MQ Aula_03

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MÉTODOS QUANTITATIVOS – AULA 3
ANTONIO VIANA MATIAS
Rio de Janeiro, 2011
 Aula 3 - Programação Linear e 
seus Conceitos Básicos
AULA 03 – PROGRAMAÇÃO LINEAR: CONCEITOS 
BÁSICOS 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- A utilização do modelo matemático de Programação 
Linear;
- As áreas de aplicação da Programação Linear.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
É um subitem de programação matemática é um 
dos elementos mais utilizados em Pesquisa 
Operacional. É um modelo de otimização. Visa 
alocar recursos escassos (ou limitados) a 
atividades em concorrência (em competição).
A tarefa primordial ao utilizar a programação linear 
é o reconhecimento e a formulação do problema de 
forma tal que ele possa ser trabalhado e assim 
fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático de Programação Linear, 
existem três conjuntos de elementos:
- Variáveis de decisão e parâmetros: as 
variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
determinadas pela solução do modelo. Parâmetros 
são valores fixos no problema;
- Restrições: de modo a levar em conta as 
limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir 
restrições que limitam as variáveis de decisão e 
seus valores possíveis (ou variáveis); e
- Função Objetivo: é uma função matemática que 
define a qualidade da solução em função das 
variáveis de decisão.
PROGRAMAÇÃO LINEAR: IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS 
Exemplo 1
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem 
conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos 
fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que 
fabrica: espessura fina, média e grossa (PARÂMETROS). Toda a produção 
da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a 
outra no Rio de Janeiro (VARIÁVEIS DE DECISÃO). Segundo os contratos 
fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 
toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas 
(RESTRIÇÕS). Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma 
demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo 
de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva 
de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O 
custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma 
capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas 
grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos 
pedidos ao menor custo possível?
 
Variáveis de decisão:
- X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
- X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de 
Janeiro
 Parâmetros:
- Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
- Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 
fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser minimizada: 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
QUADRO RESUMO
_____________________________________________
PARÂMETROS SPO RIO RESTRIÇÃO
_____________________________________________
Lamina fina 8 2 16
Lamina média 1 1 6
Lamina grossa 2 7 28
Custo (função objetivo)100.000 200.000
Restrições técnicas: 
8 X1 + 2 X2 ≥≥≥≥ 16 
 X1 + X2 ≥≥≥≥ 6 
 2 X1 + 7 X2 ≥≥≥≥ 28 
 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥≥≥≥ 0 e X2 ≥≥≥≥ 0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 
e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, 
no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada 
solução apresentada.
 Exemplo 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas 
por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por 
dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo 
para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um 
calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 
5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o 
calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de 
pizzas e calzones uma pizzaria deve vender 
diariamente para maximizar a sua receita, considerando 
que ela tem um pizzaiolo? 
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo 
das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo 
dos calzones
 Parâmetros:
- Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
- capacidade diária de produção de pizzas e calzones e 
a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
- Capacidade de pizza 1 0 128 (8 
x 16)
- Capacidade de calzone 0 1 72 (8 x 9)
- Queijo 40 60 5.000 (5 kg)
Lucro (função Objetivo) 18 22
QUADRO RESUMO
_____________________________________________
PARÂMETROS PIZZA CALZONE RESTRIÇÃO
_____________________________________________
 
Restrições técnicas: 
 X1 ≤ 128 (8 x 16) 
 X2 ≤ 72 (8 x 9) 
40 X1 + 60 X2 ≤ 5000 (5 kg) 
 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão 
são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do 
sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para 
cada solução apresentada.
Exemplo 3:
Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as 
quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os 
serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados 
para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos 
admitidos na empresa são:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 
4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B 
consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período 
citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 
unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do 
tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem 
condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de 
B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para 
que tenhamos um lucro máximo.
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de serviços tipo A
- X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
- Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
- Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de 
custos de produção
Função Objetivo:
Função objetivo a ser maximizada: 
ZMáx. = 70 X1 + 160 X2
QUADRO RESUMO
_______________________________________________
PARÂMETROS SERV. A SERV. B RESTRIÇÃO
_______________________________________________
-Recurso I 4 6 36
-
 Recurso II 4 2 20
-
 Custo produção 800 900 7200
-
 lucro 70 160
Restrições técnicas: 
 4 X1 + 6 X2 ≥ 36 
 4 X1 + 2 X2 ≥ 20 
 800 X1 + 900 X2 ≤ 7200 
- Restrições de não negatividade: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 
 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são 
X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do 
sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, 
para cada solução apresentada.
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação 
Linear pode-se destacar as seguintes: 
- Administração da Produção;
- Análise de Investimentos;
- Alocação de recursos limitados;
- Planejamento regional;
- Logística;
- Custo de transporte;
- Localização da rede de distribuição;
- Alocação de recursos em marketing entre diversos 
meios de comunicação.
 
Nesta aula você aprendeu:
• A utilização do modelo matemático de Programação 
Linear;
• As áreas de aplicação da ProgramaçãoLinear.