Lista 1 - Probest

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Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Primeira Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Engenharia Civil
1. Descrever o espac¸o amostral (S) a cada um dos experimentos a seguir:
(1) Lanc¸am-se dois dados honestos e observam-se os nu´meros nas faces voltadas
para cima;
(2) Cada uma das treˆs pec¸as usinadas e´ classificada como acima da especificac¸a˜o
(a) e abaixo da especificac¸a˜o (b) padra˜o para a pec¸a;
(3) Chamadas sa˜o repetidamente feitas em uma linha telefoˆnica ocupada ate´ que
uma conexa˜o seja alcanc¸ada;
Resposta:
S1 = {(1, 1); (1, 2); ...; (6, 6)}.
S2 = {(a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (b, a, a); (b, b, a); (b, a, b); (a, b, b); (b, b, b)}.
Sejam c =conectada e b =ocupada, logo S3 = {c; bc; bbc; bbbc; bbbbc; ...}.
2. Descrever o espac¸o amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos
a seguir:
E1: Lanc¸ar uma moeda treˆs vezes, sucessivamente, e anotar a sequeˆncia de caras
(c) e coroas (k).
A1: Sair pelo menos duas caras.
E2: Numa linha de produc¸a˜o conta-se o nu´mero de pec¸as defeituosas num per´ıodo
de 1 hora.
A2: Obter menos de 3 defeituosas.
E3: Mede-se a durac¸a˜o de laˆmpadas, deixando-as acesas ate´ queimarem.
A3: O tempo de vida da laˆmpada e´ inferior a 30 horas.
E4: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produc¸a˜o sa˜o reti-
rados 3 artigos e cada um e´ classificado como bom (b) ou defeituoso (d).
A4: Pelo menos dois artigos sa˜o bons.
Respostas:
S1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, k, k)}.
A1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c)}.
S2 = {0; 1; 2; 3; ....;N.}, em que N e´ o nu´mero ma´ximo de pec¸as defeituosas.
A2 = {0; 1; 2}.
S3 = {t ∈ <; t > 0}.
S3 = {t ∈ <; 0 < t < 30}.
S4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b); (b, d, d); (d, b, d); (d, d, b); (d, d, d)}.
A4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b)}.
1
3. Quatro estudantes de Engenharia Civil da UFMS sa˜o selecionados aleatoriamente
em uma aula de Probabilidade e Estat´ıstica. Liste os elementos do espac¸o amos-
tral S1 usando a letra m para representar estudantes do sexo masculino e f para
feminino. Defina um segundo espac¸o amostral S2, onde os elementos representam o
nu´mero de estudantes do sexo feminino selecionados.
Respostas:
S1 = (mmmm); (mmmf); (mmfm); (mfmm); (fmmm); (mmff); (mfmf)
(mffm); (fmfm); (ffmm); (fmmf); (mfff); (fmff); (ffmf); (fffm); (ffff).
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}.
4. Sejam A, B e C treˆs eventos quaisquer. Estabelec¸a uma expressa˜o para os eventos
abaixo:
(a) A e B ocorrem;
(b) A ou B ocorrem;
(c) B ocorre, mas A na˜o ocorre;
(d) A na˜o ocorre;
(e) na˜o ocorre A e na˜o ocorre B;
(f) A e B ocorrem, mas C na˜o corre;
(g) somente A ocorre, mas B e C na˜o ocorrem.
Respostas:
(a)A ∩B; (b)A ∪B; (c)B ∩ A; (d)A;
(e)A ∩B; (f)A ∩B ∩ C; (g) A ∩B ∩ C.
5. Uma balanc¸a digital e´ usada para fornecer pesos em gramas (considerando so´ nu´meros
inteiros na˜o-negativos).
(a) Qual o espac¸o amostral para esse experimento? Sejam A o evento em que um
peso excede 11 gramas; B o evento em que um peso e´ menor que ou igual a 15
gramas e C o evento em que um peso e´ maior que ou igual a 8 gramas e menor que
12 gramas. Descreva os seguintes eventos:
(b)A ∪B; (c)A ∩B; (d)A; (e)A ∪B ∪ C; (f)A ∪ C;
(g)A ∩B ∩ C; (h)B ∩ C; (i)A ∪ (B ∩ C).
Respostas:
(a)S = {0; 1; 2; 3; ....}; (b)A ∪ B = {0; 1; 2; 3; ....}; (c)A ∩ B = {12; 13; 14; 15};
(d)A = {0; 1; 2; ...; 11}; (e)A ∪ B ∪ C = {0; 1; 2; 3; ....}; (f)A ∪ C = {0; 1; 2; 3; ...; 7};
(g)A ∩B ∩ C = φ; (h)B ∩ C = φ; (i)A ∪ (B ∩ C) = {8; 9; 10; 11; ....}.
6. Treˆs componentes esta˜o conectados para formar um sistema conforme exibido na
figura a seguir. Como os componentes no subsistema 2-3 esta˜o conectados em para-
lelo, esse subsistema funcionara´ se ao menos um dos dois componentes individuais
funcionar. Para que todo o sistema funcione, o componente 1 deve funcionar, bem
como o sistema 2-3.
Figura 1: Sistema dos componentes.
2
O experimento consiste em determinar a condic¸a˜o de cada componente (sucesso
[S] para um componente que funciona bem e falha [F] para o componente que na˜o
funciona).
(a) Que resultados esta˜o contidos no evento A para que exatamente dois dos treˆs
componentes funcionem?
(b) Que resultados esta˜o contidos no evento B para que ao menos dois componentes
funcionem?
Respostas:
(a)A = {SSF ;SFS;FSS}; (b)B = {SSF ;SFS;FSS;SSS}.
7. Dados P (A) = 1/2; P (B) = 3/8 e P (A ∩B) = 1/8. Calcule:
(a) P (A ∪B); (b) P (A ∩B); (c) P (A ∪B)
(d) P (A ∩B); (e) P (A ∩B).
Respostas:
(a)0.75; (b)0.25; (c)0.875; (d)0.375. (e)0.25.
8. Suponha que P (A|B) = 0.4 e P (B) = 0.5. Calcule P (A ∩B).
Resposta: P (A ∩B) = 0.3.
9. Uma associac¸a˜o de indu´strias transformadoras de resinas pla´sticas e´ composta de
20 empresas que produzem sacos pla´sticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que
produzem utens´ılios dome´sticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:
(a) seja uma indu´stria que produza sacos pla´sticos ou utens´ılios dome´sticos;
(b) seja uma indu´stria produtora de sacos pla´sticos ou brinquedos;
(c) na˜o seja uma indu´stria que produza garrafas.
Respostas:
(a)28/40; (b)22/40; (c) 30/40.
10. Uma sala de aula de Engenharia consiste em 25 estudantes de Engenharia de
Produc¸a˜o, 10 de Computac¸a˜o, 10 de Ele´trica e 8 de Engenharia Civil. Se uma
pessoa e´ selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma pergunta,
determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja:
(a)um estudante de Engenharia de Produc¸a˜o;
(b)um estudante de Engenharia Civil ou Ele´trica.
Respostas: (a) 25/53; (b) 18/53.
11. Um aluno vai se formar em Engenharia Civil no final do semestre. Depois de ser
entrevistado por duas empresas de construc¸a˜o civil, ele avalia que a probabilidade
de conseguir uma oferta da empresa A e´ de 0.8 e da empresa B e´ de 0.6. Se, por
outro lado, ele creˆ que a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas
e´ de 0.5, qual e´ a probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos uma
das empresas?
Resposta: 0.9.
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12. Certo tipo de motor ele´trico falha se ocorrer uma das seguintes situac¸o˜es: emperra-
mento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que
o emperramento seja duas vezes mais prova´vel do que a queima, esta sendo quatro
vezes mais prova´vel do que o desgaste das escovas. Qual sera´ a probabilidade de
que a falta seja devida a cada uma dessas circunstaˆncias?
Respostas: 8/13, 4/13 e 1/13.
13. Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U2 contem 3 bolas
brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas.
Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola
branca e duas bolas pretas? Resposta: 8/21.
14. Certo motor de um Peneirador ele´trico tem duas laˆmpadas que podem estar ace-
sas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no
quadro adiante. O quadro mostra por exemplo, que ambas as laˆmpadas estavam
simultaneamente apagadas 30% do tempo.
Laˆmpada 1 Laˆmpada 2
Acesa Apagada
Acesa 0.15 0.45
Apagada 0.10 0.30
Pergunta-se:
(a) O fato da laˆmpada 1 acesa e´ independente da laˆmpada 2 acesa? Justifique sua
resposta.
(b) O fato da laˆmpada 2 apagada e´ independente da laˆmpada 2 acesa? Justifique
sua resposta.
Respostas:
(a)Sim; (b)Na˜o.
15. Uma associac¸a˜o de indu´strias transformadoras de resinas pla´sticas e´ composta de
20 empresas que produzem sacos pla´sticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que
produzem utens´ılios dome´sticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:
(a) seja uma indu´stria que produza sacos pla´sticos ou utens´ılios dome´sticos;
(b)seja uma indu´stria produtora de sacos pla´sticos ou brinquedos;
(c) na˜o seja uma indu´stria que produza garrafas.
Respostas:
(a)28/40; (b)22/40; (c)30/40.
16. Amostras de emisso˜es de treˆs fornecedores sa˜o classificados com relac¸a˜o a satisfazer
as especificac¸o˜es de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras sa˜o resumidos
a seguir:
Fornecedor Conforme
Sim Na˜o
I 22 8
II 25 5
III 30 10
4
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o evento em
que uma amostra atenda as especificac¸o˜es. Se uma amostra aleato´ria for selecionada
ao acaso, determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A); (d)P (A ∪B); (e)P (A ∩B); (f)P (A ∪B).
Respostas:
(a)0.3; (b)0.77; (c)0.7; (d)0.22; (e)0.85; (f)0.92.
17. Discos de pla´stico de policabornato, provenientes de um fornecedor, sa˜o analisados
com relac¸a˜o a` resisteˆncia a arranho˜es e a choque. Os resultados de 100 discos esta˜o
resumidos a seguir:
Resisteˆncia a arranho˜es Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
(a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de sua resisteˆncia
a arranho˜es ser alta e de sua resisteˆncia a choque ser alta?
(b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de sua resisteˆncia
a arranho˜es ser alta ou de sua resisteˆncia a choque ser alta?
(c) Considere o evento em que um disco tenha alta resisteˆncia a arranho˜es e o evento
em que um disco tenha alta resisteˆncia a choque. Esses dois eventos sa˜o mutuamente
excludentes (exclusivos)?
Respostas:
(a)0.70; (b)0.95; (c)Na˜o.
18. As ana´lise de eixos para um compressor esta´ resumida de acordo com as especi-
ficac¸o˜es:
Atende aos requerimentos de acabamento da superf´ıcie Atende aos requerimentos de aspecto arrendondado
Sim Na˜o
Sim 345 5
Na˜o 12 8
(a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de o eixo atender
aos requerimentos da superf´ıcie?
(b) Qual e´ a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de
acabamento da superf´ıcie ou aos requerimentos de aspecto arredondado?
(c) Qual e´ a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de aca-
bamento da superf´ıcie ou na˜o atender aos requerimentos de aspecto arredondado?
(d) Qual e´ a probabilidade de o eixo relacionado atender tanto aos requerimentos
de acabamento da superf´ıcie como ao de aspecto arredondado?
Respostas:
(a)350/370; (b)362/370; (c)358/370; (d)345/370.
5
Resisteˆncia a arranho˜es Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
19. Discos de pla´stico de policabornato, provenientes de um fornecedor, sa˜o analisados
com relac¸a˜o a` resisteˆncia a arranho˜es e a choque. Os resultados de 100 discos esta˜o
resumidos acima:
Seja A o evento em que um disco tenha alta resisteˆncia a choque e B o evento em que
um disco tenha alta resisteˆncia a arranho˜es. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.86; (b)0.79; (c)0.8861; (d)0.8140.
20. Amostras de uma pec¸a de alumı´nio fundido sa˜o classificadas com base no acaba-
mento (em micropolegadas) da superf´ıcie e nas medidas de comprimento. Os resul-
tados de 100 pec¸as sa˜o resumidos a seguir:
Resisteˆncia a arranho˜es Resisteˆncia a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
Seja A o evento em que um disco tenha excelente acabamento na superf´ıcie e B o
evento em que um disco tenha excelente comprimento. Determine:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.82; (b)0.90; (c)0.889; (d)0.9757.
21. A tabela a seguir resume a ana´lise de amostras de ac¸o galvanizado em relac¸a˜o ao
peso de recobrimento e a` rugosidade da superf´ıcie:
Rugosidade da superf´ıcie Peso do revestimento
Alta Baixa
Alta 12 16
Baixa 88 34
(a) Se o peso de recobrimento de uma amostra for elevado, qual sera´ a probabilidade
de a rugosidade da superf´ıcie ser elevada?
(b) Se a rugosidade da superf´ıcie de uma amostra for elevada, qual sera´ a probabi-
lidade de o peso de recobrimento de uma amostra ser elevado?
(c) Se a rugosidade da superf´ıcie de uma amostra for baixa, qual sera´ a probabilidade
de o peso de recobrimento de uma amostra ser baixo?
Respostas:
(a)12/100; (b)12/28; (c)34/122.
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22. Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam Engenharia Civil.
Ale´m disso, 45% dos estudantes sa˜o mulheres. Se um estudante selecionado aleatori-
amente esta´ estudando Engenharia Civil, qual a probabilidade de que este estudante
seja mulher?
Resposta: 0.3529.
23. A probabilidade e´ 1% de que um conector ele´trico, que seja mantindo seco, falhe
durante o per´ıodo de garantia de um Compactador. Se o conector for molhado, a
probabilidade de falha durante o per´ıodo de garantia sera´ de 5%. Se 90% dos conec-
tores forem mantidos secos e 10% forem mantidos molhados, qual sera´ a proporc¸a˜o
de conectores que falhara´ durante o per´ıodo de garantia?
Resposta: 0.014.
24. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta a` medida que as
laˆminas de uma faca va˜o sendo gastas. Somente 1% dos produtos cortados com
novas laˆminas tem bordas a´speras, 3% dos produtos cortados com novas laˆminas
mediante afiadas exibem rugosidade e 5% dos produtos cortados com novas laˆminas
gastas exibem rugosidade. Se 25% das laˆminas na fabricac¸a˜o de papel forem novas,
60% forem mediante afiadas e 15% forem gastas, qual sera´ a proporc¸a˜o dos produtos
que exibem uma aspereza nas bordas?
Resposta: 0.028.
25. Se P (A|B) = 0.3; P(B)=0.8 e P(A)=0.3. Os eventos A e B sa˜o independentes?
Resposta: Sim.
26. Amostras de emisso˜es de treˆs fornecedores sa˜o classificados com relac¸a˜o a satisfazer
as especificac¸o˜es de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras sa˜o resumidos
a seguir:
Fornecedor Conforme
Sim Na˜o
I 22 8
II 25 5
III 30 10
27. O circuito a seguir opera se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda
para a direita. A probabilidade de cada aparelho funcionar e´ mostrada. Suponha
que a probabilidade de um dispositivo ser funcional na˜o dependa de se ou na˜o os
outros dispositivos sa˜o funcionais. Qual sera´ a probailidade de o circuito operar?
Resposta: 0.9702245.
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o evento
em que uma amostra atenda as especificac¸o˜es.
(a)Os eventos A e B sa˜o independentes?
(b)Determine P (B|A)
Respostas:
7
(a)Na˜o; (b)0.733.
28. Treˆs alarmes esta˜o dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionara´ in-
dependentemente, quando qualquer coisa indeseja´vel ocorrer. Se cada alarme tem
probabilidade 0.9 de trabalhar eficientemente, qual e´ a probabilidade de se ouvir o
alarme quando necessa´rio? Resposta: 0.999.
29. Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabi-
lidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente, obtenha a
confiabilidade do sistema. Resposta: p + 2p2 - 2p3 - p4 + p5.
30. Treˆs fa´bricas fornecem equipamentos de precisa˜o para uma empresa de construc¸a˜o
Civil. Apesar de serem aparelhos de precisa˜o, existe uma pequena chance de subes-
timac¸a˜o ou superestimac¸a˜o das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o
comportamento do equipamento produzido em cada fa´brica:
Fa´brica I Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.01 0.98 0.01
Fa´brica II Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.005 0.98 0.015
Fa´brica III Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.00 0.99 0.01
As fa´bricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos uti-
lizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade
de:
(a) Haver superestimac¸a˜o de medidas.
(b) Sabendo que as medidas da˜o exatas, ter sido fabricado em III.
(c) Ter sido produzido por I, dado que na˜o subestima as medidas.Respostas:
(a)0.012; (b)0.503 (c)0.199;
31. Uma companhia produz circuitos integrados para uma serra porta´til em treˆs fa´bricas,
I, II e III. A fa´brica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem
30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por
estas fa´bricas na˜o funcione sa˜o 0.01, 0.04 e 0.03, respectivamente. Escolhido um
circuito da produc¸a˜o conjunta das treˆs fa´bricas, Qual a probabilidade de o mesmo
na˜o funcionar? Resposta: 0.025.
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32. Considere a situac¸a˜o do problema anterior, mas suponha agora que um circuito e´
escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido
fabricado por I. Resposta: 0.16.
33. Uma empresa de construc¸a˜o civil produz uma grande variedade de produtos usando
quatro diferentes processos; a ma˜o de obra dispon´ıvel e´ suficiente somente para que
apenas um processo seja executado num dado instante. O gerente desta empresa
sabe que a descarga de uma poluic¸a˜o perigosa no rio que passa em volta da mesma,
depende do processo que esta´ em operac¸a˜o. As probabilidades de ocorrer poluic¸a˜o
perigosa para os va´rios processos, denotando por F uma descarga de poluic¸a˜o pe-
rigosa, sa˜o: P(F|A) =0.40; P(F|B) = 0.05; P(F|C) = 0.30; P(F|D) = 0.10. Todos
os outros produtos da empresa sa˜o considerados inofensivos. Em um determinado
meˆs sabe-se que em 20%, 40%, 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os
processos A, B, C e D. Deseja-se saber qual a probabilidade de na˜o termos uma
descarga de poluic¸a˜o perigosa no determinado meˆs? Resposta: 0.7999.
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