Micro 4 Aula 3

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FORMALIZAÇÃO DOS ELEMENTOS DO JOGO 
ELEMENTOS 
 Jogadores 
 Ações – o que podem fazer 
 Recompensas – o que ganham em cada situação 
ELEMENTOS 
 Jogadores 
 Ações – o que podem fazer 
 Recompensas – o que ganham em cada situação 
JOGADORES 
 São os indivíduos que tomam decisões 
 Tentam maximizar o seu objetivo por médio das suas 
decisões 
 Isso é a nossa definição de racional 
 Significa que sempre 
Maximizam utilidades? 
Cumprem os axiomas de racionalidade da teoria da escolha 
racional? 
Atuam sem considerar os objetivos dos demais? 
JOGADORES 
 Não necessariamente maximizam utilidades, nem 
seguem axiomas, nem são egoístas 
 Os jogadores são sempre seres humanos? 
ELEMENTOS 
 Jogadores 
 Ações – o que podem fazer 
 Recompensas – o que ganham em cada situação 
O CONJUNTO DE AÇÕES 
 O conjunto de ações dos jogadores é composto por 
todas as ações/movimentos que podem tomar/fazer 
Jogadores identificados pelo subscrito i, onde i=1,2,…,n 
Cada um dos n jogadores pode realizar uma série de ações ai 
O conjunto de ações de cada um dos n jogadores é 
denominado Ai 
 
ELEMENTOS 
 Jogadores 
 Ações – o que podem fazer 
 Recompensas – o que ganham em cada situação 
RECOMPENSA 
 O que ganham como resultado das escolhas de todos os 
jogadores... Quanta precisão queremos? 
O valor que o jogador da ao prêmio conseguido 
A utilidade 
 Na grande maioria de aplicações, buscaremos uma 
representação numérica na forma de função 
Não sempre é tão simples o jogo, nem sempre responderá aos 
axiomas de racionalidade: o problema da racionalidade será 
recorrente 
Em cada jogo, devemos saber o que significam as nossas 
recompensas 
 Quando temos uma função, expressamos 𝜋𝑖 = 𝜋 𝑠1, … , 𝑠𝑁 
𝑠𝑖 é a estratégia (definida na aula anterior como planos para 
escolher ações) do jogador i 
 
JOGOS SIMULTÂNEOS 
PROGRAMA 
Conhecimento comum 
Equilíbrio em estratégias dominantes 
Equilíbrio de Nash 
Equilíbrio em estratégias dominantes e equilíbrio de Nash 
PROGRAMA 
Conhecimento comum 
Equilíbrio em estratégias dominantes 
Equilíbrio de Nash 
Equilíbrio em estratégias dominantes e equilíbrio de Nash 
CONHECIMENTO COMUM 
 todos os jogadores conhecem a informação... 
…todos os jogadores sabem que todos os jogadores 
conhecem a informação... 
… todos os jogadores sabem que todos os jogadores sabem 
que todos os jogadores conhecem a informação... 
... 
CONHECIMENTO COMUM 
 Qual é a implicação do pressuposto de 
conhecimento comum? 
 Nenhum dos jogadores tem dúvidas quanto ao 
resultado que os demais buscam obter 
 Ou seja, cada jogador sabe exatamente com quem 
está jogando, pois sabe quais são os objetivos dos 
outros jogadores 
 
 (é provável que exista uma “forma obvia de jogar o 
jogo”) 
SOLUÇÕES DO JOGO – 
EQUILÍBRIO 
 O que é equilíbrio? 
 
 
ADIVINHA O NÚMERO 
 Escolhe um número de 0 a 100 
 O mais perto de 2/3 da resposta média ganha 
ADIVINHA O NÚMERO 
 Escolhe um número de 0 a 100 
 O mais perto de 2/3 da resposta média ganha 
 Não sei o que os rivais vão fazer. Imagino que 
escolhem um número aleatório – média 50. Então, 
ganho se falo 33 (2*50/3) 
ADIVINHA O NÚMERO 
 Escolhe um número de 0 a 100 
 O mais perto de 2/3 da resposta média ganha 
 Não sei o que os rivais vão fazer. Imagino que 
escolhem um número aleatório – média 50. Então, 
ganho se falo 33 (2*50/3) 
 Mas se imagino que os rivais escolhem 33, seguindo o 
raciocínio anterior, eu escolheria 22 (2*33/3) 
ADIVINHA O NÚMERO 
 Escolhe um número de 0 a 100 
 O mais perto de 2/3 da resposta média ganha 
 Não sei o que os rivais vão fazer. Imagino que 
escolhem um número aleatório – média 50. Então, 
ganho se falo 33 (2*50/3) 
 Mas se imagino que os rivais escolhem 33, seguindo o 
raciocínio anterior, eu escolheria 22 (2*33/3) 
O QUE DISSE A NOSSA ANÁLISE? 
 Se todos os jogadores são racionais (todos sabem o 
que os demais vão fazer), o resultado é zero 
O QUE DISSE A NOSSA ANÁLISE? 
 Se todos os jogadores são racionais (todos sabem o 
que os demais vão fazer), o resultado é zero 
 Todos preferem estar por embaixo de todos os demais 
jogadores 
VOLTA AO CONHECIMENTO 
COMUM 
 Jogo de adivinha o número 
Escolhe um número de 0 a 100 
O mais perto de 2/3 da resposta média ganha 
Equilíbrio é escolher zero... 
 
PROGRAMA 
Conhecimento comum 
Equilíbrio em estratégias dominantes 
Equilíbrio de Nash 
Equilíbrio em estratégias dominantes e equilíbrio de Nash 
EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS 
DOMINANTES 
 Estratégias dominantes para o jogador i 
Uma estratégia que pode jogar, 𝑠𝑖
∗ que maximiza a função de 
recompensa independentemente das estratégias dos rivais 
 𝜋𝑖
∗ = 𝜋 𝑠1, … , 𝑠𝑖
∗, … , 𝑠𝑁 > 𝜋𝑖 = 𝜋 𝑠1, … , 𝑠𝑖 , … , 𝑠𝑁 
 A combinação das estratégias dominantes para cada 
jogador é o equilíbrio em estratégias dominantes 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 “Os indivíduos, atuando independentemente e por 
interesse próprio, tomam decisões contrárias ao interesse 
do grupo ao explorar um bem comum” 
Queremos construir um modelo simples que prove se é verdade ou 
não 
 Jogadores – Supomos dois: João e Gabriel... 
 Ações – Queremos representar a situação de tragédia do 
comum 
Os jogadores exploram um bem comum, quais as decisões? 
Muito consumo; Pouco consumo 
 Resultados 
Ruim se os dois consumem muito 
ok se os dois consumem pouco 
Se consumem diferentemente, Muito ruim para quem consume 
pouco, Muito bom para quem consume muito 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
A TRAGÉDIA DO COMUM 
 
Gabriel 
Consumo muito Consumo pouco 
João Consumo muito (Ruim, Ruim) (Muito bom, Muito ruim) 
Consumo pouco (Muito ruim, Muito bom) (ok, ok) 
PROGRAMA 
Conhecimento comum 
Equilíbrio em estratégias dominantes 
Equilíbrio de Nash 
Equilíbrio em estratégias dominantes e equilíbrio de Nash 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Um perfil de estratégias 𝑠∗= 𝑠1
∗, … , 𝑠𝑖
∗, … , 𝑠𝑁
∗ é um 
equilíbrio de Nash se nenhum jogador tem incentivo 
para se desviar da sua estratégia, supondo que os 
outros jogadores também não se desviam 
 
 𝜋 𝑠1
∗, … , 𝑠𝑖
∗, … , 𝑠𝑁
∗ ≥ 𝜋𝑖 = 𝜋 𝑠1
∗, … , 𝑠𝑖 , … , 𝑠𝑁
∗ 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar,para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Una forma de achar os equilíbrios de Nash consiste em 
comprovar, para cada possível combinação, se se cumprem as 
condições teóricas. 
 Em jogos de dois jogadores, uma forma sistemática é: 
Para cada jogador e para cada estratégia possível, se 
determina a melhor resposta do rival a dita estratégia, e se 
marca 
Um par de estratégias é um equilíbrio de Nash se ambas as 
estratégias estão marcadas 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
EQUILÍBRIO DE NASH E CURVAS 
DE REAÇÃO 
0 , 4 4 , 0 
4 , 0 0 , 4 
3 , 5 3 , 5 
5 , 3 
5 , 3 
6 , 6 
Jogador 2 
Jogador 1 
PROGRAMA 
Conhecimento comum 
Equilíbrio em estratégias dominantes 
Equilíbrio de Nash 
Equilíbrio em estratégias dominantes e equilíbrio de Nash 
EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS 
DOMINANTES E EQUILÍBRIO DE 
NASH 
 Mesmo que não haja equilíbrio em estratégias 
estritamente dominantes, pode haver equilíbrio de 
Nash num jogo 
 Pergunta: se houver um equilíbrio em estratégias 
dominantes, ele será também um equilíbrio de 
Nash!?!? 
 
MODELOS DE OLIGOPÓLIO Miguel Vazquez Miguel.Vazquez.Martinez@gmail.com 
OLIGOPÓLIO 
 Modelos básicos 
Cournot (quantidades) 
Bertrand (preços) 
Funções de oferta 
 Duas etapas 
Líder em quantidade (Stacklelberg) 
Bertrand-Edgeworth 
EQUILÍBRIO PARCIAL – ELEMENTOS 
BÁSICOS 
 Vamos nos preocupar pela coordenação dos agentes 
em uma indústria. Nesse sentido, um mecanismo de 
coordenação relevante é o preço 
EQUILÍBRIO PARCIAL – ELEMENTOS 
BÁSICOS 
 Vamos nos preocupar pela coordenação dos agentes 
em uma indústria. Nesse sentido, um mecanismo de 
coordenação relevante é o preço 
 Alem disso, vamos descrever o equilíbrio parcial: 
estudamos uma indústria isoladamente (“o gasto na 
indústria é pequeno se comparado com o gasto de 
toda a economia” e “o consumo é pequeno se 
comparado como o consumo de toda a economia”) 
DEFINIÇÕES 
 No geral, os modelos de equilíbrio têm 5 elementos 
(i) Definição do entorno de tempo e incerteza – consideramos 
um período e nenhuma incerteza 
DEFINIÇÕES 
 No geral, os modelos de equilíbrio têm 5 elementos 
(i) Definição do entorno de tempo e incerteza – consideramos 
um periodo e nenhuma incerteza 
(ii) “Parte real” da economia – um bem só 
 
DEFINIÇÕES 
 No geral, os modelos de equilíbrio têm 5 elementos 
(i) Definição do entorno de tempo e incerteza – consideramos 
um periodo e nenhuma incerteza 
(ii) “Parte real” da economia – um bem só 
(iii) Estrutura de mercado – um único mercado para cada 
bem: 𝑝 será o preço do bem 
 
DEFINIÇÕES 
 No geral, os modelos de equilíbrio têm 5 elementos 
(i) Definição do entorno de tempo e incerteza – consideramos 
um periodo e nenhuma incerteza 
(ii) “Parte real” da economia – um bem só 
(iii) Estrutura de mercado – um único mercado para cada 
bem: 𝑝 será o preço do bem 
(iv) Comportamento dos agentes – respondem a problemas 
de optimização 
 
DEFINIÇÕES 
 No geral, os modelos de equilíbrio têm 5 elementos 
(i) Definição do entorno de tempo e incerteza – consideramos 
um periodo e nenhuma incerteza 
(ii) “Parte real” da economia – um bem só 
(iii) Estrutura de mercado – um único mercado para cada 
bem: 𝑝 será o preço do bem 
(iv) Comportamento dos agentes – respondem a problemas 
de optimização 
(v) Definição de equilíbrio – um conjunto de decisões que são 
mutuamente consistentes 
 
DEFINIÇÕES 
 (ii) “Parte real” da economia – um bem só 
𝐼 consumidores 
𝑑𝑖 é o consumo do indivíduo 𝑖 e 𝑈𝑖 é a representação das suas 
preferências. Ademais, o consumo é positivo 
𝑚𝑖 representa o consumo do agente 𝑖 em todos os demais 
mercados (o numerário, cujo preço é por definição 1) 
As utilidades dos agentes se definem sobre o numerário e o bem 
𝑈𝑖 𝑚𝑖 , 𝑑𝑖 e dispõem de 𝑤𝑖 
𝐽 firmas 
𝑞𝑗 é a produção da firma 𝑗 
Cada firma tem uma função de custos 𝐶𝑗 𝑞𝑗 
A participação do agente 𝑖 na firma 𝑗 é 𝑠𝑖𝑗; 𝑠𝑖𝑗𝑖 = 1DEFINIÇÕES 
 (iv) Comportamento dos agentes 
 
𝑃𝐶𝑖 
𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑖 𝑚𝑖 , 𝑑𝑖
𝑠. 𝑡. 𝑚𝑖 + 𝑑𝑖 = 𝑤𝑖 + 𝑠𝑖𝑗𝑞𝑗𝑗 : 𝜆𝑖
𝑑𝑖 ≥ 0 : 𝜌𝑖
 
 
DEFINIÇÕES 
 (iv) Comportamento dos agentes 
 
𝑃𝐶𝑖 
𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑖 𝑚𝑖 , 𝑑𝑖
𝑠. 𝑡. 𝑚𝑖 + 𝑑𝑖 = 𝑤𝑖 + 𝑠𝑖𝑗𝑞𝑗𝑗 : 𝜆𝑖
𝑑𝑖 ≥ 0 : 𝜌𝑖
 
 
 
 
𝑃𝐹𝑗 
𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑞𝑗 − 𝐶𝑗 𝑞𝑗
𝑠. 𝑡. 𝑞𝑗 ≥ 0 : 𝜇𝑖
 
DEFINIÇÕES (CONT. 3) 
 (v) Definição do equilíbrio 
𝑑𝑖 é solução do problema 𝑃𝐶𝑖 quando os preços são 𝑝 
 
 
DEFINIÇÕES (CONT. 3) 
 (v) Definição do equilíbrio 
𝑑𝑖 é solução do problema 𝑃𝐶𝑖 quando os preços são 𝑝 
𝑞𝑗 é solução do problema 𝑃𝐹𝑗 quando os preços são 𝑝 
 
 
DEFINIÇÕES (CONT. 3) 
 (v) Definição do equilíbrio 
𝑑𝑖 é solução do problema 𝑃𝐶𝑖 quando os preços são 𝑝 
𝑞𝑗 é solução do problema 𝑃𝐹𝑗 quando os preços são 𝑝 
Os mercados cassam: 𝑑𝑖𝑖 = 𝑤𝑖𝑖 + 𝑞𝑗𝑗 
 
OLIGOPÓLIO 
 Poucos produtores, muitos consumidores 
 A análise (e modelagem) da competição imperfeita é mais 
complexa 
Cada jogador deve considerar a interdependência entre as suas 
decisões e as decisões dos demais jogadores 
A condição “𝑞𝑗 é solução do problema 𝑃𝐹𝑗 quando os preços são 𝑝” não é 
mais suficientemente explicativa 
OLIGOPÓLIO DEPENDENDO DO 
HORIZONTE DE ESTUDO 
 Longo prazo 
Estratégias dependendo dos entrantes 
 Investir em capacidade ociosa 
 Precificação controlada 
 Curto prazo 
Equilíbrio sem investimento 
 Reação dos rivais 
 Conjeturas sobre o comportamento dos rivais 
COURNOT – JOGO EM 
QUANTIDADES 
 Modelo pioneiro em representar interação estratégica 
Hipótese chave – a reação dos rivais é fixar uma quantidade 
produzida 
Não se representam as características temporais das decisões 
COURNOT – O MODELO 
 Suponha-se que existem duas empresas produzindo um bem 
homogêneo. As variáveis de decisão são as quantidades produzidas 
por cada firma: e 
 O preço é definido pela curva de demanda, como função da 
quantidade total produzida 
 Se a dependência é linear 
 
 
 Ademais, não existem custos fixos e o custo variável é constante 
1q 2
q
1 1( ) ( )  p D q D q q
( )    i i ic q c q c cte a
q
( )p D q






aqq
aqqqqa
qDp
)(si0
)(si)·(
)(
21
2121
COURNOT – ELEMENTOS DO 
JOGO 
 Empresas: 1 e 2 
 Estratégias: 𝑞𝑖 ∈ 0,∞ 
 Lucros: 𝑝𝑞𝑖 − 𝑐𝑖𝑞𝑖 = 𝑞𝑖 𝑎 − 𝛼 𝑞1 + 𝑞2 − 𝑐𝑖 
 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Não serve a nossa definição anterior 
𝑑𝑖 é solução do problema 𝑃𝐶𝑖 quando os preços são 𝑝 
𝑞𝑗 é solução do problema 𝑃𝐹𝑗 quando os preços são 𝑝 
Os mercados cassam: 𝑑𝑖𝑖 = 𝑤𝑖𝑖 + 𝑞𝑗𝑗 
 Substituímos pelo equilíbrio de Nash (generalização) 
Os jogadores estão num equilíbrio de Nash se nenhum jogador 
pode melhorar sua recompensa mudando unilateralmente a 
sua estratégia 
 
 
EQUILÍBRIO DE NASH 
 Não serve a nossa definição anterior 
𝑑𝑖 é solução do problema 𝑃𝐶𝑖 quando os preços são 𝑝 
𝑞𝑗 é solução do problema 𝑃𝐹𝑗 quando os preços são 𝑝 
Os mercados cassam: 𝑑𝑖𝑖 = 𝑤𝑖𝑖 + 𝑞𝑗𝑗 
 Substituímos pelo equilíbrio de Nash (generalização) 
Os jogadores estão num equilíbrio de Nash se nenhum jogador 
pode melhorar sua recompensa mudando unilateralmente a 
sua estratégia 
Aplicação ao problema de Cournot – nenhuma empresa 
pode aumentar os seus lucros mudando unilateralmente a sua 
produção 
 
 
COURNOT - RESOLUÇÃO 
 Estamos supondo que as empresas não mudam a sua 
produção 
 Empresa 1 deve calcular a sua melhor resposta: 
max 𝑞1 𝑎 − 𝛼 𝑞1 + 𝑞 2 − 𝑐1 , 𝑞 2 a escolha de equilíbrio do jogador 
2 
Condição de otimalidade: 𝑎 − 𝛼 𝑞1 + 𝑞 2 − 𝑐1 − 𝛼𝑞1 = 0 
 Para o jogador 2 
max 𝑞2 𝑎 − 𝛼 𝑞1 + 𝑞 1 − 𝑐2 
𝑎 − 2𝛼𝑞2 − 𝛼𝑞 1 − 𝑐2 = 0 
 Duas equações com duas incógnitas 
 
3 
Equilibrium in perfect 
competition 
7 
 
COURNOT 
10 
 
10 
 
p 
D = q1 + q2 
5 
 
2 
CM1 = 2 ; Q1 MAX = 5 
Demand 
Competitive 
supply 
function 
CM2 = 3; Q2 MAX =5 
COURNOT 
10 
 
10 
 
p 
D = q1 + q2 
2 
Cournot 
Solution 
q1 = 3 , q2 = 2 
P = 10 - (q1 + q2) = 5 
 
3 
7 
 
=-1 
2··0 111
1
1 


qpcqp
q
u 
3··0 222
2
2 


qpcqp
q
u 
COURNOT 
10 
 
10 
 
p 
D = q1 + q2 
2 
Cournot 
Solution 
q1 = 3 , q2 = 2 
P = 10 - (q1 + q2) = 5 
q1 = 3 
q2 = 2 
 
3 
7 
 
p = 5 > CM1 > CM2 !!! 
=-1 
5 
 
5 
2··0 111
1
1 


qpcqp
q
u 
3··0 222
2
2 


qpcqp
q
u 
CURVAS DE REAÇÃO 
 A equação 
 
 é a melhor resposta da empresa i à estratégia de equilíbrio (se 
cumpre para qualquer estratégia de j). Podemos então identificar as 
melhores respostas 
 
 
 
 
 A interseção de ambas as curvas é ao ponto de equilíbrio 
* *1 ( )
2
  i jq a q c
2 1 1
1 2 2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
  
  
R q a q c
R q a q c
CURVAS DE REAÇÃO 
2q
1q
0
1 2( )R q
2 1( )R q
BERTRAND – REAÇÃO EM PREÇO 
 Muda a hipótese de Cournot 
Os rivais não fixam a quantidade e sim o preço 
BERTRAND – O MODELO 
 Suponha-se que existem duas empresas produzindo um bem 
homogêneo. As variáveis de decisão são os preços fixados por cada 
firma 𝑝𝑖 e 𝑝𝑗 
 A quantidade demandada à empresa i é 𝑞𝑖 𝑝𝑖 , 𝑝𝑗 
 Supomos que não há custos fixos e que o custo variável é constante 
 
( )    i i ic q c q c cte a
BERTRAND - RESOLUÇÃO 
 Se os produtos são homogêneos, não faz sentido que 
os consumidores demandem o bem mais caro 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é maior do que c? 
 ( ) si 
( )
( , ) si 
2
0 si 
i i j
i
i i j i j
i j
D p p p
D p
q p p p p
p p



 


BERTRAND - RESOLUÇÃO 
 Se os produtos são homogêneos, não faz sentido que 
os consumidores demandem o bem mais caro 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é maior do que c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é menor ou igual ao c? 
 
 ( ) si 
( )
( , ) si 
2
0 si 
i i j
i
i i j i j
i j
D p p p
D p
q p p p p
p p



 


BERTRAND - RESOLUÇÃO 
 Se os produtos são homogêneos, não faz sentido que 
os consumidores demandem o bem mais caro 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é maior do que c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é menor ou igual ao c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços iguais, e menores ou 
iguais ao c? 
 
 
 
( ) si 
( )
( , ) si 
2
0 si 
i i j
i
i i j i j
i j
D p p p
D p
q p p p p
p p



 


BERTRAND - RESOLUÇÃO 
 Se os produtos são homogêneos, não faz sentido que 
os consumidores demandem o bem mais caro 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é maior do que c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é menor ou igual ao c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços iguais, e menores ou 
iguais ao c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços iguais, e 
maiores do que o c? 
 
 
 
( ) si 
( )
( , ) si 
2
0 si 
i i j
i
i i j i j
i j
D p p p
D p
q p p p p
p p



 


BERTRAND - RESOLUÇÃO 
 Se os produtossão homogêneos, não faz sentido que 
os consumidores demandem o bem mais caro 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é maior do que c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços diferentes, onde o 
menor deles é menor ou igual ao c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços iguais, e menores ou 
iguais ao c? NÃO 
Pode houver um equilíbrio com preços iguais, e 
maiores do que o c? NÃO 
 Isto é o paradoxo de Bertrand 
 
 
( ) si 
( )
( , ) si 
2
0 si 
i i j
i
i i j i j
i j
D p p p
D p
q p p p p
p p



 


* *
1 2p p c 
PREÇO VS QUANTIDADE 
 Normalmente, não existe razão para pensar que as 
reações são só em preço ou em quantidade 
 Vamos motivar um novo modelo desde o modelo de 
Cournot 
COURNOT 

i
iqpp ·0 



iq
p
iiii qcqpB ·· 
Estratégias: 
iqi 

i
iqpp ·0 
iqcp ii  ·
  IcppI i··1 0 
1
·0



I
Icp
p i
VARIAÇÕES CONJETURADAS 

i
iqpp ·0 
'1· ,  










j
ij
iq
piiii
qcqpB ·· 
Estratégias: 
iq

i
iqpp ·0 
iqcp ii  '·
O preço é maior 
quanto menor as 
reações dos 
riavais 
Existe 
0, 


ij
i
j
q
q
