Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Instituto de Matema´tica - INMA/UFMS Segunda Lista de Probabilidade e Estat´ıstica - Engenharia Civil 1. Seja P (X = x) = x 3 ; em que x pode assumir 0, 1 ou 2. A func¸a˜o P (X = x) determina uma distribuic¸a˜o de probabilidade? Resposta: Sim. 2. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X. X -2 -1 0 1 2 P(X=x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 Calcule: (a)P (X ≤ 2); (b) P (X > −2); (c)P (−1 ≤ X ≤ 1); (d)P (X ≤ −1 ou X = 2) Respostas: (a)1; (b)7/8; (c)3/4; (d)1/2. 3. Uma urna conte´m 5 bolas de gude branca e 3 pretas. Se 2 bolas de gude sa˜o extra´ıdas aleatoriamente sem reposic¸a˜o e X denota o nu´mero de bolas brancas obtidas. Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade de X. Resposta: X 0 1 2 P(X=x) 3/28 15/28 5/14 4. Um arranjo consiste em treˆs componentes mecaˆnicos. Suponha que as probabilida- des de o primeiro, o segundo e o terceiro componentes satisfazerem as especificac¸o˜es sejam iguais a 0.95; 0.98 e 0.99. Considere que os componentes sejam independen- tes. Determine a func¸a˜o de probabilidade do nu´mero de componentes no arranjo que satisfazem as especificac¸o˜es. Resposta: P (X = 0) = 0.00001; P (X = 1) = 0.00167; P (X = 2) = 0.07663; P (X = 3) = 0.92169. 5. Considere X a varia´vel aleato´ria que representa a quantidade de betoneiras ne- cessa´rias na construc¸a˜o de um apartamento com a seguinte distribuic¸a˜o de proba- bilidade: X 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096 Encontre : P (X ≥ 2); P (1 ≤ X < 3); E(X); V ar(X). Resposta: 0.9728; 0.1792; 3.20 e 0.64. 1 6. A cura e´ a fase de secagem do concreto. Se na˜o for feita de modo correto na˜o tera´ resisteˆncia e a durabilidade desejada. Considere X uma varia´vel aleato´ria discreta que represenda o tempo necessa´rio (em dias completos) para a cura completa do concreto com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade: X 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 Encontre o valor esperado e a variaˆncia do tempo necessa´rio para a cura completa do concreto. Resposta: 1.8 e 1.16. 7. O nu´mero de tratores utilizados na construc¸a˜o civil que sa˜o vendidos semanalmente num stand e´ uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o de probabilidade: X 1 2 3 4 P(X=x) c c/2 c/3 c/4 (a) Encontre c. Resposta: 12/25. (b) Determine a distribuic¸a˜o de X. Resposta: X 1 2 3 4 P(X=x) 12/25 6/25 4/25 3/25 (c) Calcule a probabilidade do nu´mero de tratores vendidos na˜o chegar a 4 dado que esse valor e´ maior que 1. Resposta: 10/13. 8. Os valores abaixo representam a distribuic¸a˜o de probabilidade de D, que denota a procura dia´ria de um equipamento usado na construc¸a˜o civil. D 1 2 3 4 5 P(D=d) 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 (a) Calcule E(D) e V ar(D). Respostas: E(D) = 3.44; V ar(D) = 1.44. (b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de D. Respostas: F(d)= 0; d < 1 0.1; 1 ≤ d < 2 0.2; 2 ≤ d < 3 0.5; 3 ≤ d < 4 0.8; 4 ≤ d < 5 1; d ≥ 5 2 T 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 9. O tempo T, em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma varia´vel aleato´ria com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade: (a) Encontre o tempo me´dio de processamento. Resposta: E(T ) = 4.6. (b) Estabelec¸a a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada. Resposta: F(t)= 0; t < 2 0.1; 2 ≤ t < 3 0.2; 3 ≤ t < 4 0.5; 4 ≤ t < 5 0.7; 5 ≤ t < 6 0.9; 6 ≤ t < 7 1; t ≥ 7 (c) Para cada pec¸a processada, o opera´rio ganha um fixo de 2 u.m (unidade mo- neta´ria). Mas se ele processar a pec¸a em menos de 6 minutos, ganha 0.50 u.m por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a pec¸a em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 1.00 u.m. Encontre a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da varia´vel G. G: Quantia em u.m que ganha por pec¸a. Resposta: G 4 3.5 3 2.5 2 2 P(G=g) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 E(G) = 2.75; V ar(G) = 0.4125. 10. O nu´mero de vendas de E.P.I’s realizadas diariamente numa loja em Campo Grande e´ uma varia´vel X com func¸a˜o de probabilidade: X 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 Determine E(2X−1) e V ar(2X−1). Respostas: E(2X−1) = 3 e V ar(2X−1) = 4.8. 11. Se a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel discreta X, F (x), e´ dada por: F(x)= 0; x < 0 1/2; 0 ≤ x < 1 5/8; 1 ≤ x < 2 1; x ≥ 2 Determine a distribuic¸a˜o de probabilidade de X Resposta: X 0 1 2 P(X=x) 1/2 1/8 3/8 3 12. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer e´ uma varia´vel aleato´ria discreta X, com a seguinte func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada: F(x)= a; x < 0 1/6; 0 ≤ x < 2 1/4; 2 ≤ x < 4 b; 4 ≤ x < 6 c; x ≥ 6 Sabendo que P (X = 6) = 1/2. Determine: (a) Os valores de a, b e c. Resposta: a=0, b=1/2 e c=1. (b) Calcule o valor esperado da varia´vel Y = 2−3X 4 . Resposta: E(Y ) = −2.625. 13. Suponha que a demanda (X) por certa pec¸a numa certa loja de autopec¸as, siga a seguinte distribuic¸a˜o: P (X = k) = a.2 k k! ; k = 1, 2, 3, 4. (a) Encontre o valor de a Resposta: 1/6. (b) Calcule a demanda esperada Resposta: E(X) = 19/9. (b) Qual e´ a variaˆncia da demanda? Resposta: V ar(X) = 80/81. 14. Seja f(x)= { 2x+ 3; 0 < x ≤ 2 0; c.c. Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Na˜o. 15. Seja f(x)= x; 0 ≤ x < 1 2− x; 1 ≤ x < 2 0; c.c. Verifique se f(x) e´ uma func¸a˜o de densidade de probabilidade. Resposta: Sim. 16. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que representa o tempo necessa´rio para a pintura de uma pec¸a de automo´vel, em horas, com func¸a˜o densidade de probabili- dade (f.d.p) dada por: f(x)= 0; x < 0 9x2 − 8x3; 0 ≤ x < 1 0; x > 1. Determine: (a) A probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura? Resposta: 0.25. (b) A probabilidade para que o tempo gasto se situe entre 1/2 e 3/4? Resposta: 0.3828. (c) O tempo me´dio gasto na pintura da pec¸a? Resposta: 0.65. (d) O desvio padra˜o para o tempo gasto na pintura? Resposta: 0.2110. 4 17. Para a preparac¸a˜o de argamassa e´ utilizado uma certa percentagem de agregado miu´do X que pode ser considerada como uma varia´vel aleato´ria com f.d.p f(x)= { 2x; 0 < x ≤ 1 0; c.c. Encontre: P (X ≤ 2); E(X); V ar(X), P (X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3) e F (X). Resposta: 1/4; 2/3; 1/18; 5/12 F(x)= 0; x < 0 x2; 0 ≤ x < 1 1; x ≥ 1. 18. Em uma determinada localidade a distribuic¸a˜o de renda em mil u.m (unidade de medida) e´ uma varia´vel aleato´ria X com func¸a˜o densidade f(x)= (1/10)x+ 1/10; 0 ≤ x < 2 −(3/40)x+ 9/20; 2 ≤ x < 6 0; c.c. (a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade da sua renda ser superior a 3000? Resposta: 0.3375. (b) Qual a renda me´dia nesta cidade? Resposta: E(X) = 2.5 (c) Estabelec¸a a Func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada. Resposta: F(x)= 0; x < 0 x2/20 + x/10; 0 ≤ x < 2 −(3/80)x2 + (9/20)x− 28/80; 2 ≤ x < 6 1; x > 6. 19. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por: f(x)= ax; 0 ≤ x < 1 a; 1 ≤ x < 2 −ax+ 3a; 2 ≤ x < 3 0; c.c. Determine a constante a. Resposta: 0.5. 20. O comprimento de uma pec¸a usinada e´ uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p): f(x)= kx; 0 ≤ x < 4 k(12− 2x); 4 ≤ x < 6 0; c.c. Obtenha E(3X + 2). Resposta: 11.99. 21. O tempo de vida (em horas) de um dispositivo e´ dada pela func¸a˜o densidade: f(t) = (1/50) exp (−t/50); t > 0. (a) Qual a probabilidade de que um desses dispositivos dure mais que 24 horas e menos que 75 horas? Resposta: 0.3956. (b) Qual a probabilidade de que tenha durado mais que 50 horas? Resposta: 0.3679. 5 22. Suponha que f(x) = exp(−x); x > 0. Determine as seguintes probabilidades: (a)P (1< X); (b)P (1 < X < 2.5); (c)P (X = 3); (d)P (X < 4); (e)P (3 < X); (f) Determine x tal que P (x < X) = 0.10; (g) Determine x tal que P (X < x) = 0.10. Respostas: (a)0.3678; (b)0.2857; (c)0; (d)0.9816; (e)0.049; (f)2.3025; (g)0.1053. 23. Suponha que f(x) = 0.5 cos(x); para −pi/2 < x < pi/2. Determine as seguintes probabilidades: (a)P (X < 0); (b)P (X < −pi/4); (c)P (−pi/4 < X < pi/4); (d)P (X > −pi/4); (e) Determine x tal que P (X < x) = 0.95. Respostas: (a)0.5; (b)0.1464; (c)0.70; (d)0.8535; (e)1.119. 24. Suponha que a f.d.p do comprimento do ac¸o em barras retas na obra e´ f(x) = 2; para o intervalo de 2.3 < x < 2.8 metros. Se as especificac¸o˜es para esse processo forem de 2.25 e 2.75 metros, que proporc¸a˜o das barras na˜o se ajustara´ as especificac¸o˜es? Resposta: 0.1. 25. A resisteˆncia a` compressa˜o de amostras de cimento em kg/cm2 testado numa obra e´ dada pela func¸a˜o densidade: f(x)= 1 15002 x; 0 ≤ x < 1500 1 15002 (3000− x); 1500 ≤ x < 3000 0; c.c. Encontre E(X). Resposta=1500 6
Compartilhar