Cálculo de Integrais Triplas e Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

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LISTA 4
1)Calcular a integral tripla sobre a região indicada.
a) ∭
G
xyz2dV ,ondeG peo paraleleípedo retângulo [0,1]x [0,2] x [1,3] (fazer esboço de G)
b) ∭
G
x dV onde G é o tetraedro limitado peos planos coordenados e pelo plano x+
y
2
+z=4 
(fazer esboço de G)
c) ∭
G
x2+ y2dV onde G é o cilindro x2+ y2≤1 e 0≤z≤4 (fazer esboço de G).
d) ∭
G
dV onde G é a região do primeiro octante limitado por x=4− y2 , y=z, x=0 e z = 0 
(fazer esboço de G)
e) ∭
G
xy dV onde G é a região acima do plano xy delimitada por z=4−x2 , y = 0 e y = 4 fazer 
esboço de G
f) ∭
G
z dV onde G é a região limitada pelo sólido delimitado pelas equações x = 0 , y = 0, z = 0 e 
x + y + z = 1
g) ∭
G
6 xy dV onde G é a região limitada pelo sólido delimitado acima do plano xy , pelas curvas 
y=√ x , y = 0 , z + x + y = 4 e y = 1
h) ∭
G
x2 ey dV onde G é a região limitada pelo sólido z+ y2−1=0 pelos planos z = 0 x = 1 e 
x = -1
I) ∭
G
x2dV onde G é o tetraedro que passa pelos pontos (2,2,3) (1,4,0) (4,6,0) (3,6,0)
LISTA 5
1) Escrever as equações abaixo em coordenadas cilindricas e em coordenadas esféricas
a) x2+ y2−z=0 b) 3x + 2y + z = 4
2) ∭
G
x2+ y2dV onde G é a região interior ao cilindro x2+ y2=1 e a esfera x2+ y2+z2=4
3) Determinar, usando coordenadas esféricas, o volume do sólido de equação x2+ y2−z2=0 
limitado pelos planos z = 0 e z = 4
4) ∭
G
dV sendo G o sólido x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1 dica: usar as mudanças de variáveis
x=x1, y=
b
a
y2 , z=
c
a
z1
5) Calcular a integral , transformando para coordenadas cilindricas.
a) ∫
−3
3
∫
0
√9−x2
∫
√0
9−x2− y2
√ x2+ y2dzdydx
6)Uma carga elétrica é distribuida sobre um cilindro de equação x2+ y2=a2 talque sua densidade de 
carga é dada por ∂(x , y , z)=k z , dado que este cilindro tem altura H, determine a quantidade total 
de carga (em coulombs)neste cilindro.
7) Nos estudos de formação de cordilheiras os geólogos tenam estimar a quantidade de material (ou 
trabalho para formar a montanha) de uma montanha aproximando esta a partir de um cone. Suponha 
que para uma dada montanha, com forma de um cone reto, a densidade de material, em um 
determinado ponto p(x,y,z) seja dada por D(p), e que altura da montanha seja dada por H(p).
a)Encontre a integral definida que determina a quantidade de material da montanha
b)Suponha que um determinado monte possa ser aproximado por um cone reto de altura 4000m e 
diâmetro da base 20000 m, com densidade constante de 3200kg/m² , determine a quantidade de 
material desta montanha supondo esta a nível do mar.