Lista 2 - Probest

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Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS
Segunda Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Engenharia Civil
1. Seja P (X = x) = x
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; em que x pode assumir 0, 1 ou 2. A func¸a˜o P (X = x)
determina uma distribuic¸a˜o de probabilidade? Resposta: Sim.
2. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria
X.
X -2 -1 0 1 2
P(X=x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
Calcule:
(a)P (X ≤ 2); (b) P (X > −2); (c)P (−1 ≤ X ≤ 1); (d)P (X ≤ −1 ou X = 2)
Respostas: (a)1; (b)7/8; (c)3/4; (d)1/2.
3. Uma urna conte´m 5 bolas de gude branca e 3 pretas. Se 2 bolas de gude sa˜o
extra´ıdas aleatoriamente sem reposic¸a˜o e X denota o nu´mero de bolas brancas
obtidas. Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
Resposta:
X 0 1 2
P(X=x) 3/28 15/28 5/14
4. Um arranjo consiste em treˆs componentes mecaˆnicos. Suponha que as probabilida-
des de o primeiro, o segundo e o terceiro componentes satisfazerem as especificac¸o˜es
sejam iguais a 0.95; 0.98 e 0.99. Considere que os componentes sejam independen-
tes. Determine a func¸a˜o de probabilidade do nu´mero de componentes no arranjo
que satisfazem as especificac¸o˜es.
Resposta: P (X = 0) = 0.00001; P (X = 1) = 0.00167; P (X = 2) = 0.07663;
P (X = 3) = 0.92169.
5. Considere X a varia´vel aleato´ria que representa a quantidade de betoneiras ne-
cessa´rias na construc¸a˜o de um apartamento com a seguinte distribuic¸a˜o de proba-
bilidade:
X 0 1 2 3 4
P(X=x) 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
Encontre : P (X ≥ 2); P (1 ≤ X < 3); E(X); V ar(X). Resposta: 0.9728; 0.1792;
3.20 e 0.64.
1
6. A cura e´ a fase de secagem do concreto. Se na˜o for feita de modo correto na˜o tera´
resisteˆncia e a durabilidade desejada. Considere X uma varia´vel aleato´ria discreta
que represenda o tempo necessa´rio (em dias completos) para a cura completa do
concreto com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade:
X 0 1 2 3 4
P(X=x) 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
Encontre o valor esperado e a variaˆncia do tempo necessa´rio para a cura completa
do concreto. Resposta: 1.8 e 1.16.
7. O nu´mero de tratores utilizados na construc¸a˜o civil que sa˜o vendidos semanalmente
num stand e´ uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
X 1 2 3 4
P(X=x) c c/2 c/3 c/4
(a) Encontre c. Resposta: 12/25.
(b) Determine a distribuic¸a˜o de X.
Resposta:
X 1 2 3 4
P(X=x) 12/25 6/25 4/25 3/25
(c) Calcule a probabilidade do nu´mero de tratores vendidos na˜o chegar a 4 dado
que esse valor e´ maior que 1. Resposta: 10/13.
8. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade de D, que denota a
procura dia´ria de um equipamento usado na construc¸a˜o civil.
D 1 2 3 4 5
P(D=d) 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2
(a) Calcule E(D) e V ar(D). Respostas: E(D) = 3.44; V ar(D) = 1.44.
(b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de D.
Respostas:
F(d)=

0; d < 1
0.1; 1 ≤ d < 2
0.2; 2 ≤ d < 3
0.5; 3 ≤ d < 4
0.8; 4 ≤ d < 5
1; d ≥ 5
2
T 2 3 4 5 6 7
P(T=t) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
9. O tempo T, em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma
varia´vel aleato´ria com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade:
(a) Encontre o tempo me´dio de processamento. Resposta: E(T ) = 4.6.
(b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada.
Resposta:
F(t)=

0; t < 2
0.1; 2 ≤ t < 3
0.2; 3 ≤ t < 4
0.5; 4 ≤ t < 5
0.7; 5 ≤ t < 6
0.9; 6 ≤ t < 7
1; t ≥ 7
(c) Para cada pec¸a processada, o opera´rio ganha um fixo de 2 u.m (unidade mo-
neta´ria). Mas se ele processar a pec¸a em menos de 6 minutos, ganha 0.50 u.m por
cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a pec¸a em 4 minutos, recebe
a quantia adicional de 1.00 u.m. Encontre a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da
varia´vel G. G: Quantia em u.m que ganha por pec¸a.
Resposta:
G 4 3.5 3 2.5 2 2
P(G=g) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
E(G) = 2.75; V ar(G) = 0.4125.
10. O nu´mero de vendas de E.P.I’s realizadas diariamente numa loja em Campo Grande
e´ uma varia´vel X com func¸a˜o de probabilidade:
X 0 1 2 3 4
P(X=x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Determine E(2X−1) e V ar(2X−1). Respostas: E(2X−1) = 3 e V ar(2X−1) =
4.8.
11. Se a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel discreta X, F (x), e´ dada
por:
F(x)=

0; x < 0
1/2; 0 ≤ x < 1
5/8; 1 ≤ x < 2
1; x ≥ 2
Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade de X
Resposta:
X 0 1 2
P(X=x) 1/2 1/8 3/8
3
12. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer e´
uma varia´vel aleato´ria discreta X, com a seguinte func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada:
F(x)=

a; x < 0
1/6; 0 ≤ x < 2
1/4; 2 ≤ x < 4
b; 4 ≤ x < 6
c; x ≥ 6
Sabendo que P (X = 6) = 1/2. Determine:
(a) Os valores de a, b e c. Resposta: a=0, b=1/2 e c=1.
(b) Calcule o valor esperado da varia´vel Y = 2−3X
4
. Resposta: E(Y ) = −2.625.
13. Suponha que a demanda (X) por certa pec¸a numa certa loja de autopec¸as, siga a
seguinte distribuic¸a˜o:
P (X = k) = a.2
k
k!
; k = 1, 2, 3, 4.
(a) Encontre o valor de a Resposta: 1/6.
(b) Calcule a demanda esperada Resposta: E(X) = 19/9.
(b) Qual e´ a variaˆncia da demanda? Resposta: V ar(X) = 80/81.
14. Seja
f(x)=
{
2x+ 3; 0 < x ≤ 2
0; c.c.
Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Na˜o.
15. Seja
f(x)=

x; 0 ≤ x < 1
2− x; 1 ≤ x < 2
0; c.c.
Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Sim.
16. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que representa o tempo necessa´rio para a
pintura de uma pec¸a de automo´vel, em horas, com func¸a˜o densidade de probabili-
dade (f.d.p) dada por:
f(x)=

0; x < 0
9x2 − 8x3; 0 ≤ x < 1
0; x > 1.
Determine:
(a) A probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura? Resposta: 0.25.
(b) A probabilidade para que o tempo gasto se situe entre 1/2 e 3/4? Resposta:
0.3828.
(c) O tempo me´dio gasto na pintura da pec¸a? Resposta: 0.65.
(d) O desvio padra˜o para o tempo gasto na pintura? Resposta: 0.2110.
4
17. Para a preparac¸a˜o de argamassa e´ utilizado uma certa percentagem de agregado
miu´do X que pode ser considerada como uma varia´vel aleato´ria com f.d.p
f(x)=
{
2x; 0 < x ≤ 1
0; c.c.
Encontre: P (X ≤ 2); E(X); V ar(X), P (X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3) e F (X).
Resposta: 1/4; 2/3; 1/18; 5/12
F(x)=

0; x < 0
x2; 0 ≤ x < 1
1; x ≥ 1.
18. Em uma determinada localidade a distribuic¸a˜o de renda em mil u.m (unidade de
medida) e´ uma varia´vel aleato´ria X com func¸a˜o densidade
f(x)=

(1/10)x+ 1/10; 0 ≤ x < 2
−(3/40)x+ 9/20; 2 ≤ x < 6
0; c.c.
(a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade da sua renda ser superior
a 3000? Resposta: 0.3375.
(b) Qual a renda me´dia nesta cidade? Resposta: E(X) = 2.5
(c) Estabelec¸a a Func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada.
Resposta:
F(x)=

0; x < 0
x2/20 + x/10; 0 ≤ x < 2
−(3/80)x2 + (9/20)x− 28/80; 2 ≤ x < 6
1; x > 6.
19. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade dada
por:
f(x)=

ax; 0 ≤ x < 1
a; 1 ≤ x < 2
−ax+ 3a; 2 ≤ x < 3
0; c.c.
Determine a constante a. Resposta: 0.5.
20. O comprimento de uma pec¸a usinada e´ uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o
densidade de probabilidade (f.d.p):
f(x)=

kx; 0 ≤ x < 4
k(12− 2x); 4 ≤ x < 6
0; c.c.
Obtenha E(3X + 2). Resposta: 11.99.
21. O tempo de vida (em horas) de um dispositivo e´ dada pela func¸a˜o densidade: f(t) =
(1/50) exp (−t/50); t > 0.
(a) Qual a probabilidade de que um desses dispositivos dure mais que 24 horas e
menos que 75 horas? Resposta: 0.3956.
(b) Qual a probabilidade de que tenha durado mais que 50 horas? Resposta:
0.3679.
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22. Suponha que f(x) = exp(−x); x > 0. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P (1< X); (b)P (1 < X < 2.5); (c)P (X = 3); (d)P (X < 4); (e)P (3 < X);
(f) Determine x tal que P (x < X) = 0.10; (g) Determine x tal que P (X < x) = 0.10.
Respostas: (a)0.3678; (b)0.2857; (c)0; (d)0.9816; (e)0.049; (f)2.3025; (g)0.1053.
23. Suponha que f(x) = 0.5 cos(x); para −pi/2 < x < pi/2. Determine as seguintes
probabilidades:
(a)P (X < 0); (b)P (X < −pi/4); (c)P (−pi/4 < X < pi/4); (d)P (X > −pi/4);
(e) Determine x tal que P (X < x) = 0.95.
Respostas: (a)0.5; (b)0.1464; (c)0.70; (d)0.8535; (e)1.119.
24. Suponha que a f.d.p do comprimento do ac¸o em barras retas na obra e´ f(x) = 2; para
o intervalo de 2.3 < x < 2.8 metros. Se as especificac¸o˜es para esse processo forem
de 2.25 e 2.75 metros, que proporc¸a˜o das barras na˜o se ajustara´ as especificac¸o˜es?
Resposta: 0.1.
25. A resisteˆncia a` compressa˜o de amostras de cimento em kg/cm2 testado numa obra
e´ dada pela func¸a˜o densidade:
f(x)=

1
15002
x; 0 ≤ x < 1500
1
15002
(3000− x); 1500 ≤ x < 3000
0; c.c.
Encontre E(X). Resposta=1500
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