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Grupos
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Grupos 4
1.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Ordem de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Propriedades ba´sicas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Grupo das bijec¸o˜es-Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Grupo sime´trico de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 O grupo S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Subgrupos de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn na˜o e´ abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Grupo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Normalizador de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Congrueˆncia mo´dulo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Grupos cı´clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cı´clicos . . . . . . . 43
1.6 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7.1 Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e´ automorfismo . . . . . . . . . . . . 55
1.7.3 Determinac¸a˜o de homomorfismo entre dois grupos . . . . . . . . 59
1.7.4 Teorema de Cayley - G e´ isomorfo a um subgrupo de SG. . . . . 59
2
SUMA´RIO 3
1.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.8 O grupo Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.8.1 Ciclos de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.8.2 Ciclos de S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Capı´tulo 1
Grupos
1.1 Conceitos ba´sicos
m Definic¸a˜o 1 (Grupo). Um grupo e´ uma estrutura (G, ∗), formada por um
conjunto G munido de uma operac¸a˜o ∗, que satisfaz as seguintes propriedades
1. Associatividade
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
2. Existe um elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = a = e ∗ a.
3. Existeˆncia de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a−1 ∈ G tal
que a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo
por (G, ∗), caso esteja subentendida a operac¸a˜o ∗, podemos denotar o grupo
apenas por G .
b Propriedade 1. Poderı´amos pedir apenas que houvesse um elemento neutro
a` direita e, tal que a ∗ e = a e isso implica e tambe´m e´ um elemento neutro a`
4
CAPI´TULO 1. GRUPOS 5
esquerda, pois
a = a ∗ e = a ∗ (a−1 ∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a,
da mesma maneira poderı´amos definir apenas elemento neutro a` esquerda.
m Definic¸a˜o 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.
m Definic¸a˜o 3 (Mono´ide). E´ um semigrupo onde existe elemento neutro .
m Definic¸a˜o 4 (Magma ou grupo´ide). Vale apenas que a operac¸a˜o e´ fechada .
1.1.1 Ordem de um grupo
m Definic¸a˜o 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G, ∗), existem duas
possibilidades
• G e´ um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que
o grupo (G, ∗) e´ finito e simbolizamos |G| = n (leˆ-se: ordem de G e´ n ou
ordem de G e´ igual a` n ).
• G e´ um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G| = ∞, dizemos que a
ordem do grupo e´ infinita.
m Definic¸a˜o 6 (Grupo abeliano). Um grupo e´ dito abeliano quando vale a
propriedade a ∗ b = b ∗ a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos sa˜o tambe´m
chamados de grupos comutativos. Grupos na˜o abelianos sa˜o chamados de grupos
na˜o comutativos.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 6
Z Exemplo 1. Para n ≥ 1, (Zn,+) e´ um grupo abeliano com n elementos.
Em geral estamos denotando aqui (A∗, ∗) como conjunto A (munido da operac¸a˜o
∗) dos elementos invertı´veis com a operac¸a˜o ∗.
Z Exemplo 2. Para n ≥ 2 (Z∗n,×) e´ um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.
$ Corola´rio 1. Se um grupo G na˜o e´ abeliano, enta˜o existem x, y ∈ G tais que
x ∗ y 6= y ∗ x.
Z Exemplo 3. • Se (A,+, .) e´ um anel, enta˜o (A,+) e´ um grupo abeliano.
• Se (K,+, .) e´ um corpo, enta˜o (K,+) e´ um grupo abeliano e (K\{0}, .) tambe´m.
Podemos tomar K como R, Q, C ou Zp.
• (Z,+) e´ grupo abeliano infinito, pore´m (Z,×) na˜o e´ um grupo, pois os u´nicos
elementos invertı´veis sa˜o 1 e −1.
b Propriedade 2. Seja G = {e, g1, g2, · · · , gn} um grupo abeliano de ordem n+1.
Se G possui um u´nico elemento de ordem 2, enta˜o
n∏
k=1
gk = g1.
ê Demonstrac¸a˜o. x 6= e e´ de ordem 2 ⇔ x2 = e. Ale´m de g1 na˜o ha´ outro
elemento de ordem 2 enta˜o o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s 6=
k, 1, s ∈ In} portanto
n∏
k=2
gk = e,pois cada elemento e´ multiplicado pelo seu inverso,
daı´
n∏
k=1
gk = g1.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 7
m Definic¸a˜o 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N,K) chamado grupo
linear geral sobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K e´ um corpo. Os elementos
sa˜o as matrizes invertı´veis de ordem n com entradas em um corpo K. Lembre
que uma matriz A e´ invertı´vel ⇔ det(A) 6= 0. Temos realmente um grupo pois a
multiplicac¸a˜o de matrizes e´ associativa, possui elemento neutro (matriz identidade
com diagonal unita´ria e outros elementos nulos) e todo elemento possui inverso.
1.1.2 Propriedades ba´sicas de grupos
b Propriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um u´nico elemento
neutro e.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha dois elementos neutros e e e ′, vale e ∗ e ′ = e e
e ∗ e ′ = e ′, daı´ e = e ′.
Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da operac¸a˜o e da definic¸a˜o
de elemento neutro, a demonstrac¸a˜o na˜o depende das outras propriedades de grupo,
enta˜o outras estruturas alge´bricas que possuem elemento neutro ainda possuem uni-
cidade dele.
b Propriedade 4 (Lei do corte a` esquerda). Se a ∗ b = a ∗ c enta˜o b = c.
ê Demonstrac¸a˜o.
b = e ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Nesse caso usamos a existeˆncia do elemento neutro, existeˆncia do inverso e associa-
tividade, todas as propriedades que pedimos para um grupo. Enta˜o em grupos vale a
lei do corte.
b Propriedade 5 (Lei do corte a` direita). Se b ∗ a = c ∗ a enta˜o b = c.
ê Demonstrac¸a˜o.
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a−1) = (b ∗ a) ∗ (a−1) = (c ∗ a) ∗ a−1 = c ∗ (a ∗ a−1) = c ∗ e = c.
Enta˜o em grupos vale a lei do corte a` direita e a` esquerda.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 8
b Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a ∈ G existe um
u´nico a−1 tal que a ∗ a−1 = e.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que existam dois elementos a ′ e b ′ que sejam
inversos de um dado a, enta˜o vale
a ∗ a ′ = e = a ∗ b ′
por lei do corte segue que a ′ = b ′, fica assim provada a unicidade.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Outra demonstrac¸a˜o pode ser feita como se segue a ′ =
a ′.e = a ′(a.b ′) = (a ′a)b ′ = b ′.
b Propriedade 7. (a−1)−1 = a.
ê Demonstrac¸a˜o. Como vale a.a−1 = e segue que (a−1)−1 = a, por unicidade
do inverso.
b Propriedade 8. (a.b)−1 = b−1.a−1.
ê Demonstrac¸a˜o. (a.b)(b−1.a−1) = a.e.a−1 = e, por unicidade do inverso segue
que o inverso de a.b e´ (a.b)−1 = b−1.a−1.
b Propriedade 9. Se a, b ∈ G enta˜o xa = b ⇔ x = ba−1, isto e´, a equac¸a˜o
xa = b tem uma u´nica soluc¸a˜o x = ba−1. De maneira similar ax = b⇔ x = a−1b.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
xa = b⇒ multiplicandopor a−1 a direita tem-se x = ba−1.
O mesmo para ax = b, multiplicando por a−1 a esquerda tem-se x = a−1b.⇐).
Tomando x = ba−1 enta˜o ba−1a = b.
Para ax = b, tomamos x = a−1b segue a(a−1b) = b.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 9
b Propriedade 10. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ(a,b) : R → R por
σ(a,b)(x) = ax + b para cada x ∈ R. Enta˜o o conjunto G = {σ(a,b), a, b ∈ R, a 6= 0}
com a operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es e´ um grupo.
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos mostrar que a operac¸a˜o e´ fechada sobre G,
vamos simbolizar (a, b) ao inve´s de σ(a,b), temos que
(a, b) ◦ (a ′, b ′)(x) = a(a ′x+ b ′) + b = a.a ′x+ a.b ′ + b = (a.a ′, a.b ′ + b)(x)
Escrevemos enta˜o
(a, b) ◦ (a ′, b ′) = (a.a ′, a.b ′ + b)
a operac¸a˜o e´ fechada, pois como a 6= 0 e a ′ 6= 0 sa˜o reais temos a.a ′ 6= 0 e a.b ′ + b
e´ um nu´mero real.
Existeˆncia de elemento neutro . Existe elemento neutro para a operac¸a˜o (1,0),
tal elemento e´ realmente neutro pois
(a, b)(1,0) = (a.1, a.0+ b) = (a, b).
Existeˆncia de inverso. Para cada elemento (a, b) existe um inverso (a−1,−b.a−1)
tal que (a, b)(a−1,−b.a−1) = (1,0), a propriedade realmente vale , pois
(a, b)(a−1,−b.a−1) = (aa−1, a.(−b).a−1 + b) = (1,0).
Associatividade. Segue da associatividade de composic¸a˜o de func¸o˜es. Enta˜o
temos realmente um grupo .
O grupo e´ na˜o abeliano pois
(2, 3) ◦ (3,4) = (6, 11) 6= (3,4) ◦ (2, 3) = (6, 13).
O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros ele-
mentos) conte´m apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade
(x, y), x 6= 1 e y 6= 0 existe um elemento que na˜o comuta com ele da forma (1, w)
com w > 0 se 1 − x > 0 (logo w(1 − x) > 0) e w < 0 se 1 − x < 0 (logo tambe´m
w(1− x) > 0), pois
(x, y)(1, w) = (x, xw+ y), (1, w)(x, y) = (x, y+w)
daı´ vale sempre y+w > y+ xw pois equivale a` w > xw⇔ w(1− x) > 0 que sempre
vale pelo que observamos anteriomente
CAPI´TULO 1. GRUPOS 10
b Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk, ∗k)n1 grupos, enta˜o o produto
cartesiano
n∏
k=1
Gk e´ um grupo com a operac¸a˜o ∗ definida por
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 = (xk ∗k yk)n1
ê Demonstrac¸a˜o.
• Existe elemento neutro (ek)n1 onde ek e´ o elemento neutro de Gk, tal que
(ek)
n
1 ∗ (xk)n1 = (ek ∗k xk)n1 = (xk)n1
• Existe inverso para cada (xk)n1 que e´ (x−1k )n1 pois
(xk)
n
1 ∗ (x−1k )n1 = (xk ∗k x−1k )n1 = (ek)n1 .
• Vale a associatividade
((xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk)n1 ∗ (zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
(xk)
n
1 ∗ ((yk)n1 ∗ (zk)n1 ) = (xk)n1 ∗ (yk ∗k zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
m Definic¸a˜o 8 (Produto´rio). Definimos dois tipos de produto´rios, o produto´rio
a` direita
n∏
k=1,d
ak = a1. · · · .an
e o produto´rio a` esquerda
n∏
k=1,e
ak = an. · · · .a1
eles podem ser definidos indutivamente
n+1∏
k=1,d
ak = [
n∏
k=1,d
ak]an+1
com
1∏
k=1,d
ak = a1 e
0∏
k=1,d
ak = e.
n+1∏
k=1,e
ak = an+1[
n∏
k=1,e
ak]
CAPI´TULO 1. GRUPOS 11
com
1∏
k=1,e
ak = a1 e
0∏
k=1,e
ak = e.
b Propriedade 12 (Produto telesco´pico). Valem as identidades
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(1)−1f(n+ 1)
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = f(n+ 1)f(1)−1
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 ambas valem
1∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(1)−1f(2)
1∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = f(2)f(1)−1
supondo para n, vamos provar para n+ 1
n+1∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = [
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1)][f(n+ 1)−1f(n+ 2)] =
= f(1)−1f(n+ 1)[f(n+ 1)−1f(n+ 2)] = f(1)−1f(n+ 2)
n+1∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 = [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1 =
= [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]f(n+ 1)f(1)−1 = f(n+ 2)f(1)−1
$ Corola´rio 2.
n∏
k=1,e
f(k+ 1)f(k)−1
n∏
k=1,d
f(k)−1f(k+ 1) = f(n+ 1)f(1)−1f(1)−1f(n+ 1) = f(n+ 1)2
CAPI´TULO 1. GRUPOS 12
b Propriedade 13. Se cada Gk e´ abeliano, enta˜o
n∏
k=1
Gk e´ abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o.
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk)n1 = (yk ∗k xk)n1 = (yk)n1 ∗ (xk)n1 .
b Propriedade 14. Se existe um s ∈ In tal que Gs na˜o e´ abeliano, enta˜o
n∏
k=1
Gk
na˜o e´ abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o. Existem xs e ys ∈ Gs tais que xs ∗s ys 6= ys ∗s xs e daı´
(xk)
n
1 ∗ (yk)n1 ) = (xk ∗k yk|s−11 , xs ∗s ys, xk ∗k yk|ns+1) 6= (yk ∗k xk|s−11 , ys ∗s xs, yk ∗k xk|ns+1)
pois sa˜o distintos na s-e´sima coordenada.
1.1.3 Grupo das bijec¸o˜es-Permutac¸o˜es
m Definic¸a˜o 9 (Grupo das bijec¸o˜es-Permutac¸o˜es). Seja A um conjunto na˜o
vazio . Definimos a estrutura (SA, ◦), como o conjunto
SA = {f : A→ A | f e´ bijec¸a˜o}
munido da operac¸a˜o de composic¸a˜o de func¸o˜es. Podemos denotar SA tambe´m por
P(A).
b Propriedade 15. (SA, ◦) e´ um grupo.
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que a composic¸a˜o de func¸o˜es bijetoras ainda e´ uma
func¸a˜o bijetora, logo o conjunto e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o de composic¸a˜o.
A composic¸a˜o e´ associativa. Possui elemento neutro que e´ a func¸a˜o I : A → A
definida como I(x) = x,∀ x ∈ A, essa func¸a˜o e´ realmente o elemento neutro pois
dada uma f ∈ SA e x ∈ A arbitra´rio , vale
f(I(x)) = f(x) = I(f(x))
CAPI´TULO 1. GRUPOS 13
logo I ◦ f = f ◦ I.
Dada uma func¸a˜o bijetora f : A→ A, podemos sempre definir a inversa de f, f−1,
tal que
f(f−1(x)) = x = f−1(f(x))
logo para qualquer f em SA existe f−1 em SA tal que f ◦ f−1 = I = f−1 ◦ f, logo temos
a existeˆncia de inverso. Assim (SA, ◦) e´ um grupo. Denotaremos o grupo (SA, ◦)
apenas como SA .
1.2 Grupo sime´trico de grau n
m Definic¸a˜o 10 (Grupo sime´trico de grau n). Em SA, se tomamos A = In =
{1, · · · , n} o grupo SIn sera´ denotado por Sn e sera´ chamado de grupo sime´trico de
grau n.
m Definic¸a˜o 11 (Permutac¸a˜o). Todo elemento de Sn e´ chamado de permutac¸a˜o
e Sn e´ chamado de grupo das permutac¸o˜es de n elementos.
b Propriedade 16. |Sn| = n!.
1.2.1 O grupo S3.
Grupo S3 elementos
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
, f6 = σ ◦ τ =
(
1 2 3
1 3 2
)
, f5 = σ ◦ τ2 =
(
1 2 3
3 2 1
)
σ =
(
1 2 3
2 1 3
)
, f4 = τ
2 =
(
1 2 3
3 1 2
)
, τ =
(
1 2 3
2 3 1
)
Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τ
f4 = τ
2 =
(
1 2 3
2 3 1
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
3 1 2
)
CAPI´TULO 1. GRUPOS 14
f6 = σ ◦ τ =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
1 3 2
)
f5 = σ ◦ τ2 =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
3 1 2
)
=
(
1 2 3
3 2 1
)
σ2 = I =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(
1 2 3
2 1 3
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
Por σ2 = I o inverso de σ e´ σ. O inverso de f4 e´ τ, pois
f4 ◦ τ =
(
1 2 3
3 1 2
)
◦
(
1 2 3
2 3 1
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
e como f4 = τ2, temos que f4 ◦ τ = τ2 ◦ τ = τ3 = I. f6 ◦ f6 = I, pois
f6 ◦ f6 =
(
1 2 3
1 3 2
)
◦
(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
e finalmente f5 ◦ f5 = I, pois
f5 ◦ f5 =
(
1 2 3
3 2 1
)
◦
(
1 2 3
3 2 1
)
=
(
1 2 3
1 2 3
)
Enta˜o temos os inversos
σ ◦ σ = I
f4 ◦ τ = I
f6 ◦ f6 = I
f5 ◦ f5 = I
I ◦ I = I
σ ◦ σ = I
τ2 ◦ τ = I
(σ ◦ τ2) ◦ (σ ◦ τ2) = I
(σ ◦ τ) ◦ (σ ◦ τ) = I
I ◦ I = I
O conjunto dos elementos de S3
S3 = {I, σ, τ, τ
2, σ ◦ τ, σ ◦ τ2}
CAPI´TULO 1. GRUPOS 15
1.2.2 Subgrupos de S3.
b Propriedade 17. Os subgrupos na˜o triviais de S3 sa˜o
• {I, σ}.
• {I, σ ◦ τ}.
• {I, σ ◦ τ2}.
• {I, τ, τ2}.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Temos que σ2 = I logo existe o subgrupo {I, σ2}.
• Como f6 = σ ◦ τ e f6 ◦ f6 = I, enta˜o temos o subgrupo {I, σ ◦ τ}.
• Temos que f5 ◦ f5 = I e f5 = σ ◦ τ2, enta˜o {I, σ ◦ τ2} e´ subgrupo.
•
O subconjunto K = {I, τ, τ2} e´ um subgrupo de S3.
Z Exemplo 4. Seja a func¸a˜o definida por ϕ(x) = x−1 de S3 em S3, mostrar que
na˜o e´ um automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo
elemento x e y em S3, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)−1 = x−1y−1. vamos tomar
x = f4 e y = f5, temos f4f5 = σ, poisf4 ◦ f5 =
 1 2 3
3 1 2
 ◦
 1 2 3
3 2 1
 =
 1 2 3
2 1 3
 = σ
mas sabemos que σ−1 = σ, e temos ϕ(f4f5) = [f4f5]−1 = [σ]−1 = σ e ϕ(f4) =
[f4]
−1 = τ, ϕ(f5) = [f(5)]−1 = f5), assim ϕ(f4)ϕ(f5) = τf5
τ ◦ f5 =
 1 2 3
2 3 1
 ◦
 1 2 3
3 2 1
 =
 1 2 3
1 3 2
 = f6 6= σ
CAPI´TULO 1. GRUPOS 16
logo na˜o e´ um homomorfismo, na˜o podendo ser um automorfismo tambe´m.
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn na˜o e´ abeliano.
b Propriedade 18. Para n ≥ 3, Sn na˜o e´ abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar bijec¸o˜es f e g tais que f ◦ g 6= g ◦ f. Sejam
f =
(
1 2 3 · · ·
1 3 2 · · ·
)
e g =
(
1 2 3 · · ·
2 1 3 · · ·
)
f ◦ g =
(
1 2 3 · · ·
3 1 2 · · ·
)
e g ◦ f =
(
1 2 3 · · ·
2 3 1 · · ·
)
sao diferentes, logo o grupo na˜o e´ comutativo.
1.2.4 Grupo S4
Grupo S4 elementos
I =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
f1 =
(
1 2 3 4
2 1 4 3
)
f2 =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
f3 =
(
1 2 3 4
4 3 2 1
)
f4 =
(
1 2 3 4
2 3 4 1
)
f5 =
(
1 2 3 4
3 4 2 1
)
f6 =
(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
f7 =
(
1 2 3 4
2 1 3 4
)
f8 =
(
1 2 3 4
2 3 1 4
)
f9 =
(
1 2 3 4
2 4 3 1
)
f10 =
(
1 2 3 4
2 4 1 3
)
f11 =
(
1 2 3 4
3 2 4 1
)
f12 =
(
1 2 3 4
3 2 1 4
)
f13 =
(
1 2 3 4
3 1 2 4
)
f14 =
(
1 2 3 4
3 1 4 2
)
f15 =
(
1 2 3 4
4 3 1 2
)
f16 =
(
1 2 3 4
4 1 3 2
)
f17 =
(
1 2 3 4
4 2 1 3
)
f18 =
(
1 2 3 4
4 2 3 1
)
f19 =
(
1 2 3 4
1 2 4 3
)
f20 =
(
1 2 3 4
1 3 4 2
)
f21 =
(
1 2 3 4
1 3 2 4
)
f22 =
(
1 2 3 4
1 4 2 3
)
f23 =
(
1 2 3 4
1 4 3 2
)
CAPI´TULO 1. GRUPOS 17
m Definic¸a˜o 12 (Estrutura dos quate´rnios). Definimos a estrutura dos quate´rnios
como o conjunto
1.3 Subgrupos
m Definic¸a˜o 13 (Subgrupo). Um subconjunto H na˜o-vazio de um grupo G e´
um subgrupo de G quando
• Se a ∈ H enta˜o a−1 ∈ H.
• Se a ∈ H e b ∈ H enta˜o a.b ∈ H.
Se H e´ subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.
$ Corola´rio 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a ∈ H implica
a−1 ∈ H e pela segunda propriedade aa−1 = e ∈ H.
Z Exemplo 5. D4 = {I, f4, f2, f6, f3, f1, f23, f12} ⊂ S4 e´ subgrupo na˜o abeliano .
b Propriedade 19. H na˜o vazio e´ um subgrupo de G ⇔ com a operac¸a˜o de G,
H e´ um grupo.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
• O produto e´ fechado em H.
• O elemento neutro pertence a H.
• O inverso de cada elemento esta´ em H.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 18
• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H sa˜o elementos de G
onde vale a associatividade.
Com isso concluı´mos que H e´ um grupo.⇐).
Seja H e´ um grupo contido em G.
• O produto e´ fechado em H, pois H e´ grupo.
• O elemento neutro e ′ de H e´ o mesmo elemento neutro e de G, pois dado
a ∈ H ⊂ G tem-se a.e ′ = a que podemos ver como operac¸a˜o em G, como o
elemento neutro e´ u´nico tem-se e ′ = e.
• O inverso a ′ de um elemento a ∈ H ⊂ G e´ o mesmo inverso de a em G, pois
vale aa ′ = e, essa operac¸a˜o vista em G, como temos a unicidade de inverso em
G segue que a ′ = a−1.. O inverso de cada elemento a ∈ H esta´ contido em H,
pois H e´ grupo.
Z Exemplo 6 (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H
sa˜o chamados subgrupos triviais. H e´ grupo, enta˜o satisfaz as condic¸o˜es de ser
subgrupo, {e} tambe´m e´ subgrupo, pois e.e = e, logo e´ fechado, o elemento neutro
esta´ no conjunto {e} e o inverso de e tambe´m e´ e, logo ele e´ um subgrupo de H.
b Propriedade 20. Se Hk e´ subgrupo de Gk enta˜o
n∏
k=1
Hk e´ subgrupo de
n∏
k=1
Gk.
ê Demonstrac¸a˜o.
• O elemento neutro de
n∏
k=1
Gk e´ (ek)n1 , mas como Hk e´ subgrupo de Gk enta˜o
ek ∈ Hk e daı´ (ek)n1 ∈
n∏
k=1
Hk.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 19
• Dado (ak)n1 ∈
n∏
k=1
Hk enta˜o cada ak ∈ Hk, implicando que a−1k ∈ Hk, pois Hk e´
subgrupo, daı´ (a−1k )n1 ∈
n∏
k=1
Hk e pelo que ja´ demonstramos (a−1k )n1 e´ o inverso de
(ak)
n
1 .
• Dados (ak)n1 , (bk)n1 ∈
n∏
k=1
Hk enta˜o ak, bk ∈ Hk, como sa˜o subgrupos vale ak.bk ∈
Hk e daı´ (ak.bk)n1 ∈
n∏
k=1
Hk.
b Propriedade 21. Se H ⊂ G e´ um subconjunto finito fechado com a operac¸a˜o
de G, enta˜o H e´ subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o. Se H = {e} enta˜o ele e´ subgrupo. Se na˜o tomamos um
elemento arbitra´rio a 6= e ∈ H, como ele e´ finito, enta˜o existem s > t ∈ N tais que
as = at, com s > t, existe p natural tal que t+ p = s e daı´ at+p = atap = at, pela lei
do corte segue que ap = e ∈ H. Enta˜o o elemento neutro esta´ nele. Tal p deve ser
maior que 1, pois a 6= e. Vale p > 1 daı´ p ≥ 2, p − 1 ≥ 1 natural e aap−1 = ap = e
logo existe inverso para todo elemento de H, enta˜o ele e´ subgrupo.
b Propriedade 22. Se H e K sa˜o subgrupos de G enta˜o H ∩ K e´ subgrupo de
G.
ê Demonstrac¸a˜o. e ∈ H∩K pois H e K sa˜o subgrupos enta˜o e ∈ H,K. Suponha
a, b ∈ H ∩ K enta˜o a.b ∈ H,K daı´ a.b ∈ H ∩ K. Da mesma maneira a−1 ∈ H,K logo
a−1 ∈ H ∩ K .
b Propriedade 23. Em geral se cada Hk, k ∈ A e´ uma famı´lia qualquer de
subgrupos de G enta˜o ⋂
k∈A
Hk
e´ um subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 20
• Se h1, h2 em
⋂
k∈A
Hk enta˜o h1, h2 ∈ Hk ∀ k ∈ A, enta˜o pelo fato de serem
subgrupos tem-se h1h2 ∈ Hk o que implica h1h2 ∈
⋂
k∈A
Hk.
• Se h ∈
⋂
k∈A
Hk enta˜o h ∈ Hk para cada k, por isso h−1 ∈ Hk pelo fato de cada
Hk ser subgrupo, enta˜o h−1 ∈∈
⋂
k∈A
Hk. Com essas duas propriedades mostramos
que
⋂
k∈A
Hk e´ subgrupo de G.
b Propriedade 24. H ∪ K e´ subgrupo de G sse H ⊂ K ou K ⊂ H.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒ . Temos que provar que H∪K e´ subgrupo de G enta˜o H ⊂ K
ou K ⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H 6⊂ K e K 6⊂ H enta˜o H ∪ K
na˜o e´ subgrupo de G. Existem elementos a ∈ H, a /∈ K e b ∈ K, b /∈ H, pore´m vale
a, b ∈ H ∪ K, se H ∪ K fosse subgrupo de G enta˜o teria que valer a.b ∈ H ∪ K, enta˜o
a.b teria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que
a.b ∈ H , como H e´ subgrupo e a ∈ H, enta˜o a−1 ∈ H, pelo fechamento de produto
em subgrupo terı´amos que ter a−1.a.b = b ∈ H o que e´ absurdo! Enta˜o H ∪ K na˜o
pode ser subgrupo nessas condic¸o˜es.⇐. Suponha que K ⊂ H, enta˜o H ∪ K = H que e´ subgrupo de G.
m Definic¸a˜o 14. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimos
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}.
$ Corola´rio 4.
eHe−1 = {ehe−1 = h | h ∈ H} = H
enta˜o eHe−1 = H.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 21
b Propriedade 25. Sejam H um subgrupo de G e a ∈ G fixo. Enta˜o
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}
e´ subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o.
• O elemento neutro esta´ no conjunto. e ∈ aHa−1, pois e ∈ H, daı´ aea−1 = e ∈
aHa−1.
• O produto e´ fechado . Dados aha−1 e aya−1 enta˜o aha−1aya−1 = a (hy)︸︷︷︸
∈H
a−1 ∈
aHa−1.
• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha−1 enta˜o ah−1a−1 ∈ aHa−1 pois
h−1 ∈ H, daı´ o produto aha−1ah−1a−1 = e, enta˜o aHa−1 e´ subgrupo de G.
b Propriedade 26 (Subgrupos de (Z,+)). A e´ subgrupo de (Z,+) ⇔ A =
(nZ,+) para algum n ∈ N.
Onde nZ = {nx | x ∈ Z} .
ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Sendo n fixo nZ e´ subgrupo de Z.
• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx = a e ny = b, logo sua soma e´
nx+ ny = n(x+ y) ∈ nZ, a adic¸a˜o e´ fechada.
• Dado a ∈ nZ existe x ∈ Z tal que a = nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =
−a ∈ nZ sua soma e´ 0.
⇒).
Seja H < Z. Se H = {0} enta˜o H = 0Z. Se H 6= {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} daı´
nZ ⊂ H, pois dado m fixo
m∑
k=1
n = mn ∈ H
CAPI´TULO 1. GRUPOS 22
pois H e´ subgrupo e tambe´m mn ∈ H. Seja t ∈ H enta˜o t = nq + r com 0 ≤ r < n
por divisa˜o euclidiana, daı´ t − nq = r ∈ H enta˜o r = 0. pois caso contra´rio irı´amos
contrariar a minimalidade de n, portanto qualquer tzinH e´ da forma nq e H ⊂ nZ
o que implica A = nZ.
1.3.1 Normalizador de H
m Definic¸a˜o 15 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O nor-
malizadorde H e´ o conjunto
N(H) = {x ∈ G|xHx−1 = H}.
b Propriedade 27. N(H) e´ subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o.
• e ∈ N(H) como ja´ provamos.
• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto e´ a.bH(ab)−1 = H.
Temos que axa−1 ∈ H e byb−1 ∈ H ∀ x, y ∈ H daı´ a (byb−1)︸ ︷︷ ︸
=x∈H
a−1 ∈ H. Com isso
mostramos que a.bH(ab)−1 ⊂ H.
Vamos mostrar agora que H ⊂ a.bH(ab)−1. Como vale H ⊂ aHa−1 e H ⊂ bHb−1
enta˜o para qualquer y ∈ H existem v, u ∈ H tal que y = ava−1 e v = bub−1 , daı´
y = a.bub−1a−1 provando que H ⊂ a.bH(ab)−1.
• Vamos provar que se a ∈ N(H) enta˜o a−1 ∈ N(H), isto e´ aHa−1 = H implica
a−1Ha = H.
De aHa−1 ⊂ H implica que ∀ y ∈ H ∃t ∈ H tal que aya−1 = t e daı´ y = a−1ta
de onde segue H ⊂ a−1Ha.
De H ⊂ aHa−1 tem-se que ∀ y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata−1 que implica
a−1ya = t e daı´ a−1Ha ⊂ H. Como vale a−1Ha ⊂ H. e H ⊂ a−1Ha. enta˜o
H = a−1Ha .
CAPI´TULO 1. GRUPOS 23
b Propriedade 28. Se (G, .) e´ um grupo abeliano e a e b ∈ G vale
(a.b)n = an.bn
para todo n ∈ Z.
ê Demonstrac¸a˜o. Para n natural temos, por induc¸a˜o, n = 0
(a.b)0 = e = a0.b0 = e.e.
Supondo para n
(a.b)n = an.bn
temos que provar
(a.b)n+1 = an+1.bn+1
da definic¸a˜o temos
(a.b)n+1 = (a.b)(a.b)n = a.b.an.bn = a.an.b.bn = an+1.bn+1
com isso provamos para n natural. Para n inteiro, temos
(a.b)−n(a.b)n = e = (a.b)−n.an.bn = e
multiplicando por b−n.a−n
(a.b)−n = b−n.a−n.
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento
m Definic¸a˜o 16 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a ∈ G (G um grupo),
o conjunto
< a >= {an | n ∈ Z}
e´ chamado de conjunto gerado por a.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 24
b Propriedade 29. O conjunto < a > munido da operac¸a˜o do conjunto G e´
um subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o. A operac¸a˜o e´ fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = am
para algum m e c ∈< a > implica c = an, para algum n, o produto b.c = am.an =
am+n ∈< a > .
O elemento neutro e = a0 pertence ao conjunto.
O inverso de um elemento b = am ∈< a > pertence ao conjunto pois a−m ∈< a >
e vale
a−mam = a0 = e = ama−m.
Enta˜o < a > e´ um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.
m Definic¸a˜o 17 (Ordem de um elemento). Se < a > e´ finito, chamamos | < a > |
de ordem de a e escrevemos o(a) = | < a > |. Quando < a > e´ infinito, dizemos
que a ordem de a e´ infinita e escrevemos o(a) =∞.
b Propriedade 30. Se G e´ finito, enta˜o G possui um nu´mero par de elementos
x com O(x) > 2.
ê Demonstrac¸a˜o. Notamos primeiramente que se O(a) > 2, na˜o pode valer
a = a−1, pois nesse caso terı´amos a2 = e, e daı´ O(a) seria 1 ou 2, por isso, se
O(a) > 2 devemos ter a 6= a−1.
Seja A = {x ∈ G | O(x) > 2}. Se A = ∅ enta˜o |A| = 0, que e´ par. Se existe
y1 ∈ G com O(y1) > 2, tomamos y2 = y−11 . Se A \ {y1, y2} for vazio paramos e temos
dois elementos de ordem maior 2, se na˜o, tomamos y3 ∈ A \ {y1, y2} e y4 = y−13 .
Continuamos o processo, como G e´ finito o processo deve terminar, portanto, deve
existir um nu´mero mı´nimo 2n, tal que A \ {y1, y2, · · · , y2n} = ∅, e concluı´mos que
A = {y1, y2, · · · , y2n}, como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 31. Se G possui ordem par, |G| = 2n, enta˜o ele possui um
nu´mero ı´mpar de elementos de ordem 2.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 25
ê Demonstrac¸a˜o. G possui um elemento de ordem 1, que e´ o elemento neutro
’’e", possui tambe´m um nu´mero par de elementos de ordem maior que 2, digamos 2m
(pelo resultado atenrior). Sendo x a quantidade de elementos de ordem 2, devemos
ter
x+ 1+ 2m = 2n,
o que implica
x = 2(n−m) − 1,
portanto x, a quantidade de termos de ordem 2, e´ ı´mpar.
b Propriedade 32. Seja H um subgrupo de (Z,+) enta˜o existe n ∈ N tal que
H =< n > .
ê Demonstrac¸a˜o. Se H = {0} enta˜o e´ gerado por 0. Se H 6= {0} enta˜o existe
a 6= 0 ∈ H e daı´ a > 0 ou −a > 0, enta˜o o conjunto A = {x > 0 ∈ H} e´ na˜o
vazio limitado inferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H
agora vamos mostrar que H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divisa˜o euclidiana
m = qn + r onde 0 ≤ r < n daı´ m − qn = r ∈ H se r > 0 irı´amos contrariar a
minimalidade de n, enta˜o r = 0 e todo elemento e´ da forma q.n.
Z Exemplo 7. (Z,+) e´ um grupo cı´clico, que possui geradores 1 e −1.
b Propriedade 33. Para todo n ∈ N existe um grupo cı´clico com n elementos.
ê Demonstrac¸a˜o. Zn e´ grupo cı´clico com n elementos, gerado por 1.
Z Exemplo 8. Seja f4 ∈ S4 como definido anteriormente enta˜o < f4 >=
{I, f4, f
2
4, f
3
4}.
Z Exemplo 9. Existem grupos cı´clicos com n elementos tanto para a multiplicac¸a˜o,
CAPI´TULO 1. GRUPOS 26
quanto para a adic¸a˜o. O modelo aditivo e´ dado pelas raı´zes n-e´simas da unidade
wk = cos(
kpi
n
) + isen(
kpi
n
)
com k ∈ [0, n− 1]N.
b Propriedade 34. Se a ∈< b > e b ∈< a > enta˜o < a >=< b > .
ê Demonstrac¸a˜o. Se a ∈< b > enta˜o as ∈< b > para todo s ≥ 0, por < b >
ser grupo, da mesma maneira a−s ∈< b > pois a−s e´ inverso de as, isso implica que
< a >⊂< b >, da mesma maneira < b >⊂< a > mostrando que < a >=< b > .
$ Corola´rio 5. o(a) = o(a−1) pois a ∈< a−1 > e a−1 ∈< a > logo < a >=< a−1 >,
implicando o(a) = o(a−1).
1.4 Teorema de Lagrange
Vamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.
1.4.1 Congrueˆncia mo´dulo H
m Definic¸a˜o 18 (Congrueˆncia mo´dulo H). Sejam a, b ∈ G, dizemos que
a ≡ b mod H ⇔ a.b−1 ∈ H.
, caso contra´rio denotamos a /≡ b mod H .
b Propriedade 35. A congrueˆncia mo´dulo H e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a−1 = e ∈ H, pois H e´
subgrupo .
CAPI´TULO 1. GRUPOS 27
• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b−1 ∈ H,
como H e´ subgrupo enta˜o o inverso de a.b−1 que e´ b.a−1 tambe´m pertence a` H,
daı´ b ≡ a mod H.
• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar que
a ≡ c mod H, das hipo´teses tem-se a.b−1 = h e b.c−1 = h ′ multiplicando a
primeira por h ′ a direita segue a.b−1b.c−1 = h.h ′ = a.c−1 = h.h ′ como H e´
subgrupo temos o produto h.h ′ = h ′′ ∈ H logo vale a ≡ c mod H .
m Definic¸a˜o 19 (Classes a` direita e a` esquerda.). Classe de equivaleˆncia de a
em G e´
a = {x ∈ G| x ≡ a mod H} = {x ∈ G| x.a−1 ∈ H} =
= {x ∈ G| x.a−1 = h ∈ H} = {x ∈ G| x = ha, h ∈ H} = Ha.
Ha e´ chamado classe a` direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a
esquerda de a
aH = {x ∈ G| x = a.h, h ∈ H}.
As notac¸o˜es aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por
exemplo, aH e´ o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de
H.
$ Corola´rio 6. Quando o grupo e´ abeliano as classes a` direita sa˜o tambe´m
classes a` esquerda.
b Propriedade 36. As classes a` direita Ha e a` esquerda aH tem a mesma
cardinalidade de H.
ê Demonstrac¸a˜o. A func¸a˜o f de H em Ha definida como f(h) = ha e´ uma
bijec¸a˜o. Suponha f(h) = f(h ′) logo ha = h ′a, multiplicando por a−1 a direita segue
h = h ′ logo a func¸a˜o e´ injetora. Agora f e´ sobrejetora, pois dado y em Ha ele e´ da
forma ha = f(h).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 28
A func¸a˜o ψ de H em aH dada por f(h) = ah e´ uma bijec¸a˜o, pois f(h) = f(h ′)
logo ah = ah ′ multiplicando a esquerda por a−1 segue h = h ′ e tambe´m sobrejetora
pois dado y ∈ aH ele e´ da forma a.h = f(h).
Concluı´mos enta˜o que |H| = |Ha| = |aH|.
1.4.2 Teorema de Lagrange
F Teorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G e´ um grupo finito e H um subgrupo
qualquer de G enta˜o |H| divide |G|.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe um nu´mero finito de classes de congrueˆncia de H em
G, enta˜o
G =
⋃
k∈A
Hk
onde A e´ finito e a unia˜o e´ disjunta , enta˜o de propriedade de somato´rios sobre
conjuntos1 vale que
|G| =
∑
k∈A
|Hk|︸︷︷︸
=|H|
=
∑
k∈A
|H| = |H||A|
|A| = (G : H) e´ o nu´mero de classes distintas enta˜o
(G : H) =
|G|
|H|
.
$ Corola´rio 7. Se |G| = p, com p primo, enta˜o os u´nicos subgrupos de G sa˜o os
triviaisG e {e}.
b Propriedade 37. Se H,K sa˜o subgrupos finitos de G tais que mdc(|H|, |G|) = 1
enta˜o H ∩ K = {e}.
ê Demonstrac¸a˜o. H ∩ K e´ subgrupo de G, pois H e K sa˜o subgrupos de G.
Suponha que exista a 6= e ∈ H ∩ K, enta˜o < a > e´ subgrupo de H ∩ K. Pore´m
o(a) ≥ 2 e pelo teorema de Lagrange o(a)| |H|, |K| logo mdc(|H|, |G|) na˜o poderia ser
1 contradizendo a hipo´tese. Temos enta˜o que H ∩ K = {e}.
1Ver texto sobre somato´rio sobre conjuntos.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 29
m Definic¸a˜o 20 (Sistema de representantes). Dada uma partic¸a˜o de um con-
junto, um sistema de representantes e´ um conjunto S =
⋃
a∈Γ
{xa} que tem exatamente
um elemento em cada subconjunto da partic¸a˜o. A cardinalidade de qualquer sis-
tema de representantes das classes laterais a` esquerda de H em G e´ igual a
(G : H).
1.5 Grupos cı´clicos
m Definic¸a˜o 21 (Grupo cı´clico). G e´ cı´clico ⇔ ∃ a ∈ G | G =< a >, a e´ dito
gerador de G, ou a gera G.
b Propriedade 38. Se a gera G enta˜o a−1 tambe´m gera.
ê Demonstrac¸a˜o. Todo elemento de G e´ da forma at, que tambe´m e´ da forma
(a−1)s, com s = −t.
b Propriedade 39. Todo grupo cı´clico e´ abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G ar-
bitra´rios, logo eles sa˜o da forma an, ap e temos
anap = an+p = ap+n = ap.an
isso mostra que o grupo e´ abeliano.
b Propriedade 40. < a > e´ finito ⇔ ∃ m ≥ 1 tal que am = e.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒ < a > e´ finito enta˜o ∃m ≥ 1 tal que am = e. Se < a > e´
finito, enta˜o o conjunto {an | n > 0 ∈ N} e´ finito, enta˜o existem s > r ∈ N tais que
as = ar, daı´ as−r = e, tomamos m = s− r .⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele e´ da forma at para algum t inteiro,
por divisa˜o euclidiana de t por m, tem-se t = mq+ r com 0 ≤ r < m , logo
at = amq+r = ar
CAPI´TULO 1. GRUPOS 30
logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {ar | 0 ≤ r < m} que e´ um
conjunto finito.
b Propriedade 41. Sendo < a > finito
o(a) = min{n ≥ 1 | an = e} e < a >= {ak | 0 ≤ k < o(a)}.
ê Demonstrac¸a˜o. Como < a > e´ finito, existe m > 0 ∈ N tal que
< a >= {ak | 0 ≤ k < m}
com am = e. Seja A = {s | as = e}, tal conjunto e´ na˜o vazio, pelo princı´pio da boa
ordenac¸a˜o ele possui um mı´nimo, digamos t. Vamos mostrar que t = o(a). Suponha
por absurdo que existam elementos repetidos no conjunto {ak | 0 ≤ k < t}, daı´ existem
0 ≤ u < v < t tal que au = av logo a(v−u) = e, mas 0 < v−u < t o que comprometeria
a minimalidade de t.
$ Corola´rio 8. Se o(a) = ∞ enta˜o am 6= e, ∀ m ≥ 1 pois caso contra´rio < a >
seria finito. Tem-se tambe´m que ak 6= aj se k 6= j, pois se na˜o aj−k = e e o
grupo seria finito. Estes fatos implicam que an = e ⇔ n = 0 para grupos cı´clicos
infinitos.
b Propriedade 42. Se o(a) e´ finito enta˜o am = e ⇔ o(a)|m.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja I = {n ∈ Z | an = e} enta˜o I e´ um ideal de Z, pois:
• 0 ∈ I, a0 = e.
• Se m, t ∈ I enta˜o am.at = am+t = e, implicando que m+ t ∈ I.
• Se m ∈ I e p ∈ Z, enta˜o am.p = (am)p = e, logo m.p ∈ I mostrando que I e´
um ideal de Z. Como todo ideal de Z e´ principal e o(a) ∈ I, logo I 6= {0}, vale
que I = In0 onde n0 = min{n ≥ 1 | an = e}, n0 = o(a), enta˜o am = e ⇔ m ∈
I(o(a))⇔ m = k.o(a)⇔ o(a)|m.
ê Demonstrac¸a˜o.[2]
CAPI´TULO 1. GRUPOS 31
⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m = tO(a) daı´ am = (aO(a))t = et = e.⇒).
Tomamos a divisa˜o euclidiana de m por O(a), temos m = qo(a) + r, onde 0 ≤
r < O(a), suponha por absurdo que r 6= 0, enta˜o
am = (aO(a))q.ar = ar = e
o que contraria minimalidade de O(a), pois 0 < r < O(a) o que na˜o pode acontecer,
logo O(a) divide m .
b Propriedade 43. Se O(a) = n e O(b) = m enta˜o o(ab)|mmc(n,m). Em G
um grupo abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que m.n = mmc(m,n).mdc(m,n)
(a.b)mn = (an)m(bm)n = e
como mdc(n,m) divide n e divide m, enta˜o
(an)
m
mdc(m,n) (bm)
n
mdc(m,n) = e = (ab)mmc(m,n)
enta˜o O(ab) divide mmc(n,m).
$ Corola´rio 9. Seja G um grupo finito, enta˜o para todo a ∈ G vale a|G| = e.
ê Demonstrac¸a˜o. < a > e´ subgrupo de G, enta˜o pelo teorema de Lagrange
o(a)||G| e pela propriedade anterior segue a|G| = e.
$ Corola´rio 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , enta˜o
ap−1 ≡ 1 mod p.
Basta fazer as contas em Zp \ {0} com o produto, temos um grupo com p − 1
elementos logo ap−1 ≡ 1 mod p.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 32
$ Corola´rio 11. Para qualquer a ∈ Z e p primo vale
ap ≡ a mod p.
Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 enta˜o usamos que ap−1 ≡ 1 mod p e
multiplicamos por a de ambos lados.
$ Corola´rio 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, enta˜o
xϕ(n) ≡ 1 mod n.
Tal propriedade vale pois |Zn ∗ | = ϕ(n).
b Propriedade 44. Seja G um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita e
mdc(O(a), O(b)) = 1 enta˜o O(a.b) = O(a)O(b).
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam O(a) = n, O(b) = m, z = O(a.b), vale que
(a.b)nm = e
logo z|(n.m), (a.b)z = e logo az = b−z ∈< a > ∩ < b >, como | < a > | e | < b > | sa˜o
primos entre si, enta˜o < a > ∩ < b >= {e}, se tivessem mais um elemento a mais em
comum, enta˜o a ordem da intersec¸a˜o dividiria os nu´meros primos entre si, o que e´
absurdo, logo az = e = bz , z e´ mu´ltiplo de n e de m, logo e´ mu´ltiplo de n.m pois n
e m sa˜o primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z = mn.
b Propriedade 45. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita enta˜o existe c ∈ G
tal que O(c) = mmc(O(a), O(b)).
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam n = O(a), m = O(b) se mdc(n,m) = 1 enta˜o tomando
c = ab, temos O(c) = O(a)O(b) = n.m = mmc(n,m).mdc(n,m)︸ ︷︷ ︸
=1
= mmc(n,m).
Se mdc(n,m) 6= 1 enta˜o
CAPI´TULO 1. GRUPOS 33
n =
k∏
s=1
pαss
t∏
s=k+1
pαss
m =
k∏
s=1
pβss
t∏
s=k+1
pβss
onde enumeramos os primos de forma que 0 ≤ αs < βs com s ∈ [1, k] e αs ≥ βs ≥ 0
com s ∈ [k+ 1, t].
Tomando a1 = a
k∏
s=1
pαss
e b1 = b
t∏
s=k+1
p
βs
s
temos O(a1) =
t∏
s=k+1
pαss e O(b1) =
k∏
s=1
pβss ,
logo O(a1) e O(b1) sa˜o primos entre si, portanto
O(a1b1) = O(a1)O(b1),
podemos tomar c = a1.b1 tem a ordem desejada.
b Propriedade 46. Se r = max{O(x), x ∈ G} (G abeliano) e´ finito enta˜o O(x)|r
∀ x ∈ G.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe y ∈ G tal que O(y) = r, suponha que exista x ∈ G tal
que O(x) 6 |r, enta˜o temos s = mmc(O(x), O(y)) > r, daı´ existe c tal que O(c) = s > r
pelo resultado anterior, o que contraria o fato de r ser ma´ximo.
b Propriedade 47. Se K < H < G enta˜o
(G : K) = (G : H)(H : K).
ê Demonstrac¸a˜o.
Se |G| <∞ enta˜o
1. H < G implica |G| = |H|(G : H)
2. K < H implica |H| = |K|(K : K)
3. K < G implica |G| = |K|(G : K)
da substituic¸a˜o de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-se
finalmente (G : K) = (G : H)(H : K).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 34
b Propriedade 48. Se H e K sa˜o subgrupos de G enta˜o vale (G : H∩K) ≤ (G :
H)(G : K).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A = {g(H ∩ K) | g ∈ G} que e´ o conjunto das classes
laterais da intersec¸a˜o e C = {gH | g ∈ G} × {gK | g ∈ G} que e´ o produto cartesiano
das classes laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma func¸a˜o f : A → C
que seja injetora, antes observamos que
g(H ∩ K)H = H
g(H ∩ K)K = K
pois H ∩ K ⊂ K e H ∩ K ⊂ H. Com isso podemos definir a func¸a˜o com f(g(H ∩ K)) =
(gH, gK), ela e´ injetora, pois se
f(g(H ∩ K)) = (gH, gK) = f(g ′(H ∩ K)) = (g ′H, g ′K)⇒ gH = g ′H egK = g ′K
isso implica que g−1g ′ ∈ H e g−1g ′ ∈ K por isso g−1g ′ ∈ H∩K e daı´ g(H∩K) = g ′(H∩K)
disso segue
(G : H ∩ K) ≤ (G : H)(G : K).
$ Corola´rio 13. Se (G : H) e (G : K) sa˜o finitos enta˜o (G : H ∩ K) tambe´m e´
finito nas condic¸o˜es da propriedade anterior.
b Propriedade 49 (Classificac¸a˜o dos grupos de ordem prima). Se |G| = p com
p primo enta˜o G e´ cı´clico e qualquer elemento a 6= e ∈ G gera o grupo.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomando um elemento a 6= e ∈ G, < a > e´ subgrupo de G,
como a ordem de p e´ um nu´mero primo, enta˜o pelo teorema de lagrange o(a) = p,
na˜o podendoser 1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso
implica que < a >= G.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 35
$ Corola´rio 14. Todo grupo de ordem prima e´ abeliano, pois e´ cı´clico.
b Propriedade 50. Seja a ∈ G com o(a) <∞ enta˜o o(as) = o(a)
mdc(o(a), s)
.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(as) enta˜o m = min{t >
0, t ∈ N | ast = e}. Sabemos que n|s.m enta˜o sm = mmc(n, s), usando que
mmc(n, s).mdc(n, s) = n.s e a identidade anterior tem-se
m =
mmc(n, s)
s
=
n.s
mdc(n, s)
1
s
=
n
mdc(n, s)
enta˜o
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
.
b Propriedade 51. Sejam o(a) = n e t = mdc(s, n) enta˜o < as >=< at > .
ê Demonstrac¸a˜o. Existe m ∈ Z tal que s = m.mdc(s, n) logo as = (at)m assim
as ∈< at >, implicando que < as >⊂< at > .
Existem nu´meros inteiros α,β tais que mdc(s, n) = α.s+ β.n, daı´
at = (aα)s (aβ)n︸ ︷︷ ︸
=e
= (aα)s
logo < at >⊂< as >.
Como vale < as >⊂< at > e < at >⊂< as > enta˜o < as >=< at > .
b Propriedade 52. Se |G| = m n ∈ N tal que mdc(n,m) = 1, enta˜o para todo
g ∈ G, g = xn para algum x ∈ G.
ê Demonstrac¸a˜o. Como mdc(n,m) = 1 enta˜o existem x0, y0 ∈ Z tais que
nx0 +my0 = 1 daı´
g = gnx0gmy0 = (gx0)n = xn.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 36
b Propriedade 53. Todo subgrupo de um grupo cı´clico e´ cı´clico.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja G o grupo cı´clico e H um subgrupo de G. Se H = {e}
enta˜o H e´ cı´clico, se na˜o, existe as ∈ H para algum s ∈ Z, como H e´ subgrupo
de G enta˜o a−s ∈ H, existe um deles que e´ positivo s ou −s. Definimos o conjunto
A = {k > 0, k ∈ N|ak ∈ H}. Tal conjunto e´ na˜o vazio, logo possui um elemento mı´nimo
t. Dado um elemento qualquer de H ele e´ da forma ap, por divisa˜o euclidiana de p
por t, existe q e 0 ≤ r < t tal que p = qt+ r, daı´
ap = (at)q.ar ⇒ ap.(at)−q = ar ∈ H
daı´ r = 0 pela minimalidade de t, implicando que ap = aq.t daı´ p = q.t, H =< at > .
Ale´m disso tal subgrupo possui n
t
elementos, pois a ordem de at e´ n
t
.
Z Exemplo 10. (Q,+) na˜o e´ um grupo cı´clico . Suponha que fosse cı´clico,
enta˜o teria um gerador positivo m
n
. Com t ≥ 1 temos tm
n
≥ m
n
, com t ≤ −1 temos
t
m
n
≤ −m
n
, daı´ o conjunto gerado aditivamente por m
n
na˜o possui elementos em
(−
m
n
,0) ∪ (0, m
n
), conjunto que possui racionais, enta˜o chegamos num absurdo!
Z Exemplo 11. O menor grupo na˜o cı´clico possui ordem 4, e´ o grupo Z2 × Z2
com adic¸a˜o . Grupos de ordem 2 e 3 sa˜o cı´clicos pois sa˜o grupos de ordem prima.
{e} o grupo de ordem 1 tambe´m e´ cı´clico.
b Propriedade 54. Todo grupo quociente de um grupo cı´clico e´ cı´clico.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja H < G onde < g >= G enta˜o < gH >= G/H.
Seja xH ∈ G/H, temos x = gk para algum k ∈ Z daı´
(gH)k = gkH = xH
enta˜o gH gera G/H.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 37
b Propriedade 55. Seja (K, +, ×) corpo e (G,×) subgrupo finito de (K∗, ×)
enta˜o G e´ cı´clico.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja r = max{O(g), g ∈ G}, por teorema de Lagrange temos
que r ≤ |G|, G e´ abeliano pois (K∗, ×) e´ abeliano. Vale por proposic¸a˜o ja´ demonstrada
que O(x)|r ∀ x ∈ G logo todos elementos de G sa˜o raı´zes de Xr−1 ∈ K[x], isto implica
que |G| ≤ r logo |G| = r, um elemento de ordem r gera G, logo ele e´ cı´clico.
b Propriedade 56. Seja G 6= {e}, tal que seus u´nicos subgrupos sejam {e} e G.
Enta˜o G e´ cı´clico finito de ordem prima.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos a 6= e ∈ G, < a > e´ subgrupo de G daı´ < a >= G,
pois na˜o pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e
< e > apenas um. Se a2 = e enta˜o o grupo e´ finito de ordem prima, se na˜o
< a2 >= G =< a >, logo a ∈< a2 >, implicando que existe n ∈ Z tal que a2n = a
daı´ a2n−1 = e, logo o grupo e´ finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0 < s < p,
< as > gera o grupo e daı´ o(as) = o(a) implicando pela identidade
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
que mdc(p, s) = 1 daı´ nenhum nu´mero menor que p divide p, implicando que ele e´
primo.
b Propriedade 57. Um grupo cı´clico com n elementos possui ϕ(n) geradores.
ê Demonstrac¸a˜o. o(as) = o(a)
mdc(o(a), s)
, o(as) = o(a) ⇔ mdc(o(a), s) = 1, a
quantidade de elementos s tais que isso acontece e´ ϕ(n).
b Propriedade 58. Seja G um grupo cı´clico com n elementos, gerado por a.
Para cada d ≥ 1 divisor de n existe um u´nico subgrupo de G com d elementos , a
saber, Hd =< a
n
d > .
ê Demonstrac¸a˜o. Para cada d divisor de n, existe o subgrupo < and >, ale´m
disso
|Hd| = o(a
n
d ) =
o(a)
mdc(o(a), o(a)
d
)
= d
CAPI´TULO 1. GRUPOS 38
logo possui d elementos.
Agora vamos provar a unicidade. Seja H um subgrupo de G com d elementos,
tal que d|n. Como G e´ cı´clico enta˜o H e´ cı´clico, logo existe s ∈ N | < as >= H =<
amdc(n,s) >
d = |H| = o(as) =
n
mdc(n, s)
daı´ mdc(n, s) = n
d
, logo H =< a
n
d > .
b Propriedade 59. Se z∗n e´ cı´clico enta˜o possui ϕ(ϕ(n)) = ϕ2(n) geradores.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que z∗n seja cı´clico, enta˜o ele possui ϕ(n) elementos
e a ∈ z∗n tal que < a >= z∗n e daı´
o(as) =
o(a)
mdc(o(a), s)
se o(as) = o(a) enta˜o mdc(o(a), s) = 1, isso acontece para ϕ(o(a)) elementos, enta˜o
z∗n possui ϕ2(n) geradores.
Z Exemplo 12. Z∗10 e´ um grupo cı´clico. Z∗10 , possui ϕ(10) = 4 elementos, eles
sa˜o 1, 3, 7, 9 pois 1.1 = 1, 3.7 = 21 ≡ 1 e 9.9 = 81 ≡ 1. O grupo e´ gerado por 3, pois
• 32 = 9.
• 33 = 9.3 = 27 ≡ 7
• 34 = 33.3 = 7.3 = 21 ≡ 1
Enta˜o < 3 >= Z∗10. O nu´mero de divisores de 4 e´ 3, que sa˜o os nu´meros 1, 2 e 4.
Enta˜o ele possui apenas um grupo na˜o trivial com 2 elementos, que e´ < 9 >, daı´
segue tambe´m que < 3 >=< 7 >= Z∗10.
Z Exemplo 13. Z∗8 na˜o e´ um grupo cı´clico. O nu´mero de elementos desse
grupo e´ ϕ(8) = 4, enta˜o ele possui subgrupos com 1, 2,4 elementos. Os elementos
do grupo sa˜o
CAPI´TULO 1. GRUPOS 39
• Triviais 1 e 7.
• Na˜o triviais: 3 pois 3.3 = 9 ≡ 1.
• 5 pois 5.5 = 25 ≡ 1.
• Logo o grupo e´ {1, 3, 5, 7} = Z∗8 na˜o e´ cı´clico.
Z Exemplo 14. Z∗17 e´ um grupo cı´clico. Tal grupo possui ϕ(17) = 16 elementos,
os divisores de 16 sa˜o 1, 2,4, 8, 16, ele possui enta˜o 5 subgrupos, com respectiva-
mente 1, 2,4, 8, 16 elementos.
• < 1 >= {1} e´ subgrupo trivial
• 3 gera o grupo pois
32 = 9
33 = 10
34 = 13
35 = 5
36 = 15
37 = 11
38 = 16
39 = 14
310 = 8
311 = 7
312 = 4
313 = 12
CAPI´TULO 1. GRUPOS 40
314 = 2
315 = 6
• Possui ϕ2(17) = 8 geradores. Que sa˜o dados por 3s com mdc(16, s) = 1.
33 = 10
35 = 5
37 = 11
39 = 14
311 = 7
313 = 12
315 = 6
• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal que mdc(16, s) = 2, tais valores
sa˜o 2, 6, 10, 14
32 = 9
36 = 15
310 = 11
314 = 2.
• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de s tais que mdc(16, s) =
4, tais valores sa˜o 4 e 12 os elementos sa˜o
34 = 13
312 = 4.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 41
• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) = 8, apenas para s = 8 e o elemento e´
38 = 16.
b Propriedade 60. a 6= e possui ordem 2 ⇔ a = a−1.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
Se a tem ordem 2 enta˜o a2 = e , isto e´ a.a = e logo a e´ inverso de si mesmo por
unicidade do inverso.⇐)
Se a = a−1 enta˜o multiplicando por a tem-se a2 = e logo a possui ordem 2.
b Propriedade 61. Se O(a) = mn enta˜o O(am) = n.
ê Demonstrac¸a˜o. A ordem de am e´ o menor valor natural s, tal que ams = e,
suponha que seja s < n enta˜o ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que
contraria a minimalidade de mn. Logo O(am) = n.
b Propriedade 62. Vale que O(a) = O(a−1).
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que O(a) = m enta˜o am = e o que implica a−m = e,
portanto m e´ um candidato a ordem de a−1, suponha que ordem fosse n < m enta˜o
a−n = e o que implica an = e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem
de a−1 e´ m.
b Propriedade 63. Se x2 = e para todo x em G enta˜o G e´ abeliano.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos (xy)(xy) = e multiplicando por x a esquerdayxy = x
multiplicando por y a direita yx = xy logo abeliano.
$ Corola´rio 15. Se O(a) = 2 ∀ a 6= e ∈ G enta˜o G e´ abeliano.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 42
m Definic¸a˜o 22 ( Torc¸a˜o). O subconjunto
T(G) = {a ∈ G | O(a) <∞}
e´ chamando de subconjunto de torc¸a˜o de G.
b Propriedade 64. Se G e´ abeliano enta˜o T(G) e´ um subgrupo de G chamado
de subgrupo de torc¸a˜o de G.
ê Demonstrac¸a˜o.
• O conjunto na˜o e´ vazio pois e ∈ T(G), e possui ordem 1.
• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, enta˜o a.b possui ordem
finita , pois (a.b)nm = anmbnm = e.
• Se a possui ordem finita enta˜o a−1 tem a mesma ordem como ja´ mostramos.
Concluı´mos enta˜o que T(G) < G.
Z Exemplo 15. T(C \ {0}) e´ o conjunto das raı´zes da unidade.
b Propriedade 65. nZ ⊂ mZ⇔ m|n e temos (mZ : nZ) = n
m
.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒).
Se nZ ⊂ mZ enta˜o m|n.
n ∈ mZ logo existe t ∈ Z tal que n = mt que implica m|n.⇐).
Se m|n enta˜o existe t ∈ Z tal que n = mt logo < n >= nZ ⊂< m >= mZ.
Usando a propriedade de que, se temos K < H < G enta˜o (G : K) = (G : H)(H : K),
usando K = nZ, H = mZ e G = Z temos
(Z : nZ)︸ ︷︷ ︸
n
= (Z : mZ)︸ ︷︷ ︸
m
(mZ : nZ)⇒ (mZ : nZ) = n
m
.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 43
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cı´clicos
b Propriedade 66. Sejam a ∈ G, b ∈ B.
1. Se O(a) < ∞ enta˜o existe homomorfismo f :< a >→ B tal que f(a) = b ⇔
O(b) | o(a). Tal morfismo se existir e´ u´nico e tem-se f(ar) = br ∀ r ∈ N.
2. Se o(a) =∞ e O(b) qualquer, enta˜o existe um u´nico morfismo f :< a >→ B
tal que f(a) = b. O morfismo e´ dado por f(ar) = br ∀ r ∈ Z.
ê Demonstrac¸a˜o.
• ⇒). Se r = O(a) <∞ e O(b) na˜o divide O(a) na˜o existe morfismo f :< a >→ B
com f(a) = b, pois se existisse f(ar) = f(a)r = br = e logo O(b)|O(a). ⇐). Se
O(b) |O(a) tomamos f :< a >→ B com f(ar) = br. Se r e s sa˜o tais que ar = as
vamos mostrar que br = bs. Temos ar−s = e logo r − s e´ mu´ltiplo de O(a) e
como O(b) divide O(a) enta˜o r−s e´ mu´ltiplo de O(b) e daı´ br−s = e⇒ br = bs.
• Se O(a) = ∞ enta˜o todo elemento x ∈< a > tem uma u´nica representac¸a˜o
x = ar pois caso contra´rio < a > seria finito.
A func¸a˜o definida e´ um morfismo pois
f(xy) = f(aras) = f(ar+s) = br+s = brbs = f(ar)f(as) = f(x)f(y).
Unicidade. O homomorfismo em qualquer dos casos e´ u´nico pois se g e´ morfismo
com g(a) = b enta˜o g(ar) = g(a)r = br ∀ r ∈ Z daı´ g = f.
b Propriedade 67. Seja G finito, f : G → Z com f(g) = 0 ∀ g ∈ G e´ o u´nico
homomorfismo de G em Z.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que fosse f(g) = n 6= 0 para g 6= e enta˜o | < a > | =
r 6= 0 e gr = e, daı´ 0 = f(gr) = rf(g) = r︸︷︷︸
6=0
. n︸︷︷︸
6=0
6= 0 o que e´ absurdo, daı´ deve valer
para todo g ∈ G f(g) = 0.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 44
Z Exemplo 16. Seja G = Z8 e B = Z10. Procuramos todos os morfismos
f : G → B. Os elementos b ∈ B tais que O(b)|O(1) = 8 sa˜o b = 5 ou b = 0, logo
os morfismos sa˜o f1 : Z8 → Z10 f1(n) = 5n ou f2 : Z8 → Z10 com f2(n) = 0.
b Propriedade 68. Seja G =< a > e f : G → G morfismo de grupos, f e´
automorfismo ⇔ < f(a) >= G.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
Suponha f isomorfismo, f(a) = b, f(ar) = br, f e´ bijec¸a˜o enta˜o dado y ∈ G existe
x ∈ G tal que f(x) = y, pore´m x = ar para algum r ∈ Z, daı´ f(x) = f(ar) = f(a)r = y
portanto G ⊂< f(a) >, como < f(a) >⊂ G enta˜o < f(a) >= G.⇐).
Suponha que < f(a) >= G. Temos que mostrar que f e´ injetora e sobrejetora.
• f e´ sobrejetora pois dado y ∈ G temos r ∈ Z tal que y = f(a)r = f( ar︸︷︷︸
x∈G
) = f(x).
•
b Propriedade 69 (Teorema Chineˆs dos restos). Sejam (mk)r1 inteiros dois a
dois distintos entre si, enta˜o a aplicac¸a˜o diagonal
∆ : Z→ r∏
k=1
Zmk
com f(z) = (z +mkZ)r1 e´ sobrejetiva ou de maneira equivalente, existe z ∈ Z tal
que
(z ≡ zk mod mk)r1.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja α = (1 +mkZ)r1 ∈ (Zmk)r1, vale que |
r∏
k=1
Zmk | = O(α) =
|
r∏
k=1
mk| pois
CAPI´TULO 1. GRUPOS 45
α
r∏
k=1
mk = (0)r1
α e´ um gerador de
r∏
k=1
Zmk portanto ∀ (zk)r1 existe z ∈ Z tal que
zα = (zk +mkZ)
r
1
isto e´
(zk +mkZ)
r
1 = (z+mkZ)
r
1.
$ Corola´rio 16. Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois primos entre si, enta˜o
∆ : Z/([
r∏
k=1
mk]Z)→ r∏
k=1
Zmk
com f(z+ [
r∏
k=1
mk]Z) = (Z+mkZ)
r
1 e´ um isomorfismo de grupos.
Pois ∆ : Z → r∏
k=1
Zmk e´ um homomorfismo de grupos com Kernel [
r∏
k=1
mk]Z, a
aplicac¸a˜o e´ sobrejetiva, logo ∆ e´ isomorfismo pelo Teorema do isomorfismo.
b Propriedade 70. Se P e´ um primo ı´mpar enta˜o
• Z/(ptZ) w Z/([pt − pt−1]Z) para cada t ≥ 1.
• Z/(2tZ) w Z/(2Z)× Z/(2t−2Z) para cada t ≥ 2.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.6 Grupos diedrais
m Definic¸a˜o 23 (Grupo diedral Dn).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 46
1.7 Homomorfismo de grupos
m Definic¸a˜o 24 (Homomorfismo de grupos). Sejam (G, ∗) e (B,×) grupos. A
func¸a˜o ϕ : G→ B e´ chamada de homomorfismo de grupos ⇔
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)×ϕ(b)
para todos a, b em G.
O Homomorfismo e´ uma func¸a˜o que preserva as operac¸o˜es dos grupos. Um
homomorfismo tambe´m pode ser chamado de morfismo. A mesma definic¸a˜o para
semi-grupo .
Z Exemplo 17. Seja f : Z∗14 → Z∗14 com f(x) = x2. Tal func¸a˜o e´ homomorfismo
multiplicativo? Se sim, calcule seu nu´cleo .
Temos que em geral em Zn vale
(x.y)2 = x2.y2
disso segue que
f(xy) = f(x)f(y)
portanto e´ um homomorfismo, o mesmo vale para g : Zn → Zn com g(x) = xm,
pois
(x.y)m = xmym,
logo g(x.y) = g(x)g(y).
Z∗14 e´ o conjunto {1, 3, 5, 9, 11, 13} que sa˜o as classes de elementos de 1 ate´ 13
qus sa˜o primos com 14 . O nu´cleo do homomorfismo e´ o conjunto dos elementos
x tais que f(x) = x2 = 1 o elemento neutro de Z∗14.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 47
Z Exemplo 18. Na˜o existe homomorfismo injetor multiplicativo entre Z e nZ,
com n ≥ 2 natural .
Supondo que exista, temos
f(1) = nk
f(1.1) = f(1)f(1) = n2k2 = nk
daı´ nk = 0 ou nk = 1 logo k = 0 daı´ f(1) = 0 e portanto f(s) = f(s.1) = f(s) f(1)︸︷︷︸
0
=
0 e a func¸a˜o na˜o e´ injetora. Caso nk = 1 enta˜o k = 1
n
e f(1) = 1 em nZ o que
na˜o e´ possı´vel .
m Definic¸a˜o 25. Dado grupo A, denotamos o conjunto dos elementos in-
vertı´veis desse grupo como A∗.
Z Exemplo 19.
R∗ = R \ {0}.
C∗ = C \ {0}.
Q∗ = Q \ {0}.
Z∗ = {1,−1}.
Z∗p = Zp \ {0}.
N∗ = {1}.
b Propriedade 71. R+ = {x ∈ R | x > 0} com a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o e´ um
subgrupo de R∗.
ê Demonstrac¸a˜o.
• O elemento neutro 1 ∈ R+.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 48
• Dado x ∈ R+ e y ∈ R+ enta˜o x.y ∈ R+ pois o produto de positivos e´ positivo.
• Dado x ∈ R+ enta˜o x−1 ∈ R+ , pois o inverso de um nu´mero positivo tambe´m e´
positivo. Logo R+ e´ subgrupo de R∗.
b Propriedade 72. A func¸a˜o f : C∗ → R+ dada por f(z) = |z| e´ um homo-
morfismo de grupos. Onde estamos considerando C∗ e R+ com a operac¸a˜o de
multiplicac¸a˜o.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale f(z.y) = |z.y| = |z|.|y| = f(z).f(y).
$ Corola´rio 17 (Homomorfismo trivial). A func¸a˜o ϕ : G→ B definida como
ϕ(a) = eB ∀ a ∈ G
e´ um homomorfismo, chamado homomorfismo trivial. Pois vale
ϕ(a ∗ b) = eB = eB × eB = ϕ(a)×ϕ(b).
Z Exemplo 20 (Identidade). A func¸a˜o I : G → G com f(x) = x e´ um homo-
morfismo chamado de identidade. Tal func¸a˜o e´ homomorfismo pois f(xy) = xy =
f(x)f(y).
Z Exemplo 21. Dado um grupo abeliano G enta˜o f : G → G com f(x) = xn
com n ∈ N fixo e´ um homomorfismo, pois
f(xy) = (xy)n = xnyn = f(x)f(y).
Em especial se G = Z com a adic¸a˜o enta˜o f(x) = nx e´ homomorfismo
CAPI´TULO 1. GRUPOS 49
m Definic¸a˜o 26 (Projec¸a˜o canoˆnica). Seja H C G enta˜o f : G → G/H com
f(x) = xH e´ um homomorfismo chamado de projec¸a˜o canoˆnica.
Tal func¸a˜o e´ realmente um homomorfismo pois
f(xy) = xyH = xHyH = f(x)f(y).
Z Exemplo 22. Sejam G = (V,+) e H = (W,+) espac¸os vetoriais, enta˜o
qualquer transformac¸a˜o linear T : V → W e´ um homomorfismo de grupos, pois
por definic¸a˜o de transformac¸a˜olinear temos
T(v+ u) = t(v) + T(u).
b Propriedade 73.
ϕ(eG) = eB.
ê Demonstrac¸a˜o.
ϕ(eG ∗ eG) = ϕ(eG) = ϕ(eG)×ϕ(eG)
operando ϕ(eG) ′ em ambos lados temos
eB = ϕ(eG).
b Propriedade 74. A composic¸a˜o de homomorfismos e´ um homomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam (G, ∗), (G ′, ∗ ′), (G ′′, ∗ ′′) grupos. Se f : G → G ′ e
g : G ′ → G ′′ sa˜o homomorfismos de grupos, enta˜o g◦f : G→ G ′′ e´ um homomorfismo
de grupos, pois sendo a, b ∈ G vale
(g ◦ f)(a ∗ b) = g(f(a ∗ b)) = g(f(a) ∗ ′ f(b)) = g(f(a)) ∗ ′′ g(f(b)).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 50
b Propriedade 75.
ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos
ϕ(a ∗ a−1) = ϕ(eG) = eB = ϕ(a)×ϕ(a−1)
operando com ϕ(a)−1 a esquerda segue
ϕ(a)−1 = ϕ(a−1)
b Propriedade 76. Se H < G enta˜o ϕ(H), e´ subgrupo de B.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que eB ∈ ϕ(H) pois ϕ(eG) = eB.
Se a ∈ ϕ(H) existe c1 ∈ H tal que ϕ(c1) = a e b ∈ ϕ(H) enta˜o existe c2 ∈ H tal
que ϕ(c2) = b de onde segue c1 ∗ c2 ∈ H e ϕ(c1 ∗ c2) = ϕ(c1) × ϕ(c2) = a × b logo
a.b ∈ ϕ(H).
Se a ∈ ϕ(H) existe c ∈ H tal que ϕ(c) = a e temos tambe´m ϕ(c−1) = ϕ(c)−1 = a−1
logo a−1 ∈ ϕ(H), mostrando que ϕ(H) e´ subgrupo de B .
$ Corola´rio 18.
Em especial o resultado anterior vale se H = G, logo Im(f) < B.
m Definic¸a˜o 27 (Nu´cleo). O nu´cleo de ϕ e´ o conjunto
Ker(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = eB}.
b Propriedade 77. Ker(ϕ) e´ um subgrupo de G.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que ϕ(eG) = eB, logo eG ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) e b ∈ Ker(ϕ) segue ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b) = eB × eB = eB logo
a ∗ b ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) temos ϕ(a) = eB e ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 = e−1B = eB assim a−1 ∈ Ker(ϕ)
o que implica Ker(ϕ) ser subgrupo de G.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 51
b Propriedade 78. Ker(ϕ)CG.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que mostrar que gKer(ϕ)g−1 ⊂ Ker(ϕ), para g ∈ G
arbitra´rio. Seja enta˜o x ∈ Ker(ϕ), vamos demonstrar que gxg−1 ∈ Ker(ϕ), por isso
aplicamos ϕ, de onde segue
ϕ(gxg−1) = ϕ(x)ϕ(x)ϕ(g−1) = ϕ(x)eϕ(g)−1 = e
por isso gxg−1 ∈ Ker(ϕ).
b Propriedade 79. ϕ e´ injetora ⇔ Ker(ϕ) = {eG}.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Considere ϕ injetora, enta˜o temos ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ a = b, como temos
ϕ(eG) = eB segue Ker(ϕ) = {eG}.⇐). Seja agora Ker(ϕ) = {eG}, temos ϕ(a) = eB implica a = eG, suponhamos
ϕ(a) = ϕ(b) logo ϕ(a)×ϕ(a)−1 = eB = ϕ(b)×ϕ(a)−1 = ϕ(b ∗ a−1) assim temos que
ter b ∗ a−1 = eG, implicando b = a, logo a func¸a˜o e´ injetora.
b Propriedade 80. Se H C G enta˜o f(H) < B e f−1(f(H)) = HKer(f), sendo f
homomorfismo.
Observamos que f−1(f(H)) e´ o conjunto dos y ∈ G tais que f(y) ∈ f(H), y fixo
pode na˜o pertencer a H.
ê Demonstrac¸a˜o.
• HKer(f) ⊂ f−1(f(H)). Dado hk ∈ HKer(f) temos
f(hk) = f(h)f(k) = f(h) ∈ F(H)
logo vale a inclusa˜o HKer(f) ⊂ f−1(f(H)).
• f−1(f(H)) ⊂ HKer(f). Seja y ∈ f−1(f(H)) enta˜o f(y) ∈ f(H) , logo existe h ∈ H
tal que f(y) = f(h) ⇒ f(h−1y) = e, por isso h−1y ∈ Ker(f), que implica y =
h(h−1y) ∈ Hker(f).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 52
$ Corola´rio 19. Dado H < G enta˜o f−1(f(H)) = HKer(f) implica que f−1(f(H)) <
G pois Ker(f)CG e H < G.
b Propriedade 81. Se T < B enta˜o f−1(T) < G e Ker(f) ⊂ f−1(T).
ê Demonstrac¸a˜o.
• Ker(f) ⊂ f−1(T). Pois como T < B enta˜o eB ∈ T e daı´
Ker(f) = f−1(eB) ⊂ f−1(T).
• f−1(T) < G.
1. Produto e´ fechado . Sejam x, y ∈ f−1(T) enta˜o f(x), f(y) ∈ f(T) logo existem
t1, t2 ∈ T tais que f(x) = f(t1) , f(y) = f(t2) portanto f(x.y) = f(t1t2) ∈ f(T)
daı´ xy ∈ f−1(T).
2. Inverso esta´ no conjunto. Se x ∈ f−1(T) enta˜o f(x) = f(t1) daı´ f(t1)f(t1)−1 =
f(x)f(t1)
−1, por unicidade do inverso segue que x−1 ∈ f−1(t).
b Propriedade 82. Seja T < B enta˜o f(f−1(T)) = T ∩ Im(f).
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale f(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f) . f−1(T) = A e´ o conjunto dos x ∈ G tais que
f(x) ∈ T , daı´ temos claramente f(A) ⊂ T e por definic¸a˜o f(A) ⊂ Im(f) enta˜o
f(f−1(T)) ⊂ T ∩ Im(f).
• T ∩ Im(f) ⊂ f(f−1(T)). Seja y ∈ T ∩ Im(f), como y ∈ Im(f) existe g ∈ G tal que
f(g) = y, como y ∈ T enta˜o g ∈ f−1(T) = A e daı´ y = f(g) ∈ f(A) = f(f−1(T)).
$ Corola´rio 20. Se f : G → B e´ sobrejetiva enta˜o f(f−1(T)) = T , pois T ⊂ Im(f)
logo T ∩ Im(f) = T.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 53
b Propriedade 83. Se O(x) <∞ enta˜o O(f(x))|o(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja n = O(x) enta˜o
eB = f(e) = f(x
n) = f(x)n
O(f(x)) e´ o menor valor m tal que f(x)n = eB portanto m ≤ n. Suponha por absurdo
que m na˜o divide n, enta˜o por divisa˜o euclidiana temos n = mq+ r com r > 0 e daı´
f(x)n = e = (f(x)m)qf(x)r = f(x)r
o que contradiz a minimalidade de m, portanto m|n.
b Propriedade 84. Sejam H,K,HK < G enta˜o
(HK : K) = (H : H ∩ K),
isto e´, a quantidade de classes laterais de K em KH e´ a mesma quantidade de
classes laterais de H ∩ K em H.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A = {ha}a∈B um sistema de representantes das classes
laterais a` esquerda de H∩K em H. Seja C o conjunto das classes laterais a` esquerda
de K em HK, definimos uma func¸a˜o f : A → C com f(ha) = haK e vamos mostrar
que f e´ bijec¸a˜o.
• f e´ injetora. Sabemos que ha = hb ⇔ a = b. Suponha a 6= b, vamos mostrar que
f(ha) = haK 6= f(hb) = hbK, pois se fosse hbK = haK enta˜o ha = hbl com l ∈ K
e daı´ l = h−1b ha ∈ H portanto l ∈ H ∩ K de onde segue que ha = hb ⇒ a = b, o
que e´ absurdo.
• A func¸a˜o e´ sobrejetora, isto e´, toda classe lateral a` esquerda de K em HK e´ do
tipo haK, para algum a ∈ B. Seja tK, t ∈ HK uma classe lateral, escrevemos
t = hk, temos
tK = hkK = hK
escolhemos a ∈ B tal que h ∈ ha, logo h = ha.s com s ∈ H ∩ K e daı´
tK = hK = ha.sK = haK,
logo a func¸a˜o e´ sobrejetiva, como querı´amos demonstrar.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 54
Como a func¸a˜o e´ sobrejetiva e injetiva, temos bijec¸a˜o daı´ (HK : K) = (H : H ∩ K).
m Definic¸a˜o 28 (Isomorfismo de Grupos). ψ e´ um isomorfismo de grupos ⇔
ψ e´ um homomorfismo bijetor.
m Definic¸a˜o 29 (Grupos isomorfos). Dois grupos G e B sa˜o isomorfos ⇔ existe
um isomorfismo ψ entre eles. Nesse caso denotamos A ' B.
b Propriedade 85. (R+, .) e (R,+) sa˜o isomorfos.
ê Demonstrac¸a˜o.
Considere a func¸a˜o f : R+ → R definida como f(x) = ln x. Enta˜o vale
• f e´ bijetora, pois dado y ∈ R, existe x = ey tal que ln ey = y enta˜o e´ sobrejetora.
Ale´m disso e´ injetora pois f ′(x) = 1
x
> 0.
• f e´ um homomorfismo pois ln(x.y) = ln x+ lny.
b Propriedade 86. A func¸a˜o inversa de um isomorfismo e´ um isomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Considere os grupos isomorfos (G, ∗) e (G ′, ∗) com o iso-
morfismo f : G→ G. Como f e´ bijetora ela possui uma u´nica inversa g : G ′ → G que
tambe´m e´ bijetora, vamos mostrar que g tambe´m e´ um homomorfismo, mostrando
que tomando x2, y2 ∈ G ′ quaisquer vale g(x2 ∗ ′ y2) = g(x2) ∗ g(y2). Existem x1, y2 ∈ G
tais que f(x1) = x2 e g(y1) = y2, daı´
g(x2 ∗ ′ y2) = g(f(x1) ∗ ′ f(x2)) = g(f(x1 ∗ x2)) = x1 ∗ x2 = g(x2)(g(y2) .
1.7.1 Automorfismo
m Definic¸a˜o 30 (Automorfismo). Um automorfismo de G e´ um isomorfismo de
G em G.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 55
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e´ automorfismo
b Propriedade 87. Sejam G um grupo e a ∈ G fixo. Se f : G → G tem lei
f(x) = axa−1, enta˜o f e´ um automorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que mostrar que a func¸a˜o e´ um homomorfismo bijetor.
Tal func¸a˜o e´ um homomorfismo pois f(c.b) = a(c.b)a−1 = a(ca−1ab).a−1 = f(c).f(b).
Ela e´ injetora pois se f(c) = f(b) enta˜o aca−1 = aba−1, implica c = b por lei do corte.
A func¸a˜o tambe´m e´ sobrejetora pois axa−1 = b enta˜o x = a−1b.a.
m Definic¸a˜o 31. Definimos o conjunto Aut(G) como
Aut(G) = {f : G→ G | f e´ automorfismo}.
b Propriedade 88. A estrutura (Aut(G), ◦) e´ um grupo, onde ◦ e´ a composic¸a˜o
de func¸o˜es.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A composic¸a˜o e´ fechada.
• A composic¸a˜o de bijec¸o˜es e´ bijec¸a˜o.
• A composic¸a˜o de homomorfismos e´ um homomorfismo. Enta˜o tem-se que a
operac¸a˜o e´ fechada.
• A identidade e´ um automorfismo.
• Existe inverso pra um automorfismo pois as func¸o˜es sa˜o bijetoras.
• A composic¸a˜o e´ associativa.
b Propriedade 89.Seja I(G) com composic¸a˜o de func¸o˜es, enta˜o I(G)CAut(G).
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro mostramos que e´ subgrupo.
• I(G) e´ na˜o vazio, pois temos nele a func¸a˜o identidade Ie(x) = exe−1 = x.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 56
• Sejam Ig1 e Ig2 automorfismos internos enta˜o
Ig1 ◦ Ig1(x) = Ig1(g2xg−12 ) = g1g2xg−12 g−11 = g1g2x(g1g2)−1 = Ig1g2(x).
• Dado Ig enta˜o (Ig)−1 tambe´m e´ automorfismo interno, pois Ig−1 e´ autormorfismo
interno e Ig−1(x) = g−1xg
Ig ◦ Ig−1(x) = g(g−1xg)g−1 = x = I
e´ a identidade, logo (Ig)−1 = Ig−1 .
Agora vamos mostrar finalmente que I(G) C Aut(G), isto e´, f ◦ I(G) ◦ f−1 ⊂ I(G)
onde f ∈ Aut(G). Sejam f ∈ Aut(G) e Ig ∈ I(G) quaisquer enta˜o
f ◦ Ig ◦ f−1(x) = f(gf−1(x)g−1) = f(g)xf(g)−1 ∈ I(G)
como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 90. G e´ abeliano ⇔ I(G) = {I}.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se G e´ abeliano enta˜o Ig(x) = gxg−1 = x = I ∀ g ∈ G e´ a
func¸a˜o identidade, logo todos automorfismos internos sa˜o iguais a func¸a˜o identidade
e daı´ I(G) = {I}.⇐).
Se ∀ g, x ∈ G vale Ig(x) = x enta˜o gxg−1 = x⇒ gx = xg logo o grupo e´ abeliano.
b Propriedade 91. HCG⇔ Ig(H) ⊂ H, ∀ g ∈ G , isto e´, H e´ esta´vel por todos
automorfismos internos de G.
ê Demonstrac¸a˜o.
HCG⇔ ∀ g ∈ G gHg−1 ⊂ H⇔ Ig(H) ⊂ H.
m Definic¸a˜o 32 (Subgrupo caracterı´stico). H < G e´ um subgrupo caracterı´stico
de G, que se denota por HlG, se ele e´ esta´vel por todos os automorfismos de G,
CAPI´TULO 1. GRUPOS 57
isto e´, f(H) ⊂ H ∀ f ∈ Aut(G).
Z Exemplo 23. Sa˜o subgrupos caracterı´sticos de G, {e}, G, Z(G), G ′.
• {e} e´ subgrupo caracterı´stico pois para qualquer automorfismo f de G tem-se
f(e) = e.
• E´ claro que f(G) ⊂ G para qualquer f.
• Z(G) e´ subgrupo caracterı´stico . Dado qualquer automorfismo f : G → G e
qualquer g ∈ Z(G), temos que mostrar que ∀ x ∈ G tem-se xf(g) = f(g)x.
Como f : G→ G e´ bijec¸a˜o, enta˜o existe y tal que f(y) = x, portanto
xf(g) = f(y)f(g) = f(yg) = f(gy) = f(g)f(y) = f(g)x .
• Por fim G ′ e´ subgrupo caracterı´stico . Dado z ∈ G ′ z = xyx−1y−1, logo
f(z) = f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1 ∈ G ′ pois a func¸a˜o assume valor em G ′.
$ Corola´rio 21. Se H l G enta˜o H C G pois em especial fg(H) = gHg−1 e´
automorfismo para todo g.
b Propriedade 92. Se H e´ o u´nico subgrupo de G de ordem n enta˜o HlG.
ê Demonstrac¸a˜o.
Temos que mostrar que para qualquer f automorfismo de G em G tem-se f(H) ⊂ H.
f(H) e´ subgrupo de G , pois f e´ homomorfismo e H < G, ale´m disso possui n
elementos, pois f e´ func¸a˜o bijetora, disso segue que f(H) = H.
b Propriedade 93. Seja K l H C G enta˜o K C G, isto e´, vale um tipo de
transitividade.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam g ∈ G arbitra´rio, Ig : G → G com Ig(x) = gxg−1
CAPI´TULO 1. GRUPOS 58
consideramos a restric¸a˜o Ig|H, como HCG enta˜o Ig(H) = H, I|H e´ um automorfismo
de H. KCH implica Ig|H(K) ⊂ K, isto e´, gKg−1 ⊂ K ∀ g ∈ G daı´ KCG.
b Propriedade 94. Sejam (G, .) e (G ′, ∗) grupos e f : G→ G ′ um isomorfismo
de grupos vale:
• Se o(a) e´ finito enta˜o o(f(a)) e´ finito.
• Se o(a) e´ infinito enta˜o o(f(a)) e´ infinito.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que o(a) seja infinito, enta˜o o(f(a)) e´ finito ou
infinito, suponha por absurdo que seja finito, logo existe n ∈ N tal que [f(a)]n = e =
f(an) como a func¸a˜o e´ injetora enta˜o an = e que implicaria que o(a) e´ finita, um
absurdo.
Se o(a) e´ finita, existe n ∈ N tal que an = e e daı´ f(an) = f(a)n = f(e) = e, enta˜o
ordem de f(a) e´ finita.
b Propriedade 95. Seja (G, .) um grupo cı´clico infinito gerado por a, enta˜o
f : (z,+)→ (G, .) definida por f(n) = an e´ um isomorfismo de grupos.
O elemento az gera G ⇔ z = 1 ou z = −1.
ê Demonstrac¸a˜o. f e´ um homomorfismo pois f(n + m) = an+m = anam =
f(n)f(m). Vamos mostrar que a func¸a˜o e´ injetora, suponha f(n) = f(m) enta˜o an =
am e daı´ an−m = e, se n 6= m enta˜o o grupo seria finito, segue enta˜o que n = m e a
func¸a˜o e´ injetora. Pelo fato do grupo ser cı´clico infinito gerado por a tem-se que f e´
sobrejetora.
az gera G ⇔ z gera Z, os u´nicos elementos que geram Z sa˜o 1 e −1.
$ Corola´rio 22. Quaisquer dois grupos cı´clicos infinitos sa˜o isomorfos.
b Propriedade 96. Se (G, .) e´ um grupo cı´clico de ordem n gerado por a enta˜o
G e´ isomorfo ao grupo (zn,+ mod n).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 59
Um elemento am gera G ⇔ mdc(m,n) = 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja a func¸a˜o Zn → G, definida como f(n) = an. Tal func¸a˜o
e´ um homomorfismo pois f(n+m) = an+m = an.am = f(n)f(m). f deve ser injetora,
pois dados n ≥ m ≥ s ≥ 0 com am = as segue am−s = e enta˜o de 0 ≤ m − s < n
segue m = s. A func¸a˜o tambe´m e´ sobrejetiva.
am gera G ⇔ m gera Zn ⇔ mdc(m,n) = 1.
1.7.3 Determinac¸a˜o de homomorfismo entre dois grupos
m Definic¸a˜o 33. Denotamos por Hom(G,B) o conjunto dos homomorfismos
de G em B.
$ Corola´rio 23.
Hom(G,B) =
⋃
HCG
{f : G→ B,morfismo | Ker(f) = H}
pois Ker(f)CG.
1.7.4 Teorema de Cayley - G e´ isomorfo a um subgrupo de SG.
b Propriedade 97 (Cayley). G e´ isomorfo a um subgrupo de SG.
ê Demonstrac¸a˜o. Para cada a ∈ G definimos a func¸a˜o fa : G → G tal que
fa(x) = a.x, fa e´ injetora pois fa(x) = a.x = a.y enta˜o x = y por lei do corte, f
tambe´m e´ sobrejetora pois dado b ∈ G existe x = a−1b tal que fa(x) = aa−1b = b.
Enta˜o fa e´ uma bijec¸a˜o, fa ∈ G ∀ a ∈ G.
Definimos enta˜o g : G → SG como g(a) = fa. Vamos mostrar que G e´ um
homomorfismo injetor.
g(a.b)(x) = fa.b(x) = a.b.x = a(b.x) = (fa ◦ fb)(x)
daı´ g(a.b) = g(a) ◦ g(b). Logo g e´ um homomorfismo de grupos, vamos mostrar que
e´ injetora
ker(G) = {a ∈ G | g(a) = IG} = {a ∈ G | ax = x} = {e}
CAPI´TULO 1. GRUPOS 60
logo e´ injetora, enta˜o esta´ em bijec¸a˜o com sua imagem g(G) ⊂ SG sendo um isomor-
fismo.
$ Corola´rio 24. Um grupo com n elementos e´ isomorfo a um subgrupo de Sn.
b Propriedade 98. Seja f : G → G com f(x) = x−1. G e´ abeliano ⇔ f e´
morfismo.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 = f(x)f(y).⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀ x, y ∈ G tem-se
f(x−1y−1) = f(x−1)f(y−1) = xy = yx.
$ Corola´rio 25. Se ∀ a ∈ G a2 = e enta˜o G e´ abeliano. a e´ inverso dele mesmo
a = a−1, portanto
(xy)−1 = y−1x−1 = yx = xy.
1.7.5 Teorema dos isomorfismos
F Teorema 2 (Teorema dos isomorfismos-1). Seja f : G→ B um homomorfismo
enta˜o
• h : G/(ker(f))→ f(G) com h(gker(f)) = f(g) e´ um isomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o.
• h e´ func¸a˜o. Se gKer(f) = g ′Ker(f) enta˜o f(g) = f(g ′) pois g = g ′k onde
k ∈ Ker(f) e daı´
f(g) = f(g ′k) = f(g ′)f(k) = f(g ′).
• h e´ morfismo.
h(gKer(f)g ′Ker(f)) = h(gg ′Ker(f)) = f(gg ′) = f(g)f(g ′) = h(gKer(f))h(g ′Ker(f)).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 61
• f e´ injetiva pois se h(gKer(f)) = h(gKer(f)) ⇒ f(g) = f(g ′) ⇒ f(g ′g−1) = eB
enta˜o g ′ = gk com k no nu´cleo portanto gKer(f) = g ′Ker(f).
• h e´ sobrejetiva por definic¸a˜o.
h e´ bijec¸a˜o e homomorfismo, enta˜o h e´ isomorfismo.
b Propriedade 99 (Teorema dos isomorfismos-2). Seja A = {H | H < G, ker(f) ⊂
H}, isto e´, o conjunto dos subgrupos de G que contem ker(f) e C = {T | T < f(G)}
o conjunto dos subgrupos de f(G), enta˜o g : A → C coma g(H) = f(H) e´ bijec¸a˜o
que possui inversa g−1(T) = f−1(T). Ale´m disso
• HCG implica f(H)C f(G).
• T C f(G) implica f−1(T)CG.
A ultima proposic¸a˜o diz que g preserva a propriedade de subgrupos normais, isto e´,
leva subgrupos normais de um conjunto em subgrupos normais do outro conjunto.
g pode ser vista como o morfismo f restrito ao conjunto A.
aUsamos a notac¸a˜o g para func¸a˜o no lugar de f, pois f, homomorfismo e´ definido de G em B.
ê Demonstrac¸a˜o.
Sabemos que f−1(f(H)) = Hker(f) ∀ H < G e f(f−1(T)) = T ∩ f(G), ∀ T < B, daı´
Ker(f) ⊂ H implica f−1(f(H)) = H e T ⊂ f(G) que f(f−1(T)) = T , enta˜o g possui
inversa , logo e´ bijec¸a˜o.
• HCG implica f(H)C f(G).
Dado y ∈ f(g) e x ∈ f(H), temos que ter yxy−1 ∈ f(H). y = f(g), x = f(h),
g, h ∈ G,H, logo
yxy−1 = f(g)f(h)f(g−1)= f(ghg−1︸ ︷︷ ︸
∈H
) ∈ f(H)
a parte sublinha acontece pois HCG.
• T C f(G) implica f−1(T)CG.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 62
Dado g ∈ G e a ∈ f−1(T) (logo f(a) ∈ T ), vamos mostrar que gag−1 ∈ f−1(T).
Temos
f(gag−1) = f(g) f(a)︸︷︷︸
∈T
f(g)−1 ∈ T
pois T C f(G) logo gag−1 ∈ f−1(T).
b Propriedade 100. Sejam f : G → T morfismo , H < G enta˜o g : H/H ∩
Ker(f)→ f(H) com g(h.H ∩ Ker(f)) = f(h) e´ um isomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Considere o morfismo f|H : H → B, isto e´, a restric¸a˜o de f a`
H, vale que f|H(H) = f(H) e Ker(f|H) = Ker(f) ∩H, pois Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eB} e
Ker(f|H) = {x ∈ H | f(x) = eB}, aplicando a parte 1 do teorema dos isomorfismo a` f|H,
basta substituir Ker(f) por Ker(f) ∩H e provamos o resultado.
b Propriedade 101. Seja H C G enta˜o f : A → C e´ uma bijec¸a˜o onde A =
{V | V CG, V ⊂ H}, C = {T | T CG/H}.
ê Demonstrac¸a˜o. Considere o homomorfismo l : G→ G/H dado por l(g) = gH,
l e´ um morfismo sobrejetor e Ker(l) = H, aplicamos a parte (2) do teorema dos
isomorfismos a l, substituindo Ker(l) por H, f(G) por l(G) = G/H.
b Propriedade 102. Sejam G um grupo, ACG, BC C < G enta˜o ABCAC.
ê Demonstrac¸a˜o. Como A C G e B C G enta˜o AB C G e em especial vale que
AB = BA.
• De ACG temos ∀ g ∈ G e a ∈ A tem-se gag−1 ∈ A.
• De BC C segue ∀ c ∈ C e b ∈ B temos cbc−1 ∈ B.
Queremos mostrar que ABCAC, isto e´, ∀ ac ∈ AC e a ′b ′ ∈ AB tem-se
aca ′b ′(ac)−1 ∈ AB, isto e´ , aca ′b ′c−1a−1 ∈ AB
pore´m podemos escrever
a (ca ′c−1)︸ ︷︷ ︸
a1∈A
(cb ′c−1)︸ ︷︷ ︸
b1∈B
a−1 = aa1b1a
−1 ∈ AB
a u´ltima passagem e´ verdadeira pois ABCG.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 63
b Propriedade 103. Se HCG e K < G enta˜o K/(H ∩ K) e´ isomorfo a KH/H.
ê Demonstrac¸a˜o. Como HCG e K < G temos que KH < G e KH = HK. HCG
enta˜o H C KH daı´ podemos considerar o quociente KH/H. Tomamos o morfismo
canoˆnico f : KH → KH/H com f(kh) = khH = kH. Consideramos a restric¸a˜o
f|K : K → KH/H, f(k) = kH. Temos Ker(f|k) = {k ∈ K | kH = k} = H ∩ K, f|K e´
sobrejetora, pelo teorema dos 1 segue o resultado.
b Propriedade 104. Sejam K < H < G com K C G e H C G enta˜o G/K
H/K
e´
isomorfo a G/H.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja f : G/K→ G/H com f(gK) = gH.
• f e´ func¸a˜o pois se gK = g ′K enta˜o g = g ′K para algum k ∈ K daı´ f(g ′K) = g ′H
e
f(gK) = gH = g ′kH = g ′H
pois K ⊂ H.
• f e´ sobrejetora por definic¸a˜o.
• Ker(f) = {gK | f(gk) = g︸︷︷︸
∈H
H = H} = H/K pois os elementos de H/K sa˜o da
forma gK onde g ∈ H.
Aplicando o primeiro teorema dos isomorfismo segue o resultado.
1.8 O grupo Sn
m Definic¸a˜o 34 (Congrueˆncia mo´dulo σ). Sejam σ ∈ Sn (σ e´ uma func¸a˜o
bijetora que leva elementos de In em In.) , a, b ∈ In, dizemos que a e´ congruente
a b mo´dulo σ sse existe k ∈ Z | b = σk(a), nesse caso escrevemos
a ≡σ b⇔ ∃k ∈ Z | σk(a) = b.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 64
b Propriedade 105. A congrueˆncia mo´dulo σ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
em In.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a reflexividade pois σ0(a) = a.
• Vale a simetria. Se σk(a) = b enta˜o σ−kb = a daı´ a ≡σ b implica b ≡σ a.
• Vale a transitividade. De σk(a) = b e σs(b) = c segue que σ(k+s)(a) = c daı´
a ≡σ c. Enta˜o ≡σ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em In.
m Definic¸a˜o 35 (O´rbita de a por σ). A o´rbita de a por σ e´ o conjunto
O(a) := {σk(a) | k ∈ Z}
, sendo a classe de equivaleˆncia de a mo´dulo σ.
b Propriedade 106. ∀ a ∈ In existe l ≥ 1 tal que σl(a) = a.
ê Demonstrac¸a˜o. O(a) ⊂ In, enta˜o O(a) e´ um conjunto finito, logo existem
inteiros 1 ≤ n < m tais que σm(a) = σn(a), daı´ σm−n(a) = σ0(a) = a. O conjunto
A = {k ∈ Z | k ≥ 1 σk(a) = a}
e´ um conjunto de inteiros limitado inferiormente, logo pelo PBO ele possui um menor
elemento l tal que σl(a) = a. Denotaremos sempre l como esse menor elemento.
b Propriedade 107. O(a) = {σk(a) | 0 ≤ k < l.}
ê Demonstrac¸a˜o. Tomando m ∈ Z pela divisa˜o euclidiana por l temos m =
q.l+ r e daı´ σm(a) = σr(σq.l(a)) = σr(a).
CAPI´TULO 1. GRUPOS 65
m Definic¸a˜o 36 (Ciclo de a por σ.). Chamamos (σk(a))l−11 ou qualquer permutac¸a˜o
circular de um ciclo de σ.
m Definic¸a˜o 37 (r-Ciclo). Sejam r ≥ 1, Ar = {ak, 1 ≤ k ≤ r} ⊂ In. Definimos
um r-ciclo como uma permutac¸a˜o σ : In → In definida como
• σ(ak) = ak+1, se 1 ≤ k < r.
• σ(ar) = a1.
• σ(x) = x, ∀ x ∈ In \Ar E denotada como (ak)r = (a1, · · · , ar).
$ Corola´rio 26. Se r = 1 enta˜o σ e´ a identidade de In → In.
m Definic¸a˜o 38 (Multiplicac¸a˜o de ciclos). Definimos o produto dos ciclos
σ = (ak)
r e C = (bk)s como a composic¸a˜o das permutac¸o˜es que eles representam
(ak)
r.(bk)
s := σ ◦ C.
m Definic¸a˜o 39 (Ciclos disjuntos). Dizemos que (ak)r e (bk)s ciclos de In sa˜o
disjuntos sse
{ak, k ∈ Ir} ∩ {bk, k ∈ Is} = ∅.
b Propriedade 108 (Propriedade dos ciclos disjuntos). Se σ = (ak)r e τ = (bk)s
sa˜o ciclos disjuntos de Sn, enta˜o σ ◦ τ = τ ◦ σ.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A = {ak, | k ∈ Ir} e B = {bk, | k ∈ Is}, A e B sa˜o
conjuntos disjuntos.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 66
• Se existe t ∈ In \ (A ∪ B) enta˜o, σ e τ fixam t, valendo
σ(τ(t)) = σ(t) = t
τ(σ(t)) = τ(t) = t
logo sa˜o iguais.
• Seja x ∈ A, daı´ x = ak para algum k e σ(ak) = at ∈ A para algum t, como
at, ak /∈ B sa˜o fixos por τ logo
τ(σ(ak)) = τ(at) = at
σ(τ(ak)) = σ(ak) = at
logo e´ comutativa.
b Propriedade 109. Toda permutac¸a˜o σ ∈ Sn se escreve de modo u´nico como
produto de seus ciclos (a menos da ordem).
b Propriedade 110. (ak)r =
r∏
k=2
(a1, ak) onde
r∏
k=2
(a1, ak) = [
r∏
k=3
(a1, ak)].(a1, a2)
produto aberto pelo limite inferior a` direita, isto e´, todo r-ciclo se escreve como
produto de 2-ciclos.
ê Demonstrac¸a˜o. Para a1 temos σ(a1) = a2 e pelo ciclo
r∏
k=2
(a1, ak) =
r∏
k=3
(a1, ak).(a1, a2),
pelo primeiro ciclo σ(a1) = a2 e a2 na˜o aparece em nenhum outro ciclo , logo os ou-
tros ciclos fixam a2. Tomando agora 2 ≤ k < r, abrimos como
r∏
k=2
(a1, ak) =
r∏
k=s+2
(a1, ak)(a1, as+1)(a1, as)
s−1∏
k=0
(a1, ak)
as e´ fixo no primeiro produto da direita, em (a1, as) temos σ(as) = a1 e em (a1, as+1)
tem-se σ(a1) = as+1 sendo que as+1 e´ fixo por
r∏
k=s+2
(a1, ak), logo o resultado da´ as+1.
No caso de ar abrimos o produto como
r∏
k=2
(a1, ak) = (a1, ar)
r−1∏
k=2
(a1, ak)
CAPI´TULO 1. GRUPOS 67
ar e´ fixo no produto´rio e no ciclo (a1, ar) tem-se σ(ar) = a1. Enta˜o em todo caso
(ak)
r e
r∏
k=2
(a1, ak) coincidem, sendo portanto iguais.
b Propriedade 111. Toda permutac¸a˜o em Sn pode ser escrita como produto
de 2-ciclos.
ê Demonstrac¸a˜o. Escrevemos a permutac¸a˜o como produto dos seus r-ciclos,
que por sua vez podem ser escritos como produtos de 2-ciclos.
m Definic¸a˜o 40 (Transposic¸o˜es). Os 2-ciclos em sn sa˜o chamados de transposic¸o˜es,
em especial um 2− ciclo qualquer e´ chamado de transposic¸a˜o.
$ Corola´rio 27. Todo r-ciclo pode ser escrito como r∏
k=2
(a1, ak) logo pode ser
escrito como produto de r+ 1− 2 = r− 1 transposic¸o˜es.
m Definic¸a˜o 41 (Permutac¸a˜o par ou ı´mpar). Uma permutac¸a˜o σ e´ chamada
de par sse e´ um produto de um nu´mero par de transposic¸o˜es, caso contra´rio e´
chamada de transposic¸a˜o ı´mpar.
m Definic¸a˜o 42 (Grupo alternado). Definimos o grupo alternado de An como
An = {σ ∈ Sn | σ e´ permutac¸a˜o}.
b Propriedade 112.
|An| =
n!
2
.
CAPI´TULO 1. GRUPOS 68
1.8.1 Ciclos de S3
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
f6 =
(
1 2 3
1 3 2
)
f5 =
(
1 2 3
3 2 1
)
σ =
(
1 2 3
2 1 3
)
f4 =
(
1 2 3
3 1 2
)
τ =
(
1 2 3
2 3 1
)
Os ciclos dos elementos sa˜o
• f6 = (2, 3), ı´mpar.
• f5 = (1, 3), ı´mpar.
• σ = (1, 2), ı´mpar.
• f4 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), par.
• τ = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), par.
An = {I, f4, τ}.
1.8.2 Ciclos de S4.
• f1 = (1, 2)(3,4) par.
• f2 = (1, 3)(2,4) par.
• f3 = (1,4)(2, 3) par.
• f4 = (1, 2, 3,4) =