Teoria 4

Prévia do material em texto

Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 1 
 
Capítulo 5 
 
Leis de Newton 
 
1. Introdução – Newton e os Principia 
 
 Sir Isaac Newton era um matemático, físico e teólogo inglês. 
 
 
Fig. 5.1: Sir Isaac Newton (23/12/1642 – 20/03/1727) 
 
 No ano de 1685 Newton apresenta à Royal Society of London os dois 
primeiros dos três que viria a escrever dos volumes do seu livro mais famoso, 
intitulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios 
Matemáticos de Filosofia Natural), ilustrados nas figuras 5.2 e 5.3. 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 2 
 
 
Fig. 5.2: Frontispício dos Principia de Newton 
 
 
Fig. 5.3: Um dos volumes originais dos Principia de Newton 
 
 Neste livro estão as bases metodológicas e os elementos fundamentais 
da Física moderna. Só pelo título, há de se perceber que a Física era 
denominada de “Filosofia Natural”, isto é, a busca pela verdade da Natureza, 
objeto principal de estudo desta ciência. 
 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 3 
 
2. Os axiomas ou as leis do movimento 
 
 De acordo com o que Newton escreve em seu Principia, têm-se as 
seguintes definições sobre o movimento dos corpos, escritos em forma de três 
leis, mais conhecidas como as Leis de Newton sobre o movimento dos 
corpos que, pelo seu ponto de vista, são assim descritas: 
 
Lei I 
 
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento 
uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado 
por forças impressas nele. 
 
Os projéteis permanecem em seus movimentos enquanto não forem retarados 
pela resistência do ar e impelidos para baixo pela força da gravidade. Uma 
roda de brinquedo, cujas partes, por sua coesão, desviam continuamente dos 
movimentos retilíneos, não cessa de rodar senão enquanto é retardada pelo ar. 
Mas os corpos maiores que são os planetas e os cometas conservam por mais 
tempo seus movimentos, tanto os progressivos como os circulares, por causa 
da menor resistência dos espaços. 
 
Lei II 
 
A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e se faz 
segundo a linha reta pela qual se imprime esta força. 
 
Se toda força produz algum movimento, uma força dupla produzirá um 
movimento duplo e uma tripla um triplo, quer essa força se imprima 
conjuntamente e de uma vez só, quer seja impressa gradual e sucessivamente. 
E esse movimento, por ser sempre orientado para a mesma direção que a 
força geratriz, se o corpo se movia antes, ou se acrescenta a seu movimento, 
caso concorde com ele, ou se subtrai dele, caso lhe seja contrário, ou, sendo 
oblíquo, ajunta-se-lhe obliquamente, compondo-se com ele segundo a 
determinação de ambos. 
 
Lei III 
 
A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações de dois 
corpos um sobre o outro sempre são iguais e se dirigem a partes 
contrárias. 
 
Tudo quanto impele ou atrai o outro, é do mesmo modo impelido ou atraído por 
ele. Se alguém aperta com o dedo uma pedra, seu dedo será apertado pela 
pedra. Se o cavalo puxa uma pedra amarrada numa corda, o cavalo também 
será, igualmente, puxado pela pedra, pois a corda esticada dos dois lados, 
tanto levará, pelo esforço a relaxar-se, o cavalo para a pedra, como esta para o 
cavalo, e tanto impedirá o progresso de um quanto promover o do outro. Se um 
corpo, batendo num outro, mudar por sua força, de qualquer, o movimento 
dele, também mudará, sofrendo por sua vez, por força do outro, a mesma 
mudança em seu movimento, num sentido oposto ao do outro (devido à 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 4 
 
igualdade de pressão mútua). Por essas ações, tornam-se iguais não as 
mudanças de velocidades, mas a dos movimentos (a saber, nos corpos não 
impedidos de outro modo). Com efeito, porque os movimentos mudam 
igualmente, as mudanças das velocidades, feitas da mesma forma em direções 
opostas, são reciprocamente proporcionais aos corpos. 
 
 Estas três leis são conhecidas, respectivamente, como Lei da Inércia 
(Lei I), Princípio Fundamental da Dinâmica (Lei II) e Princípio da Ação e da 
Reação (Lei III), que serão estudadas a seguir. 
 
3. Lei da Inércia 
 
 Em latim Newton utiliza o termo vis inertae ou virtude de inércia ou força 
de inércia. Pela Lei da Inércia quando pessoas estão no interior de um ônibus 
em movimento, se o ônibus para bruscamente, as pessoas estarão impelidas a 
continuarem seu movimento e só pararão este movimento quanto algum 
obstáculo (banco, frente interna do ônibus, etc) se opuser a ele, imprimindo nas 
pessoas uma força de sentido contrário à anterior. E isto também acontecerá 
quando pessoas estão no interior de qualquer veículo em movimento. Assim 
sendo, vê-se a importância do uso do cinto de segurança por parte dos 
passageiros no interior dos veículos para se evitar tragédias por paradas 
bruscas nos veículos em movimento. 
 Pela Lei da Inércia relativamente é mais difícil deslocar uma locomotiva 
do repouso do que uma bicicleta, se ambas estiverem livres para se 
movimentarem. E, também pela mesma Lei, é relativamente mais difícil 
colocar em repouso uma locomotiva em movimento do que uma bicicleta. 
Assim sendo, indiretamente a Lei da Inércia está ligada a uma propriedade 
fundamental da matéria: a massa. 
 
4. Princípio Fundamental da Dinâmica 
 
 Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos 
importando-se com a causa deste movimento, isto é, as forças. Em sua Lei II, 
Newton diz sobre a “mudança do movimento”. “Movimento” em Dinâmica diz 
respeito a uma grandeza física denominada quantidade de movimento p que, 
por sua vez, é uma grandeza vetorial e é dada pelo produto da massa pela 
velocidade do corpo, isto é: 
 
[ ] smkgpSIvmp /.:. =→= rr
 
 
 Por sua vez, o termo “mudança de movimento” é a taxa de variação 
temporal do movimento, isto é, e a derivada temporal da quantidade de 
movimento que, aplicando-se a regra da cadeia do Cálculo Diferencial, é dada 
por: 
 
dt
dm
v
dt
vd
m
dt
pd
..
r
rr
+=
 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 5 
 
 
 Considerando-se que, durante o seu movimento, o corpo não varia a sua 
massa (isto não acontece, por exemplo, no lançamento de foguetes colocados 
em órbita planetária), pode-se escrever o Princípio Fundamental da Dinâmica 
da seguinte forma: 
 
[ ] NnewtonFSIam
dt
vd
m
dt
pdFR ==→=== :..
r
rr
r
 
 
 O exemplo mais clássico de uma força que obedece a este Princípio 
Fundamental da Dinâmica é uma força de campo (força que age à distância, 
sem contato físico direto com o corpo) denominada força peso P, que é o 
efeito do campo gravitacional de um planeta sobre um corpo próximo a ele. 
Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica a força peso pode ser dada por: 
 ( )kgmgmP ˆ... −== rr
 
 
 Onde g é a aceleração da gravidade local. Por exemplo, na Terra e ao 
nível do mar, a aceleração da gravidade pode ser dada por: 
 
go = 9,80665 m/s2 ≅≅≅≅ 9,81 m/s2 
 
 Todavia, na Lua, o valor de g muda para: 
 
gLua = 1,6 m/s2 
 
 Isto é devido ao fato da aceleração da gravidade depender da massa do 
planeta considerado e da altitude do ponto considerado com relação a este 
planeta. 
 Finalmente, pelo Princípio Fundamental da Dinâmica aplicado à força 
peso, conclui-se que, se uma pessoa quer perder massa, ela deve fazer uma 
dieta, mas, se quiser perder peso, deve mudar de planeta. 
 
5. Princípio da Ação e da Reação 
 
 Se um corpo está em repouso sobre uma mesa a força peso age sobre a 
mesa e a mesa reage sobre o corpo, mas de sentido contrário. Neste caso, 
esta força de reação é denominada força normal N, como ilustra a figura 5.4. 
 
Física I - TeoriaFACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 6 
 
 
Fig. 5.4: corpo sobre uma mesa e suas forças 
 
 Deve-se ressaltar que a força normal não age sobre o corpo, mas, sim, 
ela é uma resposta (reação) à ação da força peso do corpo sobre a mesa. Se a 
mesa não tiver resistência mecânica para reagir, a força peso dominará e ela 
poderá danificar a mesa, provocando nela uma deformação (cisalhamento ou 
quebra). 
 Do Princípio Fundamental da Dinâmica, para este caso, pode-se 
escrever que: 
 ( ) ( )
( )kgmN
kmkgmNamPNamFR
ˆ
..
ˆ
.0.ˆ....
=∴
=−+→=+→=
r
rrrrrr
 
 
Exemplo 5.1: para o sistema da figura 5.5 são dados: F = 10 N ���� mA = 1 kg 
���� mB = 2 kg. Determinar a aceleração do sistema e a força de contato 
entre os blocos, desprezando o atrito entre os blocos e o plano. 
 
 
Fig. 5.5: corpos em contato sobre um plano horizontal 
 
Solução: primeiramente deve-se descrever o DCL (diagrama de corpo 
livre) do sistema, ilustrando-se as forças a ele pertinentes, ilustrado na 
figura 5.6. 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 7 
 
 
Fig. 5.6: corpos em contato sobre um plano e as forças atuantes 
 
 Onde F’ é a força de reação entre os corpos, de acordo com a Lei III. 
Assim sendo, aplicando-se a Lei II tem-se que: 
 
PBNB.0mPBNB:y em B Bloco
PANA.0mPANA:y emA Bloco
.amF': xem B Bloco
.amF'F: xemA Bloco
B
A
B
A
=→=−
=→=−
=
=−
 
 
 Somando-se as equações dos blocos em x membro a membro tem-
se que: 
 
( )
N 66,32.3,.amF'
m/s 33,
21
10
mm
F
a.ammF
B
2
BA
BA
===∴
=
+
=
+
=→+=
 
 
Exemplo 5.2: para o sistema da figura 5.7 são dados: mA = 1 kg ���� mB = 2 
kg ���� g = 9,81 m/s2. Determinar a aceleração do sistema e a força de 
tração na corda, suposta inextensível. Desprezar o atrito entre os blocos e 
o plano e o atrito da roldana com seu eixo. 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 8 
 
 
Fig. 5.7: sistema plano – polia 
 
Solução: primeiramente deve-se descrever o DCL (diagrama de corpo 
livre) do sistema, ilustrando-se as forças a ele pertinentes, ilustrado na 
figura 5.8. 
 
 
Fig. 5.8: sistema plano – polia e suas forças atuantes 
 
 Onde T é a força de tração na corda, suposta inextensível, de 
acordo com a Lei III. Assim sendo, aplicando-se a Lei II tem-se que: 
 
.amT-PB:y em B Bloco
PANA.0mPANA:y emA Bloco
.amT: xemA Bloco
B
A
A
=
=→=−
=
 
 
 Somando-se membro a membro as equações do bloco A em x com 
a equação do bloco B em y tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 9 
 
( )
N 54,654,6.1.amT
m/s 54,6
21
81,9.2
mm
.gm
a.amm.gmPB
A
2
BA
B
BAB
===∴
=
+
=
+
=→+==
 
 
Exemplo 5.3: para o sistema da figura 5.9 é dado: g = 9,81 m/s2 ���� αααα = 15º. 
Determinar a aceleração do sistema. Desprezar o atrito entre o bloco e o 
plano inclinado. 
 
 
Fig. 5.9: plano inclinado com bloco 
 
Solução: primeiramente deve-se descrever o DCL (diagrama de corpo 
livre) do sistema, ilustrando-se as forças a ele pertinentes, ilustrado na 
figura 5.10. 
 
 
Fig. 5.10: plano inclinado e forças atuantes 
Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 10 
 
 Aplicando-se a Lei II no sistema da figura 5.10 tem-se que: 
 
2o
AAA
A
A
m/s 2,5390a9,81.sen15g.sena
.am.g.senm.gmPA:Como
PA.cosαNA.0mPA.cosαNA:y Em
.amPA.senα: xEm
=→==∴
=→=
=→=−
=
α
α