algebra1 mod2

Prévia do material em texto

Parte 2
Ane´is
R e f e r eˆ n c i a s
Sobre a aritme´tica dos
inteiros: Nu´meros-Uma
Introduc¸a˜o a` Matema´tica de
Ce´sar Polcino Milies e Soˆnia
Pitta Coelho. Editado pela
Editora da Universidade de
Sa˜o Paulo (Edusp), 2000.
Para saber mais sobre ane´is
e o domı´nio principal dos
inteiros: Curso de A´lgebra,
Volume 1 de Abramo Hefez,
Colec¸a˜o Matema´tica
Universita´ria, Sociedade
Brasileira de Matema´tica
(SBM), 1998.
Sobre ane´is, extenso˜es
alge´bricas de corpos e
grupos: Introduc¸a˜o a`
A´lgebra de Adilson
Gonc¸alves, Projeto Euclides,
IMPA, 2000.
A Matema´tica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos
aos nu´meros para descrever diversas situac¸o˜es do dia a dia.
Contamos com os nu´meros naturais, repartimos um bolo usando os
nu´meros racionais, medimos comprimentos com os nu´meros reais, contabili-
zamos preju´ızos com nu´meros negativos. Comparamos dois nu´meros inteiros,
dois nu´meros racionais e dois nu´meros reais. Calculamos ra´ızes de polinoˆmios
com coeficientes reais com nu´meros complexos.
Estamos familiarizados com nu´meros naturais, inteiros, racionais, reais
e complexos, que esta˜o relacionados pelas seguintes incluso˜es:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos esta˜o munidos com operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o,
que teˆm diversas propriedades.
Nosso objetivo e´ introduzir o estudo de estruturas alge´bricas, abor-
dando os conceitos de anel, domı´nio, domı´nio ordenado e domı´nio principal,
ideais de um anel comutativo, homomorfismo de ane´is e a fatorac¸a˜o u´nica
em domı´nios principais.
O conjunto dos inteiros e´ o primeiro exemplo de domı´nio principal, sera´
estudado sobre o ponto de vista alge´brico e aritme´tico e faremos um estudo
detalhado das suas propriedades no contexto dos domı´nios principais.
Introduziremos o conceito de induc¸a˜o, uma te´cnica muito utilizada em
demonstrac¸o˜es.
Na˜o faremos a construc¸a˜o axioma´tica dos nu´meros naturais, usaremos
apenas as noc¸o˜es intuitivas.
Instituto de Matema´tica
31 UFF
Mostraremos que Q e´ um corpo ordenado e e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
e faremos a construc¸a˜o dos nu´meros racionais a partir dos nu´meros inteiros
no contexto dos domı´nios ordenados.
Usaremos a divisa˜o euclidiana para escrever os nu´meros inteiros na˜o-
negativos em uma base b > 1.
M.L.T.Villela
UFF 32
Conceito de anel
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
Conceito de anel
Vamos introduzir a estrutura alge´brica de anel e dar exemplos. Veremos
os conceitos de anel comutativo e de anel com unidade, assim como diversos
exemplos.
Voceˆs conhecem va´rios conjuntos, onde esta˜o definidas operac¸o˜es de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o entre seus elementos e essas operac¸o˜es teˆm diversas
propriedades. Lembramos algumas dessas estruturas alge´bricas:
• os nu´meros naturais N = { 0, 1, 2, 3, . . . }.
• os polinoˆmios com coeficientes reais, denotados por R[x];
• as matrizes Mn×n(R);
• os nu´meros inteiros Z = { . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . };
• os nu´meros racionais Q =
{
m
n
| n,m ∈ Z e n 6= 0
}
;
• os nu´meros reais R;
• os nu´meros complexos C = { a+ bi | a, b ∈ R e i2 = −1 };
• os nu´meros inteiros, racionais e reais podem ser comparados com uma
relac¸a˜o de ordem ≤. Veremos que as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o, a ordem e as propriedades que as relacionam caracterizara˜o
os nu´meros inteiros.
Definic¸a˜o 1 (Operac¸a˜o)
Dizemos que um conjunto A esta´ munido com operac¸o˜es de adic¸a˜o ( + ) e
multiplicac¸a˜o ( · ) se, e somente se, para todo par (a, b) ∈ A × A sabemos
associar um u´nico elemento c ∈ A e um u´nico elemento d ∈ A denotados,
respectivamente, por:
Lembre que uma associac¸a˜o
desse tipo e´ uma func¸a˜o.
c = a+ b e d = a · b.
Nesse caso, dizemos que as operac¸o˜es esta˜o fechadas no conjunto A,
isto e´, para quaisquer a, b ∈ A, temos a+ b ∈ A e a · b ∈ A.
A adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o sa˜o descritas por func¸o˜es
+ : A×A −→ A
(a, b) 7−→ c = a+ b e · : A×A −→ A(a, b) 7−→ d = a · b
Instituto de Matema´tica
33 UFF
Conceito de anel
Exemplo 1
Todos os conjuntos listados acima sa˜o conjuntos munidos de operac¸o˜es de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2 (Anel)
Um anel A e´ um conjunto munido com operac¸o˜es de adic¸a˜o ( + ) e de
multiplicac¸a˜o ( · ), tendo as seguintes propriedades:
A1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a+b)+c = a+(b+c).
A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, temos a+ b = b+ a.
A3 (Existeˆncia de elemento neutro para a adic¸a˜o)
Existe θ ∈ A, tal que a+ θ = θ+ a = a, para todo a ∈ A.
A4 (Existeˆncia de sime´trico)
Para cada a ∈ A, existe a′ ∈ A, tal que a+ a′ = a′ + a = θ.
M1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c).
AM (Distributiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos a ·(b+c) = a ·b+a ·c
e (a+ b) · c = a · c+ b · c.
Exemplo 2
N na˜o e´ um anel.
A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o teˆm as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas
na˜o vale a propriedade A4.
Exemplo 3
Z,Q, R e C, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos sa˜o ane´is,
onde o elemento neutro para a adic¸a˜o e´ o nu´mero inteiro 0.
Exemplo 4
Mn×n(R) = { X = (Xij) ; Xij ∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n } e´ um anel, com as
operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de matrizes, definidas por:
Z = X + Y, onde Zij = Xij + Yij, para 1 ≤ i, j ≤ n;
Z = X · Y, onde Zij =
n∑
k=1
Xik · Ykj, para 1 ≤ i, j ≤ n,
para X, Y ∈Mn×n(R).
De fato, a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o teˆm as propriedades A1, A2, A3, A4, M1 e
AM, conforme ja´ foi verificado em um curso ba´sico de A´lgebra Linear.
Volte a um texto de A´lgebra
Linear, para recordar as
operac¸o˜es com matrizes e
suas propriedades.
M.L.T.Villela
UFF 34
Conceito de anel
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1.
Sejam X, Y, Z ∈Mn×n(R). Para quaisquer i, j tais 1 ≤ i, j ≤ n, temos
Usamos a definic¸a˜o da
multiplicac¸a˜o e adic¸a˜o de
matrizes e, sucessivamente,
as seguintes propriedades
das operac¸o˜es do anel R:
AM, A2, A1. Depois,
novamente, usamos a
definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o e
adic¸a˜o de matrizes.
(X · (Y + Z))ij =
n∑
r=1
Xir · (Y + Z)rj
=
n∑
r=1
Xir · (Yrj + Zrj)
=
n∑
r=1
(Xir · Yrj + Xir · Zrj)
=
n∑
r=1
Xir · Yrj +
n∑
r=1
Xir · Zrj
= (X · Y)ij + (X · Z)ij
= (X · Y + X · Z)ij,
mostrando que X · (Y + Z) = X · Y + X · Z e vale AM.
Usamos duas vezes a
definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de
matrizes e apo´s,
sucessivamente, as seguintes
propriedades das operac¸o˜es
do anel R: AM, M1, A2, A1.
Depois, novamente, usamos
duas vezes a definic¸a˜o de
multiplicac¸a˜o de matrizes.
(X · (Y · Z))ij =
n∑
r=1
Xir · (Y · Z)rj
=
n∑
r=1
Xir ·
(
n∑
s=1
Yrs · Zsj
)
=
n∑
r=1
(
n∑
s=1
Xir · (Yrs · Zsj)
)
=
n∑
r=1
n∑
s=1
(Xir · Yrs) · Zsj
=
n∑
s=1
(
n∑
r=1
(Xir · Yrs)
)
· Zsj
=
n∑
s=1
(X · Y)is · Zsj
= ((X · Y) · Z)ij ,
mostrando que X · (Y · Z) = (X · Y) · Z e vale M1.
A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij = 0 para 1 ≤ i, j ≤ n,
denotada por O, e´ o elemento neutro da adic¸a˜o.
Lembramos que o sime´trico de X e´ a matriz Y, tal que Yij = −Xij, para todo
1 ≤ i, j ≤ n. Costumamos escrever Y = −X.
Exemplo 5
Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja F(I) o conjunto de todas as
func¸o˜es de I em R, isto e´, Voceˆ tem familiaridade com
as func¸o˜es de varia´vel real e
valores reais.F(I) = { f : I −→ R | f e´ uma func¸a˜o }.
Instituto de Matema´tica
35 UFF
Conceito de anel
Para quaisquer f, g ∈ F(I), as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de
func¸o˜es sa˜o definidas por:
(f+ g)(x) = f(x) + g(x),para todo x ∈ I e
(f · g)(x) = f(x) · g(x), para todo x ∈ I .
Com essas operac¸o˜es, F(I) e´ um anel.
De fato, vamos mostrar que valem as seis propriedades das operac¸o˜es da
Definic¸a˜o 2.
Primeiramente, para quaisquer f, g, h ∈ F(I), temos:
((f+ g) + h)(x)
(1)
= (f+ g)(x) + h(x)
(2)
= (f(x) + g(x)) + h(x)
(3)
= f(x) + (g(x) + h(x))
(4)
= f(x) + (g+ h)(x)
(5)
= (f+ (g+ h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f+ g) + h = f+ (g+ h), portanto vale a propriedade A1;
Em (1),(2),(4) e (5) usamos
a definic¸a˜o da adic¸a˜o de
func¸o˜es e em (3) a
propriedade (A1) da adic¸a˜o
de nu´meros reais.
substituindo a adic¸a˜o pela multiplicac¸a˜o, de modo ana´logo,
((f · g) · h)(x) (1)= (f · g)(x) · h(x)
(2)
= (f(x) · g(x)) · h(x)
(3)
= f(x) · (g(x) · h(x))
(4)
= f(x) · (g · h)(x)
(5)
= (f · (g · h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f · g) · h = f · (g · h), portanto vale a propriedade M1;
Em (1),(2),(4) e (5) usamos
a definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o
de func¸o˜es e em (3) a
propriedade (M1) da
multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais.
((f+ g) · h)(x) (1)= (f+ g)(x) · h(x)
(2)
= (f(x) + g(x)) · h(x)
(3)
= f(x) · h(x) + g(x) · h(x)
(4)
= (f · h)(x) + (g · h)(x)
(5)
= ((f · h) + (g · h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f+ g) · h = f · h+ g · h, portanto, vale a propriedade AM.
Em (1) e (4) usamos a
definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de
func¸o˜es, em (2) e (5), a
definic¸a˜o de adic¸a˜o de
func¸o˜es e em (3), a
propriedade distributiva
(AM) da multiplicac¸a˜o
nu´meros reais.
Vale que (g + h) · f = g · f + h · f, porque a multiplicac¸a˜o de func¸o˜es e´
comutativa (verifique).
Para quaisquer f, g ∈ F(I) e x ∈ I, temos:
(f+ g)(x) = f(x) + g(x)
= g(x) + f(x)
= (g+ f)(x)
Lembre que . . .
a adic¸a˜o de nu´meros reais e´
comutativa.
M.L.T.Villela
UFF 36
Conceito de anel
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
implicando que f+ g = g+ f e, assim, vale a propriedade A2.
O elemento neutro e´ a func¸a˜o o, tal que o(x) = 0, para cada x ∈ I. Note
que, para toda f ∈ F(I) e para todo x ∈ I,
(o+ f)(x) = o(x) + f(x) = 0+ f(x) = f(x) ⇐⇒ o+ f = f. O nu´mero real zero e´elemento neutro aditivo, no
anel R.
O elemento neutro aditivo e´ a func¸a˜o constante e igual a zero no intervalo I,
valendo a propriedade A3.
Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o sime´trico de f e´ a func¸a˜o g definida
por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. O gra´fico do sime´trico de f e´ obtido
fazendo a simetria com respeito ao eixo x dos pontos do gra´fico de f .
Exemplo 6
Consideremos 2Z = { 2x | x ∈ Z }, o conjunto dos nu´meros inteiros pares.
Vamos mostrar que 2Z e´ um anel com a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o de nu´meros
inteiros.
Primeiramente, observe que para quaisquer a, b ∈ 2Z, existem x, y ∈ Z, tais
que a = 2x, b = 2y e
a+ b = 2x+ 2y = 2(x+ y) ∈ 2Z e a · b = 2x · 2y = 2(2x · y) ∈ 2Z.
Observe que
x+y ∈ Z e 2x · y∈ Z.
Logo, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o de nu´meros inteiros e´ fechada em 2Z.
As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2Z, pois essas propriedades
valem em Z e 2Z e´ um subconjunto de Z.
Como 0 = 2 · 0 ∈ 2Z, enta˜o 2Z tem elemento neutro aditivo.
Ale´m disso, o sime´trico de a = 2x e´ a ′ = −2x = 2(−x) ∈ 2Z. x ∈ Z ⇐⇒ −x ∈ Z.
Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e 2Z e´ um anel.
Observamos que a multiplicac¸a˜o nos ane´is dos Exemplos 3, 5 e 6 e´
comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 e´ na˜o-comutativa sempre que a
ordem da matriz e´ maior do que 1.
O que e´ M1×1(R)?
De fato, e´ claro que a multiplicac¸a˜o nos inteiros, nos racionais e nos
reais e´ comutativa.
Sejam x = a+ bi, y = c+ di ∈ C. Enta˜o, a, b, c, d ∈ R, i2 = −1 e
Usamos aqui que
a multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais e´ comutativa.
x · y = (a+ bi) · (c+ di)
= (a · c− b · d) + (a · d+ b · c)i
= (c · a− d · b) + (d · a+ c · b)i
= (c+ di) · (a+ bi)
= y · x ,
Instituto de Matema´tica
37 UFF
Conceito de anel
mostrando que a multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos e´ comutativa.
Para verificar a comutatividade da multiplicac¸a˜o emF(I), consideremos
f, g ∈ F(I) e x ∈ I, enta˜o
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
= g(x) · f(x)
= (g · f)(x)
Lembre que . . .
a multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais e´ comutativa.
implicando que f · g = g · f.
Para n ≥ 2, o produto de matrizes n por n e´ na˜o-comutativo, pois
X · Y 6= Y · X para as seguintes matrizes:
X11 = 1, X12 = 1, X21 = 0 e X22 = 0 ; Y11 = 1, Yij = 0, para todo
(i, j) 6= (1, 1).
Temos que
X · Y =
(
1 1
0 0
)
·
(
1 0
0 0
)
=
(
1 0
0 0
)
e
Y · X =
(
1 0
0 0
)
·
(
1 1
0 0
)
=
(
1 1
0 0
)
A multiplicac¸a˜o em 2Z e´ a multiplicac¸a˜o de nu´meros inteiros, logo
tambe´m e´ comutativa.
Os fatos acima motivam a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3 (Anel comutativo)
Dizemos que um anel A e´ comutativo se, e somente se, tem a propriedade:
M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, a · b = b · a.
Exemplo 7
Nos ane´is Z, Q, R, C, F(I) e 2Z vale M2.
No anel Mn×n(R), onde n ≥ 2 na˜o vale M2.
Os ane´is dos Exemplos 3, 4 e 5 teˆm um elemento neutro multiplicativo,
a saber:
• o nu´mero inteiro 1 satisfaz
para todo a ∈ A, temos a · 1 = 1 · a = a , nos casos A = Z, A = Q,
A = R ou A = C;
• A matriz identidade I ∈Mn×n(R), com os elementos da diagonal iguais
a 1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0, tem a propriedade
Matriz identidade I
Iij =
{
1 , se i= j
0 , se i 6= j ,
para qualquer i,j com
1≤ i,j≤ n.
M.L.T.Villela
UFF 38
Conceito de anel
PARTE 2 - SEC¸A˜O 1
para qualquer X ∈Mn×n(R), X · I = I · X = X.
• a func¸a˜o constante e igual a 1 no intervalo I, isto e´, e(x) = 1, para todo
x ∈ I, satisfaz
para qualquer f ∈ F(I) e para todo x ∈ I, temos
(f · e)(x) = f(x) · e(x) = f(x) · 1 = f(x), tambe´m
(e · f)(x) = e(x) · f(x) = 1 · f(x) = f(x),
mostrando que f · e = f · e = f.
Entretanto, o anel 2Z na˜o tem elemento neutro multiplicativo, moti-
vando a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 4 (Anel com unidade)
Dizemos que o anel A tem unidade, se e somente se, A tem a propriedade:
M3 (Existeˆncia de elemento neutro multiplicativo)
Existe um elemento e ∈ A, tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ A.
Exemplo 8
Nos ane´is Z, Q, R, C,Mn×n(R) e F(I) vale M3.
No anel 2Z na˜o vale M3.
Resumindo, ha´ ane´is que teˆm propriedades adicionais e sa˜o chamados
de nomes especiais: quando a multiplicac¸a˜o e´ comutativa (M2) o anel e´
chamado comutativo; quando o anel tem elemento neutro multiplicativo (M3)
e´ chamado de anel com unidade.
Exerc´ıcios
1. Seja n um nu´mero natural com n ≥ 2.
Mostre que nZ = { n · x | x ∈ Z } e´ um anel comutativo com as
operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros inteiros.
2. Seja Z[
√
2] = { a+ b
√
2 | a, b ∈ Z }.
(a) Mostre que a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros reais e´ fechada
em Z[
√
2], verificando que:
para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a+ b√2 e y = c+ d√2
Instituto de Matema´tica
39 UFF
Conceito de anel
x + y = (a+ c) + (b+ d)
√
2 ∈ Z[√2]
x · y = (a · c+ 2b · d) + (a · d + b · c)√2 ∈ Z[√2]
(b) Mostre que Z[
√
2] e´ um anel.
(c) Mostre que Z[
√
2] e´ um anel comutativo com unidade.
x+y e´ a adic¸a˜o e x · y e´ a
multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais, apenas reescrevemos
as parcelas de modo
conveniente, usando as
propriedades comutativa,
associativa e distributiva das
operac¸o˜es dos nu´meros reais.
3. Seja Z[i] = { a+ bi | a, b ∈ Z e i2 = −1 }.
(a) Mostre que a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos e´ fe-
chada em Z[i], verificando que:
para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a+ bi e y = c+ di
x + y = (a+ c) + (b+ d)i
x · y = (a · c− b · d) + (a · d+ b · c)i
x+y e´ a adic¸a˜o de nu´meros
complexos e
x · y e´ a multiplicac¸a˜o de
nu´meros complexos.
Z[i] e´ conhecido comoo anel
dos inteiros de Gauss.
(b) Mostre que Z[i] e´ um anel.
(c) Mostre que Z[i] e´ um anel comutativo com unidade.
4. Seja A =
{
X =
(
x11 x12
x21 x22
)
; xij ∈ Z, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2
}
,
o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros.
Para X, Y, Z ∈ A, definimos a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o em A por:
Z = X+ Y ⇐⇒ zij = xij + yij, com 1 ≤ i, j ≤ 2
Z = X · Y ⇐⇒ zij = xi1y1j + xi2y2j, com 1 ≤ i, j ≤ 2
Observe que as operac¸o˜es de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o as
usuais.
Costumamos denotar A por
M2×2(Z).
(a) Mostre que A e´ um anel com as operac¸o˜es acima.
(b) Mostre que A e´ um anel na˜o-comutativo com unidade.
5. Seja F(R) = { f : R −→ R, f func¸a˜o }.
Para qualquer f, g ∈ F(R), as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o de func¸o˜es sa˜o definidas por:
(f+ g)(x) = f(x) + g(x), para qualquer x ∈ R e
(f · g)(x) = f(x) · g(x), para qualquer x ∈ R .
(a) Mostre que com essas operac¸o˜es F(R) e´ um anel.
Copie o que foi feito no
Exemplo 5, fazendo as
modificac¸o˜es convenientes.
Na verdade, voceˆ pode
verificar que F(I) e´ um anel,
para qualquer intervalo I da
reta real.
(b) Mostre que F(R) e´ um anel comutativo.
(c) Mostre que F(R) e´ um anel com unidade.
M.L.T.Villela
UFF 40
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Propriedades elementares
Mostraremos agora algumas propriedades elementares, va´lidas em um
anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do sime´trico e,
quando existe, do elemento neutro multiplicativo.
Proposic¸a˜o 1 (Unicidade)
Seja A um anel. Enta˜o,
(i) o elemento neutro aditivo e´ u´nico;
(ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, e´ u´nico;
(iii) o sime´trico e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o:
(i): Sejam θ e θ
′
elementos neutros aditivos do anel A. Enta˜o,
θ = θ′ + θ = θ′,
onde a primeira igualdade segue do fato de θ′ ser elemento neutro da adic¸a˜o
e a segunda, de θ ser elemento neutro da adic¸a˜o.
Logo, θ = θ′ e o elemento neutro aditivo e´ u´nico.
(ii): Seja A um anel com unidades e e e′. Enta˜o,
e = e′ · e = e′,
onde a primeira igualdade segue do fato de e′ ser unidade e a segunda, de e
ser unidade.
Logo, e = e′ e o elemento neutro multiplicativo e´ u´nico.
(iii) Sejam a′ ∈ A e a′′ ∈ A sime´tricos de a ∈ A.
Enta˜o, θ = a+ a′′, θ = a′ + a e
a′ = a′ + θ = a′ + (a+ a′′) = (a′ + a) + a′′ = θ+ a′′ = a′′,
onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adic¸a˜o.
Logo, o sime´trico e´ u´nico. �
Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do sime´trico e do elemento
neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anel A:
• o elemento neutro da adic¸a˜o pelo s´ımbolo 0;
Instituto de Matema´tica
41 UFF
Propriedades elementares
• o sime´trico de a pelo s´ımbolo −a;
• a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo s´ımbolo 1.
Ale´m disso, escrevemos
a− b = a+ (−b),
e chamamos de subtrac¸a˜o.
A subtrac¸a˜o e´ a adic¸a˜o com
o sime´trico.
As seguintes propriedades sa˜o muito u´teis e importantes.
Proposic¸a˜o 2 (Outras propriedades)
Seja A um anel. Enta˜o, para quaisquer a, b e c ∈ A, temos:
(i) a · 0 = 0 e 0 · a = 0;
(ii) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b);
(iii) a · (b− c) = a · b− a · c e (b− c) · a = b · a− c · a;
(iv) se A e´ um anel com unidade, enta˜o (−1) · a = −a = a · (−1).
Demonstrac¸a˜o:
Lembre que . . .
Em um anel A a
multiplicac¸a˜o nem sempre e´
comutativa.
(i): Como 0 = 0 + 0, multiplicamos a` esquerda, ambos os membros dessa
igualdade, pelo elemento a, e usamos a distributividade (AM), obtendo
a · 0 = a · (0+ 0) = a · 0+ a · 0,
que e´ equivalente a a · 0 = a · 0+ a · 0.
Somando o sime´trico −(a ·0) de a ·0 a ambos os membros da igualdade
acima e usando em (1) a propriedade associativa da adic¸a˜o (A1), temos:
0 = a · 0− a · 0 = (a · 0+ a · 0) − a · 0
(1)
= a · 0+ (a · 0− a · 0)
= a · 0+ 0
= a · 0,
Multiplicando por a a`
direita, tomando o sime´trico
−(0 · a) de 0 · a e fazendo as
modificac¸o˜es convenientes,
mostre que 0 · a= 0.
donde conclu´ımos que 0 = a · 0.
(ii) Vamos mostrar que −(a · b) = (−a) · b.
Como 0 = a + (−a), multiplicando a` direita ambos os membros dessa
igualdade por b, usando (i) e a distributividade AM, obtemos:
0 = 0 · b = (a+ (−a)) · b
= a · b+ (−a) · b
Fac¸a as modificac¸o˜es
convenientes para
demonstrar que
−(a · b) =a · (−b).
A igualdade acima significa que (−a) · b e´ o sime´trico de a · b.
M.L.T.Villela
UFF 42
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Logo, −(a · b) = (−a) · b.
(iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para
voceˆ tentar, fazendo as modificac¸o˜es convenientes.
a · (b− c) (1)= a · (b+ (−c))
(2)
= a · b+ a · (−c)
(3)
= a · b− a · c.
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de subtrac¸a˜o, em (2), a
distributividade AM e em
(3), o item (ii).
(iv) Seja A um anel com unidade 1. Enta˜o, 0 = 1 + (−1). Multiplicando a`
direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributi-
vidade, obtemos:
O s´ımbolo −1 deve ser lido
como ”o sime´trico da
unidade”.
0 = 0 · a = (1+ (−1)) · a = 1 · a+ (−1) · a = a+ (−1) · a,
significando que (−1) ·a e´ o sime´trico de a. Como denotamos o sime´trico de
a por −a, da unicidade do sime´trico, temos −a = (−1) · a.
A igualdade −a = a · (−1) e´ ana´loga e voceˆ deve tentar fazer repetindo
a ide´ia acima, mas fazendo a multiplicac¸a˜o por a a` esquerda. �
Vimos na Sec¸a˜o anterior que ha´ ane´is sem unidade.
Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o
s´ımbolo 1, propositadamente, diferente do s´ımbolo 0 do elemento neutro
aditivo. Por queˆ?
Suponhamos que no anel A temos 1 = 0. A igualdade ao lado deve ser
lida como ”os elementos
neutros aditivo e
multiplicativo sa˜o iguais”.
Enta˜o, para todo a ∈ A, temos
a = a · 1 = a · 0 = 0,
onde a primeira igualdade e´ consequ¨eˆncia de 1 ser o elemento neutro multi-
plicativo e a u´ltima, do item (i) da Proposic¸a˜o 2. Logo, A = { 0 }.
Na˜o tem a menor grac¸a estudar esse anel.
Portanto, quando tratamos, teoricamente, de ane´is com unidade supo-
mos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo sa˜o diferentes,
isto e´, 1 6= 0.
Definic¸a˜o 5 (Divisores de zero)
Seja A um anel. O elemento na˜o-nulo a ∈ A e´ um divisor de zero se, e
somente se, existe um elemento na˜o-nulo b ∈ A tal que a ·b = 0 ou b ·a = 0.
Exemplo 9
a. No anel F(I), onde I = (−1, 1), sa˜o divisores de zero as func¸o˜es
f, g : I −→ R definidas por
Instituto de Matema´tica
43 UFF
Propriedades elementares
f(x) =
{
1, se x ∈ (−1, 0)
0, se x ∈ [0, 1) e g(x) =
{
0, se x ∈ (−1, 0)
2, se x ∈ [0, 1)f · g= 0, pois f(x) · g(x) = 0,
para todo x ∈ (−1,1).
b. No anel M2×2(R) sa˜o divisores de zero as seguintes matrizes
X =
(
1 0
0 0
)
e Y =
(
0 0
0 1
)
Os ane´is comutativos com unidade sem divisores de zero sa˜o chamados
de domı´nios.
Definic¸a˜o 6 (Dom´ınio)
Seja A um anel comutativo com unidade. A e´ um domı´nio se, e somente se,
tem a propriedade:
M4 se a · b = 0, enta˜o a = 0 ou b = 0.
Observamos que a propriedade M4 e´ equivalente a:
Sejam P e Q propriedades e
∼P e ∼Q, respectivamente,
suas negac¸o˜es. Enta˜o,
P =⇒ Q
e´ equivalente a
∼Q =⇒∼P. M4
′ se a 6= 0 e b 6= 0, enta˜o a · b 6= 0.
Exemplo 10
O anel dos nu´meros inteiros Z e´ um domı´nio, pois o produto de dois inteiros
na˜o-nulos e´ um inteiro na˜o-nulo.
Proposic¸a˜o 3 (Lei do cancelamento)
Seja A um domı´nio. Se a · b = a · c com a 6= 0, enta˜o b = c.
Demonstrac¸a˜o: Se a · b = a · c, enta˜o somando −a · b a ambos os membros
dessa igualdade, obtemos 0 = a · b− a · b = a · c− a · b = a · (c− b). Como
a 6= 0, pela propriedade M4, 0 = c−b. Somando b, a essa u´ltima igualdade,temos b = 0+ b = (c− b) + b
(1)
= c+ (−b+ b) = c+ 0 = c. �
Em (1) usamos a
propriedade associativa da
adic¸a˜o (A1).
Definic¸a˜o 7 (Elemento invert´ıvel)
Seja A um anel com unidade. Um elemento a ∈ A e´ dito invert´ıvel se, e
somente se, existe um elemento a′ ∈ A, tal que a · a′ = a′ · a = 1.
Nesse caso, dizemos que a′ e´ inverso de a e a e´ inverso de a′.
Exemplo 11
No anel M2×2(Z) das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros,
a matriz X =
(
2 3
1 2
)
e´ invert´ıvel e X′ =
(
2 −3
−1 2
)
e´ seu inverso, pois
verificamos, facilmente, que X · X′ = X′ · X = I.
Volte ao Exerc´ıcio 4 da
Sec¸a˜o anterior. Nesse anel, a
unidade, conhecida como
matriz identidade, e´
I=
 
1 0
0 1
!
M.L.T.Villela
UFF 44
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Exemplo 12
Consideremos o anel comutativo com unidade Z[
√
2] do Exerc´ıcio 2, da Sec¸a˜o
anterior. O inverso de 1+
√
2 e´ −1 +
√
2, pois
(1+
√
2)(−1+
√
2) = (−1+
√
2)(1+
√
2) = 1.
Exemplo 13
Os elementos invert´ıveis do anel Z sa˜o 1 e −1.
Proposic¸a˜o 4 (Unicidade do inverso)
Sejam A um anel com unidade e a ∈ A. Se a e´ invert´ıvel, enta˜o seu inverso
e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o: Digamos que b e c sejam inversos de a, isto e´,
a · b = b · a = 1 e a · c = c · a = 1.
Enta˜o,
Em (1) usamos que a
multiplicac¸a˜o e´ associativa
(M1).
b = b · 1 = b · (a · c) (1)= (b · a) · c = 1 · c = c. �
Da unicidade do inverso no anel A, costumamos denotar o inverso de
a por a−1.
Seja B=Mn×n(A), onde A
e´ um anel comutativo com
unidade. Enta˜o, B e´ um anel
com unidade e, para
qualquer X∈ B, temos
X · adj(X) = adj(X) ·X=
det(X)In , onde adj(X) e´ a
adjunta cla´ssica de X. Ale´m
disso, X e´ invert´ıvel se, e
somente se, det(X) e´
invert´ıvel em A.
Exemplo 14
a. Os elementos invert´ıveis no anel Mn×n(R) sa˜o as matrizes X com deter-
minante na˜o-nulo, isto e´, det(X) 6= 0.
b. Os elementos invert´ıveis no anel Mn×n(Z) sa˜o as matrizes X com deter-
minante invert´ıvel em Z, isto e´, det(X) ∈ {−1, 1}.
c. Todo nu´mero racional na˜o-nulo e´ invert´ıvel.
d. Todo nu´mero real na˜o-nulo e´ invert´ıvel.
Definic¸a˜o 8 (Corpo)
Um anel comutativo com unidade e´ chamado de corpo se, e somente se, todo
elemento na˜o-nulo e´ invert´ıvel.
Exemplo 15
Q, R e C sa˜o exemplos de corpos.
Definic¸a˜o 9 (Subanel)
Um subconjunto na˜o-vazio B de um anel A e´ um subanel de A se, e somente
se, B e´ um anel com as operac¸o˜es de A.
Instituto de Matema´tica
45 UFF
Propriedades elementares
Exemplo 16
a. Pelo exerc´ıcio 1 da sec¸a˜o anterior, nZ e´ um subanel de Z.
b. Pelo exerc´ıcio 2 da sec¸a˜o anterior, Z[
√
2] e´ um subanel de R.
c. Pelo exerc´ıcio 3 da sec¸a˜o anterior, Z[i] e´ um subanel de C.
d. Pelo exerc´ıcio 4 da sec¸a˜o anterior, M2×2(Z) e´ um subanel de M2×2(R).
Proposic¸a˜o 5
Um subconjunto na˜o-vazio B de um anel A e´ um subanel de A se, e somente
se,
(i) se a, b ∈ B, enta˜o a+ b ∈ B;
(ii) se a, b ∈ B, enta˜o a · b ∈ B;
(iii) 0A ∈ B;
(iv) se b ∈ B, enta˜o −b ∈ B.
Demonstrac¸a˜o : Suponhamos que B e´ um subanel de A. Enta˜o, as operac¸o˜es
de A esta˜o fechadas em B e logo, (i) e (ii) sa˜o va´lidas; ale´m disso, todo
elemento de B tem sime´trico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando
b ∈ B, por (iv), −b ∈ B e, por (i), 0A = b+ (−b) ∈ B. Logo, 0B = 0A ∈ B.
Reciprocamente, suponhamos va´lidas as propriedades (i) a (iv) em B.
Logo, as operac¸o˜es de A esta˜o fechadas em B e valem A3 e A4. As propri-
edades A1, A2, M1 e AM valem em B porque sa˜o va´lidas em A e B ⊂ A.
Portanto, B e´ um anel com as operac¸o˜es de A. �
Exemplo 17
Z[
√
3] e´ um subanel de R.
De fato, sejam a, b, c, d ∈ Z. Enta˜o, com a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais, temos:
(a+ b
√
3) + (c+ d
√
3)
(1)
= a+ c+ b
√
3+ d
√
3
(2)
= (a+ c) + (b+ d)
√
3;Em (1) usamos A1 e A2 e
em (2), A1 e AM do anel R.
Em (3) usamos AM, M2 e
em (4), A2 e A1 do anel R.
(a+ b
√
3)(c+ d
√
3)
(3)
= a · c+ a · d√3+ b · c√3+ 3b · d
(4)
= (a · c+ 3b · d) + (a · d+ b · c)√3.
Ale´m disso,
a+ b
√
3 = 0, a, b ∈ Z se, e somente se, a = b = 0 e
−(a+ b
√
3) = (−a) + (−b)
√
3 ∈ Z[√3], para quaisquer a, b ∈ Z.
Definic¸a˜o 10 (Subcorpo)
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K e´ um subcorpo de L se, e
somente se, K e´ um corpo com as operac¸o˜es de L.
M.L.T.Villela
UFF 46
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Exemplo 18
(1) Q e´ um subcorpo de R.
(2) R e´ um subcorpo de C.
(3) Q e´ um subcorpo de Q(
√
2).
(4) Q(
√
2) e´ um subcorpo de R.
(5) Q(i) e´ um subcorpo de C.
Veja os exerc´ıcios 12 e 13,
item (a)
Agora, para cada domı´nio D vamos construir um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, tal que
(i) D ⊂ K
(ii) as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de K.
(iii) se L e´ um corpo contendo D como subanel, enta˜o K ⊂ L.
As condic¸o˜es acima significam que todo domı´nio D e´ subanel de um
corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima e´ o corpo de
frac¸o˜es de D.
Para isto, consideramos o conjunto
S = D×D\{0} = {(a, b) ; a, b ∈ D e b 6= 0}.
Para (a, b), (c, d) ∈ S, definimos
(a, b) ∼ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c.
Proposic¸a˜o 6
A relac¸a˜o bina´ria acima e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em S.
Demonstrac¸a˜o: De fato, para todo (a, b) ∈ S, temos a · b = b · a, logo
(a, b) ∼ (a, b).
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d). Enta˜o, a · d = b · c e
d · a M2= a · d = b · c M2= c · b. Logo, (c, d) ∼ (a, b).
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Enta˜o, a · d (1)= b · c
e c · f (2)= d · e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por
b, obtemos a · d · f = b · c · f = b · d · e. Pelas propriedades M2 e M1 da
multiplicac¸a˜o em D, temos d · (a · f) = d · (b · e). Como d 6= 0, pela lei do
cancelamento em D, temos a · f = b · e. Portanto, (a, b) ∼ (e, f). �
Instituto de Matema´tica
47 UFF
Propriedades elementares
Consideremos o conjunto quociente K = S/ ∼. Enta˜o,
K = D×D\{0}/ ∼ = { (a, b) ; (a, b) ∈ D×D\{0}}.
Denotamos por a
b
a classe de equivaleˆncia de (a, b), isto e´, a
b
= (a, b).
Desta maneira,
a
b
= (a, b) = (c, d) = c
d
⇐⇒ (a, b) ∼ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c .
K =
{
a
b
; a, b ∈ D e b 6= 0}, onde a
b
= c
d
se, e somente se, a · d = b · c.
Chamamos o elemento a
b
de K de frac¸a˜o e a e b 6= 0 em D, respectiva-
mente, de numerador e denominador da frac¸a˜o.
Podemos dar a K uma estrutura de corpo.
Proposic¸a˜o 7 (Corpo de frac¸o˜es de um dom´ınio D)
Seja K =
{
a
b
; a, b ∈ D e b 6= 0} com as operac¸o˜es
a
b
+ c
d
= a·d+b·c
b·d
e a
b
· c
d
= a·c
b·d
,
onde no numerador e no denominador as operac¸o˜es sa˜o as do domı´nio D.
Enta˜o, valem as seguintes propriedades:
(i) K e´ um corpo,
(ii) D e´ um subanel de K,
(iii) se L e´ um corpo contendo D como subanel, enta˜o K ⊂ L.
O corpo K e´ chamado corpo de frac¸o˜es do domı´nio D e, pelas proprie-
dades (iii) e (ii), e´ o menor corpo contendo D como subanel.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Primeiramente, precisamos mostrar que a soma e o produto independem
do representante da classe, isto e´, que as operac¸o˜es esta˜o bem definidas.
De fato, suponhamos que a
b
= a
′
b′
e c
d
= c
′
d′
.
Enta˜o, a · b′ (1)= b · a′, c · d′ (2)= d · c′ e
Na˜o esquec¸a que todo
domı´nio e´ um anel
comutativo com unidade.
Em (3) usamos AM, M2,
M1. Em (4) usamos M2, (1)
e (2). Em (5) usamos M2,
M1, AM. Em (6) usamos M2
e M1. Em (7) usamos M2,
(1) e (2). Em (8) usamos
M2.
b′ · d′ · (a · d+ b · c) (3)= (b′ · a) · (d′ · d) + (b′ · b) · (d′ · c)
(4)
= (a′ · b) · (d′ · d) + (b′ · b) · (c′ · d)
(5)
= b · d · (a′ · d′ + b′ · c′) .
Logo,a·d+b·c
b·d
= a
′·d′+b′·c′
b′·d′
.
(a · c) · (b′ · d′) (6)= (a · b′) · (c · d′)
(7)
= (a′ · b) · (c′ · d)
(8)
= (b · d) · (a′ · c′)
M.L.T.Villela
UFF 48
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
Logo, a·c
b·d
= a
′·c′
b′·d′
.˙
Agora devemos mostrar: A1, A2, A3, A4, AM, M1, M2, M3, concluindo
que K e´ um anel comutativo com unidade. Observe que as propriedades das
operac¸o˜es de K sa˜o induzidas das propriedades das operac¸o˜es de D.
Faremos algumas delas.
A2: a
b
+ c
d
= a·d+b·c
b·d
= c·b+d·a
d·b
= c
d
+ a
b
Em D valem M2 e A2.
A3: O elemento neutro da adic¸a˜o e´ 0
1
, pois para todo a
b
∈ K temos
0
1
+ a
b
= 0·b+1·a
1·b
= a
b
.
M1:
(
a
b
· c
d
) · e
f
= a·c
b·d
· e
f
=
(a·c)·e
(b·d)·f
=
a·(c·e)
b·(d·f)
= a
b
· c·e
d·f
= a
b
(
c
d
· e
f
)
M3: O elemento neutro multiplicativo, a unidade de K, e´ 1
1
, pois para todo
a
b
∈ K temos
1
1
· a
b
= 1·a
1·b
= a
b
Falta verificar as
propriedades: A1, A4 e M2.
Verifique as outras propriedades.
Observe que a
b
= 0
1
se, e somente se, a = a · 1 = b · 0 = 0.
Assim, todo a
b
6= 0
1
e´ invert´ıvel e b
a
∈ K e´ seu inverso, pois a
b
·b
a
= a·b
b·a
= 1
1
.
(ii) Observamos que a
1
= b
1
∈ K se, e somente se, a = b.
Podemos ver D como um subconjunto de K, identificando cada a ∈ D
com a
1
∈ K. Neste caso, D = {a
1
; a ∈ D} e
a
1
+ b
1
= a·1+b·1
1·1
= a+b
1
, a
1
+ −a
1
= 0
1
e a
1
· b
1
= a·b
1·1
= a·b
1
.
A segunda igualdade
significa que
−a
1
= −a
1
.
Logo, D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, enta˜o para quaisquer
a, b ∈ D com b 6= 0 temos: a · b−1 ∈ L e
a ·b−1 = c ·d−1 se, e somente se, a ·d = (a ·b−1)(b ·d) = (c ·d−1)(b ·d) = b ·c.
Logo, K ⊂ L. �.
Veja os Exerc´ıcios 12 e 13,
item (d).
Exemplo 19
(1) O corpo dos nu´meros racionais Q =
{
a
b
; a, b ∈ Z e b 6= 0} e´ o corpo de
frac¸o˜es do domı´nio Z.
(2) O corpo Q(
√
2) e´ o corpo de frac¸o˜es do domı´nio Z[
√
2].
(3) O corpo Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es do domı´nio Z[i].
Instituto de Matema´tica
49 UFF
Propriedades elementares
Exerc´ıcios
1. Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades:
(a) Se a+ c = b+ c, enta˜o a = b.
(b) Se a+ b = a para algum a, enta˜o b = 0.
(c) −(a+ b) = −a− b.
(d) Se A tem unidade 1, enta˜o −1 e´ invert´ıvel.
2. Seja A um domı´nio. Mostre que valem as seguintes propriedades:
(a) a2 = 0 se, e somente se, a = 0.
(b) se a · b = 0 e b 6= 0, enta˜o a = 0.
(c) a2 = a se, e somente se, a = 0 ou a = 1.
3. Mostre que todo corpo e´ um domı´nio.
4. Sejam A e B ane´is e A× B = {(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.
(a) Mostre que A× B e´ um anel com as operac¸o˜es:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d),
onde na primeira coordenada a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o sa˜o do
anel A e na segunda coordenada, do anel B.
(b) Mostre que se A e B sa˜o ane´is com unidades 1A e 1B, respectiva-
mente, enta˜o A× B e´ anel com unidade.
(c) Mostre que A× B tem divisores de zero.
(d) Determine os elementos invert´ıveis de A × B, se A e B sa˜o ane´is
com unidades 1A e 1B, respectivamente.
5. Seja A um anel com unidade. Definimos A∗ = {a ∈ A ; a e´ invert´ıvel }.
Para cada anel A determine A∗:
(a) A = M2×2(Z).
(b) A = Z× Z.
(c) A = Z[i] = {a+ bi ∈ C ; a, b ∈ Z}.
(d) A = Q.
6. Sejam A = Z× Z e B = Z× {0}. Mostre que:
M.L.T.Villela
UFF 50
Propriedades elementares
PARTE 2 - SEC¸A˜O 2
(a) A e´ um anel comutativo com unidade e na˜o e´ um domı´nio.
(b) B e´ um subanel de A.
(c) B e´ um domı´nio e 1B 6= 1A.
7. Mostre que se A e´ um domı´nio e B e´ um subanel de A tal que B tem
unidade 1B, enta˜o 1B = 1A.
8. Mostre que B e´ um subanel do anel A:
(a) A = Q e B =
{ x
2n
; x ∈ Z e n = 0, 1, 2, . . .
}
.
(b) A = F(R) e B = C(R) = { f ∈ F(R) ; f e´ cont´ınua }.
(c) A = C(R) e B = { f ∈ C(R) ; f e´ deriva´vel }.
9. Sejam A um anel, a ∈ A e B = { x ∈ A ; x · a = 0 }.
(a) Mostre que B e´ um subanel de A.
(b) Se A = Z e a ∈ Z e´ na˜o-nulo, determine B.
(c) Se A = Z× Z e a = (b, 0) com b 6= 0, determine B.
(d) Se A = M2×2(Z) e a =
(
1 1
0 0
)
, determine B.
10. Mostre que todo nu´mero racional pode ser representado por uma frac¸a˜o
com denominador positivo.
11. Seja Q(
√
3) = { x+ y
√
3 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
(a) Q(
√
3) e´ um subanel de R.
(b) Q(
√
3) e´ um corpo.
(c) Z[
√
3] e´ um subanel de Q(
√
3).
(d) Q(
√
3) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[
√
3].
12. Seja Q(
√
2) = { x+ y
√
2 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
(a) Q(
√
2) e´ um subanel de R.
(b) Q(
√
2) e´ um corpo.
(c) Z[
√
2] e´ um subanel de Q(
√
2).
(d) Q(
√
2) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[
√
2].
13. Seja Q(i) = { x+ yi ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
Instituto de Matema´tica
51 UFF
Propriedades elementares
(a) Q(i) e´ um subanel de C.
(b) Q(i) e´ um corpo.
(c) Z[i] e´ um subanel de Q(i).
(d) Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i].
M.L.T.Villela
UFF 52
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Polinoˆmios com coeficientes em um anel
comutativo com unidade
Nesta sec¸a˜o definiremos o anel dos polinoˆmios com coeficientes em um
anel comutativo com unidade. Veremos que as propriedades das operac¸o˜es
dos polinoˆmios esta˜o relacionadas diretamente com as propriedades da adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o do anel, e aprenderemos a efetua´-las na pra´tica.
Voceˆs esta˜o familiarizados com expresso˜es do tipo ax2 + bx + c e
ax + b, sendo a, b e c nu´meros reais fixados e a 6= 0, sob o ponto de vista
geome´trico. Estas expresso˜es sa˜o polinoˆmios com coeficientes reais e va˜o ser
estudadas agora sob o ponto de vista alge´brico, isto e´, essas expresso˜es sera˜o
manipuladas, usando operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja x um s´ımbolo na˜o
pertencente ao anel A, chamado uma indeterminada ou varia´vel sobre A.
Para cada nu´mero natural j ≥ 1, designamos a j-e´sima poteˆncia de x
por xj e escrevemos x1 = x.
Definic¸a˜o 11 (Polinoˆmio)
Um polinoˆmio com coeficientes em A e´ uma expressa˜o do tipo
O s´ımbolo
∑
leˆ-se como
somato´rio ou soma e
convencionamos escrever
a0x
0 =a0 .
f(x) = a0+ a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn =
n∑
j=0
ajx
j,
onde n e´ um nu´mero natural e aj ∈ A, para 0 ≤ j ≤ n.
Para 0 ≤ j ≤ n, os elementos aj sa˜o chamados de coeficientes, as
parcelas ajx
j de termos e os termos ajx
j tais que aj 6= 0 de monoˆmios de
grau j do polinoˆmio f(x). O coeficiente a0 e´ chamado de termo constante.
Convencionamos:
(a) Para cada nu´mero natural n, chamar 0(x) = 0+0x+· · ·+0xn de polinoˆmio
identicamente nulo e escrever 0(x) = 0.
(b) Chamar f(x) = a0 de polinoˆmio constante.
(c) Escrever o polinoˆmio f(x) com as j-e´simas poteˆncias de x em ordem
crescente ou em ordem decrescente, a saber, f(x) = a0+a1x+a2x
2+· · ·+anxn
ou f(x) = anx
n + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0.
(d) Na˜o escrever o termo ajx
j sempre que aj = 0, quando houver algum
termo na˜o-nulo no polinoˆmio.
Instituto de Matema´tica
53 UFF
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 20
a. Dados os nu´meros reais a0 =
3
2
, a1 = −1, a2 =
√
2 e a3 = 1, temos
f(x) =
3
2
− x+
√
2x2 + x3 ∈ R[x].
b. Dados os nu´meros reais a0 = 2, a1 = −
√
5, a2 = 0, a3 = −pi, a4 = 0
e a5 = −2,4, temos g(x) = 2−
√
5x− pix3 − 2,4 x5 ∈ R[x].
c. Dados os nu´meros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,
temos h(x) = −x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].
d. Dados os nu´meros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) =
5− x+ 3x2 ∈ R[x].e. Dados os nu´meros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,
temos s(x) = 2− x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].
f. Dados os nu´meros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3
e a5 = a6 = 0, temos t(x) = 2− x + 3x
2 − 3x4 ∈ R[x].
g. As expresso˜es u(x) = x−2 + 3
√
x + x5 e v(x) = 6
√
x3 − 4x2 + 5
na˜o sa˜o polinoˆmios porque nem todos os expoentes da varia´vel x sa˜o
nu´meros naturais.
O polinoˆmio f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ A[x] pode tambe´m ser
escrito como f(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn+0xn+1+0xn+2+ · · ·+0xn+m, para
todo nu´mero natural m ≥ 1. Portanto, quando comparamos dois polinoˆmios
f(x), g(x) ∈ A[x], e´ poss´ıvel assumir que os termos de ambos teˆm as mesmas
poteˆncias de x.
Igualdade de polinoˆmios:
Os polinoˆmios f(x) = a0 + a1x
1 + a2x
2 + · · · + anxn ∈ A[x] e
g(x) = b0+ b1x
1 + b2x
2 + · · ·+ bnxn ∈ A[x] sa˜o iguais se, e somente
se, aj = bj para todo j, tal que 0 ≤ j ≤ n. Escrevemos f(x) = g(x).
Isto e´, f(x) e g(x) sa˜o iguais apenas quando todos os coeficientes das
correspondentes poteˆncias de x em f(x) e g(x) sa˜o iguais.
Observe que, se f(x) e g(x) na˜o sa˜o iguais, enta˜o existe algum nu´mero
natural j, com 0 ≤ j ≤ n e aj 6= bj. Neste caso, dizemos que f(x) e g(x) sa˜o
diferentes e escrevemos f(x) 6= g(x).
No Exemplo 20, os coeficientes dos termos constantes dos polinoˆmios
h(x) = −x + 3x2 − 3x4 e t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 sa˜o diferentes; logo
h(x) 6= t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mesmas
poteˆncias de x em s(x) e t(x) sa˜o iguais.
M.L.T.Villela
UFF 54
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Exemplo 21
Os polinoˆmios f(x) = x4−x5+4x2+3−2x e g(x) = 3+4x2−2x−x5+x4
sa˜o iguais, porque os seus coeficientes aj da j-e´sima poteˆncia x
j sa˜o: a0 = 3,
a1 = −2, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1 e a5 = −1.
Escrevendo os polinoˆmios com as poteˆncias de x em ordem crescente, visua-
lizamos imediatamente a igualdade dos polinoˆmios. Temos
f(x) = g(x) = 3− 2x + 4x2 + x4 − x5.
O s´ımbolo 6≡ leˆ-se como na˜o
e´ ideˆntico.
O s´ımbolo grau(f(x)) leˆ-se
como grau de f de x.
Em todo polinoˆmio na˜o identicamente nulo, f(x) 6≡ 0, algum coeficiente
deve ser diferente de zero, enta˜o ha´ um maior nu´mero natural n, tal que
an 6= 0. Definimos o grau de f(x) por grau(f(x)) = n e, nesse caso, an e´
chamado de coeficiente l´ıder de f(x).
Os polinoˆmios de grau n com coeficiente l´ıder an = 1 sa˜o chamados de
polinoˆmios moˆnicos.
Importante: Na˜o definimos o grau do polinoˆmio identicamente nulo, 0(x) ≡ 0.
Exemplo 22
O polinoˆmio constante w(x) = 5 na˜o e´ identicamente nulo e grau(w(x)) =
0. Volte ao Exemplo 20 e observe que grau(f(x)) = 3, grau(g(x)) = 5,
grau(h(x)) = 4, grau(r(x)) = 2, grau(s(x)) = 4, grau(t(x)) = 4 e que f(x) e´
o u´nico polinoˆmio moˆnico.
Note que:
grau(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) = a 6= 0, a ∈ A.
Denotamos o conjunto de todos os polinoˆmios na varia´vel x com coefi-
cientes no anel comutativo com unidade 1A por A[x].
A[x] = { f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn | n ∈ N, aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n }.
No conjunto A[x] esta˜o definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
de polinoˆmios.
Definic¸a˜o 12 (Adic¸a˜o de polinoˆmios)
Definimos a adic¸a˜o dos polinoˆmios f(x) =
n∑
j=0
ajx
j e g(x) =
n∑
j=0
bjx
j de
A[x] por
f(x) + g(x) =
n∑
j=0
cjx
j, onde cj = aj + bj, para 0 ≤ j ≤ n.
O resultado da adic¸a˜o de
dois polinoˆmios e´ chamado
de soma.
Instituto de Matema´tica
55 UFF
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 23
Sejam f(x) = 4x3− 3x2+ 4x+ 5, g(x) = 2x2− 5x− 2 e h(x) = −4x3+ 5x2− 3x+ 1
em Z[x]. Enta˜o,
Lembre que
a−b=a+(−b),
para quaisquer a e b no anel
A.
f(x) + g(x) = (4+ 0)x3 + (−3+ 2)x2 + (4+ (−5))x+ (5+ (−2))
= 4x3 − x2 − x + 3,
f(x) + h(x) = (4− 4)x3 + (−3+ 5)x2 + (4− 3)x+ (5+ 1)
= 0x3 + 2x2 + x + 6
= 2x2 + x + 6.
No exemplo anterior, observamos que
grau(f(x)) = grau(h(x)) = 3 e grau(f(x)+h(x)) = 2, enquanto grau(g(x)) =
2 e grau(f(x) + g(x)) = 3 = ma´ximo { grau(f(x)), grau(g(x)) }.
Na adic¸a˜o de polinoˆmios vale a seguinte propriedade do grau.
Propriedade do grau: (Adic¸a˜o de polinoˆmios)
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajx
j, com an 6= 0, e g(x) =
m∑
j=0
bjx
j, com bm 6= 0.
Se f(x) + g(x) 6≡ 0, enta˜o
O s´ımbolo max significa o
maior ou o ma´ximo dos
nu´meros.
grau(f(x) + g(x)) ≤ max{ grau(f(x)), grau(g(x)) } = max {n,m }
valendo a igualdade sempre que grau(f(x)) = n 6= m = grau(g(x)).
A adic¸a˜o de polinoˆmios tem diversas propriedades, que sa˜o
consequ¨eˆncia das propriedades da adic¸a˜o no anel A, conforme veremos a
seguir.
Propriedades da adic¸a˜o:
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajx
j
, g(x) =
n∑
j=0
bjx
j e h(x) =
n∑
j=0
cjx
j em A[x].
(A1) Associativa: (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ,
Lembre que
a adic¸a˜o no anel A e´
associativa (A1) e
comutativa (A2).
pois para quaisquer aj, bj, cj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos que
(aj + bj) + cj = aj + (bj + cj) .
(A2) Comutativa: f(x) + g(x) = g(x) + f(x) ,
pois para quaisquer aj, bj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos aj + bj = bj + aj.
(A3) Existeˆncia de elemento neutro:
Como o polinoˆmio identicamente nulo 0 =
n∑
j=0
0xj, enta˜o f(x) = 0+f(x),
pois para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n, temos aj = 0+ aj.
Lembre que no anel A
0 e´ o elemento neutro
aditivo.
M.L.T.Villela
UFF 56
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
(A4) Existeˆncia de sime´trico:
Dado f(x) =
n∑
j=0
ajx
j, o polinoˆmio −f(x) =
n∑
j=0
(−aj)x
j e´ o sime´trico de
f(x), sendo
f(x) + (−f(x)) =
n∑
j=0
0xj ,
Lembre que no anel A
−a e´ o sime´trico de a.
pois aj + (−aj) = 0 para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n.
Exemplo 24
Consideremos os polinoˆmios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x+ 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2
e h(x) = −4x3 + 5x2 − 3x + 1 do Exemplo 23.
a. No Exemplo 23 determinamos f(x) + g(x) = 4x3 − x2 − x + 3.
Assim, (f(x) + g(x)) + h(x) = (4x3 − x2 − x + 3) + (−4x3 + 5x2 − 3x+ 1)
= (4−4)x3+(−1+5)x2+(−1−3)x+(3+1) = 0x3+4x2−4x+4 = 4x2−4x+4.
b. A adic¸a˜o de polinoˆmios pode ser feita facilmente se escrevemos os po-
linoˆmios numa tabela, onde nas primeiras linhas esta˜o cada um dos po-
linoˆmios com as poteˆncias xj em ordem decrescente, e na u´ltima linha o
resultado da adic¸a˜o, de maneira similar a` adic¸a˜o de nu´meros reais. Calcula-
remos g(x) + h(x) desse modo.
2x2 − 5x − 2
(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1
− 4x3 + 7x2 − 8x − 1
Nesse caso, g(x) + h(x) = −4x3 + 7x2 − 8x− 1.
c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinoˆmios,
construindo uma tabela com m + 1 linhas e tantas colunas quantas forem
necessa´rias. Por exemplo, para calcular f(x) + g(x) + h(x) a tabela tera´
quatro linhas
4x3 − 3x2 + 4x + 5
2x2 − 5x − 2
(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1
0x3 + 4x2 − 4x + 4
Logo, f(x) + g(x) + h(x) = 4x2 − 4x+ 4.
Definic¸a˜o 13 (Multiplicac¸a˜o de polinoˆmios)
Definimos a multiplicac¸a˜o dos polinoˆmios f(x) =
n∑
j=0
ajx
j e g(x) =
m∑
j=0
bjx
j
em A[x] por
Instituto de Matema´tica
57 UFF
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
f(x) · g(x) =
n+m∑
j=0
cjx
j
O resultado da multiplicac¸a˜o
de dois polinoˆmios e´
chamado de produto.
sendo
c0 = a0 · b0
c1 = a0 · b1 + a1 · b0
c2 = a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0
...
cj = a0 · bj + a1 · bj−1+ · · ·+ aj · b0 =
∑
λ+µ=j
aλ · bµ
...
cn+m = an · bm .
Propriedade do grau: (Multiplicac¸a˜o de polinoˆmios)
Sejam A um domı´nio e f(x) =
n∑
j=0
ajx
j, com an 6= 0, e g(x) =
m∑
j=0
bjx
j,
com bm 6= 0. Enta˜o,
Lembre que
em um domı´nio
a · b= 0⇐⇒ a= 0 ou b= 0.
grau(f(x) · g(x)) = n+m
pois o coeficiente l´ıderde f(x) · g(x) e´ cn+m = an · bm 6= 0 .
A multiplicac¸a˜o de polinoˆmios tem as seguintes propriedades.
Propriedades da multiplicac¸a˜o:
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajx
j, g(x) =
m∑
j=0
bjx
j e h(x) =
r∑
j=0
cjx
j elementos
de A[x].
(M1) Associativa: (f(x) · g(x)) · h(x) = f(x) · (g(x) · h(x)) .
(M2) Comutativa: f(x) · g(x) = g(x) · f(x) ,Lembre que
no anel A a multiplicac¸a˜o e´
associativa e comutativa. pois para todo j com 0 ≤ j ≤ n +m , vale a identidade∑
λ+µ=j
aµbλ =
∑
λ+µ=j
bλaµ .
Note que, em vista da definic¸a˜o das operac¸o˜es:
• Para quaisquer j, k ∈ N, vale a identidade: xj · xk = xj+k.
• Se f(x) = a e g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, enta˜o
f(x) · g(x) = a · g(x) = a ·
(
m∑
k=0
bkx
k
)
=
m∑
k=0
(a · bk)xk
= (a · b0) + (a · b1)x+ · · ·+ (a · bm)xm ,
M.L.T.Villela
UFF 58
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
pois, nesse caso, a0 = a, n = 0, e cj = a0 · bj = a · bj, para todo j ∈ N.
Em particular, A[x] tem a propriedade M3:
(M3) Existeˆncia de elemento neutro multiplicativo :
1A · f(x) = f(x), para qualquer f(x) ∈ A[x] e 1A[x] = 1A.
• Se f(x) = axj com j ≥ 1, e g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm, enta˜o
f(x) · g(x) = (axj) · g(x) = (axj) ·
(
m∑
k=0
bkx
k
)
=
m∑
k=0
(a · bk)xk+j
= (a · b0)xj + (a · b1)xj+1 + · · ·+ (a · bm)xj+m ,
pois, nesse caso, temos a0 = 0, . . . , aj−1 = 0 aj = a, n = j, n+m = j+m,
c0 = 0, . . . , cj−1 = 0, cj = aj · b0 = a · b0, cj+1 = aj · b1 = a · b1, . . .,
cj+m = aj · bm = a · bm.
Combinando as treˆs observac¸o˜es anteriores com o fato da adic¸a˜o de
polinoˆmios corresponder a adicionar os coeficientes das poteˆncias de x de
mesmo expoente em ambos os polinoˆmios, obtemos mais uma propriedade,
que envolve as duas operac¸o˜es.
Propriedade da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o:
Lembre que
no anel A a adic¸a˜o e a
multiplicac¸a˜o teˆm a
propriedade distributiva:
a(b+c) =ab+ac .
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajx
j, g(x) =
n∑
j=0
bjx
j e h(x) =
m∑
j=0
cjx
j.
(AM) Distributiva: (f(x) + g(x)) · h(x) = f(x) · h(x) + g(x) · h(x) .
Com as propriedades acima da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de polinoˆmios
em A[x], obtivemos a seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 8
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Enta˜o, A[x] e´ um anel co-
mutativo com unidade. Mais ainda, se A e´ um domı´nio, enta˜o A[x] e´ um
domı´nio.
Demonstrac¸a˜o: So´ falta a u´ltima afirmac¸a˜o. Suponhamos queA e´ um domı´nio
e sejam f(x), g(x) ∈ A[x] na˜o-nulos.
Digamos que grau(f(x)) = m e grau(g(x)) = n. Enta˜o, pela proprie-
dade do grau, temos que grau(f(x) · g(x)) = m+n e logo, f(x) · g(x) 6= 0.
�
Exemplo 25
Sa˜o ane´is de polinoˆmios muito importantes: Z[x],Q[x],R[x] e C[x].
Agora podemos fazer exemplos da multiplicac¸a˜o de polinoˆmios.
Instituto de Matema´tica
59 UFF
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 26
Consideremos os polinoˆmios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x+ 5, g(x) = 2x2 − 5x− 2
e h(x) = −4x3 − 3x+ 1 em Z[x].
a. Vamos calcular f(x) · g(x).
Usando a propriedade distributiva da multiplicac¸a˜o de polinoˆmios, temos
f(x) · g(x) = (4x3 − 3x2 + 4x + 5) · (2x2 − 5x − 2)
(1)
= 4x3·(2x2−5x−2)+(−3x2)·(2x2−5x−2)+4x·(2x2−5x−2)+5·(2x2−5x−2)
(2)
= (8x5−20x4−8x3)+(−6x4+15x3+6x2)+(8x3−20x2−8x)+(10x2−25x−10)
(3)
= 8x5+ (−20− 6)x4+ (−8+ 15+ 8)x3+ (6− 20+ 10)x2+ (−8− 25)x− 10
(4)
= 8x5 − 26x4 + 15x3 − 4x2 − 33x− 10.
Observe que as igualdades acima foram obtidas:
(1) distribuindo as parcelas de f(x) na multiplicac¸a˜o por g(x);
(2) distribuindo cada multiplicac¸a˜o com respeito a`s parcelas de g(x);
(3) usando a definic¸a˜o da adic¸a˜o de polinoˆmios
(4) fazendo a adic¸a˜o dos coeficientes das poteˆncias de x de mesmo expoente.
b. Vamos calcular h(x) · g(x).
Construiremos uma tabela, escrevendo h(x) na primeira linha e g(x) na se-
gunda, com as poteˆncias de x em ordem decrescente. Fazemos a multiplicac¸a˜o
usando a propriedade distributiva e calculando a multiplicac¸a˜o dos termos
do polinoˆmio g(x) por h(x), em ordem crescente das poteˆncias de x e orga-
nizando na tabela os resultados parciais em ordem decrescente das poteˆncias
de x. A u´ltima linha da tabela sera´ a adic¸a˜o das multiplicac¸o˜es parciais.
− 4x3 − 3x + 1
(×) 2x2 − 5x − 2
8x3 + 0x2 + 6x − 2 −2 · (−4x3 −3x+1)
20x4 + 0x3 + 15x2 − 5x −5x · (−4x3 −3x+1)
−8x5 + 0x4 − 6x3 + 2x2 2x2 · (−4x3 −3x+1)
−8x5 + 20x4 + 2x3 + 17x2 + x − 2 adic¸a˜o das 3 parcelas
Temos grau(h(x) · g(x)) = 5 = 3+ 2 = grau(h(x)) + grau(g(x)).
M.L.T.Villela
UFF 60
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
PARTE 2 - SEC¸A˜O 3
Exerc´ıcios
1. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 + x3 − 2x − 3,
h(x) = 2x3−2x2−x+2, r(x) = −2x3+3x2+5x−3 e s(x) = −x2+x−3
em Z[x]. Efetue a operac¸a˜o e deˆ o grau dos resultados na˜o identica-
mente nulos:
(a) f(x) + g(x) (b) x2 · f(x) − g(x) + x · h(x)
(c) g(x) + (3− 2x2) · h(x) (d) g(x) + h(x) + r(x) + s(x)
(e) h(x) + r(x) (f) h(x) · s(x) + r(x) · s(x)
(g) (2x− 1) · r(x) − (3x + 2) · s(x) (h) (x2 − 1) · (x2 + 1) − (s(x))2
2. Determine em Z[x]:
(a) (x4 − 3x2 + 5)(2x+ 3) + (x2 + 3x)(4x3 − 6x).
(b) 9x2(2x2 + 3) + 4x(3x3 − 2).
Se f(x) e´ um polinoˆmio em
A[x], onde A e´ um anel e
n≥ 1 e´ um nu´mero natural,
enta˜o
(f(x))n = f(x) · f(x) · · · f(x)︸ ︷︷ ︸
n fatores
Convencionamos na˜o
escrever o sinal da operac¸a˜o
de multiplicac¸a˜o de
polinoˆmios. Assim,
f(x)g(x) = f(x) · g(x).
3. Considere o anel Q[x]. Determine:
(a) (x2 + 2)(x2 − 2) (b) (x − 2)3 (c) (x− 1)2(x + 1)2
(d) (x + 3)(x+ 1)(x− 4) (e) (x+ 2)4 (f)
(
1
2
x − 4
)2
(g)
(
1
3
x+ 3
)3
Lembre da fo´rmula do
binoˆmio de Newton em Q
(a+b)n =
n∑
k=0
“n
k
”
an−kbk
4. Determine os nu´meros reais a, b, c e d para que as identidades de
polinoˆmios sejam verdadeiras em R[x]:
(a) (a+ 5)x3 + (1− b)x2 + (2c− 1)x+ (d+ 2) ≡ 0.
(b 3ax7 − 2bx5 + 3cx4+ (d+ 3) = x5 − x4 + 3.
(c) ax2 + bx + c = (ax− d)2.
(d) (b+ d)x4 + (d+ a)x3 + (a− c)x2 + (c+ b)x = 4x4 + 2x2.
5. Determine nu´meros reais a, b, c e d tais que
f(x) + 2g(x) − 3h(x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + x+ 2,
sabendo que f(x) = ax3 + 2x2 − x + d, g(x) = x3 + bx2 − 2x − 4 e
h(x) = x4 + 2x3 + dx2 + cx+ c esta˜o em R[x].
6. Dado o polinoˆmio g(x) ∈ R[x], determine, em cada item, o polinoˆmio
f(x) ∈ R[x], tendo a condic¸a˜o indicada:
(a) f(x) + g(x) = 0, g(x) = x2 − x+ 3.
(b) 2f(x)+3g(x) = 4x5+x3+x2−x+1, g(x) = 2x4−x3−x2+3x+5.
(c) 3f(x)−2g(x)+5x−3 = 6x3+5x2−3x−2, g(x) = 5ax3−bx2+2x+c.
7. Discuta, para a ∈ R, o grau do polinoˆmio f(x) ∈ R[x]:
(a) f(x) = (a2− 1)2x3 + (a2 − 3a+ 2)x+ a+ 3
Instituto de Matema´tica
61 UFF
Polinoˆmios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
(b) f(x) = ax2 + 2ax+ 9
(c) f(x) = (a3 − a)x3 + a(a− 1)x2 + a3 − 1
8. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Mostre que:
(a) A e´ um subanel de A[x].
(b) A[x]∗ = A∗, se A e´ um domı´nio.
(c) Se A e´ um corpo, enta˜o A[x]∗ = A\{0}.
M.L.T.Villela
UFF 62
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
Seja A um anel comutativo com unidade 1A.
Definic¸a˜o 14 (Anel ordenado)
Um anel A, comutativo com unidade, e´ chamado de anel ordenado se existir
uma relac¸a˜o bina´ria a ≤ b (menor ou igual), que tem as seguintes proprie-
dades:
Quando a≤ b, tambe´m
dizemos que b e´ maior ou
igual a a e escrevemos
b≥ a.
O1 (Reflexiva) Para qualquer a ∈ A, temos a ≤ a.
O2 (Antisime´trica) Para quaisquer a, b ∈ A, se a ≤ b e b ≤ a, enta˜o a = b.
O3 (Transitiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b e b ≤ c, enta˜o a ≤ c.
O4 (Total) Dados a, b ∈ A, uma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira:
a ≤ b ou b ≤ a.
OA (Compat´ıvel com a adic¸a˜o) Para quaisquera, b, c ∈ A,
se a ≤ b, enta˜o a+ c ≤ b+ c.
OM (Compat´ıvel com a multiplicac¸a˜o) Para quaisquer a, b, c ∈ A,
se a ≤ b e c ≥ 0, enta˜o a · c ≤ b · c.
Usamos as seguintes notac¸o˜es:
a < b⇐⇒ a ≤ b com a 6= b.
b > a (b maior do que a) ⇐⇒ a < b.
Observamos que num anel ordenado A, para cada a ∈ A vale uma das
seguintes propriedades: a > 0 ou a = 0 ou a < 0.
Definic¸a˜o 15 (Positivo ou negativo)
Seja A um anel ordenado. Seja a ∈ A. Se a > 0 dizemos que a e´ positivo e
se a < 0 dizemos que a e´ negativo.
A ordem em Q e´ induzida
pela ordem de Z.
Exemplo 27
(1) Z e´ um domı´nio ordenado.
(2) Q =
{
m
n
; m,n ∈ Z, n 6= 0 } e´ um corpo ordenado, pois definimos:
a, b ∈ Q, a ≤ b⇐⇒ b− a ≥ 0, onde
Instituto de Matema´tica
63 UFF
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
m
n
> 0⇐⇒m,n sa˜o ambos positivos ou ambos negativos.
(3) R e´ um corpo ordenado.
Proposic¸a˜o 9 (Propriedades de anel ordenado)
Seja A um anel ordenado e seja a ∈ A. Enta˜o:
(i) Se a ≤ 0, enta˜o −a ≥ 0.
(ii) Se a ≥ 0, enta˜o −a ≤ 0.
(iii) a2 ≥ 0.
(iv) 1 > 0.
Demonstrac¸a˜o:
(i) a ≤ 0 OA=⇒ a+ (−a) ≤ 0+ (−a) =⇒ 0 ≤ −a⇐⇒ −a ≥ 0.
(ii) a ≥ 0 OA=⇒ a+ (−a) ≥ 0+ (−a) =⇒ 0 ≥ −a⇐⇒ −a ≤ 0.
(iii) a ≥ 0 OM=⇒ a · a ≥ 0 · a =⇒ a2 ≥ 0.
a ≤ 0 (i)=⇒ −a ≥ 0 OM=⇒ a · (−a) ≤ 0 · (−a) =⇒ −a2 ≤ 0 (i)=⇒ a2 ≥ 0.
(iv) 1 = 12 ≥ 0 e 1 6= 0 =⇒ 1 > 0. �
Atenc¸a˜o: Observamos que o corpo dos nu´meros complexos na˜o e´ um anel
ordenado pois, caso contra´rio, i 6= 0 e, pelo item (iii) da proposic¸a˜o anterior,
−1 = i2 > 0 enta˜o, pelo item (ii), 1 < 0, uma contradic¸a˜o com o item (iv).
Proposic¸a˜o 10
Se D e´ um domı´nio ordenado, enta˜o o corpo de frac¸o˜es de D e´ um corpo
ordenado.
Demonstrac¸a˜o: Primeiramente, observe que se x = a
b
∈ K, enta˜o x pode
ser representado por uma frac¸a˜o com denominador positivo. De fato, se
b > 0, nada ha´ a fazer. Suponhamos que b seja negativo. Enta˜o, −b > 0 e
x = a
b
= −a
−b
.
A ordem em K e´ induzida pela ordem em D. Definimos
a
b
≤ c
d
, com b > 0 e d > 0, se, e somente se, ad ≤ bc. (⋆)
Agora devemos verificar as seis propriedades da ordem em K.
O1 (Reflexiva): E´ claro que a
b
≤ a
b
, pois ab− ba = 0.
O2 (Antisime´trica): Sejam a
b
≤ c
d
e c
d
≤ a
b
, com b > 0 e d > 0. Enta˜o,
ad ≤ bc e bc ≤ ad. Pela propriedade O2 em D, temos ad = bc. Portanto,
a
b
= c
d
.
O3 (Transitiva): Dados a
b
≤ c
d
e c
d
≤ e
f
em K, com b > 0, d > 0 e f > 0,
enta˜o ad ≤ bc e cf ≤ ed. Como f > 0 e b > 0, pela propriedade OM em
M.L.T.Villela
UFF 64
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
D, temos que (ad)f ≤ (bc)f e b(cf) ≤ b(ed). Pela propriedade O3 em D,
obtemos que adf ≤ bed. Como d > 0, pela propriedade OM em D, temos
af ≤ be. Pela definic¸a˜o (⋆) da ordem em K, temos a
b
≤ e
f
.
O4 (Total): Dados a
b
e c
d
em K, com b > 0 e d > 0, temos que, pela
propriedade O4 em D, ad ≤ bc ou bc ≤ ad. Logo, a
b
≤ c
d
ou c
d
≤ a
b
.
OA (Compat´ıvel com a adic¸a˜o): Dados a
b
≤ c
d
e e
f
em K, com b > 0,
d > 0 e f > 0, enta˜o ad ≤ bc, com b > 0, d > 0 e f > 0. Pela propriedade
OM em D, f2 > 0 e (ad)f2 ≤ (bc)f2. Pela propriedade OA em D, obtemos
(ad)f2+ bedf ≤ (bc)f2+ bedf. Logo,
(af+ be)(df) ≤ (cf+ de)(bf), com df > 0 e bf > 0,
que e´ equivalente a,
a
b
+ e
f
= af+be
bf
≤ cf+de
df
= c
d
+ e
f
.
OM (Compat´ıvel com a multiplicac¸a˜o): Dados a
b
≤ c
d
e e
f
≥ 0, com b > 0,
d > 0 e f > 0, enta˜o ad ≤ bc, com b > 0, d > 0, f > 0 e e ≥ 0. Pela
propriedade OM em D, temos ef ≥ 0 e (ad)(ef) ≤ (bc)(ef), com b > 0,
d > 0. Logo, (ae)(df) ≤ (bf)(ce), com df > 0 e bf > 0, que e´ equivalente a
ae
bf
≤ ce
df
. �
Voceˆ deve verificar OM e
OA.
Definic¸a˜o 16 (Valor absoluto)
Seja A um anel ordenado. Definimos o valor absoluto de a ∈ A por
| a |=
{
a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
O valor absoluto tem as seguintes propriedades.
Proposic¸a˜o 11
Sejam A um anel ordenado e a, b ∈ A. Enta˜o:
(i) | a |≥ 0 e | a |= 0 se, e somente se, a = 0.
(ii) − | a |≤ a ≤| a |.
(iii) | −a |=| a |.
(iv) | a · b |=| a | · | b |.
A desigualdade ao lado e´
conhecida como
desigualdade triangular.
(v) | a+ b | ≤ | a | + | b |.
(vi) | | a | − | b | | ≤ | a± b | ≤ | a | + | b |.
Demonstrac¸a˜o: Fac¸a como exerc´ıcio.
Agora vamos introduzir o conceito de anel bem ordenado.
Instituto de Matema´tica
65 UFF
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
Definic¸a˜o 17 (Conjunto limitado inferiormente)
Seja S 6= ∅ um subconjunto de um anel ordenado A.
Dizemos que S e´ limitado inferiormente se existir um elemento a ∈ A,
tal que para todo s ∈ S temos s ≥ a.
Dizemos que S tem um menor elemento, se existir s0 ∈ S, tal que, para
todo s ∈ S, temos s ≥ s0.
Observac¸a˜o (unicidade do menor elemento): O menor elemento, se existe, e´
u´nico.
De fato, digamos que s0 e s1 sa˜o menores elementos de um subconjunto
na˜o-vazio S de um anel ordenado A, enta˜o:
s1 ≥ s0, pois s0 e´ um menor elemento de S e
s0 ≥ s1, pois s1 e´ um menor elemento de S,
logo, pela propriedade antisime´trica (O2) da relac¸a˜o de ordem, s0 = s1. �
Definic¸a˜o 18 (Dom´ınio bem ordenado)
Um domı´nio ordenado A e´ chamado bem ordenado se, e somente se, todo
subconjunto na˜o-vazio de A limitado inferiormente tem menor elemento.
Exemplo 28
(1) Z, Q, R sa˜o domı´nios ordenados.
(2) R na˜o e´ bem ordenado.
Consideremos o intervalo S = (0,+∞) ⊂ R. Enta˜o, S e´ limitado inferior-
mente por 0 e S na˜o tem menor elemento.
(3) Q na˜o e´ bem ordenado.
Consideremos S =
{
1
n
; n = 1, 2, 3, . . .
} ⊂ Q. Temos
1 > 1
2
> 1
3
> 1
4
> · · · > 1
n
> 1
n+1
> · · · > 0.
S e´ limitado inferiormente por 0 e S na˜o tem menor elemento.
Para entender melhor um domı´nio bem ordenado, vamos ver mais pro-
priedades.
Proposic¸a˜o 12
Seja A um domı´nio bem ordenado e seja a ∈ A. Se a > 0, enta˜o a ≥ 1.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, por absurdo, que existe um elemento a ∈ A,
tal que 0 < a < 1. Logo, o conjunto
S = {x ∈ A ; 0 < x < 1}
M.L.T.Villela
UFF 66
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
e´ na˜o-vazio e limitado inferiormente.
Portanto, S tem um menor elemento s0 e 0 < s0 < 1.
Segue de OM que 0 = 0 · s0 < s0 · s0 < 1 · s0 = s0, isto e´, 0 < s02 < s0.
Como s0 < 1, pela transitividade da relac¸a˜o de ordem, temos 0 < s0
2 < 1 e
logo, s0
2 ∈ S com s02 < s0, contradizendo o fato de s0 ser o menor elemento
de S. �
Corola´rio 1
Sejam A um domı´nio bem ordenado e a, b ∈ A. Se a > b, enta˜o a ≥ b+ 1.
Demonstrac¸a˜o: Como a > b, de OA segue que a − b > b − b = 0. Da
proposic¸a˜o anterior temos que a− b ≥ 1 e, de OA, a ≥ b+ 1. �
Observac¸a˜o: Seja A um domı´nio bem ordenado. Seja a ∈ A tal que a > 0.
Enta˜o, a ≥ 1. Se a 6= 1, enta˜o a > 1 e, do corola´rio anterior, obtemos
a ≥ 1+1. Se a 6= 1+1, enta˜o a > 1+1 e, do corola´rio anterior, a ≥ 1+1+1.
Prosseguindo com esse processo, temos
0 < 1 < 1+ 1 < 1+ 1+ 1 < 1+ 1+ 1+ 1 < · · · .
A propriedade acima nos lembra o domı´nio bem conhecido dos inteiros.
O domı´nio dos inteiros Z tem a propriedade da boa ordenac¸a˜o, a saber:
Axioma (Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o): Todo conjunto na˜o-vazio de inteiros
na˜o-negativos tem menor elemento.
Como consequ¨eˆncia do Axioma da Boa Ordenac¸a˜o de Z, temos que Z
e´ um domı´nio bem ordenado.
Proposic¸a˜o 13
Todo subconjunto na˜o-vazio de inteiros limitado inferiormente tem menor
elemento.
Demonstrac¸a˜o: Seja S ⊂ Z, S 6= ∅ e limitado inferiormente, digamos por
k ∈ Z.
Consideremos T = {x − k ; x ∈ S}. Enta˜o, T ⊂ Z e T 6= ∅, pois S 6= ∅.
Como x ≥ k, para todo x ∈ S, enta˜o x− k ≥ 0 e logo, T e´ um subcon-
junto na˜o-vazio de inteiros na˜o-negativos. Pelo axioma da boa ordenac¸a˜o,
existe t0 ∈ T o menor elemento de T. Afirmamos que s0 = t0 + k e´ o menor
elemento de S.
Instituto de Matema´tica
67 UFF
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
De fato, t0 ∈ T . Logo, existe s0 ∈ S tal que t0 = s0 − k. Assim,
s0 = t0 + k ∈ S. Precisamos apenas mostrar que se x ∈ S, enta˜o x ≥ s0.
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que existe y ∈ S, tal que y < s0.
Enta˜o, y− k < s0 − k = t0, com y− k ∈ T , contradizendo o fato de t0 ser o
menor elemento de T . �
Na verdade, mostraremos adiante que Z e´ o u´nico domı´nio bem orde-
nado. Deve ser estudado com mais cuidado.
Proposic¸a˜o 14 (Propriedade Arquimediana de Z)
Dados a, b ∈ Z com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.
Demonstrac¸a˜o: Como b 6= 0, enta˜o | b |> 0 e logo | b |≥ 1.
Como | a |≥ 0, por OM, temos | a | · | b |≥| a | ·1 =| a |≥ a.
Se b > 0, tome n =| a |, enta˜o n · b =| a | · | b |≥ a.
Se b < 0, tome n = − | a |, enta˜o
n · b = − | a | ·b =| a | ·(−b) =| a | · | b |≥ a. �
Proposic¸a˜o 15 (Propriedade Arquimediana de Q)
Dados a, b ∈ Q com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.
Demonstrac¸a˜o: Escrevemos a = c
d
e b = r
s
com c, d, r, s ∈ Z, d > 0, s > 0 e
r 6= 0.
Consideremos os inteiros r·d 6= 0 e c·s . Pela propriedade arquimediana
de Z, existe n ∈ Z tal que n · (r · d) ≥ c · s.
Como s · d > 0, enta˜o 1
s·d
> 0 e
n · b = n · r
s
= n · r·d
s·d
= n · (r · d) · 1
s·d
≥ c · s · 1
s·d
= c·s
d·s
= c
d
= a. �
Exerc´ıcios
1. Demonstre as propriedades do valor absoluto num anel ordenado A.
2. Seja A um anel ordenado. Mostre que:
(a) Se a+ c ≤ b+ c, enta˜o a ≤ b.
(b) Se a ≤ b e c ≤ d, enta˜o a+ c ≤ b+ d.
(c) Se a ≤ b e c ≤ 0, enta˜o a · c ≥ b · c.
(d) Se a < b e b < c, enta˜o a < c.
M.L.T.Villela
UFF 68
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
PARTE 2 - SEC¸A˜O 4
(e) Se a < b e b ≤ c, enta˜o a < c.
(f) Se a < b, enta˜o a+ c < b+ c, para todo c.
(g) Se a ≥ 0 e b ≤ 0, enta˜o a · b ≤ 0.
(h) Se a ≤ 0 e b ≤ 0, enta˜o a · b ≥ 0.
3. Seja A um domı´nio ordenado. Mostre que:
(a) Se a < b e c > 0, enta˜o a · c < b · c.
(b) Se a · c ≤ b · c e c > 0, enta˜o a ≤ b.
(c) Se a · c ≤ b · c e c < 0, enta˜o a ≥ b.
4. Seja A um domı´nio ordenado. Mostre que:
(a) Se a 6= 0, enta˜o a2 > 0.
(b) 1 > 0 e −1 < 0.
5. Seja A um domı´nio ordenado.
(a) Mostre que para cada a ∈ A, | a | e´ o u´nico elemento x ≥ 0 tal
que x2 = a2.
(b) Para a ≥ 0, definimos o s´ımbolo √a ∈ A como o u´nico x ∈ A, tal
que x ≥ 0 e x2 = a, se tal elemento existe.
Mostre que se a ≥ 0 e b ≥ 0 e √a e √b existem, enta˜o √a · b
existe e
√
a · b = √a · √b.
(c) Mostre que | a |=
√
a2, para todo a ∈ A.
6. Seja A um domı´nio bem ordenado e sejam a, b ∈ A.
Mostre que se a · b = 1, enta˜o a = b = 1 ou a = b = −1.
7. Seja A um domı´nio e suponhamos que existe P ⊂ A tendo as seguintes
propriedades:
(a) Para cada x ∈ A, temos x ∈ P, ou x = 0, ou −x ∈ P e essas treˆs
possibilidades sa˜o mutuamente excludentes.
(b) Se x ∈ P e y ∈ P, enta˜o x+ y ∈ P e x · y ∈ P.
Mostre que A e´ um domı´nio ordenado com a seguinte relac¸a˜o de ordem:
para a, b ∈ A, a < b⇐⇒ b− a ∈ P.
Instituto de Matema´tica
69 UFF
Ane´is ordenados e ane´is bem ordenados
8. Mostre que se A e´ um domı´nio ordenado, enta˜o
P = {x ∈ A ; x > 0}
tem as propriedades (a) e (b) do exerc´ıcio anterior.
Conclua que a relac¸a˜o de ordem de um domı´nio ordenado esta´ perfei-
tamente determinada pelo conjunto dos elementos positivos.
9. Seja A um anel ordenado. Dizemos que um subconjunto T de A e´
limitado superiormente se, e somente se, existe a ∈ A, tal que, para
todo t ∈ T , temos t ≤ a. Dizemos que um subconjunto T de A tem
maior elemento se, e somente se, existe t0 ∈ T , tal que, para todo t ∈ T ,
temos t ≤ t0.
Seja A um domı´nio ordenado. Mostre que A e´ bem ordenado se, e
somente se, todo subconjunto T deA limitado superiormente tem maior
elemento.
Sugesta˜o: O conjunto S = {−t ; t ∈ T } e´ limitado inferiormente.
M.L.T.Villela
UFF 70
Induc¸a˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 5
Induc¸a˜o
Uma te´cnica muito utilizada em demonstrac¸o˜es e´ o Princ´ıpio de
Induc¸a˜o Finita.
Apresentaremos este conceito e mostraremos que e´ consequ¨eˆncia do
Axioma da Boa Ordenac¸a˜o do domı´nio dos nu´meros inteiros Z.
Consideremos, para n ∈ N, a seguinte afirmac¸a˜o P(n): 3n < 2n.
Observamos que:
0 = 3 · 0 < 1 = 20 =⇒ P(0) e´ verdadeira
3 = 3 · 1 > 2 = 21 =⇒ P(1) e´ falsa
6 = 3 · 2 > 4 = 22 =⇒ P(2) e´ falsa
9 = 3 · 3 > 8 = 23 =⇒ P(3) e´ falsa
12 = 3 · 4 < 16 = 24 =⇒ P(4) e´ verdadeira
15 = 3 · 5 < 32 = 25 =⇒ P(5) e´ verdadeira
Na verdade, para todo n ≥ 4 e´ va´lida a desigualdade 3n < 2n. Podemos
demonstrar essa desigualdade, usando o princ´ıpio da induc¸a˜o finita.
O me´todo de demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o finita consiste de se especificar
uma afirmac¸a˜o ou proposic¸a˜o P(n), dependendo de nu´meros inteiros n ≥ n0,
tais que P(n) pode ser verdadeira ou falsa. O princ´ıpio assegura que para a
validade de P(n), para todo n ≥ n0, basta mostrar que:
(i) P(n0) e´ verdadeira;
(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e´ verdadeira enta˜o, P(n + 1) e´ verdadeira.
Proposic¸a˜o 16 (Princ´ıpio de Induc¸a˜o Finita - 1a forma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmac¸a˜o P(n), tal
que:
(i) P(n0) e´ verdadeira;
(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e´ verdadeira, enta˜o P(n+ 1) e´ verdadeira.
Enta˜o, para todo n ≥ n0, a afirmac¸a˜o P(n) e´ verdadeira.
Demonstrac¸a˜o: Seja P(n) uma afirmac¸a˜o, para n ≥ n0, tendo as propriedades
(i) e (ii) do enunciado. Consideremos
S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e´ falsa }.
Vamos mostrar que S = ∅.
Instituto de Matema´tica
71 UFF
Induc¸a˜o
Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Como S e´ um subconjunto dos
inteiros limitado inferiormente, pelo axioma da boa ordenac¸a˜o, existe s0 ∈ S,
o menor elemento de S. Enta˜o, s0−1 6∈ S, s0 ≥ n0 e, como P(n0) e´ verdadeira,
temos que s0 > n0. Portanto, P(s0− 1) e´ verdadeira com s0− 1 ≥ n0 e, pela
propriedade (ii), conclu´ımos que P(s0) e´ verdadeira, contradizendo o fato que
s0 ∈ S. �
Na verificac¸a˜o da propriedade (ii), quando supomos a afirmac¸a˜o P(n)
verdadeira, chamamos de hipo´tese de induc¸a˜o.
Exemplo 29
Vamos mostrar a validade da desigualdade 3n < 2n, para todo n ≥ 4.
Seja P(n) : 3n < 2n, para n ≥ 4.
Ja´ vimos que P(4) e´ verdadeira.
Seja n ≥ 4 e suponhamos P(n) verdadeira. Vamos mostrar que P(n + 1)
tambe´m e´ verdadeira.
Temos
2n+1 = 2 · 2n (1)> 2 · (3n) = 3n + 3n
(2)
≥ 3n+ 12 OA> 3n+ 3 = 3(n+ 1).
Portanto, P(n+ 1) e´ verdadeira. Logo, P(n) e´ verdadeira, para todo n ≥ 4.
Em (1) usamos a hipo´tese de
induc¸a˜o: 2n >3n e OM.
Em (2) usamos que n≥ 4 e,
por OM, 3n≥ 12.
Exemplo 30
A soma dos n primeiros nu´meros inteiros positivos e´ n(n+1)
2
.
Seja P(n) a igualdade 1+ 2+ · · ·+ n = n(n+1)
2
, para n ≥ 1.
Para n = 1 temos 1 = 1·2
2
. Logo, P(1) e´ verdadeira.
Seja n ≥ 1 e suponhamos P(n) verdadeira, isto e´, 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)
2
.
Vamos mostrar que a igualdade vale para n+ 1. Temos:
Em (1) usamos a hipo´tese de
induc¸a˜o.
(1+ · · ·+ n) + n+ 1 (1)= n(n+1)
2
+ n+ 1 =
n(n+1)+2(n+1)
2
=
(n+1)(n+2)
2
.
Portanto, P(n+ 1) e´ verdadeira. Logo, P(n) e´ verdadeira para todo n ≥ 1.
Exemplo 31
Seja f(x) = 1
x
, para x ∈ R\{0}. Para todo n ≥ 1, temos f(n)(x) = (−1)nn!
xn+1
.
De fato, para n = 1, a derivada de f(x) e´ f
′
(x) = −1
x2
=
(−1)1 ·1!
x1+1
e a igualdade
e´ verdadeira.
Seja n ≥ 1 e suponhamos que f(n)(x) = (−1)nn!
xn+1
. Enta˜o,
M.L.T.Villela
UFF 72
Induc¸a˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 5
f(n+1)(x)
(1)
= d
dx
(f(n)(x))
(2)
= d
dx
(
(−1)nn!
xn+1
)
(3)
= (−1)nn!(−n − 1)x−n−2
=
(−1)n+1(n+1)!
xn+2
Em (1) usamos a definic¸a˜o
de derivada de ordem n+1,
em (2) usamos a hipo´tese de
induc¸a˜o e em (3), as
fo´rmulas de derivac¸a˜o.Logo, a igualdade vale para n + 1.
Portanto, a igualdade vale para todo n ≥ 1.
Agora apresentamos a segunda formulac¸a˜o do princ´ıpio de induc¸a˜o.
Proposic¸a˜o 17 (Princ´ıpio de induc¸a˜o finita - 2a forma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmac¸a˜o P(n), tal
que:
(i) P(n0) e´ verdadeira;
(ii) Para cada n > n0, se P(k) e´ verdadeira para n0 ≤ k < n, enta˜o P(n) e´
verdadeira.
Enta˜o, a afirmac¸a˜o P(n) e´ verdadeira para todo inteiro n ≥ n0.
Demonstrac¸a˜o: Seja P(n) uma afirmac¸a˜o, para n ≥ n0, tendo as propriedades
(i) e (ii) do enunciado.
Seja S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e´ falsa}.
Vamos mostrar que S = ∅.
Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Enta˜o, S e´ um subconjunto na˜o-
vazio de inteiros limitado inferiormente e, pelo axioma da boa ordenac¸a˜o, S
tem um menor elemento, digamos s0. Como s0 ≥ n0 e P(n0) e´ verdadeira,
enta˜o s0 > n0. Portanto, s0− 1 ≥ n0 e, pela escolha de s0, para todo inteiro
k com n0 < k ≤ s0 − 1, temos k 6∈ S, o que significa que P(k) e´ verdadeira.
Pela propriedade (ii), P(s0) e´ verdadeira, contradizendo o fato que s0 ∈ S.
�
Exemplo 32
Seja xn uma sequ¨eˆncia definida por:
x1 = 1, x2 = 3 e xn = xn−1 + xn−2, para todo n ≥ 3.
Vamos mostrar que xn <
(
7
4
)n
, para todo n ≥ 1.
De fato, x1 = 1 <
7
4
e x2 = 3 <
49
16
=
(
7
4
)2
.
Seja n ≥ 3 e suponhamos xk <
(
7
4
)k
, para todo k tal que 1 ≤ k < n. Enta˜o,
Instituto de Matema´tica
73 UFF
Induc¸a˜o
xn = xn−1 + xn−2
(1)
<
(
7
4
)n−1
+
(
7
4
)n−2
=
(
7
4
)n−2 (7
4
+ 1
)
=
(
7
4
)n−2 · 11
4
(2)
<
(
7
4
)n−2 · 49
16
=
(
7
4
)n−2 · (7
4
)2
=
(
7
4
)n
Em (1) usamos a hipo´tese de
induc¸a˜o e em (2), a
desigualdade 11
4
< 49
16
e OM.
Pela transitividade da relac¸a˜o de ordem, temos xn <
(
7
4
)n
. Portanto, a
desigualdade e´ verdadeira para n.
Logo, a desigualdade e´ verdadeira para todo n ≥ 1.
Exerc´ıcios
1. Para n ≥ 0 seja P(n) : n2 + 5 > 6n.
(a) Verifique que P(0) e´ verdadeira e P(1), P(2), P(3), P(4) e P(5) sa˜o
falsas.
(b) Mostre, por induc¸a˜o sobre n, que n2 + 5 > 6n, para todo n ≥ 6.
2. Mostre, por induc¸a˜o sobre n:
(a) 1+ 3+ 5+ · · ·+ (2n+ 1) = (n+ 1)2;
(b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
;
(c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
(
n(n+1)
2
)2
;
(d) 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)
30
.
3. Mostre, por induc¸a˜o sobre n:
(a) 2n ≥ 1+ n, para todo n ≥ 1;
(b) 2n3 − 3n2 + n+ 31 ≥ 0, para todo n ≥ −2;
(c) n! ≥ 2n, para todo n ≥ 4;
(d) n! ≥ 3n, para todo n ≥ 7;
(e) n! ≥ 4n, para todo n ≥ 9;
(f) n+ 3 < 5n2, para todo n ≥ 1;
(g) n2 < 2n, para todo n ≥ 5.
M.L.T.Villela
UFF 74
Induc¸a˜o
PARTE 2 - SEC¸A˜O 5
4. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja n ∈ N com n ≥ 1.
Definimos
an =
{
a , se n = 1
a · an−1 , se n > 1
Para quaisquer a, b ∈ A\{0} e m,n ∈ N tais que m ≥ 1 e n ≥ 1,
mostre que:
(a) am · an = am+n.
(b) (am)n = am·n.
(c) an · bn = (a · b)n.
(d) Se a 6= 0, definimos a0 = 1A e se a e´ invert´ıvel e n < 0, definimos
an = (a−1)−n.
Mostre que se a, b sa˜o invert´ıveis em A, enta˜o as igualdades dos
itens anteriores valem em Z.
5. Seja x ∈ R. Mostre que xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · ·+ x + 1),
para todo n ≥ 2.
6. Sejam a1, r ∈ R. Para cada n ≥ 2, definimos an = an−1 + r. A sequeˆncia a1,...,an e´
uma progressa˜o aritme´tica.
(a) Mostre, por induc¸a˜o sobre n, que an = a1 + (n− 1)r.
(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por induc¸a˜o sobre n, que
Sn =
n(a1+an)
2
.
7. Sejam a1, q ∈ R, com q 6= 0 e q 6= 1. Para cada n ≥ 2, definimos
an = an−1 · q.
A sequeˆncia a1,...,an e´
uma progressa˜o geome´trica.
(a) Mostre, por induc¸a˜o sobre n, que an = a1 · qn−1.
(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por induc¸a˜o sobre n, que
Sn =
an·q−a1
q−1
.
8. Para n,m ∈ N, com n ≥ m ≥ 1, temos (n
m
)
= n!
(n−m)!m!
, onde n ≥ 1,
n! = n(n − 1) · . . . · 1, 0! = 1 e (n
0
)
= 1.
(a) Mostre a seguinte igualdade(
n
m−1
)
+
(
n
m
)
=
(
n+1
m
)
, para todo n ≥ 1 e n ≥ m ≥ 1. Essa igualdade e´ conhecida
como relac¸a˜o de Stifel.
(b) Mostre, por induc¸a˜o sobre n, que
(
n
m
)
e´ um nu´mero natural, para
todo n ≥ 1, n ≥ m ≥ 0.
Instituto de Matema´tica
75 UFF
Induc¸a˜o
(c) Seja A um anel comutativo com unidade. Para quaisquer x, y ∈ A
e para todo n ≥ 1, mostre que
(x + y)n = xn +
(
n
n−1
)
xn−1y1 +
(
n
n−2
)
xn−2y2 + · · ·+ (n
1
)
x1yn−1 + yn
=
n∑
i=0
(
n
i
)
xn−iyi
Na expressa˜o do somato´rio
ao lado, convenciona-se
escrever yn = x0yn e
xn =y0xn.
9. Seja A um domı´nio ordenado e seja c ∈ A, tal que c ≥ −1.
Desigualdade de Bernoulli Mostre que, para todo nu´mero natural positivo n, (1+ c)
n ≥ 1+ nc.
M.L.T.Villela
UFF 76
Divisa˜o euclidiana
PARTE 2 - SEC¸A˜O 6
Divisa˜o euclidiana
Vamos estudar propriedades espec´ıficas do domı´nio bem ordenado dos
inteiros.
A divisa˜o no domı´nio dos inteiros nem sempre e´ exata, e´ poss´ıvel fazer
a divisa˜o com “resto pequeno”.
Teorema 1 (Divisa˜o euclidiana)
Dados inteiros a, b com b 6= 0 existem inteiros q e r, unicamente determina-
dos, tais que:
a = b · q + r, onde 0 ≤ r <| b |.
Demonstrac¸a˜o: Consideremos o conjunto
S = {x ∈ N ; x = a− b · n, para algum n ∈ Z}.
S e´ na˜o-vazio pois, pela propriedade arquimediana dos inteiros, existe
um inteiro n0 tal que n0 · (−b) ≥ −a, logo x = a−n0 · b ≥ 0 e x ∈ S. Ale´m
disso, S e´ limitado inferiormente pois, por construc¸a˜o, S ⊂ N. Pelo princ´ıpio
da boa ordenac¸a˜o, S tem menor elemento r.
Portanto, r = a− b · q, para algum q ∈ Z e, como r ∈ S, temos r ≥ 0.
Vamos mostrar que r <| b |.
Suponhamos, por absurdo, que r ≥| b |.
Enta˜o, r =| b | +m. E´ claro que 0 ≤ m < r, pois | b |> 0. Portanto,
a = b · q + r
= b · q+ | b | +m =
{
b · q + b+ m = b · (q+ 1) + m, se b > 0
b · q − b+ m = b · (q− 1) + m, se b < 0
Assim, 0 ≤ m = a−b(q± 1) ∈ S, com m < r, contradizendo o fato de
r ser o menor elemento de S.
Agora vamos mostrar a unicidade de q e r. Suponhamos que
a = b · q1 + r1 = b · q2 + r2, com 0 ≤ r1 <| b | e 0 ≤ r2 <| b |.
Enta˜o, − | b |< −r2 ≤ r1 − r2 <| b | −r2 ≤| b |.
Portanto, − | b |< r1 − r2 <| b |, que e´ equivalente a | r1 − r2 |<| b |.
Como b(q1−q2) = r2− r1, enta˜o | b | · | q1−q2 |=| r1− r2 |<| b |, com
| b |> 0. Logo, 0 ≤ | q1 − q2 |< 1. Portanto, | q1 − q2 |= 0, isto e´, q1 = q2.
Da´ı, obtemos r1 = r2 �
Instituto de Matema´tica
77 UFF
Divisa˜o euclidiana
Na divisa˜o euclidiana do inteiro a pelo inteiro b 6= 0, onde a = b ·q+ r
e 0 ≤ r <| b |, chamamos a de dividendo, b de divisor, q de quociente e r de
resto.
Exemplo 33
(1) Com a = 32 e b = 5, temos q = 6 e r = 2, pois 32 = 6 · 5+ 2.
(2) Com a = 27 e b = −4, temos q = −6 e r = 3, pois 27 = (−6) · (−4) + 3.
O nosso sistema de numerac¸a˜o utiliza a base 10 e os algarismos 0, 1,
2,. . . , 9 para descrever os nu´meros inteiros. Por exemplo,
2.347.568 = 2×106+3×105+4×104+7×103+5×102+6×101+8
Em geral, anan−1 . . . a1a0 = an10
n+an−110
n−1+ · · ·+a110+a0, onde
0 ≤ aj ≤ 9 e an 6= 0.
Podemos representar os inteiros em uma base b ≥ 2 e, de maneira
similar, usamos os algarismos 0, 1, . . . , b− 1.
Nos computadores e´ utilizado o sistema de numerac¸a˜o de base 2, com
os algarismos 0, 1. Nesse sistema de numerac¸a˜o temos que 101011 e´ a repre-
sentac¸a˜o do nu´mero 25 + 23 + 21 + 1 = 43.
Teorema 2
Dados inteiros a, b com a ≥ 0 e b > 1, existem naturais a0, a1, . . . , an, . . .,
determinados de modo u´nico, tendo as seguintes condic¸o˜es:
(i) existe um nu´mero natural m tal que an = 0, para todo n ≥ m;
(ii) para todo n, temos que 0 ≤ an < b;
(iii) a = a0+ a1b+ a2b
2 + · · ·+ anbn + · · · .
Quando a > 0, escrevemos (a)b