) R$ 214,80d) RS 204,64 e) R$ 165,36 18. (CEFET) Um tanque contém água até os seus 2/3 colocando-se mais 36 litros de água, ele ficará com 3/4 de sua capacidade. A capacidade do tanque é de: a) 46 L b) 54 L c) 100 L d) 360 L e) 432 L CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 10 19. (CEFET) José recebeu seu salário no valor de R$ 3.000,00. Gastou 1/8 em alimentação, 2/5 na reforma de sua casa, 1/3 em presentes de natal e 1/4 na reforma de seu carro. Então José está com: a) saldo de R$ 675,00 b) débito de R$ 500,00 c) saldo de R$ 843,50 d) débito de R$ 325,00 e) saldo de R$ 25,50 20. (CESGRANRIO – BB/14) Durante 185 dias úteis, 5 funcionários de uma agência bancária participaram de um rodízio. Nesse rodízio, a cada dia, exatamente 4 dos 5 funcionários foram designados para trabalhar no setor X, e cada um dos 5 funcionários trabalhou no setor X o mesmo número N de dias úteis. O resto de N na divisão por 5 é a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2 GABARITO 01. B 11. A 02. D 12. C 03. E 13. E 04. A 14. A 05. D 15. B 06. B 16. A 07. C 17.D 08. A 18. E 09. C 19. D 10. B 20. B NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS – POTENCIAÇÃO E EXPRESSÕES NUMÉRICAS POTENCIAÇÃO É uma forma de expressar várias multiplicações de números iguais. 23 = 2 × 2 × 2 = 8 Chamamos o número de baixo de base e o de cima de expoente. O expoente representa quantas vezes a base é multiplicada por ela mesma. 𝑎0 = 1 (−𝑎)𝑛 é positivo, se n é par. 𝑎1 = 𝑎 1𝑛 = 1 (−𝑎)𝑛 é negativo, se n é ímpar. 0𝑛 = 0 Propriedades da Potenciação Calcule o valor das expressões: a) (22)3 = b) 25 × 2−3 × 22 = c) 22 . 32. 102 = d) 32 3−2 = CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 11 RADICAIS Forma: √𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚 𝑛⁄ ⇒ √3 = 3 1 2⁄ Regra dos sinais a) A raiz de índice ímpar de um número positivo resulta um número também positivo. b) A raiz de índice ímpar de um número negativo resulta um número também negativo. c) A raiz de índice par de um número positivo resulta um número também positivo. d) A raiz de índice par de um número negativo não admite valor real. Propriedades dos radicais a) ( √𝑎 𝑛 )𝑛 = ( √𝑎𝑛 𝑛 ) = 𝑎 b) √𝑎 𝑛 . √𝑏 𝑛 = √𝑎 . 𝑏 𝑛 c) √𝑎 𝑛 ∶ √𝑏 𝑛 = √𝑎: 𝑏 𝑛 d) √ √𝑎 𝑛𝑚 = √𝑎 𝑚.𝑛 Exemplos: a) √49 = b) √144 = c) (√5 4 )8 = d) √2 3 . √4 3 = OPERAÇÕES COM RADICAIS RADICAIS SEMELHANTES São os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando Exs.: 7√5 e −2√5; 5√2 3 e 4√2 3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: √16 + √9 = √49 + √100 = 5√2 + 3√2 = 6√5 3 − 2√5 3 = 2√7 − 6√7 + √7 = MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: √5 × √7 = 4√2 × 5√3 = 15√6 ∶ 3√2 = √2 3 × √5 = √7 5 ∶ √3 = RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma fração, significa obter-se uma fração equivalente à anterior, com denominador racional. a) Quando tem um radical de índice 2 no denominador. Ex.: 4 3√5 b) Quando tem um radical de índice maior que 2 no denominador. Ex.: 3 7 √23 5 c) Quando o denominador tem soma ou diferença, e uma das parcelas é raiz quadrada. Ex.: 3 √11+3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Ex.: 10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 15] Temos a seguir a ordem de resolução: a) Símbolos a.1) Parênteses ( ) a.2) Colchetes [ ] a.3) Chaves { } b) Operações fundamentais b.1) Potências e radicais; b.2) Multiplicação e divisão; (devemos fazer na ordem em que se apresentarem) b.3) Adição e subtração. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 12 JOGO DE SINAL a) Adição e Subtração Sinais iguais: soma-se e conserva o sinal. Sinais diferentes: subtrai e coloca o sinal do maior no resultado. Exs.: 4 + 4 = 8; - 5 - 5 = - 10; 5 – 3 = 2; - 5 + 3 = - 2 b) Multiplicação e divisão Sinais iguais: resultado positivo. Sinais diferentes: resultado negativo. Exs.: 4 . 3 = 12; (- 4).(-3) = 12; 4 . (-3) = - 12; (-4) . 3 = - 12 10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 15] EXERCÍCIO 01. (CORREIOS/08) O resultado da expressão (1 + 0,5) x 3 é: a) 0,45 b) 1,8 c) 3,5 d) 4,5 02. (ADVISE/11) O resultado da sentença encontrada abaixo se encontra na alternativa: 5 + 65/5 - 2 x 13 x 1 + 3 a) -1 b) -2 c) -5 d) 5 e) 2 03. (FCC-TRT2-14) No dia 21 de dezembro de 2013, o Atlético Mineiro venceu a equipe chinesa do Guangzhou pelo placar de 3 a 2, conquistando a terceira colocação do Campeonato Mundial de Clubes. O resumo dos gols marcados na partida é dado a seguir. Considerando que o primeiro tempo durou 46 minutos e que o segundo tempo durou 48 minutos, o total de minutos em que essa partida esteve empatada é igual a a) 55. b) 53. c) 54. d) 52. e) 56. 04. (CEFET) Se 𝑀 = (−3)4. ( 1 3 ) 2 + ( −1 3 ) 3 ÷ ( 1 9 ) , o valor de M é igual a: a) 3/8 b) 10/3 c) 26/3 d) 38/3 e) 28/3 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 13 05. (CEFET) O valor de √14 + √32 + √25 − √81 é: a) √17 b) 4√5 c) 3√5 d) 2√5 e) √5 06. (CEFET) O valor de √23 + √√4. √16 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. (CEFET) O valor de m = 2,3444…+(−2)1 √6,4 .10 −1 2⁄ é: a) 31√10 72 b) 31/72 c) 213/72 d) 213√10 72 e) 31√2 4 08. (FCC/11) O valor da expressão 𝐴2−𝐵3 𝐴𝐵+𝐵𝐴 ,para A = 2 e B = -1, é um número compreendido entre a) -2 e 1. b) 1 e 4. c) 4 e 7. d) 7 e 9. e) 9 e 10. 09. (UFSM) O valor da expressão ( 3 2 )−1 ÷ ( 2 3 ) 1 2 é: a) √6 3 b) ( 6 3 )2 c) √2 d) 2√3 3 e) 2 10. (CESGRANRIO-BB/14) Uma empresa gera números que são chamados de protocolos de atendimento a clientes. Cada protocolo é formado por uma sequência de sete algarismos, sendo o último, que aparece separado dos seis primeiros por um hífen, chamado de dígito controlador. Se a sequência dos seis primeiros algarismos forma o número n, então o dígito controlador é o algarismo das unidades de n3 – n2. Assim, no protocolo 897687-d, o valor do dígito controlador d é o algarismo das unidades do número natural que é resultado da expressão 8976873 – 8976872, ou seja, d é igual a a) 0 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2 GABARITO 01. D 06. E 02. C 07. B 03. A 08. B 04. C 09. A 05. D 10. C CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 14 CONJUNTO E SUAS OPERAÇÕES CONJUNTOS Conjunto: é uma reunião de elementos. Elemento: é cada um dos integrantes do conjunto Relação de pertinência É a relação que se estabelece entre elemento e conjunto. Ex.: P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...} 𝟖 ∈ 𝑷 𝟓 ∉ 𝑷 Representação de um conjunto: a) Elementos entre chaves e separados por vírgulas: 𝐴 = {2,3,5,7,11,13,17, … } b) Característica comum: 𝐴 = {𝑥/𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} O conjunto A é formado pelo elemento x, tal que a característica comum a todo x é ser primo. c) Diagrama de Venn: 5 3 7 9 1 Conjunto vazio Não possui elemento algum. É representado por { } ou por . O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto, inclusive dele mesmo. Subconjunto. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Notação: A ⊂ B (A está contido em B). Ex.: Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A ⊂ B. Operações com conjuntos Sejam A={1,2,3} e B={2,3,4} União: A ∪ B = {1,2,3,4} Interseção: A ∩ B = {2,3} Diferença: A – B = {1} ; B – A = {4} Conjunto das Partes: 2n P(A) = { { }, {1}, {2}, {3}, {1,2},{1,3}, {2,3}, {1,2,3}} União Interseção Ex.: Sejam A={5,6,7} e B={1,5,7,9} União: A ∪ B = Interseção: A ∩ B = Diferença: A – B = B – A = Conjunto das Partes: P(A) = CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 15 EXERCÍCIO 01. Se A, B e A B são conjuntos com 120, 55 e 27 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A B é: a) 28 b) 148 c) 175 d) 202 02. (FEI/06) Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,12,14}; B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e ∅ o conjunto vazio. É correto afirmar que: a) B∩C = ∅ b) A - C = {-6,1, 2, 4, 5} c) A∩C = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 } d) (A - C) ∩ (B - C) = ∅ e) A∪C = {3, 6,11, 20, 34 } 03. (CETAP) Sabendo que o conjunto A = {0, 2, 3, 4, 5, 6} e que o conjunto B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, analise os itens e marque a alternativa CORRETA: I) O conjunto A possui dois números primos; II) A U B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; III) Todos os elementos do conjunto A são números naturais; IV) Todos os elementos do conjunto B são números reais; V) A-B = {-3, -2, -1}; a) Todos são verdadeiros. b) O item IV está errado. c) O item I está correto. d) Os itens II, III e IV estão corretos. e) Todos os itens estão errados. 04. (NCE) Uma pesquisa referente a dois telejornais A e B, envolvendo 100 pessoas, revelou que: a) 82 gostam de b) 76 gostam de B c) 4 não gostam de A, nem de B. O número de pessoas que gostam de ambos telejornais é: a) 56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 64 05. (CETAP) 120 (cento e vinte) alunos de um “Curso Preparatório para Concursos” prestaram exame para 02 (dois) Municípios (A e B). Sabendo que todos os alunos foram aprovados e que, 80 (oitenta) passaram no concurso A e 70 (setenta) passaram no concurso B, quantos alunos passaram nos 02 (dois) concursos? a) 40 b) 60 c) 30 d) 45 e) 80 06. (UNAMA) Durante uma sessão da Câmara Municipal, uma pesquisa foi realizada num grupo de pessoas da plateia com relação à preferência dos temas que seriam debatidos. Das pessoas entrevistadas, 40 preferem assistir a debates sobre Educação; 25 preferem assistir a debates sobre Cultura e 13 preferem assistir a debates sobre Educação e Cultura. Sabendo-se que 5 pessoas preferem assistir a debates sobre outros temas, o número de pessoas consultadas durante está seção foi: a) 83 b) 78 c) 70 d) 5 07. (Mack-SP) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 16 08. (UFPA-07) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 09. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos desta turma é a) 49 b) 50 c) 47 d) 45 e) 46 (CESPE-TCE-RO/13) A respeito das auditorias realizadas pelos auditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, concluiu-se que: A1 realizou 70 auditorias; A3 realizou 75 auditorias; A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias; A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias; A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias; Das auditorias que não foram realizadas por A1, somente 18 foram realizadas por A2; A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 10. Mais de 100 auditorias foram realizadas. 11. 20 auditorias foram realizadas apenas por A1. 12. 5 auditorias foram realizadas apenas por A3. 13. 23 auditorias não foram realizadas por A1. 14. (FGV – SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A: 48% B: 45% C: 50% A e B: 18% B e C: 25% A e C: 15% Nenhuma das três: 5% Qual a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas? GABARITO 01. B 06. D 11.ERRADO 02. D 07. C 12.CERTO 03. D 08. B 13.CERTO 04. D 09. B 14. 10% 05. C 10.ERRADO www.lojadoconcurseiro.com.br CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 17 EQUAÇÕES DO 1º GRAU EQUAÇÃO Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Forma: ax + b = 0 (com a 0) Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 7a - b - c = 0 4x + y = 10 1º membro 2º membro Resolução Isola-se a variável em um dos membros da equação, passando todos os outros números e/ou letras que estão na equação para o outro membro. Devemos considerar: - Nas equações fracionárias, reduzimos ao mesmo denominador todos os termos e eliminamos, em seguida, o denominador. - Quando o coeficiente da variável for negativo, devemos multiplicar todos os termos da equação por –1. - Podemos dividir ou multiplicar todos os termos de uma igualdade, por um mesmo número, sem que ela se altere. RAIZ A raiz de uma equação é qualquer valor de x que satisfaça a equação. Resolver uma equação significa encontrar a raiz, isto é, o valor de x. As equações do 1º grau têm sempre uma única raiz real. Ex.: 5x + 10 = 0 Ex.: –20 – 2x = 0 TIPOS Equações Equivalentes São aquelas que tem as mesmas raízes. Equação Impossível É a equação que não admite nenhuma solução. Ex.: 2x + 1 = x − 3 + x Equação Determinada É a equação que admite uma única solução Ex.: 2x + 1 = 5 Equação Indeterminada É a equação que admite infinitas soluções. Ex.: 2x – 1 = x – 1 + x EXERCÍCIO 01. Os três quintos de um número aumentados de doze são iguais aos cinco sétimos desse número. Qual é esse número? 02. O dobro de um número, menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número? CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 18 03. Achar um número, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 é 124. 04. (PMMC0902/02-AuxApoioAdm-tarde/2009) O pai de Andréa gosta muito de Matemática e montou um probleminha para expressar a idade de sua filha. “O dobro da diferença entre a idade de Andréa e cinco, mais a mesma idade, é igual a 11”. Portanto, a idade de Andréa é a) 3 anos. b) 5 anos. c) 6 anos. d) 7 anos. e) 8 anos. 05. (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre: a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. 06. (MSCONCURSOS) Na equação 𝑥 4 + 2𝑥 5 − 𝑥 3 = 19 , o valor de x é: a) 114 b) 32 c) 60 d) 57 07. (CESGRANRIO) DonaJoana vende potes de geléia por R$ 3,30. Desse valor, R$ 1,80 correspondem ao que ela gasta e o restante, ao lucro de Dona Joana. Para ter R$ 18,00 de lucro, quantos potes de geléia Dona Joana precisa vender? a) 5 b) 7 c) 10 d) 12 e) 15 08. Sílvio tinha R$86,00 no bolso e sua irmã Regina tinha R$28,00. Sílvio então deu certa quantia para Regina para que ficassem com quantias iguais. Que quantia Sílvio deu para Regina? a) R$29,00; b) R$32,00; c) R$46,00; d) R$57,00; e) R$58,00. 09. (FGV/13) Fernando comprou uma luminária com a lâmpada incluída por R$ 62,00. A luminária sem a lâmpada custa R$ 46,00 a mais do que o preço da lâmpada. O preço da lâmpada é a) R$ 4,00 b) R$ 6,00 c) R$ 8,00 d) R$ 12,00 e) R$ 16,00 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 19 10. (FGV/14) Ângela e Mário trabalham em um posto de coleta de sangue. Em um determinado dia, Ângela e Mário fizeram um total de 57 coletas de sangue. Ângela fez três coletas de sangue a mais do que Mário. O número de coletas de sangue feitas por Mário é a) par b) múltiplo de 6 c) divisível por 5 d) uma potência de 3. e) maior do que 28 GABARITO 01. 105 06. C 02. 40 07. D 03. 120 08. A 04. D 09. C 05. C 10. D www.lojadoconcurseiro.com.br EQUAÇÕES DO 2º GRAU Forma: ax2 + bx + c = 0 (com a 0) Exemplos: x2 + 2x + 5 = 0 a = 1; b = 2; c = 5 - 3x2 + 4x - 20 = 0 a = - 3; b = 4; c = - 20 5x2 - 8x + 12 = 0 a = 5; b = - 8; c = 12 Tipos de equações do 2º grau: - Completa: é aquela que estão presentes todos os termos da equação. ax2 + bx + c = 0 - Incompleta: é aquela que falta algum termo da equação. ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0; ax2 = 0 Resolução: - Incompletas: ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 ax2 = 0 2x2 – 6x = 0 2x2 – 18 = 0 2x2 = 0 Resolução: - Completas: ax2 + bx + c = 0 x = −b±√∆ 2a ∆= √b2 − 4ac ∆ > 0 ⇒ 2 raízes reais e diferentes ∆ = 0 ⇒ 2 raízes reais e iguais ∆ < 0 ⇒ Não existe raiz real Ex.: Achar as raízes da equação X2 – 5x + 6 = 0 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 20 SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES: É possível também calcular as raízes de uma equação do 2º grau sem usar a fórmula descrita. Através da comparação entre o produto e a soma das raízes. S = −b a P = 𝑐 𝑎 Ex.: Achar as raízes da equação X2 – 5x + 6 = 0 EXERCÍCIO 01. (DETRAN-PA/08) Os valores do parâmetro p, para os quais a equação x2 + x + (p2 –7p) = 0 tem uma raiz nula, são: a) 2 e 5 b) –5 e –2 c) 3 e 4 d) 0 e 7 e) –7 e 3 02. Para que a equação −10x2 − 5x + c = 0 tenha raízes reais e iguais, c deve ser igual a: a) 5/8 b) –5/8 c) 8/5 d) –8/5 e) 3/5 03. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário, em reais, de cada produto? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 04. (CEFET) O perímetro de um retângulo é 20 m e sua área é 24 m2. Dessa forma podemos afirmar que as dimensões desse retângulo são: a) 2 m e 12 m b) 3 m e 17 m c) 3m e 8 m d) 3 m e 5 m e) 4 m e 6 m 05. (UEPA) Um grupo de alunos da Uniterci (Universidade da Terceira Idade), programou uma viagem que custaria no total R$ 900,00 a ser rateado igualmente entre os participantes. Algumas semanas antes da partida, duas pessoas se juntaram ao grupo, e cada participante pagou R$ 75,00 a menos. O número de pessoas que inicialmente faria a viagem era: a) 9 b) 4 c) 13 d) 7 e) 15 06. (CEFET) A despesa mensal de um condomínio é de R$ 14.400,00. Esse valor é rateado entre os condôminos. Certo mês, 5 condôminos não conseguiram pagar o valor do seu condomínio obrigando o síndico a cobrar dos outros moradores um adicional de R$ 12,00. Neste caso, o número de condôminos desse prédio é: a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 70 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 21 07. (ADVISE–SESC/SE/10) O conjunto solução da equação 𝑥+1 𝑥 − 5 𝑥−2 = 2 é: a) {-2} b) {8} c) ∅ d) {3,2} e) {1} 08. (CONSULPLAN–CBTU/14) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a a) 196. b) 225. c) 256. d) 289. 09. (FUNCAB–PM/AC/12) Determine o produto das raízes da equação x² – 3x + 36 = 2x – x² – 14. A) 2,5 B) 10 C) 25 D) 100 E) 50 10. (Guarda Civil/SP) A soma entre dois números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor número é: a) 7. b) 23. c) 61. d) 17. e) 49. GABARITO 01. D 06. C 02. B 07. C 03. B 08. C 04. E 09. C 05. B 10. A NOÇÕES DE FUNÇÕES DEFINIÇÕES PRELIMINARES Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado A x B (lê-se: A cartesiano B), é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a; b), onde a ∈ A e b ∈ B, isto é A x B = {(a; b) / ∀ a ∈ A; ∀ b ∈ B} Ex.: Dados os conjuntos A = {1; 3; 5} e B = {2; 3}, temos A x B = {(1; 2); (1; 3); (3; 2); (3; 3); (5; 2); (5; 3)} B x A = {(2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5)} A x A = A2 = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (5; 1); (5; 3); (5; 5)} B x B = B2 = {(2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3)} RELAÇÃO Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B, denotada R : A → B (lê-se: R de A em B), é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Ex.: Dados os conjuntos A = {1; 3; 5; 7} e B = {3; 9; 15; 20}, a relação R : A → B, tal que R = {(a; b) / b = 3a} R = {(1; 3); (3; 9); (5; 15)} ou Diagrama de Venn CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 22 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO: O domínio de uma relação R, denotado D(R), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado da relação. Do exemplo anterior, temos: D(R) = {1; 3; 5} A imagem de uma relação R, denotada I(R), é o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação. Do exemplo anterior, temos: I(R) = {3; 9; 15} FUNÇÃO Dados os conjuntos A e B, uma função f de A em B, denotada f : A → B (lê-se: f de A em B), é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B. Chamamos o conjunto A de domínio de f e o conjunto B de contradomínio. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Em uma função f : A → B o domínio é o conjunto A e o contradomínio é o conjunto B. A imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos estão associados a algum elemento do domínio. Genericamente denotamos os pares ordenados de f por (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B, e escrevemos y = f(x) (lê-se f de x é igual a y). Dizemos que y é a imagem de x sob a função f. Dizemos também que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Ex: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4} e B = {4; 5; 6; 7}, a relação mostrada na figura a seguir define uma função f : A → B. - Domínio: D(f) = {1; 2; 3; 4} - Contradomínio: CD(f) = {4; 5; 6; 7} - Imagem: I(f) = {4; 5; 7} - f(1) = 4; f(2) = 7; f(3) = 5; f(4) = 7 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO A análise de gráficos é importante para responder questões de diferentes disciplinas. Para facilitar a interpretação dos gráficos, estudaremos algumas possibilidades de formato. Os gráficos podem ser de muitos tipos. Os mais comuns são os de Segmentos (Linhas), Coluna, Barra e Setores (Pizza). GRÁFICOS EM SEGMENTOS (LINHAS)O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em sequência para que o comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 23 GRÁFICOS EM COLUNAS Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções. Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-se na posição horizontal. GRÁFICOS EM BARRAS Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na posição horizontal e as informações e divisões na posição vertical. GRÁFICOS EM SETORES (PIZZA) Indicado para expressar uma relação de proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da realidade. EXERCÍCIOS 01. (ENEM/11) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de a) 1998 e 2001. b) 2001 e 2003. c) 2003 e 2006. d) 2003 e 2007. e) 2003 e 2008. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 24 02. (ENEM/12) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em : a) 1995 b) 1998 c) 2000 d) 2005 e) 2007 03. (ENEM/06) Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 2005. Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve em cada mês, crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em a) janeiro, fevereiro e outubro. b) fevereiro, março e junho. c) março, maio e agosto. d) abril, agosto e novembro. e) julho, setembro e dezembro. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 25 04. (ENEM/10) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200. 05. (UNICAMP/13) A figura abaixo mostra a precipitação pluviométrica em milímetros por dia (mm/dia) durante o último verão em Campinas. Se a precipitação ultrapassar 30 mm/dia, há um determinado risco de alagamentos na região. De acordo com o gráfico, quantos dias Campinas teve este risco de alagamento? a) 2 dias. b) 4 dias. c) 6 dias. d) 10 dias. GABARITO 01. C 02. E 03. D 04. C 05. B FUNÇÃO DO 1º GRAU Denominamos de função do 1º grau ou função afim, a uma função ƒ: R→ R quando existem dois números reais a e b tal que: ƒ(x) = ax + b ou y = ax + b Condição de existência (C.E): a 0 Exemplos: f(x) = 2x + 8 f(x) = 4 - 5x y = 6x + 8 Qual o valor de k para que a função f(x) = (2k-10)x + 8 seja do 1º grau? ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau ao valor de x que anula a função, ou seja, torna a função ƒ(x) = 0. f(x) = 0 ax + b = 0 x = −𝑏 𝑎 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 ( −𝑏 𝑎 , 0) Ex.: Encontrar a raiz da função f(x) = x – 6 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 26 GRÁFICO - O gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma reta que encontra o eixo vertical quando y = b. - O valor da constante b na expressão ax + b, é chamado de coeficiente linear. - O coeficiente a na expressão ax + b, é chamado de coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá. - Se a > 0 a função será crescente. - Se a < 0 a função será decrescente. OBS.: O domínio e a imagem da função é o conjunto dos reais. Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x - 5 EXERCÍCIOS 01. (NCE/09) Na fabricação de certa peça, há um custo fixo de R$ 50,00 para inicializar as máquinas que produzem estas peças mais um custo de R$ 2,00 por cada peça. Antônio investiu na fabricação de 200 destas peças e as venderá por R$ 10,00 cada uma. A expressão que indica o lucro de Antônio na venda de x peças é: a) 8x; b) 8x - 400; c) 10x; d) 10x - 50; e) 10x - 450. 02. (FUNCAB-PM/ES/13) O Batalhão de Polícia Militar Ambiental da PMES contava com um efetivo de 30 policiais em 1987. Em 2012, contava com um efetivo de 180 policiais. Supondo linear a taxa de crescimento do efetivo de policiais no Batalhão de Polícia Militar Ambiental nos últimos 25 anos, e que a mesma taxa de crescimento permanecerá constante nos próximos cinco anos, o número total de policiais no Batalhão de Polícia Militar Ambiental, ao final desses cinco anos, será de: a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240 03. (FCC/TRT4/11) Curiosamente, após uma madrugada chuvosa, observou-se que no período das 9 às 18 horas a variação da temperatura em uma cidade decresceu linearmente. Se, nesse dia, às 9 horas os termômetros marcavam 32º C e, às 18 horas, 20o C, então às 12 horas a temperatura era de a) 25º C. b) 26,5º C. c) 27º C. d) 27,5º C. e) 28º C. 04. (CESGRANRIO-TERMOBAHIA/12) O número de telefones fixos no Brasil continua em crescimento. De acordo com dados que a Anatel divulgará nos próximos dias, de 2010 para 2011, esse total passou de 42,1 milhões para 43 milhões de linhas. Supondo que o aumento observado de 2010 para 2011 seja linear e que assim se mantenha nos próximos anos, quantos milhões de telefones fixos haverá, no Brasil, em 2013? a) 43,9 b) 44,1 c) 44,8 d) 45,2 e) 46,0 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 27 05. (FCC/TRT19/11) Uma máquina copiadora foi comprada por uma empresa por R$ 6.800,00. O seu preço decresceu linearmente com o passar do tempo, sendo que após 4 anos o valor comercial dessa máquina era R$ 5.200,00. Baseando-se nessas informações, a) em 10 anos esta máquina valerá mais que R$ 3.200,00. b) após 7 anos serão necessários R$ 3.500,00 para comprar essa máquina. c) em 8 anos o seu valor cairá para menos que um terço do valor de compra. d) após9 anos o valor comercial desta máquina será igual à metade do valor de compra. e) após 17 anos essa máquina não terá mais valor comercial de mercado. 06. (CESIEP–PM/SC/11) Duas empresas A e B têm ônibus com 50 assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú, as duas empresas adotam os seguintes critérios de pagamento: A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $400,00. A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $250,00. Pergunta-se: Qual é o número mínimo de excursionistas para que o contrato com a empresa A fique mais barato do que o contrato da empresa B? a) 37 b) 38 c) 35 d) 40 07. (ENEM-11) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro o segundo e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y = 4 300x b) y = 884 905x c) y = 872 005 + 4 300x d) y = 876 305 + 4 300x e) y = 880 605 + 4 300x 08. (CESGRANRIO) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C. a) 1 min b) 1 min 5 s c) 1 min e 10 s d) 1 min e 15 s e) 1 min e 20 s CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 28 09. (UEPA-PM/PA/12) O gráfico abaixo representa a função de sobrevivência do ser humano. Sabendo-se que x representa uma idade da vida das pessoas e S(x) a probabilidade de sobrevivência das pessoas. O modelo matemático que melhor representa esse gráfico é: a) S(x) = –2x + 3 b) S(x) = − x + 2 110 c) S(x) = − 3x + 2 110 d) S(x) = − x + 1 110 e) S(x) = − 3x + 3 110 (CESPE-PC/DF/13) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue os itens a seguir. 10. Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das ligações do empregado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá de mais de um terço do limite estabelecido pela empresa. 11. Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações for de 20 h, o empregado não pagará excedente. 12. Se, ao final da missão, o empregado pagar R$ 70,00 pelas ligações excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma hora por dia. 13. (CONSULPLAN/10) Sejam as funções y = mx + n e y = px + q, cujos gráficos estão representados a seguir: Com base nos gráficos, marque a alternativa correta: a) n m = 3 ; q p = −4 b) n m = 2 ; q p = 4 c) n m = −3 ; q p =2 d) n m = 2 ; q p = −3 e) n m = 4 ; q p =3 GABARITO 01. E 06. B 11. CERTO 02. B 07. A 12. CERTO 03. E 08. D 13. A 04. C 09. D 05. E 10. ERRADO CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 29 FUNÇÃO DO 2º GRAU Denominamos de função do 2º grau ou função quadrática, a uma função ƒ: R→ R quando existem números reais a, b e c tais que: f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c Condição de existência (C.E): a 0 Exemplos: f(x) = x2 + 2x + 5 = 0 y = - 3x2 + 4x - 20 = 0 Qual o valor de k para que a função f(x) = (2k-10)x2 + 8x – 3 seja do 2º grau? ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU Denomina-se zero ou raiz da função do 2º grau ao valor de x que anula a função, ou seja, torna a função ƒ(x) = 0. ax2 + bx + c = 0 x = −b±√∆ 2a ∆= √b2 − 4ac GRÁFICO - O gráfico de uma função do 2º grau será sempre uma parábola que encontra o eixo vertical (ordenadas) quando y = c. - Se a 0 a parábola terá sua concavidade voltada para cima. - Se a 0 parábola terá sua concavidade voltada para baixo. - Os pontos em que a parábola intersecta o eixo horizontal (abscissas) são os zeros ou raízes da função: Δ 0: a parábola corta em dois pontos. Δ = 0: a parábola toca em um único ponto. Δ < 0: a parábola não toca o eixo das abscissas. ESTUDO DO VÉRTICE A parábola que representa o gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são V (xv , yv), onde: xv = −b 2a ou xv = x´ + x´´ 2 yv = −∆ 4a Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 5x + 6 = 0 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 30 EXERCÍCIOS 01. (UFPA) O beijo, é a menor distância entre dois apaixonados. Um beijo bem dado pode fazer você viajar sem sair do lugar e aumentar o seu batimento cardíaco. Se considerarmos que a relação intensidade do beijo (i) e batimento cardíaco (B) pode ser representada pela função B(i) = −i2 + 16i + 90, o batimento cardíaco máximo atingido será: a) 90 b) 136 c) 154 d) 106 e) 144 02. (CESGRANRIO-TRANSPETRO/12) A raiz da função f(x) = 2x - 8 é também raiz da função quadrática g(x) = ax2 + bx + c. Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto V(-1, -25), a soma a + b + c é igual a a) - 25 b) - 24 c) - 23 d) - 22 e) - 21 03. (FCC–SEE/SP/11) O arco de parábola representado pela função h(t) = − 4 9 t2 + 4 3 t, onde h representa a altura em metros e t o tempo em segundos, descreve a trajetória de um grilo ao saltar. Assim, podemos concluir que a altura máxima atingida pelo grilo, em metros, é a) 0,50. b) 0,75. c) 1,00. d) 1,25. e) 1,50. 04. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 05. (PUC – MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 – x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: a) 7 peças b) 10 peças c) 14 peças d) 50 peças e) 100 peças CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 31 06. (FCC-CEF) Seja f a função do 2o grau representada no gráfico abaixo. Essa função é dada por a) f(x) = - ¼ x2 + x b) f(x) = - x2 + 4x c) f(x) = x2 + 4x d) f(x) = ¼ x2 - x e) f(x) = - ½ x2 - 2x 07. (UERN) Seja uma função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfico está representado a seguir. A soma dos coeficientes dessa função é a) – 2. b) – 3. c) – 4. d) – 6. 08. (FCC-TRE/CE/02) Uma empresa de prestação de serviços usa a expressão p(x) = - X² + 80 x + 5, em que 0 < x < 80, para calcular o preço, em reais, a ser cobrado pela manutenção de x aparelhos em um mesmo local. Nessas condições, a quantia máxima cobrada por essa empresa é a) R$ 815,00. b) R$ 905,00. c) R$ 1.215,00. d) R$ 1.605,00.e) R$ 1.825,00. 09. (CFTMG) A função real representada pelo gráfico é definida por a) f(x) = 2x2 – x – 1 b) f(x) = 2x2 + 3x – 1 c) f(x) = x2 – 3x + 1 d) f(x) = 2x2 – 3x + 1 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 32 10. (ENEM) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = -x2 + 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a a) 4. b) 6. c) 9. d) 10. e) 14. GABARITO 01. C 06. D 02. E 07. C 03. C 08. D 04. C 09. D 05. A 10. B www.lojadoconcurseiro.com.br FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a, tal que 1 a > 0, a função ƒ: IR → IR, definida por ƒ(x) = ax, é chamada função exponencial de base a: ƒ(x) = ax , a IR*+ e a ≠ 1 (a > 0 e a ≠ 1) Ex.: ƒ(x) = 2x Gráfico Representando graficamente ƒ(x) = ax, temos EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Devemos relembrar as propriedades das potências: a) Expoente zero: Todo número elevado a zero é igual a 1. Ex.: (+2)0 = 1 Ex.: (−3)0 = 1 b) Expoente um: Todo número elevado a um é igual a ele mesmo. Ex.: (+2)1 = 2 Ex.: (−3)1 = −3 c) Base um: O número um elevado a qualquer expoente, é sempre igual a um. Ex.: 12 = 1 Ex.: 15 = 1 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 33 d) Base negativa: Quando a base é negativa, e o expoente é par o resultado é positivo. Ex.: (−2)4 = −2 . −2 . −2 . −2 = 16 Quando a base é negativa, e o expoente é ímpar o resultado é negativo. Ex.: (−2)5 = −2 . −2 . −2 . −2 . −2 = −32 e) Produto de Potência de mesma base: Conserva-se a base e soma-se os expoentes. Ex.: (+2)2 . (+2)3= (+2)2 + 3 = (+2)5 = 32 f) Divisão de Potência de mesma base: Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. Ex.: (−2)5 ÷ (−2)2= (−2)5 – 2 = (−2)3 = – 8 g) Potência de potência: Conserva-se a base e multiplica- se os expoentes. Ex.: (−72)3 = (−7)2 x 3 = (−7)6 h) Expoente negativo: Inverte-se o número com a mesma potência positiva. i) Base fracionária: eleva-se o numerador e o denominador ao expoente. ( 2 3 ) 2 = 22 32 = 4 9 j) Expoente fracionário: Transforma-se em raiz com índice do denominador e o número elevado à potência do numerador. 5 2 3 = √52 3 Exemplos: Ex1: 32x – 2 = 81 Ex2: 34x + 1 = 27x + 2 EXERCÍCIOS 01. (FCC) A abscissa do ponto de cruzamento dos gráficos representados ao lado é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 02. (IBFC – MGS/16) O valor da função f(x) = 23x-1 + 1 para x = 2 é: a) 63 b) 32 c) 33 d) 17 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 34 03. (IBFC – Câmara Municipal de Araraquara-SP/16) A imagem da função f(x) = 22x -3, sendo que o valor de x é a maior raiz da função f(x) = x2 - 5x + 4, é: a) 16 b) 32 c) 64 d) 8 04. (IBFC – MGS/15) Para que a imagem da função exponencial f(x) = 2X+3 seja igual a 512 o valor de x deve ser igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 05. (IBFC – SEAP-DF/13) C(t) = 300. 7mt, representa o crescimento de uma cultura de bactérias, C é o número de bactérias no instante t , sendo t dado em horas. O início se dá no instante t = 0. O total de bactérias, após 6 horas, sendo que após 180 minutos o total de bactérias foi de 14700, é: a) 102800 b) 720300 c) 102900 d) 27440 06. (IF–ES/16) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2-0,5 . t, onde t é medido em meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é a) 6 meses. b) 8 meses. c) 5 meses. d) 10 meses. e) 4 meses. 07. (CONED–SESC/PA/16) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo? F(x) = 22x-3 – 3. 2x-1 + 4 a) 5 b) 4 c) 6 d) 8 e) -6 08. (CONPASS–Pref. de São José de Caina/PB/15) Certa população aumenta de acordo com a função P(t) = 300 . 2t , em que P(t) é a população após t horas, sendo t ≥ 0 . Após quanto tempo essa população irá quadruplicar? a) 3 horas b) 4 horas c) 2,5 horas d) 3,5 horas e) 2 horas GABARITO 01. D 06. A 02. C 07. A 03. B 08. E 04. A 05. B www.lojadoconcurseiro.com.br CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 35 FUNÇÃO LOGARÍTMICA É toda função do tipo ƒ(x) = loga x, (com x 0, a 0 e a 1). Ex.: ƒ(x) = log381 Gráfico Representando graficamente ƒ(x) = loga x, temos EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Definição: loga b = c ac = b Condição de existência: a 0, a ≠ 1 e b 0 FORMA EXPONENCIAL FORMA LOGARÍTMICA a c = b a = base da potência b = potência c = expoente log a b = c a = base do logaritmo b = logaritmando c = logaritmo Resolução: log381 log1/2 32 Consequências da definição de logaritmo: • loga 1 = 0 a0 = 1 • loga a = 1 a1 = a • loga an = n an = an • 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = b loga b = loga b • loga b = loga c b = c Propriedades importantes: ▪ Logaritmo do produto: loga (b . c) = loga b + loga c ▪ Logaritmo do quociente: loga (b/c) = loga b – loga c ▪ Logaritmo da potência: loga bm = m . loga b EXERCÍCIOS 01. (UFF) A figura representa o gráfico da função f definida por f(x)=log2x. A medida do segmento PQ é igual a: a) √6 b) √5 c) log25 d) 2 e) log 2 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 36 02. (NC-UFPR-TJ/PR/14) Suponha que o tempo necessário para se tomar uma decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se dispõe. Nesse caso, um modelo matemático que fornece o tempo de reação R, em segundos, em função do número de escolhas N, é dado pela expressão: R = 0,17 + 0,44 log(N) De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for reduzido de 100 para 10, qual será o percentual de diminuição no tempo de reação, aproximadamente? a) 26%. b) 42%. c) 55%. d) 88%. 03. O domínio da função y = log3 (x – ½) é: a) D = { x R / x > ½} b) D = { x R / x > -½} c) D = { x R / x > 0} d) D = { x R / x > 2} 04. (Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2x) = 2x, é: a) log2 5 b) log2 √3 c) 2 d) log2 √5 e) log2 3 05. (CONCSEL) O valor de x no logaritmo ao abaixo é: log10 0,001 = x a) –3 b) 0 c) 3 d) 6 06. (PUC-PR) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é: a) 1 b) – 1 c) 0 d) 2 e) 0,5 GABARITO 01. B 06. A 02. B 03. A 04. E 05. A www.lojadoconcurseiro.com.br CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 37 PROGRESSÃO ARITMÉTICA É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante, chamada razão da progressão. Exs.: (2, 7, 12, 17, 22, ...) r = 5 (-2, 0, 2, 4, 6, ...) r = 2 (2, 5, 8, 11, 14, ...) r = 3 (15, 11, 7, 3, -1, ...) r = -4 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.A. (a1, a2, a3, a4, ..., an–1, an) a1 → 1º termo an → último termo ou termo geral n → número de termos r → razão PROPRIEDADES DE UMA P.A. 1) A diferença entre um termo (a partir do 2°) e seu antecessor é igual à razão. r = an – an – 1 2) Qualquer termo a partir do segundo, é a média aritmética entre seu sucessor e anterior. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1 23) A soma de 2 termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. an = a1 + ( n – 1).r Ex: (2, 7, 12, 17, 22, 27) r = 5 a2 = a1 + r = 2 + 5 = 7 a3 = a1 + 2r = 2 + 10 = 12 a4 = a1 + 3r = 2 + 15 = 17 a5 = a1 + 4r = 2 + 20 = 22 (EEAR) Se (x+3, 2x–1, x+5) é uma P.A., então a soma dos três termos dessa P.A. é a) – 13 b) 15 c) 19 d) 27 FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.A. FINITA Consideremos a P.A. de razão r, (a1, a2, a3, ... an – 2, an – 1, an), cuja soma dos seus n termos pode ser escrita por: S = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an 𝑆 = (𝑎1 + 𝑎𝑛). 𝑛 2 (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale: a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 38 EXERCÍCIOS 01. (CETAP-FUNBOSQUE/13) Ao comprar um terreno, o comprador acordou que seria feito um pagamento de R$ 2.200,00 no ato da compra, R$ 2.150,00 depois de um mês, R$ 2.100,00 após dois meses, e assim sucessivamente, até completar um total de 20 pagamentos. Qual o valor do último pagamento? a) R$ 1.500,00 b) R$ 1.360,00 c) R$ 1.400,00 d) R$ 1.250,00 e) R$ 1.000,00 02. (CETAP-SANTARÉM/08) Um pêndulo oscila em Progressão Aritmética e percorre 25 cm, 20 cm, 15 cm,. . . até o repouso. A soma dos percursos mede: a) 1 m b) 85 cm c) 75 cm d) 950 mm e) 60 cm 03. (CESGRANRIO–BNDES/13) Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17,..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui: a) 67 termos b) 33 termos c) 28 termos d) 23 termos e) 21 termos 04. (FGV-SP) A sequência (a1, a2, ..., an, ...) é uma progressão aritmética. Sabendo que a1 = 2 e a5 = 14, podemos concluir que a soma dos quinze primeiros termos vale: a) 325 b) 335 c) 345 d) 355 e) 365 05. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 06. (UFRN) Numa progressão aritmética de termo geral an, tem-se que . O 1° termo dessa progressão é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 −=+ −=− 12 8 24 13 aa aa CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 39 07. (CESPE-CFO-PM/ES) As distâncias entre 3 cidades, medidas em quilômetros, são os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Considerando que essas medidas estão em progressão aritmética, com razão 45, julgue os itens que se seguem. 07. A menor distância entre as 3 cidades é inferior a 130 km. 08. A soma das distâncias entre as 3 cidades é igual a 540 km. 09. (CESGRANRIO-BB/10) Segundo dados do Instituto Internacional de Pesquisa da Paz de Estocolmo (Simpri), os gastos militares dos Estados Unidos vêm crescendo nos últimos anos, passando de 528,7 bilhões de dólares, em 2006, para 606,4 bilhões de dólares, em 2009. Considerando que este aumento anual venha acontecendo de forma linear, formando uma progressão aritmética, qual será, em bilhões de dólares, o gasto militar dos Estados Unidos em 2010? a) 612,5 b) 621,3 c) 632,3 d) 658,5 e) 684,1 (CESPE-PRF/08) Ficou pior para quem bebe. O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos( fonte: DENATRAN ). 10. Supondo que, neste ano de 2008, a variação na quantidade de CNHs emitidas de um mês para o mês anterior seja mantida constante e que, em fevereiro de 2008, tenham sido emitidas 175.000 habilitações, então o total de habilitações emitidas em 2008 será, em milhões, a) inferior a 3. b) superior a 3 e inferior a 3,5. c) superior a 3,5 e inferior a 4. d) superior a 4 e inferior a 4,5. e) superior a 4,5. GABARITO 01. 06. 11. 02. 07. 12. 03. 08. 13. 04. 09. 05. 10. www.lojadoconcurseiro.com.br CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 40 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É uma sequência de números não-nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão da progressão (q). Exs.: (3, 12, 48, ...) q = 4 (10, 5, 5/2, 5/4,...) q = 1/2 (2, 4, 8, 16, 32, ...) q = 2 (1/5, 1, 5, 25, 125, ...) q = 5 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an–1, an) a1 → 1º termo an → último termo ou termo geral n → número de termos q → razão PROPRIEDADES DE UMA P.G. 1) A divisão entre um termo e seu antecessor é igual à razão. q= an an−1 2) Qualquer termo a partir do segundo, é a média geométrica entre seu sucessor e anterior. an = √an−1 × an+1 3) O produto de 2 termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. a1 x an = a2 x an – 1 = a3 x an – 2 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G. an = a1 × q n−1 Ex: (2, 4, 8, 16, 32) q = 2 a2 = a1 x q = 2 x 2 = 4 a3 = a1 x q2 = 2 x 22 = 8 a4 = a1 x q3 = 2 x 23 = 16 a5 = a1 x q4 = 2 x 24 = 32 Se a sequência (4x, 2x + 1, x − 1) é uma PG, então o valor de x é a) −1/8 b) −8 c) −1 d) 8 FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.G. FINITA S = a1(q n − 1) q − 1 FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.G. INFINITA S00 = a1 1 − q Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 41 EXERCÍCIOS 01. (UEPA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro? a) R$ 15.500,00 b) R$ 12.500,00 c) R$ 10.500,00 d) R$ 8.500,00 e) R$ 7.500,00 02. (CFT) Se em uma P.G. de razão q, cujo 1.° termo é a1, tem-se a1q = 3 e a1 + q =7/2 , então a soma dos seis primeiros termos dessa P.G., para o maior dos valores possíveis de q, é a) 665/16 b) 189/2 c) 93/2 d) 48. 03. O número de termos da PG ( 1 9 , 1 3 , 1, … ,729 ) é a) 8 b) 9 c) 10 d) 81 e) 100 04. O valor de x na equação x . ( 9 5 + 3 5 + 1 5 + ⋯ ) = 27 4 é a) 1 b) 3/5 c) 4/3 d) 5/2 e) 45/8 05. A sequência (1, a, b) é uma progressão aritmética e a sequência (1, b, a) é uma progressão geométrica não constante. O valor de a é a) –1/2 b) 1/4 c) 1 d) 2 e) 4 06. Tanto numa P.A. quanto numa P.G., os números 3 e 243 são, respectivamente, a razão e o 6.º termo. O produto do 1.º termo da P.G. pelo 3.º termo da P.A. é a) 702 b) 693 c) 234 d) 231 07. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: a) -1700 b) -850 c) 850 d) 1700e) 750 CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 42 08. (CESGRANRIO–Liquigás/12) Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades formam uma progressão geométrica. João é o mais novo, e Maria é a mais velha. Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José? a) 64 anos b) 48 anos c) 24 anos d) 21 anos e) 12 anos 09. (CETAP-SEMEC/12) Em certo tipo de jogo, o prêmio pago a cada apostador é 15 vezes o valor de sua aposta. José resolveu manter o seguinte esquema da aposta: 1ª tentativa R$ 2,00 e, nas seguintes, formou uma progressão geométrica de razão 3. Na sétima tentativa, ele acertou. Qual o valor do prêmio recebido? a) R$ 21.870,00 b) R$ 18.870,00 c) R$ 7.290,00 d) R$ 21.000,00 e) R$ 21.680,00 10. Uma pessoa com sobrepeso decidiu fazer caminhadas diárias. No primeiro dia, após 5 minutos de caminhada, percorreu 800 m, mas por estar sem condicionamento físico só conseguiu caminhar, nos 5 minutos seguintes, 3/4 do que havia caminhado anteriormente e assim sucessivamente, isto é, a cada 5 minutos percorria 3/4 do percurso anterior. Mantido esse ritmo, o número máximo de metros que essa pessoa poderá percorrer nesse primeiro dia será a) 3 800. b) 3 500. c) 3 200. d) 2 700. e) 2 100. GABARITO 01. 06. 02. 07. 03. 08. 04. 09. 05. 10. www.lojadoconcurseiro.com.br CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO MATEMÁTICA 43
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