material de apoio 1 estat stica ii

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Material Complementar de Estatística Dedutiva 
 Professor Jean Pierre Wasem 
201 2 
 
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APOSTILA DE ESTATÍSTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta apostila contém uma compilação de 
textos de diversos autores, tendo sido elaborado 
com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático 
para o aluno em sala de aula. 
Professor Jean Pierre Wasem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
O mundo dos negócios, em qualquer que seja a área, de Recursos Humanos ao 
Marketing, não pode mais embasar as tomadas de decisões e assumir risco 
simplesmente no feeling e no bom-senso dos executivos e gerentes organizacionais. A 
complexidade da sociedade e dos mercados apresentada atualmente exige que estes 
agentes se utilizem de recursos precisos e poderosos de forma a minimizar os 
potenciais riscos da atividade econômica. Neste contexto pode-se destacar a crescente 
utilização da informática, do método e dos recursos de estatística nas organizações 
que almejam destacarem-se como agentes econômicos de ponta. 
 
O barateamento exponencial destes recursos nos últimos anos tem feito que 
muitas empresas invistam neste hardware (computadores, pacotes estatísticos, 
Internet, bases de dados) mas uma menor atenção tem sido dada ao “humanware” ou 
seja aos indivíduos que efetivamente extrairão deste arsenal tecnológico a informação 
e o conhecimento que possibilitarão conduzir estas organizações à liderança em seus 
segmentos. Sem este aprimoramento do “humanware” de muita pouca valia será o 
investimento feito no aparato tecnológico. 
 
Este curso tem a intenção de aportar conhecimentos básicos de ferramentas e 
métodos relacionados à pesquisa e à análise estatística de dados visando o 
aprimoramento da utilização de poderosos recursos com a visão gerencial de como, e 
porque explorar a informação e de como enxergar em um “oceano” de dados aqueles 
que efetivamente são capazes de promover um diferencial competitivo à organização. 
Estatística básica para pesquisa de mercado não pretende cobrir todas as 
possibilidades da análise estatística de dados mas sim de prover uma consistente base 
sobre a qual novas habilidades podem ser facilmente construídas e desenvolvidas. 
Bem-vindo ao mundo da análise estatística de dados!!!! 
 Marcus Vinicius da Cunha Júnior, Estudante de Doutorado - University of Florida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A Estatística nas Empresas 
No mundo atual, a empresa é uma das vigas-mestra da economia dos povos.A 
direção de uma empresa é de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, 
exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e 
o uso da Estatística facilitaram seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a 
empresa. 
Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, 
podem conhecer a realidade social, os recursos naturais, humanos e financeiros 
disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas 
metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou 
longo prazo. 
A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização 
da estratégia a ser a dotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de 
verificação e avaliação da qualidade e da quantidade do produto e mesmo das 
possíveis lucros e/ou perdas. 
Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, 
documentado para evitar esquecimento, a fim de garantir o bom uso do tempo, da 
energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. 
O esquema do planejamento é o plane, que pode ser resumido, com o auxilio 
da Estatística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos 
matemáticos-estatísticos que lhes deram origem. 
O homem de hoje, em suas múltiplas atividades, lança mão de técnicas e 
processos estatísticos, e só estudando-os evitaremos o erro das generalizações 
apresentadas a respeito de tabelas e gráficos apresentados em jornais, revistas e 
televisão, freqüentemente cometido quando se conhece apenas “por cima” um pouco 
de Estatística. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.Distribuições de Probabilidade 
 
Binomial 
 
Poisson 
 
Normal 
 
σ
μ−= xz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2. Aproximação pela Normal das probabilidades de Poisson 
 
 Quando a média for muito grande de uma distribuição de Poisson, a distribuição 
Normal (Gauss¹) pode ser usada como uma aproximação das probabilidades de 
Poisson. Uma regra conveniente é que tal aproximação é aceotável quando 
 
10≥μ 
 
 E neste caso μσ = 
 
 
 
¹ Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) (Braunschweig, 30 de Abril de 1777 — Göttingen, 23 de 
Fevereiro de 1855) foi um famoso matemático, astrônomo e físico alemão. Era conhecido como o príncipe 
dos matemáticos. 
 
 
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Exercício: Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, 10 
chamadas por dia. Determine a probabilidade de que mais do que 15 chamadas serão 
recebidas em um dia aleatoriamente escolhido. Faça por Poisson e Normal, se possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Aproximação pela normal das probabilidades binomiais 
 Quando o número de observações ou tentativas for muito grande, a distribuição 
normal pode ser utilizada como aproximação da probabilidade binomial, como regra 
para utilização conveniente usa-se: 
 
5.
30
≥
≥
pn
e
n
 
 
 
 E neste caso )1( pnp −=σ 
 
 
 
 
Exercício: Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos 
contatados pessoalmente por gerentes de prospecção de negócios realizarão uma 
compra. Se um gerente visita 30 clientes, qual a probabilidade de que 10 ou mais 
farão uma compra? Faça por binomial e normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: Sabe-se que 70% das pessoas que entram em um centro comercial 
realizam pelo menos uma compra. Para uma amostra de 50 pessoas. 
a) Qual a probabilidade de que no mínimo 40 pessoas façam compras? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade que pelo menos 30 façam uma compra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: Sabe-se que os pedidos de serviço chegam em média de cinco por hora. 
 
a)Qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de 50 pedidos em um período de 
8 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de que cheguem 35 pedidos ou menos num período de 4 
horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Suponhamos que a proporção de motores defeituosos em uma linha de 
montagem é 0,1 e que uma amostra de 200 motores é incluída em um carregamento 
particular. Qual a probabilidade de que pelo menos 30 dos 200 motores sejam 
defeituosos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10Exercício: Suponhamos que a proporção de motores defeituosos em uma linha de 
montagem é 0,1 e que uma amostra de 200 motores é incluída em um carregamento 
particular. Qual a probabilidade de que três ou menos sejam defeituosos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Uma indústria de brinquedos determinou que historicamente 40% dos 
brinquedos que ela desenvolve tenham, pelo menos, um moderado sucesso de 
mercado.Qual a probabilidade de que pelo menos 30 deles tenham um êxito 
moderado, se 60 forem lançados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Amostragem 
 
2. 1. População e Amostras 
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum 
denominamos População estatística ou universo estatístico. 
Esse termo refere-se não somente a uma coleção de indivíduos, mas tambémao 
alvo sobre o qual reside nosso interesse. Assim, nossa população pode ser tanto todos 
os habitantes de Curitiba, como todas as lâmpadas produzidas por uma fábrica em um 
certo período de tempo, ou todo o sangue no corpo de uma pessoa. 
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente pesquisar uma ou mais 
características dos elementos de alguma população, esta característica deve estar 
perfeitamente definida. E isso se dá quando, considerando um elemento qualquer, 
podemos afirmar, sem ambigüidade, se esse elemento pertence ou não à população. 
Vamos entender que, em Estatística, a palavra população tem significado muito 
mais amplo do que no vocabulário leigo. Para o estatístico, todos os valores que uma 
variável pode assumir, nos elementos de um conjunto, constitui uma população. 
Algumas vezes podemos acessar toda a população para estudarmos 
características de interesse, mas em muitas situações, tal procedimento não pode ser 
realizado, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal. Por exemplo, 
uma empresa não dispõe de verba suficiente para saber o que pensa todos os 
consumidores de seus produtos. Há ainda razões éticas, quando, por exemplo, os 
experimentos de laboratório envolvem o uso de seres vivos. Além disso, existem casos 
em que a impossibilidade de acessar toda a população de interesse é incontornável 
como no caso da análise do sangue de uma pessoa ou em um experimento para 
determinar o tempo de funcionamento das lâmpadas produzidas por uma indústria. 
Tendo em vista as dificuldades de várias naturezas para observar todos os 
elementos da população, tomaremos alguns deles para formar um grupo a ser 
estudado. A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra. 
Uma amostra é um subconjunto finito de uma população. 
 Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. 
Obviamente teria-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a 
população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. 
Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população 
em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. 
 A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a 
amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência 
estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre 
de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade 
e erro no dimensionamento da amostra. 
 
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2.2. Amostras relacionadas 
Quando se retira aleatoriamente, dois elementos de uma mesma população e 
expõe-se apenas um elemento a um determinado fator (propaganda, por exemplo). 
Avalia-se o impacto junto aos dois elementos. 
 
2.3. Amostras não relacionadas 
Apenas um elemento é selecionado e exposto ao fator. Uma comparação é feita 
considerando o antes e o depois. 
2.4. Tipos de amostragens 
Não Probabilística 
1. Acidental ou 
conveniência 
2. Intencional 
3. Quotas ou proporcional 
4. Desproporcional 
Probabilística 
1. Aleatória Simples 
2. Aleatória Estratificada 
Tipos de amostragens 
3. Conglomerado 
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2.4.1.Não probabilística 
 Este tipo de amostra, é determinada por ordem do pesquisador, ou seja, não há 
uma aleatoriedade para a escolha de um elemento da população. 
 A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará 
desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz 
necessário a opção por este método. Observa-se que no envio de questionários via 
correio o método é não probabilístico (mesmo que a opção seja por amostragem 
Probabilística). O respondente pode não querer responder o questionário ou mesmo 
não ser localizado. 
 Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos 
na amostra para o todo da população quando se opta por este método de 
amostragem 
2.4.1.1 Acidental ou conveniência 
 Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super 
mercados para testar produtos. 
 
2.4.1.2 Intencional 
 O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por 
exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas 
oficinas. 
2.4.1.3 Quotas ou proporcional 
 Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se 
ter um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, 
deseja-se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da 
população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também substratifica-se 
uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade. 
 
 
 
 
 
 
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2.4.1.4 Desproporcional 
 Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. 
Atribui-se pesos para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados 
representativos para o estudo. Por exemplo, em um mercado de telefones celulares, 
considerando uma fatia de mercado meramente ilustrativa, obteve-se os resultados 
conforme descritos a seguir: 
 
Marcas 
Participação no 
mercado 
Elementos na amostra 
 n % 
Nokia 60% 50 25% 
Ericsson 20% 50 25% 
Gradiente 15% 50 25% 
Philips 05% 50 25% 
Total 100% 200 100% 
 
 Objetivando obter os pesos a serem atribuídos a cada marca de telefone celular, 
para uma análise conjunta de todas as marcas no exemplo acima, obteve-se os 
seguintes coeficientes: 
 Número de elementos a serem entrevistados 
Peso Nokia 
Peso Ericsson 
Peso Gradiente 
Peso Philips 
2,4 
0,8 
0,6 
0,2 
120 
40 
30 
10 
 Total: 200 
 Fórmula aplicada: Peso = participação no mercado/elementos na amostra (%) 
2.4.2 Probabilística 
Para que se possam realizar inferências sobre a população, é necessário que se 
trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando se 
investiga alguma hipótese. 
Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de 
ser selecionado na amostra. 
 
 
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2.4.2.1 Aleatória Simples 
 É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao 
processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e 
nomeiam-se os indivíduos, sorteando-se um por um até completara amostra 
calculada. Utiliza-se comumente o sorteio aleatório disponível em planilhas eletrônicas 
como o Excel®. 
 Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de 
exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, têm-se 
os indivíduos dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica. 
 Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas, por exemplo, há uma regra 
crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela 
amostra e obtém-se um coeficiente (Ħ). A primeira casa será a de número x, a 
segunda será a de número x + Ħ; a terceira será a de número x + 3. Ħ. 
 Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 
+ 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente. 
2.4.2.2 Aleatória Estratificada 
 Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. 
Estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, 
idade, sexo, entre outros. 
 
 
2.4.2.3 Conglomerado 
 Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta 
modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o 
conjunto. É exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e 
quarteirões. 
 
 
 
2.5. Tipos de dados 
Basicamente os dados de uma pesquisa quantitativa, dividem-se em contínuos 
e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor entre dois limites 
quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser “quebrado”. 
São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, 
faturamento, entre muitas outras. 
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Quando se fala em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como 
quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para 
tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais no geral. 
A tipologia dos dados determina a variável, ela será, portanto contínua ou 
discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, 
futuramente já se definiu que tipo de tratamento se dará a ela. Por exemplo, a variável 
dependente em uma análise envolvendo Anova, não poderá ser discreta. 
2.6. Tipos de variáveis escalares 
Ordinal, Objetiva criar como o próprio nome diz, uma ordem de valor, segundo 
a preferência do respondente. Por exemplo, em um escala, A é preferido a B, mas não 
se identifica o quanto A é menor que B. 
Nominal, São as escalas mais comuns em pesquisas de marketing. Seus 
números servem para identificar a escolha do respondente e não determinar ordem ou 
mesmo se A é melhor que B. Os números são associados aos pontos de resposta, 
visando criar uma organização nas escalas. É exemplo clássico de escala nominal, 
questões de sexo e as de dicotomia (sim; não) e diferencial semântico (puro _ _ _ 
impuro). 
Intervalar são questões que visam comparar intervalos e medir o quanto uma 
preferência encontra-se distante de outra. Atualmente são objetos de infindáveis 
discussões entre estatísticos e acadêmicos de marketing quando da aplicação de testes 
estatísticos, afinal são consideradas discretas, mas podem passar por um processo de 
aproximação e tornarem-se contínuas. Um processo semelhante é descrito por Cunha 
(1997), quando o autor aborda a técnica de Análise de Correspondência (AC) e 
comenta que as variáveis de melhor emprego para tal técnica são as qualitativas ou as 
que passaram por processo de categorização. Exemplo de escalas intervalares: 
1;2;3;4;5, muito insatisfeito; insatisfeito; indiferente; satisfeito; muito satisfeito. 
Razão são as variáveis contínuas. Peso, idade, renda, são exemplos de questões 
de razão. 
Abaixo serão descritos modelos estatísticos possíveis para os tipos de escalas 
abordadas. 
Tipo de escala Estatística possível 
Ordinal Todas de tendência central 
Nominal Moda e Qui quadrado 
Intervalar Médias, desvio padrão e médio, 
amplitudes, variância, teste z e t, 
correlação e regressão. 
Razão Todos do anterior 
 
 
 
 
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 2.3 Dimensionamento da amostra ¹ 
 Quando se deseja dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-
se em três etapas distintas: 
1. Avaliar o instrumento de coleta de dados e julgar a variável mais importante do 
questionário ou o grupo de variáveis mais significativas; 
2. Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; 
3. Verificar se a população é finita ou infinita; 
 
Tratamos, particularmente, de três situações: uma em que não se pode determinar 
o tamanho da população, apresenta nível de confiança fixado em 95% e proporção 
populacional do evento igual a 0,5, outra na qual também não se conhece o tamanho 
da população, sem fixar o nível de confiança e a proporção populacional do evento e 
uma terceira situação, na qual se conhece o tamanho da população. 
2.3.1Metodologia 
Em um primeiro momento, procuramos, por meio de um recorte realizado na teoria 
da amostragem, pesquisar quais abordagens distintas se têm em relação ao tamanho 
da amostra aleatória simples para a estimação de proporções populacionais. Poucos 
estudiosos de Estatística tratam do assunto, especialmente entre aqueles que 
destinam seu trabalho ao usuário de metodologias quantitativas aplicadas às diversas 
áreas do conhecimento. Por outro lado, os livros técnicos, específicos da Teoria da 
Amostragem, não apresentam esse conteúdo de forma acessível à grande maioria dos 
pesquisadores. 
Apresentamos, então, uma análise de diferentes procedimentos disponíveis para a 
determinação do tamanho da amostra aleatória simples, destinada ao cálculo de 
estimativas de proporções e porcentagens populacionais. Para tal, realizamos 
simulações, utilizando planilhas do Excel, considerando-se diversos valores de 
parâmetros determinantes do tamanho da amostra aleatória simples, de acordo com a 
equação analisada. 
Como aplicação das técnicas analisadas, apresentamos a determinação do tamanho 
de uma amostra aleatória simples na área de Ciência da Informação. Considerando-se 
que a Coordenadoria Geral de Bibliotecas da UNESP nos solicitou, em 2003, a 
determinação do tamanho de uma amostra aleatória para representar uma população 
de tamanho (N) igual a 40416, composta por docentes, graduandos e pós-graduandos, 
para a execução de um projeto denominado "Implantação de modelo de referência na 
rede de bibliotecas da UNESP", desenvolvemos as técnicas apresentadas para essa 
população. 
 
 
¹ por Ely Francina Tannuri de Oliveira e Maria Cláudia Cabrini Grácio 
 
 
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2.3.2 Análise dos Procedimentos 
Iniciamos com a análise da situação em que não se pode determinar o tamanho da 
população (N). Nesse caso, o tamanho mínimo da amostra aleatória simples pode ser 
determinado através do cálculo de n0, considerado uma primeira aproximação para 
o cálculo do tamanho da amostra, dado por: 
( )200
1
E
n = (I) 
sendo E0 o erro amostral tolerável 
A expressão acima apresentada mantém fixo o nível de confiança de 95% e a 
variância populacional no caso de maior heterogeneidade da população, ou seja, 
quando a proporção do evento na população em estudo é de 0,5. A fixação da 
proporção populacional do evento em 0,5, deve-se ao fato de ser esta a pior situação 
possível em termos de variabilidade populacional. Assim, pode-se considerar que a 
expressão (I) destina-se a três situações: uma primeira, na qual não se conhece uma 
estimativa da proporção do evento na populaçãoem estudo, uma vez que qualquer 
que seja o valor da proporção, este dá origem a uma variabilidade menor que aquela 
vinculada à proporção 0,5. Observamos que neste caso é preciso maior cuidado com a 
determinação da amostra e, conseqüentemente, a quantidade de elementos que a 
comporão. Uma segunda situação na qual o valor de uma estimativa preliminar para a 
proporção do evento estudado é igual a 0,5 e, uma última, na qual o estudo destina-se 
à estimação da proporção de vários eventos da população, com pelo menos um dos 
eventos sem presença de uma estimativa anterior de sua proporção na população. 
A seguir, apresentamos uma tabela com aplicações da fórmula acima para 
alguns valores de erro amostral tolerável, a fim de se exemplificar a relação entre E0 e 
uma primeira estimativa para o tamanho da amostra (n0). 
Tabela 1. Exemplos de tamanho de amostra (n0) em função do erro amostral 
tolerável: 
0E 0n 
0,01 
0,015 
0,02 
0,025 
0,030 
0,035 
0,040 
0,050 
 
 
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Conforme podemos observar na tabela 1, quanto menor o erro amostral 
tolerado pelo pesquisador, maior o tamanho da amostra necessário para se atendê-lo. 
Considerando que o erro amostral tolerável representa o quanto o pesquisador admite 
errar na estimação dos parâmetros de interesse, ou seja, especifica o intervalo em 
torno do valor que a estatística acusa, dentro do qual encontra-se o verdadeiro valor 
do paramêtro que se deseja estimar, quanto menor o erro amostral tolerado pelo 
pesquisador, maior será o tamanho da amostra para que se possa obter essa maior 
precisão da estatística. Assim, por exemplo, se o pesquisador tolerar no máximo um 
erro de 2%, i.e., que o verdadeiro valor do parâmetro seja no máximo 2% menor ou 
2% maior que o valor que a estatística acusa na amostra, ele terá que trabalhar com 
uma amostra aleatória composta por 2500 indivíduos da população, ao passo que, se o 
pesquisador tolerar um erro amostral de 2,5%, ele terá que trabalhar com uma 
amostra aleatória composta por 1600 indivíduos da população e o verdadeiro valor do 
parâmetro da população estará no intervalo entre 2,5% a menos até 2,5% a mais do 
valor que a estatística acusa na amostra, com 95% de probabilidade. Portanto, quanto 
maior a precisão que se deseja associar à estimativa estatística, maior o tamanho 
amostral necessário para atendê-la. 
Ainda sem conhecer o tamanho N da população, considere-se a situação em 
que se conhece uma estimativa da variação populacional obtida por meio de um 
levantamento piloto ou em pesquisas prévias, e que deseja-se ter a opção de alterar o 
nível de confiança associado ao tamanho da amostra. Nesse caso, a determinação do 
tamanho de uma amostra aleatória simples, n’0, é obtida através da seguinte 
expressão: 
( )20
2
0
)1.(.´
E
ppzn −= (II) 
sendo 
z = valor da distribuição normal para o nível de confiança desejado 
p = estimativa da proporção do evento na população 
E0 = erro amostral tolerável. 
 
 
 
 
 
 
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A tabela 2 apresenta aplicações da fórmula (II) para alguns valores de erro amostral 
tolerável, nível de confiança e estimativa da proporção do evento na população, a fim 
de se exemplificar a dependência de n’0 em relação a E0, p e o nível de confiança. 
p 
0E 0´n (90% de 
nível 
confiança) 
0´n (95% de 
nível 
confiança) 
0´n (99% de 
nível 
confiança) 
0,5 0,02 
0,5 0,025 
0,4 0,02 
0,4 0,025 
0,3 0,02 
0,3 0,025 
0,2 0,02 
0,2 0,025 
0,1 0,02 
0,1 0,025 
Conforme podemos observar na primeira linha da tabela 2, mantendo-se fixos o 
valor da estimativa da proporção do evento (p) e o erro amostral tolerável (E0), quanto 
maior o nível de confiança, maior o tamanho da amostra necessário para atende-lo. 
Quanto maior a certeza (probabilidade) de o parâmetro populacional pertencer ao 
intervalo construído com base na estimativa estatística da amostra e o erro amostral 
tolerado pelo pesquisador, maior o tamanho da amostra para garantir a probabilidade 
(nível de confiança) desejada pelo pesquisador. Por exemplo, se o pesquisador desejar 
ter a garantia (probabilidade) de 90% que o verdadeiro valor do parâmetro 
populacional pertença ao intervalo determinado pela estimativa estatística na amostra 
e o erro amostral tolerável de 2%, deverá trabalhar com uma amostra de tamanho 
1691, ao passo que se esse pesquisador desejar ter uma garantia maior, de 95%, que 
o verdadeiro valor do parâmetro populacional pertença ao intervalo centrado na 
estimativa estatística, com o mesmo erro amostral tolerável de 2%, para mais ou para 
menos, deverá trabalhar com uma amostra aleatória composta por 2401 indivíduos da 
população. 
Por outro lado, fixando-se o nível de confiança, i.e., observando-se cada coluna 
de n’0 individualmente, quanto mais a estimativa de p se distancia de 0,5, menor o 
tamanho da amostra necessário para se garantir a representatividade da população. 
Como o valor de p determina a variabilidade populacional, quanto mais homogênea for 
a população (p mais distante de 0,5), menor o tamanho da amostra para representá-
la, pois teremos uma menor variabilidade nas respostas. 
Por exemplo, conhecendo-se que a estimativa para p, na população em estudo, 
é de 0,1, pode-se trabalhar com uma amostra constituída por 553 elementos, para um 
nível de 95% de confiança e E0 = 0,025 (ou 2,5%), a fim de se representar o 
comportamento geral da população, ao passo que caso não se tenha uma estimativa 
de p, i.e., trabalha-se com p = 0,5 (ou, sabe que a estimativa de p é 0,5 – ambos os 
casos se equivalem), precisa-se de uma amostra de 1537 elementos, para se atingir o 
mesmo nível de confiança e erro amostral, ou seja, uma amostra três vezes maior que 
a primeira. 
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Ainda, do mesmo modo que ocorre para o cálculo de n0 (tabela 1), observa-se 
na tabela 2 que quanto maior o valor do erro amostral tolerável, menor o tamanho de 
amostra associado. 
Com base nas constatações acima descritas, pode-se observar que o tamanho 
da amostra diminui em função do fato de a população ser mais homogênea (estimativa 
de p se distancia de 0,5), trabalhar-se com menores níveis de confiança e maiores 
erros amostrais toleráveis. 
Consideramos o cálculo de n’0 mais interessante que de n0, no sentido de 
possibilitar a fixação de outros níveis de confiança, mais severos ou não que 95%, 
conforme a necessidade do pesquisador, bem como propiciar o uso de estimativas da 
proporção do evento na população, proporcionando tamanhos de amostra menores e 
mais fáceis de serem atendidos, uma vez que, de modo geral, o custo financeiro da 
pesquisa , limita/dificulta o emprego de amostras grandes. 
Conhecendo-se o tamanho da população N, pode-se corrigir o cálculo de n0, 
obtido por I ou II, para se ter o tamanho da amostra aleatória simples, n, através da 
expressão: 
)(
.
nN
nNn += (III) 
sendo n = n0 ou n’0. 
A tabela 3 exemplifica aplicações da fórmula (III) para alguns tamanhos de população 
e determinados valores de n obtidos nas tabelas anteriores, a fim de se observar a 
relação entre essas variáveis. 
 
Tabela 3. Exemplos de tamanho de amostra (n) em função do tamanho da população 
(N) e da proporção populacional (p), tomando-se nível de 95% de confiança e erro 
amostral tolerável igual a 0,025. 
N p n0 n(N, n0) n’0 n(N, n’0) 
1000 0,5 1600 
10000 0,5 1600 
100000 0,5 1600 
1000 0,25 1600 
10000 0,25 1600 
100000 0,25 1600 
1000 0,1 1600 
10000 0,1 1600 
100000 0,1 1600 
 
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2.3.3.Uma aplicação na área de Ciência da Informação 
A rede de bibliotecas da UNESP atende uma população de 40416 usuários, 
entre docentes, graduandos e pós-graduandos, além de demais usuários. A 
Coordenadoria Geral de Bibliotecas da UNESP, na pessoa de sua coordenadora, iniciou 
em janeiro de 2003 um projeto denominado "Implantação de modelo de referência na 
rede de bibliotecas da UNESP". Para isso, nos solicitou a determinação do tamanho 
adequado de uma amostra aleatória simples para que a mesma seja representativa 
dessa população referenciada, possibilitando a revalidação dos resultados amostrais 
para toda a população de 40416 usuários. 
Admite-se um erro amostral tolerável de 2% (ou 0,02) nos resultados, i.e., que 
os parâmetros populacionais em estudo se distanciem no máximo 2% para mais ou 
para menos, em relação às estimativas estatísticas obtidas, e estabelece-se uma 
probalidade de acerto (nível de confiança) de 95% (ou 0,95) para as estimativas 
estatísticas a serem obtidas. 
Com base no erro amostral tolerável estabelecido (2%), uma primeira 
aproximação para o tamanho da amostra aleatória (n0) a ser retirada é dada pela 
equação (I): 
n0 = 1/(0,02)2 = 2500 usuários 
Assim, se não levarmos em conta o tamanho da população em estudo 
(docentes, graduandos e pós-graduandos), uma amostra de tamanho adequado para 
captar-se as tendências dessa população em relação às variáveis em estudo deve ser 
composta por 2500 usuários. 
Os parâmetros populacionais em estudo possuirão seus valores verdadeiros até 
2% para a mais ou 2% para menos em relação às estimativas proporcionais obtidas 
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nessa amostra, i.e., o pesquisador estará admitindo uma margem de erro de até 2% 
para mais ou 2% para menos em relação aos verdadeiros valores populacionais. 
Como o tamanho da população é conhecido (40416 usuários), podemos utilizar 
a equação (III) e diminuir o tamanho da amostra que deverá ser utilizada nesse 
projeto, obtendo ainda uma amostra representativa da população. O tamanho da 
amostra aleatória simples (n) será: 
n = 2500. 40416/(2500+40416) = 2354 usuários 
Uma amostra de tamanho 2354 usuários representa 5,82% da população: 
5,82% = (2354/40416).100% 
Observamos assim que, a indicação usual de que uma amostra deve abranger 
uma porcentagem fixa da população (entre 10 % e 20%), superestima o tamanho da 
amostra necessária para representar a população em estudo, uma vez que indica uma 
amostra entre 4042 (10% dos usuários) e 8084 (20% dos usuários). 
Para coletar uma amostra aleatória para essa população de usuários da rede de 
bibliotecas da UNESP, basta retirar 5,82% de cada segmento (docente, graduando e 
pós-graduando) em cada uma das unidades universitárias que pertence à rede de 
bibliotecas da UNESP. Salientamos que o erro amostral tolerável de 2% estará 
associado à estimativa geral dos parâmetros e não às estimativas estatísticas por 
segmento. Caso se exija essa margem de erro (erro amostral tolerável) por segmento, 
o cálculo do tamanho de amostra deverá ser feito para cada segmento (docente, 
graduando, pós-graduando), i.e., teremos três cálculos de tamanho de amostra, cada 
um relativo ao tamanho da população do segmento. 
O tamanho total da amostra, quando exige-se a precisão do erro amostral por 
segmento, vai corresponder à soma dos tamanhos das amostras de cada segmento, e 
representará uma amostra total maior que aquela em que não se exige a precisão do 
erro amostral nos segmentos, tolerando erros amostrais maiores para as estimativas 
porsegmento. 
 
2.3.4.Considerações finais 
Com base nas expressões analisadas para o cálculo de determinação do 
tamanho de uma amostra aleatória simples para a estimação da proporção 
populacional de um evento, observa-se que quanto mais heterogênea for a população 
(p mais próximo de 0,5), maior será o tamanho da amostra, a fim de que ela possa ser 
representativa das características gerais daquela população. Essa constatação 
consolida a idéia intuitiva a cerca da composição de uma amostra em função da 
heterogeneidade dos elementos da população: quanto maior a heterogeneidade entre 
os elementos, maior a amostra a fim de captar essas diversidades. 
Assim, quando trabalha-se com Amostragem Estratificada e deseja-se que o 
erro amostral seja específico para cada estrato, precisa-se retirar uma amostra 
aleatória simples para cada estrato, caso contrário perde-se a determinação da 
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precisão do erro amostral tolerável por estrato, sendo fixo apenas o erro amostral 
tolerável para a estimativa geral da proporção na população. 
Observa-se ainda que a indicação de que uma amostra deve abranger uma 
porcentagem fixa, aproximadamente de 10 a 20%, dependendo do tamanho da 
população, é inadequada, uma vez que para populações pequenas, esse percentual 
está aquém do necessário. Por outro lado, para populações grandes esse percentual 
para a determinação do tamanho da amostra é muito maior que o necessário, 
apontado pelos cálculos. Assim, como mostra a figura 2, o percentual da população 
que deve ser abrangido para que uma amostra seja representativa para a população 
estudada, diminui a medida que cresce o tamanho da população. 
 
 
3. Teste de hipótese 
Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma 
distribuição de probabilidade. Através dos elementos amostrais faz-se um teste que 
indicará a aceitação ou rejeição da hipótese formulada. 
Hipótese estatística é uma suposição de um parâmetro populacional. Por 
exemplo: 
1. A renda média da população de Forquilhinha é R$ 350,00. 
Então H: μ = 350,00. 
2. A proporção de alunos reprovados é 35%, ou seja: H:p = 0,35 
A contrapartida para uma hipótese alternativa (H1) é a hipótese nula (H0). A 
primeira sempre é expressa por uma desigualdade e a segunda sempre por uma 
igualdade. 
Utiliza-se o teste de hipótese para casos como comparação de médias, de pares 
de observação, de variâncias, e de parâmetros, entre outros. 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Estatística não paramétrica 
Distintamente da estatística paramétrica que trata de testes para variáveis 
razão e intervalares, a estatística paramétrica aborda os testes para variáveis nominais 
e ordinais. 
Conclui-se então que os parâmetros populacionais e as estimativas são 
desconsiderados nos testes a seguir. 
Segundo Fonseca (1996), os testes não paramétricos são muito interessantes 
para os dados qualitativos quando se trabalha com amostras pequenas, (inferiores a 
30). 
Os principais representantes desta estatística são os testes de Qui Quadrado, de 
Wilcoxon, de Mann-Whitney, da Mediana, e de Kruskall-Wallis. 
Abordar-se-á apenas o de Qui quadrado por considerar-se o mais importante e 
popular. 
3.4 Teste do qui quadrado 
Este teste objetiva verificar se a freqüência absoluta observada de uma variável 
é significativamente diferente da distribuição de freqüência absoluta esperada. 
 
3.4.1 Teste do qui quadrado para uma amostra 
Aplica-se quando se quer estudar a dependência entre duas variáveis, através 
de uma tabela de dupla entrada ou também conhecida como tabela de contingência. 
3.4.1.1 Condições para a execução do teste 
Exclusivamente para variáveis nominais e ordinais; 
Observações independentes; 
Não se aplica se 20% das observações forem inferiores a 5 
Não pode haver freqüências inferiores a 1; 
Nos dois últimos casos, se houver incidências desta ordem, aconselha-se 
agruparos dados segundo um critério em específico. 
 
 
 
 
 
 
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3.4.1.2 Procedimento para a execução do teste 
1. Determinar H0. Será a negativa da existência de diferenças entre a 
distribuição de freqüência observada e a esperada; 
2. Estabelecer o nível de significância (∝ ); 
3. Determinar a região de rejeição de H0. Determinar o valor dos graus de 
liberdade (φ), sendo K – 1 (K = número de categorias). Encontrar, portanto, o 
valor do Qui-quadrado tabelado; 
4. Calcular o Qui Quadrado, através da fórmula: 
 
∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
e
eo 22 )(χ 
 
Sendo o Qui Quadrado calculado, maior do que o tabelado rejeita-se H0 em prol 
de H1. 
Exemplo: 
Um vendedor trabalhou comercializando um produto em sete bairros 
residenciais de uma mesma cidade em um mesmo período do ano. 
Seu gerente decidiu verificar se o desempenho do vendedor oscilava em virtude 
do bairro trabalhado, ou seja, se as diferenças eram significativas nos bairros 
trabalhados. 
A partir deste estudo o gerente poderia então elaborar uma estratégia comercial 
para cada bairro ou manter uma para todos. 
 
Bairro 1 2 3 4 5 Total 
Valores 
Observados 
9 11 25 20 15 80 
Valores Esperados 16 16 16 16 16 80 
 
H0: não há diferenças significativas entre os bairros 
H1: as diferenças observadas para os bairros 3 e 4 são significativamente 
diferentes para melhor em relação aos demais bairros. 
∝ = 0,05 
g.l = 5 – 1 = 4, onde Qui quadrado tabelado é igual a 9,49. 
Χ2 = (9-16)2 + (11 – 16) 2 + (25-16) 2 + (20 – 16) 2 + (15 – 16) 2/16 
Χ2 = 72 + 52 +92 + 42 + 12= 172/16 = 10,75 
Conclui-se que o Qui quadrado calculado (10,75) é maior do que o tabelado 
(9,49), rejeita-se H0 em prol de H1. 
Portanto há diferença significativa, ao nível de 0,05, para os bairros 3 e 4. Face 
ao cálculo o gerente deve elaborar uma estratégia comercial para cada bairro. 
 
 
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3.4.2 Teste do qui quadrado para independência (duas amostras) 
A utilização do presente teste em pesquisa visa verificar se as distribuições de 
duas ou mais amostras não relacionadas diferem significativamente em relação à 
determinada variável. 
3.4.2.1 Condições para a execução do teste 
Exclusivamente para variáveis nominais e ordinais; 
Preferencialmente para amostras grandes, <30; 
Observações independentes; 
Não se aplica se 20% das observações forem inferiores a 5 
Não pode haver freqüências inferiores a 1; 
Nos dois últimos casos, se houver incidências desta ordem, aconselha-se 
agrupar os dados segundo um critério em específico. 
3.4.2.2 Procedimento para a execução do teste 
Determinar H0. As variáveis são independentes, ou as variáveis não estão 
associadas; 
Estabelecer o nível de significância (∝ ); 
Determinar a região de rejeição de H0. Determinar o valor dos graus de 
liberdade (φ), sendo φ = (L – 1) (C – 1), onde L = números de linhas da tabela e C = 
ao número de colunas.. Encontrar, portanto, o valor do Qui-quadrado tabelado; 
Calcular o Qui Quadrado, através da fórmula: 
∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
e
eo 22 )(χ 
Para encontrar o valor esperado (E), utilizar a fórmula a seguir: 
 
Sendo o Qui Quadrado calculado, maior do que o tabelado rejeita-se H0 em prol 
de H1. 
Há dependência ou as variáveis não estão associadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Um pesquisador deseja identificar se há dependência no consumo de seus 
chocolates e as cidades de sua região. 
 
 Cidades do Vale do Taquari 
Sabor do chocolate Lajeado Santa 
Cruz 
Estrela Taquari ∑ 
Chocolate com caju 60 30 20 40 150 
Chocolate com amendoim 45 35 20 10 110 
Chocolate com flocos 55 25 47 13 140 
Chocolate com passas 70 35 25 20 150 
∑ 230 125 112 83 550 
 
H0: A preferência pelos sabores independe da cidade 
H1: A preferência pelos sabores depende da cidade. 
∝ = 0,05 
φ = (4 – 1) (3 – 1) = 6, onde Qui quadrado tabelado é igual a 12,6. 
 
Calculo dos valores esperados 
(E). 
Cidades do Vale do Taquari 
Sabor do chocolate Lajeado Santa Cruz Estrela Taquari 
Chocolate com caju 62,7 34,1 30,5 22,6 
Chocolate com amendoim 46,0 25,0 22,4 16,6 
Chocolate com flocos 58,5 31,8 28,5 21,1 
Chocolate com passas 62,7 34,1 30,5 22,6 
 
Χ2 = (60 – 62,7)2/62,7 + [(30 – 34,1) 2/34,1 ...[(20 – 22,6) 2/22,6 = 
 
0,11+0,49+3,61+13,39+0,02+4+0,25+2,62+0,21+1,45+12+3,11+0,85+0,32
+0,99+0,29 = 43,72 
Conclui-se que o Qui quadrado calculado (43,72) é maior do que o tabelado 
(12,6), rejeita-se H0 em prol de H1. 
Portanto há diferença significativa, ao nível de 0,05, para as cidades. 
 
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Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) nasceu 
num casebre em Braunschweig, seu pai Gerhard 
Diederich era jardineiro e pedreiro. Severo e brutal, 
tudo fez para impedir que seu filho desenvolvesse seu 
grande potencial. Foi salvo por sua mãe Dorothea e seu 
tio Friederich que apercebeu-se da inteligência de seu 
sobrinho. 
Tinha memória fotográfica, tendo retido as impressões 
da infância e da meninice nítidas até a sua morte. 
Ressentia-se de que seu tio Friederich, um gênio, 
perdera-se pela morte prematura. Aos dois anos 
impressionava a todos que acompanharam o seu 
desenvolvimento. Antes dos três anos corrigiu uma 
longa soma que seu pai fazia, ao seu lado, em voz alta, 
do pagamento aos trabalhadores sob sua 
responsabilidade. Gerhard ouviu surpreso o menino dizer “Pai, a conta está errada, 
deveria ser.....” Repetindo a conta viu que o menino estava certo. 
Antes disto ele já aprendera a ler e a somar sozinho. Aos sete anos entrou para a 
escola. Seu diretor, Butner, utilizava o espancamento como método de ensino. Aos dez 
anos ele foi admitido na classe de aritmética. Na primeira aula sem que os alunos ali 
presentes jamais tivessem ouvido falar de uma progressão aritmética, Butner deu-lhes 
um longo problema de soma, cujo resultado, através de uma fórmula, poderia ser 
encontrado em alguns segundos. O problema era o seguinte: 81297 + 81395 + 81693 
+ ......... + 100899, em que a diferença de um número para o próximo era a mesma 
sempre (aqui 198), e um determinado número de termo (aqui 100) para ser somado, 
o que tornava a obtenção do resultado simples, caso se soubesse deste macete. 
Disse o professor: “Quem for terminando, vá colocando a lousa sobre a minha mesa.” 
Terminado o ditado Gauss colocou sua lousa na mesa. Ele pensou “mais um aluno 
idiota”. Quando foi verificar as respostas, na lousa de Gauss estava apenas um único 
número, o certo. Ele descobrira, instantaneamente, o macete. Todos os outros alunos 
tinham enormes somas... erradas. 
Butmer ficou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que pagou do 
próprio bolso livros de aritmética para ele, que os absorvia instantaneamente. 
Reconhecendo que fora ultrapassado pelo aluno passou o ensino para seu jovem 
assistente, Johann Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela matemática. Entre 
Bartels com dezessete anos e o aluno de dez nasceu uma boa amizade que durou toda 
a vida. Eles estudavam juntos, ajudando-se um ao outro em suas dificuldades. 
O encontro de Gauss com o teorema binômio inspirou-o para alguns de seus maiores 
trabalhos, tornando-se ele o primeiro “rigorista”. Insatisfeito com o que ele e Bartels 
encontravam em seus livros, Gauss foi além, e iniciou a análise matemática. 
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31
Nenhum matemático anterior tinha a menor concepção do que é agora aceitável como 
prova, envolvendo o processo infinito. Ele foi o primeiro a ver que a “prova” que pode 
levar a absurdos como “menos 1 é igual ao infinito” não é prova nenhuma. Mesmo 
que, em alguns casos, uma fórmula dê resultados consistentes, ela não tem lugar na 
matemática, até que a precisa condição sob a qual ela continuará a se submeter, 
consistentemente, tenha sido determinada. O rigor imposto por Gauss à análise 
superou toda a matemática, tornando-a totalmente diferente dos que o antecederam. 
 
 
 
17. Bibliografia 
 
CUNHA, M.V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. In: PPGA, 
UFRGS, 16. 1997. Porto Alegre, RS 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo. Atlas.1996 
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 
2.08 for Windows®. Porto Alegre, 1998. 
KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, Planejamnto, Implementação 
e controle. São Paulo: Atlas, 1996. 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: 
Grifos, 1998. 
MARR, S.L., CROSBY, L.A. Customer Satisfaction Measurement: a 
management Information system for total quality. Artigo de trabalho da 
Disciplina de Comportamento do consumidor – PPGA – UFRGS, 1996. 
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-
arte proposição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 
21., Anais. 1997, Rio das Pedras, RJ. p.124 
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997.