Determinantes de Matrizes

Prévia do material em texto

2 – DETERMINANTES 39 
 
2 – DETERMINANTES 
 
2.1 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas 
(ou seja, é do tipo nxn). 
 A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de 
determinante. 
 Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
- resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
- cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas 
as coordenadas dos seus vértices. 
 
A toda matriz quadrada A = (aij)mxn de elementos reais de ordem n está associado um 
único número real chamado determinante da matriz A. 
O determinante da matriz A pode ser representado por: 
 
A representação do determinante de uma matriz A, que está designado por det A, faz-
se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais. 
 
2.2 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE PRIMEIRA ORDEM 
Matriz de ordem 1: Para uma matriz A=[a11] com apenas um escalar (1 linha e 1 
coluna), definimos: det(A) = a11 
O determinante é o próprio elemento. 
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, 
que não têm o significado de módulo. 
 Por exemplo: 
M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 
2 – DETERMINANTES 40 
 
M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 
 
2.3 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE SEGUNDA ORDEM 
TERMO PRINCIPAL: é o produto dos elementos da diagonal principal de uma matriz 
quadrada. 
TERMO SECUNDÁRIO: é o produto dos elementos da diagonal secundária de uma 
matriz quadrada. 
 
Para uma matriz quadrada de segunda ordem o determinante é igual à diferença entre 
o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: 
 
Será definido pelo produto: 
 
 
Exemplo: Calcular o determinante das matrizes: 
a) 
 
b) 
det (A) = (1 x 4) – (3 x 2) = 4 – 6 = -2 
 
 
2 – DETERMINANTES 41 
 
2.4 – CÁLCULO DO DETERMINANTE DE TERCEIRA ORDEM 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo 
prático, denominado regra de Sarrus. 
 Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os 
dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma 
deve ser precedida do sinal positivo): 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com 
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a 
soma deve ser precedida do sinal negativo): 
2 – DETERMINANTES 42 
 
 
Assim: 
 
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema 
de Laplace (o mesmo que o cálculo do determinante por COFATOR), encontraremos o 
mesmo número real. 
 
Determinante de ordem n > 3 
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de 
ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace 
para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus. 
 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz aplicando a regra de Sarrus. 
 
 
2.5 – COFATORES 
O determinante pode ser calculado através de cofator ( igual a Laplace) ou por 
triangulação. Por isso será explicado primeiro o que é uma matriz cofatora. 
2 – DETERMINANTES 43 
 
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se cofator de aij e indica-se Aij o número real 
obtido multiplicando-se (-1)i+j pelo determinante da matriz que se obtém da matriz A, 
excluindo-se a linha i e a coluna j do elemento aij. 
 
Exemplo: Para a matriz dada por: 
A = 
 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
O cofator A11 para o elemento a11 é o determinante de ordem 2 obtido da matriz A pela 
retirada da linha 1 e da coluna 1, multiplicado pelo número (-1)1+1: 
A11 = (-1)1+1 
 
a22 a23 
a32 a33 
 
= 
 
a22 a23 
a32 a33 
 
A matriz cofatora A23 para o elemento a23 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela 
exclusão da linha 2 e da coluna 3, multiplicada pelo número (-1)2+3=-1: 
A23 = (-1)2+3 
 
a11 a12 
a31 a32 
 
= 
 
-a11 -a12 
-a31 -a32 
 
As matrizes cofatoras Aij são conhecidas como matrizes menores pois uma matriz A de 
ordem n possui n×n matrizes cofatoras de ordem n-1. 
Cofator relativo à posição ij, indicado por dij, é o determinante da matriz cofatora Aij, isto 
é: dij=det(Aij) 
 
 Veja: 
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: 
 
2 – DETERMINANTES 44 
 
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada da matriz 












221
050
031
A , calcule os cofatores A13, A23 e A33. 
  5
21
50
.1 3113 
 A 
   32
21
31
.1 3223 
 A 
  5
50
31
.1 3333 
A 
 
2 – DETERMINANTES 45 
 
2.6 – CÁLCULO DO DETERMINANTE POR COFATOR 
É o mesmo que Teorema de Laplace. 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma 
dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos 
respectivos cofatores. 
Assim, fixando , temos: 
 
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . 
 
Teorema de Laplace 
( Pierre Simon Laplace, 1749-1827, astrônomo, físico e matemático francês) 
O determinante de uma matriz quadrada A é o número real obtido somando-se os 
produtos dos elementos de uma linha (ou uma coluna), pelos seus respectivos cofatores. 
O determinante de uma matriz de ordem n será dado pelo somatório do produto entre o 
elemento e seu cofator para uma única mesma fila (que pode ser qualquer uma, linha ou 
coluna, mas que de preferência tenha o maior número de zeros). 
 
Exemplo: Calcule o determinante (utilizando o Teorema de Laplace) de: 
 
Resolução: (fazer esse exercício junto com os alunos) 
Escolhendo como fila a primeira coluna: 
Det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 
Det A = 1 . (-1)1+1 . + 3 . (-1)2+1 . + 5 . (-1)3+1 . 
Det A = 1 . 1 . (-4 + 1) + 3 . (-1) . (-4 + 4) + 5 . 1 . (2 - 8) 
Det A = -3 + 0 - 30 = -33 
Resposta: Det A = -33 
2 – DETERMINANTES 46 
 
 
 
2.7 – PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
Serão citadas somente as principais propriedades dos determinantes (de matrizes 
quadradas de ordem n). Sendo que elas não serão demonstradas, mas somente verificadas 
por meio de exemplos. 
1) O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas 
colunas. 
det A = det AT (transposta) 
2 – DETERMINANTES47 
 
 
 
 
2 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante 
dessa matriz é nulo. (porque podemos escolher essa fila para desenvolver o determinante por 
cofator... ai o resultado será nulo) 
 
Exemplo: 
 
 
 
3) Se duas filas (linha ou coluna) de uma matriz são iguais, então seu determinante é 
nulo. 
2 – DETERMINANTES 48 
 
Exemplo: 
 
 
4) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é 
nulo. Em uma matriz dois elementos são correspondentes quando, situados em linhas 
diferentes, estão na mesma coluna, ou quando, situados em colunas diferentes, estão na 
mesma linha. 
Exemplo: 
 
 
 
 
2 – DETERMINANTES 49 
 
5) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal (matriz 
triangular superior ou inferior) são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos 
elementos dessa diagonal. 
Exemplos: 
 
 (matriz triangular superior) 
det A = (1 x 1 x 2) = 2 
 
Livro, página 437 (copiar para a folha) SCANIAR 
 
6) Quando trocamos as posições de duas filas (linha ou coluna) paralelas, o 
determinante de uma matriz muda de sinal. 
 
Exemplo: 
 
2 – DETERMINANTES 50 
 
 
 
7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) 
em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
 
Exemplos: 
 
 
2 – DETERMINANTES 51 
 
 
 
8) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha 
(coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente 
multiplicados por um número real diferente de zero. 
 
 
2 – DETERMINANTES 52 
 
 
 
2 – DETERMINANTES 53 
 
 
 
Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos 
aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas 
paralelas. 
Exemplo: 
 
2 – DETERMINANTES 54 
 
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos: 
 
 
P1) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos 
elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. 
Exemplos: 
 
 P2) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
Exemplo: 
 
P3) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são 
todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por 
. 
Exemplos: 
 
2 – DETERMINANTES 55 
 
P4) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . 
Como: 
Exemplo: 
 
P5) 
Exemplo: 
 
 
2 – DETERMINANTES 56 
 
 
2 – DETERMINANTES 57 
 
2.8 – CÁLCULO DO DETERMINANTE POR TRIANGULAÇÃO 
No exemplo vamos trabalhar com as linhas, mas pode ser com as colunas também 
(para transformar uma matriz em diagonal superior ou inferior). 
“Triangulação ou escalonamento” 
 
O método consiste em, dada uma matriz quadrada A, de ordem n, manipular as linhas 
(ou colunas) de seu determinante para transformar a matriz A, numa matriz triangular superior 
(ou inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão com o det A as necessárias compensações, 
quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos 
determinantes já vistas e verificadas. Para facilidade nos cálculos e por ser bastante prático, 
para executar o processo de triangulação, transforma-se todos os elementos da diagonal 
principal, exceto o último, no número 1. 
Procedimento: Obtido o número 1 na primeira linha e primeira coluna (a11 = 1), 
substituem-se, por meio das operações competentes, todos os demais elementos da 1ª 
coluna por zeros; da mesma forma, depois de obter a22=1, substituem-se os demais 
elementos da 2ª coluna por zeros e assim por diante. 
OBS: Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal, pode ocorrer: 
1º) O elemento ser igual a zero. Nesse caso, proceder à operação de troca de linhas e 
multiplicar o det A por –1, para que o determinante conserve o seu valor; 
2º) O elemento ser igual a k. Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da 
linha por 1/k para obter-se o número 1 como elemento da diagonal principal dessa linha. Por 
outro lado, para compensar, isto é, para que o det A mantenha seu valor, deve-se multiplicá-lo 
pelo inverso de 1/k, isto é, por k. 
3º) O elemento ser igual a 1. Nesse caso, nada a fazer no que diz respeito à diagonal 
principal. 
 
Observações: 
Quando se deseja permutar, por exemplo, a 2ª equação pela 3ª de um sistema de 
equações lineares, se escreve: 
2 – DETERMINANTES 58 
 
 
 
Quando se deseja multiplicar a 1ª equação, por exemplo, por 1/2, se escreve: 
 
 
Quando se deseja substituir a 2ª equação, por exemplo, pela soma dela com a 1ª 
equação, previamente multiplicada por -2, se escreve: 
 
 
 
2 – DETERMINANTES 59 
 
 
 
 
 
 
2 – DETERMINANTES 60 
 
 
 
(Igual ao exercício 2.4) Calcule o determinante (utilizando o Teorema de Triangulação) 
de: 
 (fazer em outro semestre) 
 
2.9 – EXERCÍCIOS 
Exercício 2.1) Calcule os determinantes abaixo, desenvolvendo-os pela 1ª linha, 
resolvendo por cofatores. 
a) 
 
det A = 2(1x2 - 4x8) - 5(3x2 - 4x6) + 7(3x8 - 1x6) = 156 
 
b) 
2 – DETERMINANTES 61 
 
 
det A = 3[4x7 - (-6)x2] - 1[(-5)x7 - (-6)x0] - 2[(-5)x2 - 4x0] = 175 
 
c) 
 
det A = 376 
Respostas: a) 156 b) 175 c) 376 
 
Exercício 2.2) Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus: 
a) 
b) 
c) 
d) 
2 – DETERMINANTES 62 
 
Respostas: a) -36 b) 12 c) -4 d) 2 
 
Exercício 2.3) Calcule os seguintes determinantes 
 
Respostas: a) 10 b) 2 c) 0 
 
Exercício 2.4) Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente 
misturar as técnicas aprendidas) os seguinte determinantes: 
a) 
b) 
c) 
Respostas: a) 12 b) -131 c) -19Exercício 2.5) Resolva as seguintes equações: 
 
Respostas: a) x = -1 e x = -4 b) 5
3
 
2 – DETERMINANTES 63 
 
Exercício 2.6) Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer 
linha ou coluna que pareça conveniente. 
a) 
b) 
c) 
d) 
Respostas: a) 7 b) -12 c) 4 d) 8 
 
 
Exercício) Se det (A) = -3, encontre: 
a) det (A2) 
b) det (A3) 
c) det (A-1) 
d) det (AT) 
 
 
 
Exercício 2.7) Calcular os determinantes por triangulação: 
a) 
101
054
223


=? ® -33 
2 – DETERMINANTES 64 
 
b) 
1270
1402
3101
0122



=? ® 255 
c) 
3112
3211
3242
2121
det


A =? 
Respostas: a) -33 b) 255 c) -6 
 
 Solução: Somando à segunda linha o produto da primeira linha por –2, temos: 
3112
3211
1000
2121
det


B , aplicando a esse último resultado o teorema de Laplace pela segunda 
linha, temos:    
112
211
121
.1.1 42

  = -6 ® detB =detA = -6