TOPOGRAFIA AULA 06 PARTE 1 CÁLCULO DE ÁREAS

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TOPOGRAFIA 
Aula 06 – Cálculo de Áreas 
A área de um terreno pode ser determinada por vários 
processos: 
 
Analíticos 
Gráficos 
Mecânicos 
Computacionais 
 
A escolha do método é função de alguns fatores, tais como: a 
precisão desejada, aplicação de medições diretas obtidas no 
terreno, informações obtidas através de planta topográficas, 
etc.. 
1. Cálculo de Áreas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processos Analíticos 
 
Nestes métodos a área é estimada por meio de expressões 
matemáticas, a partir das projeções compensadas dos 
alinhamentos que compõem a poligonal ou a partir das 
coordenadas dos vértices. 
 
Dentre os processos analíticos o mais empregado é: 
 
Método das coordenadas (também conhecido como método 
de Gauss) 
 
 
1. Cálculo de Áreas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere as coordenadas da poligonal de oito vértices 
apresentadas na tabela abaixo: 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
ESTAÇÕES 
PONTO 
VISADO 
COORDENADAS 
1 NM X Y 
 2 1.000,00 1.000,00 
2 3 974,40 1.083,76 
3 4 1.053,37 1.119,91 
4 5 994,94 1.176,49 
5 6 1.022,97 1.216,59 
6 7 1.111,74 1.212,42 
7 8 1.154,08 1.127,49 
8 1 1.162,70 998,40 
1 2 1.000,00 1.000,00 
Plotando-se as coordenadas em um eixo cartesiano, tem-se: 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
A área da poligonal 1-2-3-4-5-6-7-8-1 pode ser determinada por meio 
da discretização em triângulos e trapézios. 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área total: 
 
A5’566’+ A6’677’+A7’788’ – 
(A5’544’ + A4’4433’ + A3’322’ + 
A2’211’ + A1’188’) 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área total: 
 
A5’566’+ A6’677’+A7’788’ – 
(A5’544’ + A4’4433’ + A3’322’ + 
A2’211’ + A1’188’) 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área total: 
 
A5’566’+ A6’677’+A7’788’ – (A5’544’ + A4’4433’ + A3’322’ + A2’211’ 
+ A1’188’) 
2
Y8)(Y1X8)(X1
2
Y1)(Y2X1)(X2
2
Y2)(Y3X2)(X3
2
Y3)(Y4X3)(X4
2
Y4)(Y5X4)(X5
2
Y8)(Y7X8)(X7
2
Y7)(Y6X7)(X6
2
Y6)(Y5X6)(X5














241,764.60
40,9870,162.00,000.00,000.
76,083.40,7491,119.37,053.
49,176.94,9470,9870,162.
49,127.08,154.42,212.74,111.
m
2
)9(1.000,00)1(1.000,00
2
)1(1.083,76)1(974,40
2
)1(1.119,91)9(1.053,37
2
)1(1.176,49)1(994,94
2
)1(1.216,59)9(1.022,97
2
)9(1.127,49)1(1.154,08
2
)1(1.212,42)1(1.111,74
2
)1(1.216,59)1(1.022,97
















2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir das coordenadas dos vértices da poligonal é possível de 
forma simplificada calcular a área desta poligonal. Vejamos o 
exemplo da poligonal 1-2-3-4-1, mostrada abaixo: 
 
 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível perceber que a área da poligonal pode ser 
determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. 
 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área1 é calculada como mostrado abaixo: 
 
 
3. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área2 é calculada adotando-se procedimento análogo: 
 
 
3. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área da poligonal é igual a : 
 
 
3. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
Substituindo os valores: 
Reescrevendo-se a expressão e eliminando-se o sinal negativo: 
Reorganizando-se os termos, tem-se: 
Multiplicando-se os termos, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
Simplificando-se: 
De forma genérica a expressão pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Proposto 
 
 
 
 
2. Cálculo de Área – Método das Coordenadas (Gauss) 
Concurso Analista de Serviço Fundiário – Secretaria de Habitação – Governo do 
Estado do Rio de Janeiro (2012) – Engenheiro Civil. 
A tabela a seguir indica as coordenadas X e Y de quatro pontos em um terreno, 
medidas em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do polígono ABCD vale: 
a) 59,5m2 
b) 61,0m2 
c) 63,0m2 
d) 65,5m2 
e) 68,0m2 
PONTO 
COORDENADAS 
X Y 
A 52,0 75,0 
B 61,0 75,0 
C 62,0 82,0 
D 54,0 82,0 
No método gráfico ou geométrico, a área é determinada a partir 
de figuras geométricas conhecidas, a exemplo de triângulos, 
quadriláteros e trapézios. 
 
 
3. Cálculo de Áreas – Método Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
:
)).().((
cba
p
onde
cpbpappA



O método gráfico também compreende a discretização da área 
por meio de quadrículas: 
 
 
3. Cálculo de Áreas – Método Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consiste no uso de equipamento denominado planímetro. 
 
 
4. Cálculo de Áreas – Método Mecânico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualmente é o método mais usado. 
 
 
5. Cálculo de Áreas – Método computacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A escolha dos pontos de uma poligonal para o levantamento da 
área de uma propriedade ou terreno deve ser feito o mais 
próximo possível dos seus limites. 
 
 
6. Cálculo de Áreas Extrapoligonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentre os métodos analíticos para avaliação da áreas 
extrapoligonais o mais simples é o de Bezout ou dos trapézios. 
 
Consideremos a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
A área calculada pela fórmula de Bezout, resulta em: 
 
6. Cálculo de Áreas Extrapoligonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 
d d d d d d d 
𝑆 =
𝑦1 + 𝑦2
2
𝑑 +
𝑦2 + 𝑦3
2
𝑑 +
𝑦3 + 𝑦4
2
𝑑 + ⋯ +
𝑦6 + 𝑦7
2
𝑑 +
𝑦7 + 𝑦8
2
𝑑 
𝑆 =
𝑑
2
(𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + ⋯ + 2𝑦7 + 𝑦8) 
Determine a área da poligonal aplicando o Método de Gauss. 
6. Exercício de Aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto X Y 
1 22,20 72,50 
2 37,73 71,72 
3 65,26 28,53 
4 19,09 21,00 
Determine a área da poligonal aplicando o Método de Gauss. 
6. Exercício de Aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto X Y 
1 22,20 72,50 
2 37,73 71,72 
3 65,26 28,53 
4 19,09 21,00 
1 22,20 72,50 
Determine a árDigite a equação aqui.ea da poligonal aplicando 
o Método de Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 =
8.426,71 − 5.423,106
2
= 1.501,802 𝑚2 
 
6. Exercício de Aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X Y 
22,20 72,50 
37,73 71,72 
65,26 28,53 
19,09 21,00 
22,20 72,50 
8.426,71 5.423,106 
 
BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. Volume 1. 2.ed. rev. e 
amp. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 2011. 
 
MCCORMAC, J. C. Topografia, 5ª ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2007. 
 
VEIGA, L. A. K; ZANETTI, M. A. Z; FAGGION, P. L. FUNDAMENTOS DE 
TOPOGRAFIA. Apostila do curso de Engenharia Cartográfica da Universidade 
Federal do Paraná – UFPR ,2007. 
 
WOLF, P. R; GHILANI, C. D. Topografía, 11ª ed. Chile: Editora Alfaomega, 2008. 
 
 
 
 
 
 
7. Referências