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Coordenadas esféricas No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada (ρ, θ, φ), onde • ρ = d(P, 0) = ||−→OP || ≥ 0 é a distância entre o ponto P e a origem. • θ é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas. • φ ∈ [0, pi] é o ângulo entre o vetor −→k = (0, 0, 1) e o vetor −→OP . Suponha que P = (x, y, z) em coordenadas cartesianas. Sejam Q = (x, y, 0) a projeção do ponto P no plano xy e X = (x, 0, 0) a projeção do ponto Q no eixo x. Analisando o triângulo retângulo OQX obtemos que x = √ x2 + y2 cos θ e y = √ x2 + y2 sen θ E analisando o triângulo retângulo OPQ, obtemos que√ x2 + y2 = ρ sen φ e z = ρ cosφ 1 Logo, x = ρ sen φ cos θ e y = ρ sen φ sen θ e concluímos que podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir das suas coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) utilizando as fórmulas x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cosφ Exemplo 1. Plote o ponto com coordenadas esféricas ( 2, pi 4 , pi 3 ) e determine suas coordenadas cartesianas. O ponto com coordenadas esféricas ( 2, pi 4 , pi 3 ) é o ponto Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos x = 2 sen pi 3 cos pi 4 = 2 · √ 3 2 · √ 2 2 = √ 6 2 y = 2 sen pi 3 sen pi 4 = 2 · √ 3 2 · √ 2 2 = √ 6 2 z = 2 cos pi 3 = 2 · 1 2 = 1 Ou seja, em coordenadas cartesianas o ponto é representado pela tripla ordenada (√ 6 2 , √ 6 2 , 1 ) . 2 Observe que, se c = 0, então a equação esférica ρ = c representa a origem. Se c > 0, então a equação esférica ρ = c representa a esfera de raio c dado em coordenadas cartesianas por x2 + y2 + z2 = c2 (uma vez que seu gráfico é constituído de todos os pontos que distam exatamente c unidades da origem). Se c ∈ R, então a equação esférica θ = c representa um semi-plano que é equivalente ao semi-plano {(x, y, z) pertencentes ao plano xz | x > 0} rotacionado em c radianos (uma vez que 0 ≤ φ ≤ pi). Se c ∈ (0, pi 2 ) , então a equação esférica φ = c representa o semi-cone superior com ângulo de abertura c e se e c ∈ (pi 2 , pi ) , então a equação esférica φ = c representa o semi-cone inferior com ângulo de abertura pi − c. A equação esférica φ = 0 representa a semi-reta positiva do eixo z, a equação esférica φ = pi representa a semi-reta negativa do eixo z e a equação esférica φ = pi 2 representa o plano xy. 3 Integrais triplas em coordenadas esféricas Suponha que E seja um sólido descrito em coordenadas esféricas por E = {(ρ, θ, φ) | u1(θ, φ) ≤ ρ ≤ u2(θ, φ), α ≤ θ ≤ β, γ ≤ φ ≤ λ} onde u1(θ, φ) ≥ 0, β − α ≤ 2pi e 0 ≤ λ, γ ≤ pi. Suponha que f(x, y, z) seja uma função de três variáveis contínua no sólido E. A integral tripla da função f em coordenadas esféricas é dada por ∫∫∫ E f(x, y, z) dV = ∫ λ γ ∫ β α ∫ u2(θ,φ) u1(θ,φ) f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) ρ2 sen φ dρ dθ dφ Ou seja, para calcular uma integral tripla em coordenadas esféricas temos que: • Descrever o sólido E em coordenadas esféricas para encontrar os limites de integração da integral tripla. • Reescrever a função a ser integrada f(x, y, z) em coordenadas esféricas utilizando as fór- mulas x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cosφ • Reescrever o elemento de integração dV como sendo ρ2 sen φ dρ dθ dφ. Em particular, se u1(θ, φ) = a e u2(θ, φ) = b, então∫∫∫ E f(x, y, z) dV = ∫ λ γ ∫ β α ∫ b a f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cosφ) ρ2 sen φ dρ dθ dφ Exemplo 2. Calcule a integral tripla ∫∫∫ E e(x 2+y2+z2) 3 2 dV onde E é a bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1. Vamos calcular esta integral utilizando coordenadas esféricas. Como ρ é a distância do ponto P até a origem, então ρ = √ x2 + y2 + z2 se P é escrito em coordenadas cartesianas pela tripla ordenada (x, y, z). Portanto, ρ2 = x2 + y2 + z2 Em coordenadas esféricas, temos que • E = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi} • e(x2+y2+z2) 32 = eρ3 4 Logo, ∫∫∫ E e(x 2+y2+z2) 3 2 dV = ∫ pi 0 ∫ 2pi 0 ∫ 1 0 eρ 3 ρ2 sen φ dρ dθ dφ Vamos calcular a integral com relação à ρ:∫ 1 0 eρ 3 ρ2 sen φ dρ = [ eρ 3 3 sen φ ]ρ=1 ρ=0 = e− 1 3 sen φ Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi 0 e− 1 3 sen φ dθ = e− 1 3 sen φ [θ]θ=2piθ=0 = 2pi(e− 1) 3 sen φ Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi 0 2pi(e− 1) 3 sen φ dφ = 2pi(e− 1) 3 [− cosφ]φ=piφ=0 = 4pi(e− 1) 3 Concluímos assim que ∫∫∫ E e(x 2+y2+z2) 3 2 dV = 4pi(e− 1) 3 Exemplo 3. Calcule o volume do sólido E que está acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z. Observe que x2 + y2 + z2 = z ⇒ x2 + y2 + ( z − 1 2 )2 = 1 4 e, portanto, a equação x2 + y2 + z2 = z representa a esfera de raio 1 2 com centro no ponto( 0, 0, 1 2 ) . Sabemos que o volume do sólido E é dado por∫∫∫ E 1 dV 5 Em coordenadas esféricas, temos que • A equação do cone é ρ cosφ = √ ρ2 cos2 θ sen 2φ+ ρ2 sen 2θ sen 2φ = ρ|sen φ| = ρ sen φ (uma vez que φ ∈ [0, pi] e, portanto, sen φ ≥ 0). Logo, ρ(cosφ− sen φ) = 0 e, portanto, ρ = 0 ou φ = pi 4 . Como a equação ρ = pi 4 já acopla a origem (dada por ρ = 0) que é o vértice do cone, então a equação do cone pode ser escrita simplesmente por φ = pi 4 • A equação da esfera é ρ2 = ρ cosφ. Como φ ∈ (0, pi 4 ) em E, então cosφ 6= 0 e, portanto, a equação da esfera pode ser escrita simplesmente por ρ = cosφ (já que ρ 6= 0 na metade superior da esfera). • E = {(ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ cosφ, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi 4 } Logo, V (E) = ∫ pi 4 0 ∫ 2pi 0 ∫ cosφ 0 ρ2 sen φ dρ dθ dφ Vamos calcular a integral com relação à ρ:∫ cosφ 0 ρ2 sen φ dρ = [ ρ3 3 sen φ ]ρ=cosφ ρ=0 = cos3 φ sen φ 3 Calculando a integral do resultado com relação à θ:∫ 2pi 0 cos3 φ sen φ 3 dθ = cos3 φ sen φ 3 [θ]θ=2piθ=0 = 2pi 3 cos3 φ sen φ Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi 4 0 2pi 3 cos3 φ sen φ dφ = 2pi 3 [ −cos 4 φ 4 ]φ=pi 4 φ=0 = 2pi 3 [ − 1 16 + 1 4 ] = pi 8 Concluímos assim que V (E) = pi 8 6
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