Gestão Financeira - marco zero

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Gestão Financeira
Ariel Levy
Revisão
Apresentação
• Objetivo do curso
– Desenvolver competências no estudante no tratamento de 
questões fundamentais na gestão financeira. Através da análise 
de exemplos práticos e atuais, utilizando as ferramentas 
clássicas e enriquecido de uso e aplicação das pelas técnicas 
em estudos de casos , pretende-se construir uma base 
necessária para os cursos mais avançados.
– Ariel Levy
• Empresário, Engenheiro, Mestre em administração IBMEC
• Professor do MBA IBMEC (1993-2006)
• Professor FGV
• Professor do MBA Ideas (UFRJ 2004/2005)
• Professor in company - Petrobrás e Embratel entre outras
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Biblilografia do Curso
• LIVRO TEXTO ADOTADO:
• Brigham, Eugene F.;Ehrhardt,Michael C.; Administração Financeira-
Teoria e Prática; Trad. Salazar, José N.A;Cucci, Sueli S.M.; 
PioneiraThomsom Learnig, São Paulo ,2006
• BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
• ROSS, STEPHEN A., WESTERFIELD, RANDOLPH W., JAFFE, JEFRREY 
F. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. SÃO PAULO: ATLAS, 1999
• SANVINCENTE, ANTONIO Z. ADMINISTRAÇÃO FINANCIERA. SÃO 
PAULO: ATLAS, 1998;
• MARTINS, ELISEU, ASSAF NETO, A. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA.
SÃO PAULO: ATLAS, 1997;
• HOJI, MASAKAZU. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. SÃO PAULO: 
ATLAS, 1999.
Programa
• Marco Zero – A revisão
• Introdução 
• Juros simples
• Juros Compostos
• Séries de pagamentos
• Fluxos genéricos
• Sistemas de amortização
• Taxas de juros e operações do mercado financeiro
• Indicadores utilizados na avaliação de investimentos
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Marco Zero
• Você se lembra como resolver?
a) 4 (8-3x2)=
b) {3x[45-(8-5)2]}=
• Converta para a forma percentual:
a) 0,57; b) 2,08; c) 1,41
• Converta para a forma unitária:
a) 163%; b)2,3%; c)0,012%
Revisando um pouco mais...
• Um imóvel foi adquirido por R$ 500.000,00; de 
impostos foram pagos R$ 12.000,00; ao corretor 
coube 2% de comissão ; foram feitas 
benfeitorias no valor de R$ 50.000,00. Por 
quanto deve ser vendido o imóvel para que haja 
um lucro de 30%?
4
Lembra-se da Razão e 
Proporção
• Em nossa classe temos alunos do sexo 
feminino e do sexo masculino. Calcule a 
razão entre alunos:a) do sexo feminino e 
do total; b) do sexo masculino e do total; 
c) do sexo feminino e do sexo masculino. 
Proporção....
• De cada dez produtos comprados pela 
rede de supermercados Melhor Preço, 
seis provém de São Paulo. Se no último 
mês, a rede comprou 1680 produtos 
quantos vieram daquele estado?
5
Regra de três simples
• Um automóvel “zero” consegue rodar 
300km com um tanque de gasolina de 50 
litros. Se a capacidade do tanque fosse 
alterada para 60 litros, quantos 
quilometras o mesmo automóvel 
conseguiria rodar?
– Resolva por regra de três.
– Agora resolva utilizando o conceito de 
percentagens.
Logarítmos ...
• Agora é melhor explicar.
Se Xy=Z então logxZ=Y
Ex: se 102 = 100 => log10 100=2 ou 
log 100=2
6
Logarítmos... 
Propriedades: 
log (a.b) = log a + log b
log (a/b) = log a – log b
log ak = k log a
log b (a) = [ logc a/ logc b]
e ; ln
∞
e = lim (1+1/x)x = Σ 1 ! = 2,7182818285
x → ∞ n=0 n
log e 5= ln 5 = 1,6094
7
Resolver ou não resolver ....
• Resolva as equações abaixo:
1. 3a+7=28
2. (40/x)+5=15
3. 5X – 10= 115
4. O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. 
Qual é esse número? 
5. x2-3x+2=0
Convenções - Pré requesitos
• Convenções do livro texto
• Hp 12c
• Excell
8
Conceitos básicos
• A remuneração do dinheiro
• O valor do dinheiro no tempo
• Taxa de juros
• Fluxo de caixa
• Resolução de Problemas
• Regimes de capitalização e regimes de 
juros
• Resumo
» capítulo 8 - livro texto
A remuneração do dinheiro
• A cessão de bens de qualquer natureza 
para uso temporário por outra pessoa faz-
se normalmente, mediante o pagamento 
de uma remuneração ou indenização ao 
cessionário.
– Aluguel, arrendamento, royality
• Quando o bem é capital circulante 
denominamos a remuneração juros.
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O valor do dinheiro no tempo 
• Ao longo do tempo o valor do dinheiro muda.
– Desvalorização
– Remunerações = alternativas de investimento
• Conseqüências
– Somente será possível comparar quantias expressas 
em uma mesma data.
– Somente será possível a realização de operações 
algébricas com quantias expressas em uma mesma 
data.
Juros
• Funções do 
mercado
– Intermediação
– Conciliação
– Diluição de riscos
• J2>J1 j2-j1= spread
poupador tomador
•$ •$
Mercado
financeiro
•$+J1 •$+J2
10
Taxas de juros
i= i(%)=•Juros
•Capital
•Juros
Capital
•x 100
Percentual Percentual Fração decimal
9,0% ao mês 9,0% am 9,0/100 am 0,09 am
0,3% ao dia 0,3% ad 0,3/100 ad 0,003 d
250% ao ano 250% aa 250/100 aa 2,50 aa
Taxas de juros
• Taxa de juros = Preço 
do dinheiro ... Lei da 
oferta.
• Quantidade de moeda ou 
meios de pagamento 
realmente disponíveis no 
mercado. 
• Capacidade ou expectativas 
de realizações lucrativas. 
• Riscos envolvidos
• Expectativa de perda do 
valor aquisitivo entre a 
cessão e o retorno.
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Fluxo de caixa
• Conjunto de entradas e saídas de dinheiro 
ou equivalente a dinheiro, ao longo do 
tempo, para um indivíduo ou empresa
0
1
2
3 n
•Diagrama de fluxo de caixa -DFC
Fluxo de caixa
• Marcar apenas as movimentações 
incrementais nas datas de sua efetiva 
ocorrência. (regime de caixa)
• Simplificar ao máximo o diagrama, 
marcando os valores resultantes líquidos 
para cada data.
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Resolução de problemas
• Identifique as entradas e saídas de caixa 
relevantes ao problema.
• Trace o DFC correspondente
• Verifique em qual modelo de DFC o 
diagrama traçado se enquadra
• Utilize as soluções padronizadas de 
acordo com sua calculadora, programa 
etc...
Outros conceitos básicos
• Valor presente ou Principal
– Valor do dinheiro hoje. P ou C ou Vp ou Pv
• Valor Futuro ou Montante
– Valor do dinheiro em uma data futura posterior a 
data zero do DFC. F ou M ou Vf ou Fv
• Fator da taxa de juros
– É o resultado da transformação da taxa de juros 
(i) através da fórmula (1+i).
• Número de períodos de capitalização - n
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Conceitos básicos
F
(1+i)P = I =
F-P
P
F= P + J
i=J/P J= P x i
F= P+J=P + P x i=P x (1+i)
Regimes de Capitalização e 
Regimes de Juros
• Regimes de 
capitalização
– Contínuo
– Capitalização 
periódica
• Regimes de Juros
– Juros Simples
– Juros Compostos
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Considerações quanto ao prazo
• Ano Civil
– ano de 365 ou 366 dias
– meses 30;31 ou 28; 29 dias
• Ano Comercial 
– ano 360 dias
– meses 30 dias
Considerações quanto ao prazo
• Juros Exatos
– tanto a contagem do prazo ; quanto a conversão da 
taxa de juros são realizadas pelo ano civil.
• Juros Comerciais
– Ambas são realizadas pelo critério do ano comercial
• Juros Bancários (utilizado no Brasil)
– O prazo é contado pelo critério do ano civil, a taxa 
convertida pelo critério do anos comercial.
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O diagrama - DFC
P
F
n
i%
• Aplicação ao prazo 
fixo n de uma quantia 
P (principal) para ao 
final resgatar o 
montante F.
• Ou crédito em que o 
agente financeiro 
empresta a quantia P 
por um prazo n para 
receber F do cliente.
Cálculo do Montante e demais 
variáveis a juros simples
F = P x (1 + i x n)
P = 
F
(1 + i x n)
= F x
1
(1 + i x n)
(F/P -1) = i x n
i= {FP -1}x 1n
n= F
P
-1 x 1
i{ }
16
Exemplo 1
• Se uma corretora oferece uma taxa de 
12% ao mês no regime de juros simples, 
quais os juros recebidos e o capital 
formado por uma aplicação de R$ 
50.000,00 por dois meses?
Dados : P = R$ 50.000,00
i = 12% am; n=2 meses j=?
j = 50000 x 12/100 x 2 = 12000
Exemplo 1b
• E se o prazo fosse de 42 dias?
- para resolver teríamos de ajustar o prazo 
em meses.... Daí :
j = 50.000,00x 42/30 x 12/100= 8.400,00
Para o caso de juros simples também seria 
válido transformar a taxa, vejamos: 
j= 50.000,00x42x0,12/30=8.400,00
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Exemplo 2
• Determine o juro obtido com um capital de 
R$1250,23 durante 5 meses com a taxa 
de 5,5%am.
Taxas Proporcionais
• Toda operação envolve dois prazos
– prazo a que se refere a taxa de juros
– prazo de capitalização dos juros
• Nas fórmulas devemos compatibilizar os dois prazos 
colocando -os numa mesma base de tempo.
• No regime de juros simples, por sua natureza linear 
essa transformação será feita pela taxa proporcional 
de juros, sendo obtida pela razão da taxa de juros 
pelo número de (ocorrências) capitalizações.
• Ex. Dada uma taxa de 18% aa com capitalização 
mensal, o percentual que incidirá sobre o capital 
cada mês será:
Taxa Proporcional = 18% / 12 = 1,5% am
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Taxas Equivalentes
• São taxas que quando aplicadas sobre o 
mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo 
produzem o mesmo montante linear de juros, a 
saber:
J (2,5% am) = 500000 x 0,025 x 12 = 150000
J ( 15% as ) = 500000 x 0,15 x 2 = 150000
• No regime de juros simples taxas proporcionais 
ou equivalente são indiferentes
Equivalência de capitais a juros 
simples
• Dada uma taxa de juros i e dois ou mais capitais 
C1,C2...Cn disponíveis nos prazos n1,n2,...nn, diremos 
que eles serão equivalentes se ao serem avaliados 
numa data t qualquer, gerarem o mesmo valor.
– Ex. Se a taxa de juros for de 10% am então:
100 hoje é equivalente a 120 daqui a dois meses. 
• No regime de juros simples, capitais equivalentes numa 
data t (data focal), não necessariamente o serão em 
outra data.
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Para Lembrar
• Só adicione ou subtraia valores na mesma 
data.
• A taxa de juros e o número de períodos 
devem estar na mesma base.
• Sugerimos que sempre altere o n e evite 
alterar o i.
Finalmente...vamos aprender a HP12c
20
A Hp 12 c
• Usa a lógica polonesa 
inversa
• Foi lançada em 1981
• Permanece como sucesso 
de vendas
– Baterias de mais longa 
duração
– Programação no teclado
– 120 funções de negócios
– 20 registradores
– Tamanho pequeno e 
conveniente.
Comandos e testes iniciais
• Teste automático
– Com a máquina desligada pressione a tecla[x] ou [+] e ligue a máquina, 
soltando a tecla [on] e depois a tecla tecla c ou [+].
• Um auto teste será realizado. Se aparecer error 9 ou não aparecer nada a 
máquina está com problemas.
• Teste semi- automático.
– Com a máquina desligada pressione e depois ligue a calculadora 
soltando a tecla [on] e depois a tecla [÷].
– Nesta situação teremos de pressionar cada uma das teclas da máquina 
uma a uma, da esquerda para a direita e de cima para baixo ( de [N] a 
[÷] ;depois de [Yx] a [÷];da tecla [r/s] a [-] pressione o [enter] na 
passagem e por fim [on] até [+], sendo que o [enter] foi assim 
pressionado outra vez, uma em cada passagem.
– Se você digitou todas as teclas corretamente a máquina deve indica 12 
no visor. Caso haja algum defeito o visor indicará error 9. 
21
Uma tecla possui vários usos
• A máquina apresenta 
várias funções 
associadas a uma única 
tecla.
– Função principal – em 
branco - direta
– Função auxiliar amarela 
– tecle [f ]antes
– Função auxiliar azul –
tecle [g] antes
– Se você digitar f ou g 
erradamente limpe 
teclando [f] [prefix]
No visor...
• Exibindo casas decimais
– Para exibir duas casas decimais pressione [f][2].
– Para exibir seis casas decimais pressione [f][6].
• Seclecionar ponto ou virgula
– Presione a tecla[.] com a máquina desligada e ligue a 
máquina soltando a tecla [on] antes da tecla [.] e a 
máquina trocará o separador.
• Números grandes e pequenos
– A hp permite cálculo com números maiores que 10-100 e 
menores que 10100 . Quando necessário a apresentação 
será feita em notação científica . 
– Ex : [3,360000 14] no visor representa 3,36 x 1014
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A lógica RPN e Pilha de 
registradores
• Procure a tecla [=]
– É ele não existe na HP, devido a lógica 
utilizada.
– Numa calculadora comum para somar 5+9 
teríamos de pressionar [5][+][9][=] e teríamos 
no visor 14.
– Na lógica RPN teremos [5][Enter] [9][+] e 
teríamos no visor 14.
A lógica RPN e Pilha de 
registradores
• O sistema de pilhas utiliza quatro posições sendo a 
última o visor, assim a máquina guarda até 3 entradas 
além daquela mostrada.
• Quando realizamos os cálculos os valores anteriores 
ficam guardados.
• Ex: (90-50)/ (56-7) = 
• Na hp : 90 enter 50 – 56 enter 7- ÷
• Resultando 0,816326531 que aparecerá no visor.
• Para limpar todos os registros devemos pressionar f reg.
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Funções dos registradores da 
pilha
• Last x – recupera o último valor de x
• X→Y troca o valor dos registros.
• Clx limpa o valor de x
• f reg limpa todos os registros
Registros adicionais
• [Sto] do inglês store : seguido de .0 a 9 
completam vinte memórias.
• [Rcl] do inglês recall: recupera o valor da 
memória.
• Se quisermos armazenar 325 no registrador 1 
teremos de digitar 325[Sto][1].
• Se quisermos recuperar o valor após ter limpado o 
registro x [clx], teremos de digitar [Rcl] [1].
• Podemos operar com os registros assim para 
somar 10 ao registrador um fazemos 10 [ Sto] 
[+][1].
24
Funções com datas
• [g] [DMY] configura para dia.mêsano.
• [g] [M.DY] configura para mês.diaano.
• [g] [date] com base no registrador y 
calcula a data passada ou futura a partir 
do número presente no registrador x. 
• [g] [∆dys] calcula o número de dias 
decorridos entre os registros x e y. 
datas
• Calcule o prazo decorrido entre 
27/01/2000 e 23/08/2004.
• Diga que dia da semana foi 28/05/2000.
• Uma duplicata vence daqui a 28 dias, que 
dia da semana será.
• Calcule quantos dias você já viveu.
• Diga em que dia da semana você nasceu. 
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Funções percentuais
• [%] calcula a percentagem fornecida no registrador x do registrador 
y.
• [%T] calcula quantos por cento de Y, X vale.
• [∆%] calcula a variação percentual existente entre Y e X nesta 
ordem.
• Exemplos: 
• 25% de 280 ; 280 [enter] 25 [%] – visor - 70
• Uma empresa apresentou uma produção de 1256,71 ton. no ano 1 
e 1352,77 no ano 2 qual foi o crescimento percentual apresentado?
– 1256,71 [enter] 1352,77[%T] visor 107,6438
• Uma empresa aumentou seu piso salarial de R$400,00 para 
R$460,00.
Qual foi a variação percentual?
400 [enter] 460 [∆%] visor 15
A hp ainda tem muito mais...
• Aos poucos durante o curso estaremos 
explorando mais essa poderosa 
ferramenta.
• Mas se sua curiosidade é grande...o 
manual pode ser encontrado em 
www.hp.com
• Busque por hp 12 c e faça o download
gratuito em formato pdf.http://h10025.www1.hp.com/ewfrf/wc/manualCategory?product=81575&lc=en&cc=us&dlc=en&lang=en&cc=us
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Juros compostos ou juros sobre 
juros?
• Na realidade juros 
compostos e juros sobre 
juros são a mesma coisa, 
trata-se de uma 
modalidade de cálculo de 
juros em que os juros são 
capitalizados a cada 
período, passando assim 
a incorporar o capital 
sobre o qual incidirão 
juros no período 
seguinte.
– Vejamos um exemplo:
ni)P(1F +=
Exemplo 3
Um investidor aplica 
R$ 1.000,00 em 
uma financeira a 
10% am.
Calcule quanto ele 
terá ao fim de n 
meses.
$1.100,00R0,10)x(11000F =+=
1°mês
2°mês
$1.210,00R0,10)x(10,10)x(11000F =++=
n°mês
n0,10)x(11000F +=
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Muita atenção
• A taxa e o prazo devem ser compatíveis na 
fórmula.
• Nunca divida ou multiplique a taxa!
– Para adequar o prazo e taxa opere apenas sobre o 
prazo dividindo ou multiplicando conforme o caso.
– Para tornar o prazo e taxa compatíveis pela 
conversão da taxa deveremos utilizar o conceito de 
equivalência de taxas a juros compostos.
E as demais variáveis...
• Com certeza vocêjá
entendeu.... ni)P(1F +=
( )ni1
1FP
+
= ( )
i)log(1
F/Plog
n
+
= ( ) 



−= 1F/Pi n
1
Pronto o formulário acabou...
28
Agora é com vocês
Exemplo 4
Calcule o valor de resgate no fim de 10 meses 
de uma aplicação inicial de R$ 1.000,00 à taxa 
composta de 3%am.
Equivalência de taxas a juros 
compostos
• Definição: Duas taxas de juros iA e iB serão 
equivalentes se e somente se, aplicadas 
sobre um mesmo valor e pelo mesmo 
período de tempo gerarem a mesma 
quantia.
iA
iBP
P F
F
Prazo A= Prazo B
( ) 1i1i BnAnBA −+=
29
Exemplo 4
• Calcule as taxas equivalentes para:
A) 12%aa para taxa ao mês
B) 12%aa para taxa trimestral
C) 15%as para taxa anual
D) 15%as para taxa mensal
E) 4%am para taxa semestral
F) 0,1%ad para taxa anual (exatos)
Finalmente...vamos aprender a HP12c
30
Cálculos e cuidados
<n> = número de 
períodos de tempo.
<i> = taxa de juros por 
período, expressa na 
forma centesimal.
<PV> = valor presente 
<FV> = valor futuro
<PMT> = valor do 
pagamento igual e 
periódico.
Cálculos e cuidados com a 
HP12c
• Limpar as memórias ao iniciar um novo cálculo / 
problema. < f > <REG>
• Podemos ter acesso a qualquer memória, com a tecla 
<RCL>
• É necessário que se obedeça o sinal do fluxo de caixa, 
nos cálculos envolvendo n e i.
• A taxa e o prazo devem ser compatíveis em relação a 
unidade de tempo.
• A taxa estará sempre em sua forma percentual.
• Acostume-se a efetuar os cálculos encadeados, assim 
aumentará a precisão.
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Vamos praticar
Lembre-se :
Faça o DFC.
Não some algebricamente 
valores fora da mesma 
data.
Simplifique o fluxo.
Verifique o que está sendo 
pedido e quais são os 
valores dados.
As formulas correspondem...
A modelos...
• Quando desenvolvemos fórmulas estamos 
calculando os valores baseados num 
modelo de fluxo de caixa (DFC) o mesmo 
ocorre quando usamos a calculadora ou 
fórmulas previstas no Excell. Não errar é
portanto usar adequadamente o modelo. 
32
Valor Atual do Modelo
Básico de uma série postecipada regular 
uniforme
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-
celas (prestações) iguais a “R”.
Na HP R=Pmt.
P = principal
n = número de termos
R = termos
i = taxa de juros
P
R R R
0 1 2 n






+
−=
nii
RPv )1(
11
Exemplo 5
João compra um carro, que irá pagar em 4 
prestações mensais de $ 2.626,24, sem 
entrada. As prestações serão pagas a
partir do mês seguinte ao da compra e o 
vendedor afirmou estar cobrando uma 
taxa de juros compostos de 2% a.m.
Pergunta-se o preço do carro à vista.
Resolva pelas fórmulas.
33
Exemplo 6
II) Uma pessoa deseja comprar um carro 
por $ 40.000,00 à vista, daqui a 12 meses. 
Admitindo-se que ela vá poupar uma certa 
quantia mensal que será aplicada em 
letras de câmbio rendendo 2,2% a.m. de 
juros compostos, determinar quanto deve 
ser poupado mensalmente.
Faça também pela HP12c
Usando a HP12c em fluxos não Uniformes
• A HP tem funções para utilização em 
fluxos de caixa não uniformes e avaliação 
de investimentos.
– fIRR e fNPV
• Para a utilização devemos construir o 
fluxo na máquina.
Utilizando as teclas combinadas
gCf0 ; gCfj; gNj e i
34
Exemplo
• Devem ser inseridos os valores em ordem e 
com o sinal algébrico, de forma a possibilitar 
que a máquina construa o fluxo internamente.
• A máquina possui capacidade para 20 fluxos 
diferentes.
• A função gNj só pode ser usada para até 99 
parcelas em cada fluxo.
• No caso de ocorrência de fluxos maiores divida 
em dois fluxos (engane a máquina)
• Em casos de mais de uma mudança de sinal 
poderão ocorrer mais de uma raiz ao utilizar a 
função fIRR, nestes casos (ERRO 3) tecle clx e 
digite uma taxa de juros e em seguida R/S
• 3500 chs
gcf0
• 350 gcfj
• 0 gcfj
• 500 gcfj
• 0 gcfj
• 480 gcfj
• 8 gNj
• 0 gcfj
• 7 gNj
• 280 gcfj
• 5i
• fNPV
• fIRR
3500
1
350 500
480
3 5 12 18 meses
280
i=5%am
Séries perpétuas
• A mais simples...
R
8
Pv
i
RPv =
35
Séries uniformemente crescentes ou 
decrescentes
• Algumas séries apresentam relações 
matemáticas entre seus termos, justamente por 
isso permitem uma solução simplificada, em 
função de sua primeira parcela A1, da taxa de 
juros i% (compatível com o período das 
prestações), dos acréscimos monetários 
periódicos das parcelas R ou da taxa de 
crescimento g% entre duas prestações.
A(1+g)ng%AProgr. Geométrica
A+( R(n-1))RAProgr. Aritmética
R(n-1)R0Gradiente
Termo n = 
An
crescimentoPrimeiro 
termo = 
A1
Modelo
Séries uniformemente crescentes ou 
decrescentes
36
Séries uniformemente crescentes ou 
decrescentes
• Face ao limitado uso prático limitaremos a nossa 
exposição as fórmulas
• As calculadoras não possuem teclas especiais para 
séries uniformemente crescentes ou decrescentes 
sendo utilizados os ambientes solve, ou atingir metas , 
quando presentes na solução dos problemas
Perpetuidades postecipadas em 
gradiente
• São aquelas cujos termos formam uma 
progressão aritmética de razão R, e o 
primeiro termo igual a zero.
p
1 2 3 4 5 n
R 2R 3R 4R (n-1)R
37
Perpetuidades postecipadas em 
gradiente
• Para solução utilizaremos a seguinte decomposição dos fluxos
p 1 2 3 4 5
p1 1 2 3 4 5
p2 1 2 3 4 5 P=
R
i2
Perpetuidades postecipadas em progr. Aritmética
• São aquelas dispostas segundo uma P. A. de primeiro termo A e 
razão R.
p
1 2 3 4 5 n
A A+R A+2R A+3R A+ 4R A+ (n-1)R
P= 
A
i
R
i2
+
38
Perpetuidades postecipadas em progr. 
Geométrica
• São aquelas dispostas segundo uma P. G. de primeiro termo A e 
razão g.
A A(1+g) A(1+g)2
...
gi
APv
−
=
Para i>g
Sistemas de amortizações
• São métodos de devolução do principal 
em empréstimos e financiamentos.
• Dentre os mais usuais temos:
– SAC – Sistema de Amortização Constante
– SFA – Sistema Francês de Amortização
– SAM- Sistema Amortização Misto
– Sistema Americano.
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Sistemas de amortização
• Prestação = Juros + Amortização
• Saldo devedor atual = Saldo devedor ant.- Amortização
• Juros = Saldo devedor ant..Taxa
Estas são as fórmulas básicas e serão utilizadas na 
apresentação das tabelas dos empréstimos em todos os 
sistemas de amortização. 
Sistemas de Amortização
outros conceitos
• Principal – Valor original do empréstimo 
ou financiamento.
• Resíduo – saldo no final do financiamento.
• Mutuário – tomador do empréstimo
• Mutuador ou mutante – Financiador
40
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
• Carência – Período no qual não há
amortização do principal, podendo ser
– Carência total
– Carência com pagamento dos juros
– Carência com juros capitalizados. 
Sistemas de Amortização
outros conceitos
• Carência total
– O principal não se altera e as amortizações são 
iniciadas a partir do prazo de carência.
• Carência com pagamento de juros
– Durante o período de carência somente os juros são 
pagos, assim o principal também não é alterado e as 
amortizações se iniciam ao final da carência.
• Carência com juros capitalizados
– Durante o período da carência não há pagamentos, 
sendo os juros acumulados ao capital na forma de 
juros compostos, Normalmente capitalizamos os 
juros até o período anterior ao fim da carência.
41
SAC- Sistema de Amortizações 
constante
• Neste sistema as amortizações serão 
constantes durante a vigência do 
empréstimo.
Amort. = Saldo devedor/ número de parcelas.
Prestação = Juros + Amortização 
•Saldo devedor atual = Saldo devedor ant.- Amortização
• Juros = Saldo devedor ant..Taxa
• As prestações neste sistema são decrescentes.
SAC Exemplo
• Apresente a tabela de um empréstimo de 
R$100.000,00 com taxa de juros de 1%am
a ser amortizado pelo sistema de 
amortizações constante, em 5 parcelas 
mensais e sucessivas e isento de resíduo 
e carências. 
42
SAC
02020020000200200005
200002040020000400400004
400002060020000600600003
600002080020000800800002
80000210002000010001000001
100000---1000000
Saldo FinalPrestaçãoAmortizaçãoJuros
Saldo
DevedorData
20000100000/5=amortização5parcelas
100000principal0.01Taxa
1 2 3 4 5100000
prestações
SFA
• Sistema Francês de amortização
• Neste sistema as prestações são 
constantes.
• P/ o cálculo das prestações utilizamos a 
fórmula das séries uniformes e 
regulares.
• Para o modelo postecipado:
Pmt= (Pv.i)/(1-(1+i)-n)
43
SFA Exemplo
• Apresente a tabela de um empréstimo de 
R$100.000,00 com taxa de juros de 1%am
a ser amortizado pelo sistema Francês de 
Amortização,em 5 parcelas iguais e 
sucessivas, isento de resíduo e carências.
Taxa 0.01 principal 100000
parcelas 5 prestação 20603.98
Data
Saldo
Devedor Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100000.00 100000.00
1 100000.00 1000.00 19603.98 20603.98 80396.02
2 80396.02 803.96 19800.02 20603.98 60596.00
3 60596.00 605.96 19998.02 20603.98 40597.98
4 40597.98 405.98 20198.00 20603.98 20399.98
5 20399.98 204.00 20399.98 20603.98 0.00
100000
0
1 5
20603.9
8
20603.98
44
Tabela Price
• O sistema Francês também é conhecido 
como tabela Price.
• A tabela Price é caracterizada por utilizar 
uma taxa anual nominal. Normalmente os 
pagamentos apresentam uma freqüência 
menor que anual.
ieq=inominal/número de períodos de capitalização
Sistema Misto de Amortização
• As prestações neste sistema são obtidas 
pela média aritmética simples do Sistema 
Francês e do Sistema de Amortização 
Constante.
Prestação SAM = SFA+SAC
2
45
0.0020401.9920199.99202.0020199.995
20199.9920501.9920099.00402.9940298.994
40298.9920601.9919999.01602.9860298.003
60298.0020701.9919900.01801.9880198.012
80198.0120801.9919801.991000.00100000.001
100000.00100000.000
Saldo FinalPrestaçãoAmortizaçãoJuros
Saldo
DevedorData
(sac+sfa)/2prestação5parcelas
100000principal0.01Taxa
Considere para os exemplos anteriores o sistema misto de 
amortização e apresente a tabela
Sistema Americano
• Neste sistema os juros são pagos a cada 
vencimento, denominados cupom, e o 
principal devolvido ao fim do empréstimo.
P
Cupom
P
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Sistema Americano - Exemplo
• Apresente a tabela de um empréstimo de 
R$100.000,00 com taxa de juros de 1%am
a ser amortizado pelo sistema Americano 
de Amortização, isento de resíduo e 
carências.
Cupom =100000*0.01
100000
100000
0
Taxa 0.01 principal 100000
períodos 5 prestação somente juros
Data
Saldo
Devedor Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 100000.00 100000.00
1 100000.00 1000.00 0.00 1000.00 100000.00
2 100000.00 1000.00 0.00 1000.00 100000.00
3 100000.00 1000.00 0.00 1000.00 100000.00
4 100000.00 1000.00 0.00 1000.00 100000.00
5 100000.00 1000.00 100000.00 101000.00 0.00
Sistema Americano
47
Inflação
• Inflação: elevação continuada e persistente
nos preços de bens e serviços, num dado
intervalo de tempo.
• Deflação: quando ocorre uma queda conti-
nuada e persistente nos preços de bens
e serviços, num dado intervalo de tempo.
• Cálculo da inflação:
θ = (P1-P0)/P0
Onde : P0 = preços no período de referência
P1 = preços no período posterior
Acumulando a inflação
• Assim como no caso de juros compostos, 
em que iac=(1+ia)(1+ib)...(1+in)
• Para a inflação:
1+θac = (1+ θ a)(1+ θ b)...(1+ θ n)
48
exemplo 
• Um determinado investimento de 
R$100000 foi realizado em 2/01/03 e 
resgatado em 02/05/03 por 120000. 
Admita a inflação medida pelo IGPM e 
calcule a taxa de rendimento real no 
período.
• 1+i= f/p = 120000/100000=1,2
• A inflação do período pelo IGPM será: 
• Consultando o índice
• variação mensal do IGPM
mês IGPM
jan/03 2.33%
fev/03 2.38%
mar/03 1.53%
abr/03 0.92%
mai/03 -0.26%
1+θac = (1+ θ a)(1+ θ b)...(1+ θ n)
1+θac= 10233.1,0238.1,0153.1,0092.0,9974
1+θac=1,070679 NO PERÍODO
Logo 1+r = (1+i)/(1+ θ)
1+r =1,2/1,070679
r = 0,120784 no período
Se desejar ao mês deverá fazer 
a conversão da taxa pela 
fórmula já estudada.
49
Aplicando um índice de correção 
as tabelas
• Apresente a tabela de um 
empréstimo de 
R$100.000,00 com taxa 
de juros de 1%am a ser 
amortizado pelo sistema 
de amortizações 
constante, em 5 parcelas 
mensais e sucessivas e 
isento de resíduo e 
carências. Sabendo que 
o empréstimo foi em 
02/01/2003 e que sua 
correção se dará pela 
variação do IGPM.
-0.26%mai/03
0.92%abr/03
1.53%mar/03
2.38%fev/03
2.33%jan/03
IGPMmês
IGPM % mensal
Solução
• Primeiro obtenha o valor do empréstimo em índice.
• Caso não tenha um valor de referencia ou o índice se apresente como uma 
variação adote 1,00 como índice na data do empréstimo isso facilitará as 
contas.
• Veja que neste caso a tabela em índice fica igual a do exemplo no slide 9.
• Para obter qualquer valor corrigido basta multiplicá-lo pelo (1+θac) até
aquela data.
• Exemplo : prestação na data 1 corrigida = 21000*1,0233
• prestação na data 2 corrigida = 20800*1,0233*1,0238
• Então o ideal é colocar uma coluna com o índice de variação acumulada.
• Nos casos de correção por moedas e índices acumulados basta operar a 
tabela em índice e multiplicar pelo índice da data para obter o valor em 
moeda corrente
50
SAC 1 2 3 4 5100000
prestações
R$ 0.00R$ 21,627.71020200200002001.070678525
R$ 21,469.39R$ 21,898.782000020400200004001.073469544
R$ 42,547.35R$ 21,911.884000020600200006001.063683653
R$ 62,859.27R$ 21,791.216000020800200008001.047654542
R$ 81,864.00R$ 21,489.3080000210002000010001.02331
100000---10
Saldo
corrigido
prestação
corrigida
Saldo 
FinalPrestaçãoAmortizaçãoJuros
índice 
acumuladoData
20000
100000/5
=amortização5parcelas
100000principal0.01Taxa
Usando a HP12c em fluxos não Uniformes
• A HP tem funções para utilização em 
fluxos de caixa não uniformes e avaliação 
de investimentos.
– fIRR e fNPV
• Para a utilização devemos construir o 
fluxo na máquina.
Utilizando as teclas combinadas
gCf0 ; gCfj; gNj e i
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Exemplo
• Devem ser inseridos os valores em ordem e 
com o sinal algébrico, de forma a possibilitar 
que a máquina construa o fluxo internamente.
• A máquina possui capacidade para 20 fluxos 
diferentes.
• A função gNj só pode ser usada para até 99 
parcelas em cada fluxo.
• No caso de ocorrência de fluxos maiores divida 
em dois fluxos (engane a máquina)
• Em casos de mais de uma mudança de sinal 
poderão ocorrer mais de uma raiz ao utilizar a 
função fIRR, nestes casos (ERRO 3) tecle clx e 
digite uma taxa de juros e em seguida R/S
• 3500 chs
gcf0
• 350 gcfj
• 0 gcfj
• 500 gcfj
• 0 gcfj
• 480 gcfj
• 8 gNj
• 0 gcfj
• 7 gNj
• 280 gcfj
• 5i
• fNPV
• fIRR
3500
1
350 500
480
3 5 12 18 meses
280
i=5%am