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Lógica e Demonstraçoes

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é o 
número	de	dígitos	(bits)	que	ela	contém.
EXEMPLO 20 101010011 é uma seqüência binária de comprimento nove. ◄
Podemos	estender	operações	bit	para	seqüências	binárias.	Definimos	a	seqüência binária 
tipo OU, a seqüência binária tipo E e a seqüência binária tipo OU-exclusivo	(bitwise OR, 
bitwise AND e bitwise XOR)	de	duas	seqüências	binárias	de	mesmo	comprimento	como	aquela	
que tem como seus bits os bits correspondentes ao OU,	E e OU-exclusivo para os respectivos 
dígitos das duas seqüências originais. Usaremos os símbolos dos operadores ∨,	∧ e ⊕ para repre-
sentar as seqüências binárias tipo OU,	tipo	E e tipo OU-exclusivo,	respectivamente.	Vamos	ilus-
trar essas operações com o Exemplo 21.
EXEMPLO 21 Encontre a seqüência binária tipo OU,	a	seqüência	binária	tipo	E e a seqüência binária tipo OU-
exclusivo	das	seqüências	01	1011	0110	e	11	0001	1101.	(Aqui,	e	em	todo	o	livro,	as	seqüências	
serão	separadas	em	blocos	de	quatro	bits	para	facilitar	a	leitura.)
TABELA 9 Tabela para os Operadores 
Binários OR, AND e XOR.
x y x ∨ y x ∧ y x ⊕ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
Valor-Verdade Bit
V
F
1
0
Links
1-15 1.1 Lógica Proposicional 15
16	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-16
Solução:	As	seqüências	são:
01 1011 0110
11 0001 1101
11 1011 1111 OU
01 0001 0100 E
10 1010 1011 OU-exclusivo ◄
Exercícios
1. Quais dessas sentenças são proposições? Quais são os 
valores-verdade das que são proposições?
a) Curitiba é a capital do Paraná.
b) Joinville	é	a	capital	de	Santa	Catarina.
c) 2  3 = 5. d) 5  7 = 10.
e) x  2 = 11. f) Responda esta questão.
2. Quais destas são proposições? Quais são os valores-verdade 
das que são proposições?
a) Não ultrapasse.
b) Que horas são?
c) Não há moscas pretas em Brasília.
d) 4  x = 5.
e) A	lua	é	feita	de	queijo	verde.
f) 2n ≥ 100.
3. Qual é a negação de cada proposição a seguir?
a) Hoje é quinta-feira.
b) Não há poluição em São Paulo.
c) 2  1 = 3.
d) O verão no Rio é quente e ensolarado.
4. Considere que p e q são proposições:
 p: Eu comprei um bilhete de loteria esta semana.
 q: Eu ganhei a bolada de um milhão de dólares na 
 sexta-feira.
 Expresse cada uma dessas proposições em uma sentença em 
português.
a) ÿ p b) p ∨ q c) p	→	q
d) p ∧ q e) p	↔	q f) ÿ p →	ÿ q
g) ÿ p ∧ ÿ q h) ÿ p ∨	(p ∧ q)
5. Considere que p e q são as proposições: “Nadar na praia em 
Nova	 Jersey	 é	 permitido.”	 e	 “Foram	descobertos	 tubarões	
perto	da	praia.”,	respectivamente.	Expresse	cada	uma	dessas	
proposições compostas como uma sentença em português.
a) ÿ q b) p ∧ q c) ÿ p ∨ q
d) p	→	ÿ q e) ÿ q →	p f) ÿ p	→	ÿ q
g) p	↔	ÿ q h) ÿ p ∧	(p ∨ ÿ q)
Links
JOHN	WILDER	TUKEY	(1915–2000)	 Tukey,	nascido	em	New	Bedford,	Massachusetts,	era	fi	lho	único.	Seus	pais,	
ambos	professores,	decidiram	que	a	educação	em	casa	seria	a	melhor	opção	para	o	desenvolvimento	de	seu	potencial.	
Sua	educação	 formal	 iniciou-se	na	Universidade	de	Brown,	onde	estudou	matemática	e	química.	Tukey	 recebeu	o	
mestrado	em	química	da	Brown	e	continuou	seus	estudos	em	Princeton.	Com	o	início	da	Segunda	Guerra	Mundial,	ele	
se	juntou	ao	Fire	Control	Research	Offi	ce,	onde	começou	a	trabalhar	com	estatística.	Tukey,	em	suas	pesquisas	com	
estatísticas,	impressionou	muitos	estatísticos	com	suas	habilidades.	Em	1945,	com	o	fi	m	da	guerra,	Tukey	retornou	ao	
departamento	de	matemática	de	Princeton	como	professor	de	estatística	e	também	associou-se	ao	laboratório	AT&T.	
Tukey fundou o Departamento de Estatística da Princeton em 1966 e foi seu primeiro catedrático. Fez contribuições 
signifi	cativas	em	muitas	áreas	da	estatística,	incluindo	análise	de	variantes,	estimativa	do	espectro	das	séries	de	tempo,	
inferências	sobre	valor	de	um	grupo	de	parâmetros	de	um	experimento	e	fi	losofi	a	da	estatística.	Entretanto,	ele	é	muito	conhecido	por	sua	
invenção,	em	parceria	com	J.	W.	Cooley,	da	transformação	rápida	de	Fourier.	Além	de	suas	contribuições	em	estatística,	Tukey	é	visto	como	
um	habilidoso	conhecedor	de	Wordsmith;	tem	o	crédito	de	cunhar	os	termos	bit e software.
Tukey contribuiu com sua visão e conhecimento servindo o Comitê Consultivo de Ciência do Presidente. Ele liderou diversos comitês 
importantes,	lidando	com	meio	ambiente,	educação,	química	e	saúde.	Ele	também	serviu	nos	comitês	de	desarmamento	nuclear.	Tukey	rece-
beu	muitos	prêmios,	incluindo	a	Medalha	Nacional	de	Ciência.
NOTA	HISTÓRICA	 Há	muitas	outras	denominações	para	dígito	binário,	como	binit e bigit,	mas	nunca	foram	mundialmente	aceitas.	A	
adoção da palavra bit é ligada a sua semelhança com a palavra em inglês. Para uma descrição da cunhagem da palavra bit	por	Tukey,	veja	a	
revista Anais da História da Computação,	de	abril	de	1984.
 6. Considere que p e q	são	proposições:	“A	eleição	está	deci-
dida”	e	“Os	votos	foram	contados”,	respectivamente.	Ex-
presse cada uma destas proposições compostas como uma 
sentença em português.
a) ÿ p b) p ∨ q
c) ÿ p ∧ q d) q	→	p
e) ÿ q	→	ÿ p f) ÿ p	→	ÿ q
g) p	↔	q h) ÿ q ∨	(ÿ p ∧ q)
 7. Considere que p e q são proposições:
 p: Está abaixo de zero.
 q: Está nevando.
 Escreva estas proposições usando p,	q e conectivos ló-
gicos.
a) Está abaixo de zero e nevando.
b) Está	abaixo	de	zero,	mas	não	está	nevando.
c) Não está abaixo de zero e não está nevando.
d) Está	ou	nevando	ou	abaixo	de	zero	(ou	os	dois).
e) Se	está	abaixo	de	zero,	está	também	nevando.
f) Está	 ou	 nevando	 ou	 abaixo	 de	 zero,	 mas	 não	 está	
nevando se estiver abaixo de zero.
g) Para	que	esteja	abaixo	de	zero	é	necessário,	e	suficiente,	
que esteja nevando.
 8. Considere que p,	q e r são as proposições:
 p : Você está com gripe.
 q	:	Você	perde	a	prova	final.
 r : Você foi aprovado no curso.
 Expresse cada uma destas proposições compostas como 
uma sentença em português.
a) p	→	q b) ÿ q	↔	r
c) q	→	ÿ r d) p ∨ q ∨ r
e) (p	→ ÿ r)	∨	(q	→	ÿ r)
f) (p ∧ q)	∨	(ÿ q ∧ r)
 9. Considere que p e q são proposições:
 p :	Você	dirige	a	mais	de	104	km/h.
 q : Você recebe uma multa por excesso de velocidade.
 Escreva estas proposições usando p,	q e conectivos 
lógicos.
a) Você	não	dirige	a	mais	de	104	km/h.
b) Você	dirige	a	mais	de	104	km/h,	mas	não	recebe	uma	
multa por excesso de velocidade.
c) Você	receberá	uma	multa	por	excesso	de	velocidade,	
se	você	dirigir	a	mais	de	104	km/h.
d) Se	 você	 não	 dirigir	 a	 mais	 de	 104	 km/h,	 você	 não	
receberá uma multa por excesso de velocidade.
e) Dirigir	a	mais	de	104	km/h	é	suficiente	para	receber	
uma multa por excesso de velocidade.
f) Você	 recebe	 uma	 multa	 por	 excesso	 de	 velocidade,	
mas	você	não	dirige	a	mais	de	104	km/h.	
g) Sempre que receber uma multa por excesso de 
velocidade,	você	estará	dirigindo	a	mais	de	104	km/h.
10. Considere que p, q e r são proposições:
 p :	Você	tira	um	A	no	exame	final.
 q : Você faz todos os exercícios deste livro.
 r :	Você	tira	um	A	nesta	matéria.
 Escreva estas proposições usando p,	q,	r e conectivos 
lógicos.
a) Você	 tira	 um	A	nesta	matéria,	mas	 não	 faz	 todos	 os	
exercícios deste livro.
b) Você	tira	um	A	no	exame	final,	faz	todos	os	exercícios	
deste	livro	e	tira	um	A	nesta	matéria.
c) Tirar	um	A	nesta	matéria	é	necessário	para	tirar	um	A	
no	exame	final.
d) Você	tira	um	A	no	exame	final,	mas	não	faz	todos	os	
exercícios	 deste	 livro;	 no	 entanto,	 tira	 um	 A	 nesta	
matéria.
e) Tirar	um	A	no	exame	final	e	fazer	todos	os	exercícios	
deste	livro	é	suficiente	para	tirar	A	nesta	matéria.
f) Você	vai	tirar	um	A	nesta	matéria	se	e	somente	se	você	
fizer	todos	os	exercícios	deste	livro	ou	você	tirar	um	A	
no	exame	final.
11. Considere que p, q e r são proposições:
 p : Ursos-cinzentos são vistos na área.
 q : Fazer caminhada na trilha é seguro.
 r :	As	bagas	estão	maduras	ao	longo	da	trilha.
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