TOPOGRAFIA – AULA 2

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Curso de Arquitetura e Urbanismo
Prof. Lauro Pessoa – Geógrafo / Mestre em Geografia
Aula 02 – Levantamento 
topográfico com Estação Total
Estudos Topográficos
CCE 0893
Parte 1
Levantamento planimétrico
Levantamento planimétrico
Conjunto de operações de campo, objetivado na
coleta de informações que possibilitem representar,
sobre um plano horizontal, a disposição espacial dos
elementos de uma determinada porção da superfície
terrestre.
Na prática, esta tarefa se resume à coleta de informações
sobre a posição de pontos.
Posteriormente, utilizam-se os pontos para a elaboração das
demais entidades gráficas (segmentos de reta e polígonos)
utilizadas na representação dos elementos de interesse.
Terreno
Plano de
Representação
A´
B´
C´
D´
Figura 1.1 – Ilustração do plano de representação topográfico
z
y x
C
B
A
D
Plano topográfico
Superfície plano-horizontal hipotética, sobre a qual os
pontos topográficos são projetados de maneira
ortogonal.
Sistemas de Coordenadas
Sistemas de referência baseados na ordenação de
coordenadas, cujos valores – lineares ou angulares –,
indicam as localizações dos pontos no referido
sistema.
Quando da utilização do plano topográfico
(coordenadas topográficas), são, principalmente, dois
os sistemas de coordenadas utilizados:
Polar e Cartesiano
Sistemas de Coordenadas Polares
Plano constituído por um conjunto de dois eixos
perpendiculares, no qual o posicionamento dos
pontos se dá por meio da determinação ângulos e
distâncias.
Equipamentos utilizados para 
a medição de ângulos e distâncias
Teodolito 
Ótico-mecânico
Teodolito 
Eletrônico
Estação 
Total
Classificação dos fios estadimétricos
Os equipamentos topográficos que possuem mecanismos óticos
apresentam pequenos fios gravados sobre as lentes, os quais possuem
duas utilidades básicas: possibilitar a colimação exata do eixo de visada
sobre o ponto de interesse e permitir a realização de cálculos
estadimétricos (estes cálculos serão discutidos posteriormente).
(FI)
(FS)
(FM)
Fio vertical
A colimação deve
ser feita de modo
a que o ponto de
interesse fique no
exato cruzamento
entre os fios
vertical e médio.
Prismas
Assessórios compostos por objetos de natureza
refletiva (vidro), cuja finalidade é possibilitar a
reflexão do sinal emitido pelo instrumento.
Obs.: a colimação deve
ser realizada sobre o
centro do prisma.
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Plano constituído por um conjunto de dois eixos
orientados perpendiculares, cuja origem corresponde
à intersecção entre os mesmos.
Abscissas
O
rd
en
ad
as
Informação básica a respeito de 
levantamentos planimétricos com estação total:
Objetiva determinar a posição planimétrica dos pontos de
interesse, através do uso do sistema de coordenadas polares,
visando à posterior conversão do posicionamento para o
sistema de coordenadas cartesianas, em uma planta
topográfica referenciada a este sistema.
Topografia relativa x Topografia absoluta
Topografia relativa: o referenciamento dos pontos é
levado a cabo através da definição de coordenadas e
direções arbitrárias. Possibilita unicamente o
conhecimento das posições relativas entre os pontos.
Topografia relativa x Topografia absoluta
Topografia absoluta: o referenciamento dos pontos baseia-se em
um sistema de referência universalmente conhecido e de
abrangência planetária (coordenadas geográficas, por exemplo).
Possibilita o conhecimento das posições exatas de cada ponto, em
qualquer parte da superfície do planeta (projeto
georreferenciado).
Na atualidade, que instrumento ou técnica 
possibilitaria a definição de pontos 
georreferenciados? 
O GPS Geodésico.
Maiores informações
nas próximas aulas.
Parte 1
Levantamento planimétrico
Breves tópicos de Trigonometria aplicados à Topografia
O triângulo-retângulo
O triângulo-retângulo é aquele cujo um dos ângulos internos
mede 90°. Os segmentos de reta que formam esse tipo de
triângulo recebem as identificações de hipotenusa e catetos.
Hipotenusa: segmento que forma 
dois ângulos menores do que 90°
com os outros dois segmentos.
Catetos: segmentos que formam entre si um ângulo de 90°.
O triângulo-retângulo
Os catetos recebem ainda as adjetivações de adjacente e
oposto, a depender de qual dos dois ângulos inferiores a 90°
se considere. Por exemplo:
Considerando o ângulo α: 
Cateto adjacente = b
Cateto oposto = c
Considerando o ângulo β: 
Cateto adjacente = c
Cateto oposto = b
Teorema de Pitágoras
“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.
A C
B
40 m
30 m50 m
Teorema de Pitágoras
A C
B
40 m
Por exemplo, considerando a figura a seguir, qual o
comprimento do seguimento BC?
50 m
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Tal como em todo e qualquer triângulo, a soma dos
ângulos internos de um triângulo-retângulo é igual a
180°.
α
β
90°
36,869898° + 53,130102° + 90° = 
180°
Exercício: considerando a figura apresentada a seguir,
calcule o comprimento da hipotenusa e o valor do
ângulo β.
30 m
10 m
18,434944°
β
β = 180° – (18,434944° + 90°)
β = 71,565056°
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
As relações trigonométricas pertinentes ao triângulo-
-retângulo expressam o modo como os comprimentos dos
lados e os valores dos ângulos internos relacionam-se entre
si. Destacam-se como as mais importantes:
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Por exemplo, considerando a figura a seguir, qual o
comprimento do segmento AB?
α = 36,869898°
A C
B
30 m
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Considerando a figura a seguir, qual o comprimento
do segmento AC?
α = 36,869898°
A C
B
50 m
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Considerando a figura a seguir, qual o comprimento
do segmento BC?
α = 36,869898°
A C
B
40 m
Obs.: da mesma forma, a partir 
do conhecimento do ângulo β e 
do comprimento de qualquer 
um dos lados, seria possível 
determinar os comprimentos 
dos demais lados. 
β
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
α
50 m 30 m
Considerando a figura a seguir, qual o valor do ângulo α?
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Considerando a figura a seguir, qual o valor do ângulo α?
α
50 m
40 m
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
α
30 m
40 m
Considerando a figura a seguir, qual o valor do ângulo α?
Relações trigonométricas do triângulo-retângulo
Para o cálculo do ângulo β, a aplicação das três relações
trigonométricas demonstradas anteriormente também
resultaria na obtenção de um mesmo valor angular.
β
30 m
40 m
50 m
Exercício (apostila: exerc. n° 3-12, pág. 53): um topógrafo
determinou o lado AB do triângulo-retângulo mostrado a
seguir, com um comprimento igual a 96,82 m, e o ângulo
interno do vértice A com 35°17’00”. Determine os
comprimentos dos outros dois lados do triângulo.
A
BC
35°17’00”
96,82 m
68,51 m
Exercício (apostila: exerc. n° 3-12, pág. 53): um topógrafo
determinou o lado AB do triângulo-retângulo mostrado a
seguir, com um comprimento igual a 96,82 m, e o ângulo
interno do vértice A com 35°17’00”. Determine os
comprimentos dos outros dois lados do triângulo.
A
BC
35°17’00”
96,82 m
68,51 m
Exercício (apostila: exerc. n° 3-13, pág. 53): a hipotenusa
de um triângulo-retângulo mede 24,72 m de
comprimento, e um dos outros dois lados tem o
comprimento igual a 21,23 m. Encontre o ângulo oposto
ao lado de 21,23 m.
21,23 m
Exercício: qual o ângulo que a hipotenusa forma com o
segmento de 3 metrosde comprimento?
3 metros
1 
metro
Parte 1
Levantamento planimétrico
Ângulos e distâncias horizontais
Ângulos Horizontais
Ângulos calculados sobre o plano horizontal, entre dois
planos verticais que contêm os alinhamentos formados pelo
ponto ocupado e pelos pontos visados.
Obs.: Convencionalmente, ângulos horizontais são medidos no sentido horário.
Azimute
Ângulo horizontal demarcado a partir de uma direção de
referência (designada genericamente como Norte) até o
alinhamento considerado. É obrigatoriamente calculado no
sentido horário.
314° 59’ 50”
75° 30’ 40”
109° 39’ 40”
216° 40’ 00”
Rumo
Ângulo horizontal demarcado a partir dos sentidos Norte ou
Sul. Pode ser calculado nos sentidos horário ou ante-horário,
variando dos valores de 0° a 90°. É obrigatória a indicação do
quadrante no qual o alinhamento se insere (NE, SE, SW, ou
NW).
Conversão de rumos para azimutes
Conversão de rumos para azimutes
70,338888° SE
36,666666° SW
45,002777° NW
Conversão de rumos para azimutes
75,511111° NE
Conversão de rumos para azimutes
314,997223°
75,511111°
109,661112°
216,666666°
Conversão de azimutes para rumos
Conversão de azimutes para rumos
Conversão de azimutes para rumos
305,805833
63,210277°
120,694444°
253,4875
Conversão de azimutes para rumos
59,305556° SE
73,4875° SW
54,194167° NW
63,210277° NE
Os múltiplos nortes...
Existem, basicamente, três tipos diferentes de Norte:
• Geográfico (Verdadeiro);
• Magnético;
• Arbitrário.
Norte Geográfico ou Verdadeiro
Correspondente à direção orientada ao Polo Norte
Geográfico.
Norte Magnético
Correspondente à direção das linhas de força que
ligam os polos magnéticos do planeta.
Declinação Magnética
Ângulo horizontal demarcado a partir da direção do
Norte Geográfico até a direção do Norte Magnético.
Recebe valores negativos (ou a indicação “W”)
quando ocorre no sentido Oeste; e valores positivos
(ou a indicação “E”) quando ocorre no sentido Leste.
Norte Arbitrário 
Direção associada a uma entidade notável no terreno.
Conclusão acerca da multiplicidade de nortes e do 
estabelecimento das referências angulares horizontais 
No documento cartográfico final deve-se, obrigatoriamente,
fazer menção explícita ao tipo de Norte adotado como
referência para a determinação de ângulos horizontais, sejam
essas referências...
• Norte Geográfico;
• Norte Magnético;
• Norte Arbitrário.
Distâncias: classificação das distâncias em Topografia
DI: distância inclinada
DH: distância horizontal
DV: distância vertical
DT: distância no terreno
Obs.: a projeção, sobre o plano horizontal, da linha que une os pontos A
e B corresponde ao alinhamento.
Determinação das distâncias horizontais
Ângulo zenital: 
83° 49’ 47”
Qual dos lados do triângulo-retângulo
precisamos obter para o cálculo da
distância horizontal? E qual das relações
trigonométricas deve ser utilizada?
DH: 44,537 m
Ângulo zenital: 
110° 27’ 54”
Qual dos lados do triângulo-retângulo
precisamos obter para o cálculo da
distância horizontal? E qual das relações
trigonométricas deve ser utilizada?
Determinação das distâncias horizontais
Parte 1
Levantamento planimétrico
Metodologia do levantamento planimétrico
Como referenciar (amarrar) os pontos de interesse?
Dois pontos de 
coordenadas 
conhecidas
Pontos de 
interesse
Pontos de 
interesse
Direção do 
Norte e apenas 
um ponto de 
coordenadas 
conhecidas
Para determinar corretamente a posição dos pontos de
interesse, deve-se referenciá-los (amarrá-los) a algum ponto
que já possua coordenadas conhecidas no sistema de
referência do plano topográfico. Uma das seguintes
condições deve ser obrigatoriamente atendida:
Caminhamento, pontos de Ré, Estação e Vante
Caminhamento: processo de ocupação sucessiva dos pontos, com
a realização das respectivas medições de ré e vante em cada
estação.
Estação: ponto sobre o qual o equipamento está estacionado;
Ré: ponto que serve como referência para a determinação das
coordenadas dos pontos seguintes;
Vante: corresponde ao ponto situado avante, cujas coordenadas
serão determinadas a partir do conhecimento das coordenadas do
ponto de ré;
Ré
Estação Vante
Vante
Ré
Estação
Vante
Ré
Estação
Vante
Ré
Estação
Poligonação
Poligonal: constitui-se numa série de alinhamentos
consecutivos, dos quais a extensão e a direção são
calculadas em campo;
Pontos de Apoio: correspondem aos vértices de uma
poligonal, normalmente constituindo-se nos pontos
básicos do levantamento, a partir dos quais as
coordenadas dos demais pontos de interesse serão
determinadas;
Poligonação: processo de determinação dos pontos
de apoio do levantamento, através da definição de
uma poligonal.
Poligonais e pontos de apoio
Poligonais, pontos de apoio e 
demais pontos de interesse
Ajustamento de poligonais
Corresponde à distribuição e compensação dos erros inerentes ao
processo de medição, visando ao fornecimento de maior precisão
à figura geométrica de referência na qual a poligonal se constitui.
Maiores informações podem ser obtidas no Adendo II.
Alinhamento
Projeções 
parciais (m)
Correções (m)
Projeções 
corrigidas (m)
ΔX ΔY C(X) C(Y) ΔX(C) ΔY(C)
E1-E2 85,668 -126,235 0,0340 0,0043 85,702 -126,231
E2-E3 241,596 133,770 0,0616 0,0078 241,658 133,778
E3-E0 -94,899 147,621 0,0391 0,0050 -94,860 147,626
E0-E1 -232,562 -155,181 0,0623 0,0079 -232,500 -155,173
∑ -0,197 -0,025 0,197 0,025 0 0
Classificação das poligonais quanto à 
configuração geométrica
Poligonais Fechadas: partem de um ponto, cujas
coordenadas sejam conhecidas, e retonam a este
mesmo ponto. Possibilitam a verificação dos erros
lineares e angulares.
Ponto de 
coordenadas 
conhecidas
Classificação das poligonais quanto à 
configuração geométrica
Poligonais Abertas: partem de um ponto de
coordenadas conhecidas e chegam a um ponto cujas
coordenadas deseja-se determinar. Devem ser
evitadas, por impossibilitarem a verificação dos erros
lineares e angulares.
Ponto de 
coordenadas 
conhecidas
Poligonais Apoiadas (Enquadradas): partem de um
ponto de coordenadas conhecidas e chegam a outro
ponto de coordenadas também conhecidas.
Possibilitam a verificação dos erros lineares e
angulares.
Classificação das poligonais quanto à 
configuração geométrica
Ponto de 
coordenadas 
conhecidas
Ponto de 
coordenadas 
conhecidas
Irradiação
Principal método utilizado na obtenção das
coordenadas dos pontos de detalhe (pontos não
pertencentes à poligonal). Corresponde à coleta de
informações sobre um ou vários pontos, a partir de
uma mesma estação.
Levantamento planimétrico por poligonação 
Determinação das coordenadas planas (x,y), mediante a
utilização de poligonais.
E1
E2
E3
E0
Poligonal
Irradiações
Lote 1
Lote 2
Lote 3
Via
Azimute
Definição dos azimutes
Cálculo dos azimutes dos alinhamentos da poligonal:
conhecendo-se o valor de um azimute inicial, deve-se calcular os
valores dos demais azimutes, na mesma ordem da sucessão dos
pontos no caminhamento, utilizando-se da seguinte equação:
AzV = AzR + 180° + A
Em que:
AzV = azimute de vante;
AzR = azimute de ré;
A = ângulo observado.
E1
E2
E0
E3
E1
E2
E0
E3
Cálculo dos azimutes dos alinhamentos da poligonal: Az E2→E3.
AzV = 145°50’15” + 180° + 95°11’22” = 421°01’37”
AzR = 145°50’15”
AzV = 421°01’37” - 360° = 
61°01’37”
Az E2→E3 = 61°01’37”
a = 95°11’22”
AzV = AzR + 180° + A
Definição dos azimutes
E1
E2
E0
E3
AzR = 145°50’15”
a = 95°11’22”
Cálculo dos azimutes dos alinhamentos da poligonal: Az E3→E0.AzV = 61°01’37” + 180° + 86°14’16” = 327°15’53”
AzV = AzR + 180° + A
Az E3→E0 = 327°15’53”
a = 86°14’16”
Definição dos azimutes
E1
E2
E0
E3
AzR = 145°50’15”
a = 95°11’22”
Cálculo dos azimutes dos alinhamentos da poligonal: Az E0→E1.
AzV = 327°15’53” + 180° + 89°00’11” = 596°16’04”
AzV = AzR + 180° + A
Az E0→E1 = 236°16’04”
a = 86°14’16”
a = 89°00’11”
AzV = 596°16’04” - 360° = 
236°16’04”
Definição dos azimutes
Cálculo das projeções
Constitui-se na transformação das distâncias
horizontais nas distâncias cartesianas.
Ângulo 
zenital: 
83° 49’ 47”
Distância horizontal: 44,537 m
Constitui-se na transformação das distâncias
horizontais nas distâncias cartesianas.
E1
E2
E0
E3
ΔX →
ΔY →
Cálculo das projeções
Cálculo das projeções : alinhamento E1-E2.
E1
E2
E0
E3
ΔX →
ΔY →
Az = 145°50’15”
ΔX →
ΔX = 85,668 m
ΔY = -126,235 m
Cálculo das projeções
Cálculo das coordenadas
Corresponde à determinação das posições cartesianas dos
pontos, mediante a vinculação das projeções aos valores das
coordenadas de referência.
Alinham. Azimute
Distância
Horizontal
Projeções Coordenadas
ΔX ΔY
Est. X Y
E1 1000,000 1000,000
E1-E2 145°50’15” 152,559 85,668 -126,235 E2 1085,668 873,765
E1
E2
E0
E3
Cálculo das coordenadas
Agrupando-se o cálculo das projeções com o cálculo
das coordenadas, temos:
E1
E0
Az = 61°01’37”
E3
E2
Xpt = Xest + (SenAz . DH)
Ypt = Yest + (CosAz . DH)
Xpt = 1085,668 + (Sen 61°01’37” x 276,158)
Xpt = 1327,264
Ypt = 873,765 + (Cos 61°01’37” x 276,158)
Ypt = 1007,535 
Alinhamento Azimute
Distância
Horizontal
Coordenadas
Est. X Y
E2 1085,668 873,765
E2-E3 61°01’37” 276,158 E3
Alinhamento Azimute
Distância
Horizontal
Coordenadas
Est. X Y
E2 1085,668 873,765
E2-E3 61°01’37” 276,158 E3 1327,264 1007,535
Cálculo das coordenadas
Agrupando-se o cálculo das projeções com o cálculo
das coordenadas, temos:
Xpt = Xest + (SenAz . DH)
Ypt = Yest + (CosAz . DH)
Alinhamento Azimute
Distância
Horizontal
Coordenadas
Est. X Y
E3 1327,264 1007,535
E3-E0 327°15’53” 175,493 E0
E0-E1 236°16’04” 279,405 E1
E1
E0
Az = 327°15’53”
E3
E2
Az = 236°16’04”
Alinhamento Azimute
Distância
Horizontal
Coordenadas
Est. X Y
E3 1327,264 1007,535
E3-E0 327°15’53” 175,493 E0 1232,365 1155,156
E0-E1 236°16’04” 279,405 E1 1000,000 999,999
Cálculo das coordenadas dos pontos irradiados: o
primeiro passo corresponde à determinação dos
azimutes dos pontos.
AzP = AzR + 180° + A
AzP = 61°01’37” + 180° + 22°16’02” = 263°17’39”
P7
a = 22°16’02”
E2
E3
Az = 61°01’37”
Cálculo das coordenadas
P7
E3
Az = 263°17’39”
D = 122,548 m
X E3 = 1327,264 Y E3 = 1007,535
Xpt = 1327,264 + (263°17’39” x 122,548)
XP = 1205,554 m
Ypt = 1007,535 + (263°17’39” x 122,548)
YP = 993,225m
Xpt = Xest + (SenAz . DH)
Ypt = Yest + (CosAz . DH)
Cálculo das coordenadas
Cálculo das coordenadas dos pontos irradiados: o
segundo passo corresponde ao cálculo das
coordenadas dos pontos a partir das coordenadas já
conhecidas das estações.
Parte 2
Levantamento altimétrico
Ângulos e distâncias verticais
Levantamento topográfico altimétrico
(ou nivelamento)
Conforme a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT,
1994, p. 3), corresponde ao “Levantamento que objetiva,
exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma
superfície de referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos
de detalhes, pressupondo-se o conhecimento de suas
posições planimétricas, visando à representação altimétrica
da superfície levantada”.
Posicionamento altimétrico
Sistema de Coordenadas Cartesianas Tridimensional:
conjunto de três retas, mutuamente perpendiculares,
as quais se interceptam em um único ponto (origem).
O terceiro eixo (Z) corresponde às coordenadas altimétricas.
Distâncias verticais: altitude, altura e cota
Altitude (ortométrica): distância vertical entre o
ponto considerado e o nível médio dos mares.
Altitude 
ortométrica
Referências de Nível (RNs)
Marcos de concreto, protegidos por Lei, que
materializam os pontos do Sistema Geodésico
Brasileiro.
Rede de pontos materializados sobre o território brasileiro, cujas
coordenadas altimétricas são conhecidas com um elevado grau de
precisão. Todo o gerenciamento deste sistema é de responsabilidade do
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Sistema Geodésico Brasileiro
Cota: distância vertical entre o ponto considerado e
um plano de referência arbitrário.
Marco que materializa 
a intersecção do 
terreno com o plano 
de referência arbitrário 
Cota
Distâncias verticais: altitude, altura e cota
Altura: distância vertical entre o ponto considerado e
a superfície do solo.
Altura
Distâncias verticais: altitude, altura e cota
Ângulos Verticais
Ângulos calculados sobre o plano vertical,
demarcados a partir de um ponto de referência até o
ponto de interesse.
Referenciais para a orientação de ângulos verticais
Zênite: do ponto de vista do observador, corresponde
ao ponto mais elevado da esfera celeste, situado
exatamente acima do local ocupado.
Ângulos Zenitais
Ângulos verticais demarcados a partir do Zênite até a
linha de visada.
Ângulos zenitais variam
de 0° a 180°.
Referenciais para a orientação dos limbos verticais
Nadir: ponto diametralmente oposto ao Zênite.
Ângulos Nadirais 
Ângulos verticais demarcados a partir do Nadir até a
linha de visada.
Ângulos nadirais também
variam de 0° a 180°.
Referenciais para a orientação dos limbos verticais
Plano Horizontal: plano perpendicular à direção
formada pelos pontos zenital e nadiral.
Plano Horizontal
Ângulos de Altura (de Elevação, ou de Inclinação) 
Ângulos verticais demarcados a partir do plano
horizontal até a linha de visada.
Ângulos de altura
variam positivamente
de 0° a 90°, acima do
plano horizontal; e
negativamente de 0° a
90°, abaixo do plano
horizontal.
Parte 2
Levantamento altimétrico
Metodologia do levantamento altimétrico
Nivelamento trigonométrico
Aquele que determina a diferença de nível entre pontos a partir da
mensuração do ângulo vertical (α) e da distância inclinada (DI) entre tais
pontos, considerando a relação trigonométrica entre essas duas
variáveis. Neste tipo de levantamento, os equipamentos utilizados são
as estações totais ou os teodolitos.
Altura do 
instrumento
Altura do 
prisma
α
Ponto de cota
conhecida
Ponto cuja 
cota se deseja 
determinar
Determinação das cotas dos pontos coletados
Qual dos lados do triângulo-retângulo
precisamos obter para o cálculo da
cota do ponto? E qual das relações
trigonométricas deve ser utilizada?
Altura do 
instrumento: 
1,642 m
Altura do 
prisma: 
1,5 m
Ponto de cota 
conhecida: 100 m
Cota do 
ponto?
Ângulo zenital: 
83° 49’ 47”
Determinação das cotas dos pontos coletados
Como calcular a cota do ponto?
Altura do 
instrumento: 
1,642 m
Altura do 
prisma: 
1,5 m
Ponto de cota 
conhecida: 100 m
Cota do 
ponto = 
104,957 m
cat. adj.: 4,815 m
Cota = (CE + AI + CA) - AP
Cota = (100 + 1,642 + 4,815) - 1,5 = 104,957 m
CE: cota da estação;
AI: altura do instrumento;
CA: cateto adjacente;
AP: altura do prisma.
Determinação das cotas dos pontos coletados
Altura do 
instrumento: 
1,642 m
Altura do 
prisma: 
1,5 m
Ponto de cota 
conhecida: 100 m
Ângulo zenital: 
110° 27’ 54”
Onde está o triângulo-retângulo do
qual precisamos para o cálculo da
cota do ponto? E qual das relações
trigonométricas deve ser utilizada?
Determinação das cotas dospontos coletados
Altura do 
instrumento: 
1,642 m
Ponto de cota 
conhecida: 100 m
Ângulo zenital: 
110° 27’ 54”
Cota do 
ponto = 
81,774 m
Altura do 
prisma: 
1,5 m
Como calcular a cota do ponto?
Cota = (CE + AI + CA) - AP
Cota = [100 + 1,642 + (-18,368)] - 1,5 = 81,774 m
CE: cota da estação;
AI: altura do instrumento;
CA: cateto adjacente;
AP: altura do prisma.
Exercício: determine a cota do ponto “P”, bem como a
distância horizontal (DH) entre este ponto e o equipamento, a
partir da análise dos seguintes dados:
• cota do ponto da estação: 341,926 m;
• altura do instrumento (AI): 1,382 m;
• ângulo zenital: 80°17’21”;
• distância inclinada (DI): 295,264 m;
• altura do prisma (AP): 1,35 m.
AI: 1,382 m
AP: 1,35 m
Cota da estação: 341,926 m
Ângulo zenital: 
80°17’21”
DH = ?
Cota do 
ponto?
Cota
(utilizar cosseno)
Cota = (341,926 + 1,382 + 49,804) - 1,35 = 391,762 m
Exercício: determine a cota do ponto “X”, bem como a
distância horizontal (DH) entre este ponto e o equipamento, a
partir da análise dos seguintes dados:
• cota do ponto da estação: 341,926 m;
• altura do instrumento (AI): 1,382 m;
• ângulo zenital: 80°17’21”;
• distância inclinada (DI): 295,264 m;
• altura do prisma (AP): 1,35 m.
AI: 1,382 m
AP: 1,35 m
Cota da estação: 341,926 m
Ângulo zenital: 
80°17’21”
DH = ?
Cota do 
ponto?
DH
(utilizar seno)
DH = 291,033 m
Fim