AULA 11_PROBABILIDADE BÁSICA (PARTE 03)

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Probabilidade e Estatística 
Profª Kellen Lima 
Aula 11 
Probabilidade Básica (Parte 03) 
6.8 Probabilidade Condicional 
CONTINUAÇÃO... 
EXEMPLOS: 
- Qual é a prob. de chover amanhã dado que choveu hoje? 
- Qual a prob. de uma pessoa ter uma doença se um exame médico 
deu negativo? 
- Qual a prob. de ser cliente da operadora de telefonia A dado que 
já foi cliente da B? 
Como determinar a prob. de um 
evento caso certas informações já 
sejam conhecidas? 
A PROBABILDADE CONDICIONAL 
 é a probabilidade de um evento 
dado que outro evento ocorreu. 
OCORRE A, SE OCORREU B! 
B)|P(A
Probabilidade de ocorrer A tendo 
ocorrido B; 
Probabilidade de A dado B ou 
Probabilidade de A condicional a B. 
P(B)
)BP(A
B)|P(A


 Eventos de S: A e B (A, B ⊂ S) com P(B)>0 e P(A)>0: 
P(A)
)BP(A
A)|P(B


Sendo: 
No Diagrama de Venn 
P(B)
)BP(A
n(S)
n(B)
n(S)
B)n(A
n(B)
B)n(A
P(A|B)






B: Diminuindo S teremos um novo espaço amostral (B) 
novo evento (𝑨 ∩ 𝑩) 
Dos carros de um feirão de carros usados, 
70% tem ar condicionado (AC) e 40% tem 
um tocador de CD (CD). Sendo que, 20% 
dos carros possuem ambos. 
Qual é a probabilidade que o carro tenha 
um tocador de CD, dado que o carro tem ar 
condicionado (AC)? 
(a) Logo, queremos determinar: P(CD | AC). 
(b) Represente o espaço amostral por meio 
de uma tabela de contingência e diagrama 
de árvores. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
CD Sem CD TOTAL 
AC 0,2 0,5 0,7 
Sem AC 0,2 0,1 0,3 
TOTAL 0,4 0,6 1,0 
0,2857
0,7
0,2
P(AC)
AC) e P(CD
AC)|P(CD 
Dado AC apenas considera-se a linha de cima (70% dos carros), 
sendo que, destes 20% têm um tocador de CD. Então, a 
P (CD|AC) é de aproximadamente 28,57%. 
Tabela de contingência 
RESOLUÇÃO 
P(CD e AC) = 0,2 
P(CD e ACc) = 0,2 
P(CDc e ACc) = 0,1 
P(CDc e AC) = 0,5 
Todos 
os 
carros 
1) Dado CD ou sem CD 
Diagrama de Árvores 
RESOLUÇÃO 
P(AC e CD) = 0,2 
P(AC e CDc) = 0,5 
P(ACc e CDc) = 0,1 
P(ACc e CD) = 0,2 
Todos 
os 
carros 
2) Dado AC ou não AC 
Diagrama de Árvores 
RESOLUÇÃO 
6.8 Probabilidade Condicional 
6.8.1 A Regra do Produto 
Outra forma de computar a probabilidade de uma 
interseção de eventos: 
Para a interseção dois eventos A e B: 
Ou generalizando: 
     BP*BAPB A P 
         1122-n1-n1-nnn21 AP*AAP*...*AAP*AAPA....AAP  
Para n = 2 
P(B)
)BP(A
B)|P(A


Suponha que o conselho da universidade seja 
composto de 5 brancos, 4 negros e 3 orientais. 
Qual a probabilidade de selecionarmos 
aleatoriamente um oriental e branco? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 0,1145/44)(
(5/12)*(3/11) )(
P(B)*B)|P(O)(
O)Ae BP(A 21




BOP
BOP
BOP
RESOLUÇÃO 
Uma vez que a pessoa branca é escolhida (de um total de 12 
membros do conselho), apenas 11 restam no espaço amostral 
do segundo sorteio, dos quais 3 são orientais. 
6.9 O Teorema da Probabilidade Total 
Dividimos o espaço amostral em uma série de cenários 
possíveis, Ai (partição de S). 
P(B|Ai) são conhecidos ou fáceis de calcular 
P(B): média ponderada de P(B) ocorrer em cada cenário, P(B|Ai) 
Cada cenário é ponderado por sua prob. de ocorrência: P(Ai) 
     
             332211
321
*** APABPAPABPAPABPBP
ABPABPABPP(B)

 
Divida e Conquiste! 
     111 AP*ABPA BP  )P(A
)AP(B
)A|P(B
1
1
1


Visualizando o Teorema da Probabilidade Total 
     
             332211
321
*** APABPAPABPAPABPBP
ABPABPABPP(B)

 
Divida e Conquiste! 
Em três parques industriais, P1, P2 e P3, 
dedicam-se à atividade alimentar (A), 10%, 40% 
e 25% das empresas instaladas. Escolhido, ao 
acaso, um dos parques e nele, também ao 
acaso, uma empresa, qual a probabilidade de 
esta se dedicar à atividade alimentar? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Partição: parques industriais; 
 
• P(P1) = 1/3 P(P2) = 1/3 e P(P3) = 1/3 
Para cada um dos cenários: 
• P(A|P1) = 0,1 P(A|P2) = 0,4 e P(A|P3) = 0,25 
Probabilidade de ganhar, usando o Teorema da Probabilidade Total: 
P(A) = P (A∩ P1)+P (A∩ P2)+P (A∩ P3) 
P(A) = P(A|P1)*P(P1)+ P(A|P2)*P(P2)+ P(A|P3)*P(P3) 
P(A) = 0,1*0,33 + 0,4*0,33 + 0,25*0,33 
P(A) = 0,24 
RESOLUÇÃO 
RESOLUÇÃO 
6.10 Independência de Eventos 
Dois eventos são independentes se e somente 
se: 
Os eventos A e B são independentes quando 
a probabilidade de ocorrência de um evento 
não é afetada pela ocorrência do outro 
evento. 
Pela definição de probabilidade condicional 
P(A)B)|P(A 
 
 
     BP APBAP
BP
BAP
 B)|P(A Sendo,
P(A)B)|P(A





• A ocorrência dos eventos é governada por 
processos físicos distintos que não interagem 
entre si. 
Fácil de intuir quando os eventos são 
independentes: 
Difícil de visualizar no espaço amostral: confusão 
frequente: achar que eventos disjuntos são 
independentes… 
A segunda formulação é mais usada na prática 
para testar se dois eventos são independentes. 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Três componentes C1, C2, e C3 de um 
mecanismo são postos em série (em linha reta). 
Suponha que esses componentes sejam 
dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento 
{C2 está à direita de C1} e seja S o evento {C3 
está à direita de C1}. Os eventos R e S são 
independentes? Por quê? 
Para que R e S sejam independentes deve-se ter: 
 
P(R∩S) = P(R) × P(S) 
 
• O espaço amostral para este caso é: 
 
A = {C1C2C3 ; C1C3C2 ; C2C1C3 ; C2C3C1 ; C3C1C2 ; C3C2C1}. 
 
• As sequências em que C2 está à direita de C1 são: 
 
R = { C1C2C3 ; C1C3C2 ; C3C1C2 } Logo: P(R) = 3/6 = 50% 
 
• As sequências em que C3 está à direita de C1 são: 
 
S = {C1C2C3 ; C1C3C2 ; C2C1C3} Logo: P(S) = 3/6 = 50% 
 
• As sequências em que C2 está à direita de C1 E C3 também está à 
direita de C1 são: 
(R∩S) = { C1C2C3 ; C1C3C2 } 
 
P(R∩S) = 2/6 = 1/3 = 0,33 = 33,33% ≠ P(R) × P(S) = 0,5×0,5 = 0,25 = 25% 
PORTANTO, OS EVENTOS R E S NÃO SÃO INDEPENDENTES. 
 
RESOLUÇÃO 
6.11 Teorema de Bayes 
Em relação a exames diagnósticos, isto se resume à seguinte 
equação: aquilo que pensávamos antes + as informações dos 
exames = aquilo que pensamos depois. 
Probabilidades prévias + novas informações 
Teorema de Bayes 
Probabilidades posteriores 
Matematicamente, nada mais é do que uma extensão da 
probabilidade condicional e do teorema do produto; 
O Teorema de Bayes é usado para rever probabilidades 
previamente calculadas quando novas informações aparecem; 
P(B)
)P(A*)A|P(B
B)|P(A iii 
Nós temos uma probabilidade « a 
priori » para eventos Ai mutuamente 
exclusivos e coletivamente exaustivos: 
P(Ai) 
Para cada Ai nós sabemos, P(B|Ai) 
Mas na verdade nós queremos 
computar: P(Ai|B)      iii AP*ABPA BP 
Onde: 
Ai = i
ésimo evento de n 
eventos mutuamente 
excludentes e 
coletivamente 
exaustivos. 
B = novo evento que 
talvez mude a chance 
de Ai ocorrer. 
     nn2211
ii
i
AP*)AP(B...AP*)AP(BAP*)AP(B
)P(A*)A|P(B
B)|P(A


EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem 
o mesmo tipo de produto. A fábrica 1 é responsável por 30% 
do total produzido, a fábrica 2 produz 45% do total, e o 
restante vem da fábrica 3. Cada uma das fábricas, no 
entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem 
aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais 
produtos são considerados defeituosos e correspondema 
1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por 
fábrica. No centro de distribuição é feito o controle de 
qualidade da produção combinada das fábricas. 
(a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso 
durante a inspeção de qualidade? 
(b) Se durante a inspeção, encontramos um produto 
defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha sido 
produzido na fábrica 2? 
Sejam os eventos: 
 
D = {Produto Defeituoso} e Fi = {Produto da Fábrica i} 
 
Sabemos, pelo enunciado, que: P(F1) = 0,3 P(F2) = 0,45 e P(F3) = 0,25. 
Além disso, sabemos que P(D|F1) = 0,01 P(D|F2) = 0,02 e P(D|F3) = 0,015. 
 
(a) Então, pela lei da probabilidade total: 
 
P(D) = P(D|F1)*P(F1) + P(D|F2)*P(F2) + P(D|F3)*P(F3) 
P(D) = 0,01*0,3 +0,02*0,45 +0,015*0,25 = 0,01575 
 
 
(b) Aqui, aplicaremos o Teorema de Bayes usando o item anterior para 
encontrar P(A): 
 
P(F2|D) = P(D|F2)*P(F2) / P(A) 
P(F2|D) = 0,02*0,45 / 0,01575 
P(F2|D) = 0,5714 
 
RESOLUÇÃO 
RESUMO 
Em três aulas aprendemos: 
CONCEITOS BÁSICOS 
DE PROBABILIDADE 
FUNÇÕES 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE 
CONDICIONAL 
• Espaço amostral e 
eventos, propriedades 
de conjuntos. 
 
• Probabilidade clássica, 
Probabilidade 
Frequentista 
• Regra da Adição 
• Técnicas de Contagem 
 
• Regra do Produto e 
Teorema da 
Probabilidade Total 
• Teorema de Bayes 
• Independência 
Obrigada!!! 
 
& 
 
Bons Estudos!!! 
Uma empresa de produtos eletrônicos está 
avaliando a comercialzação de um novo 
modelo de aparelho de TV. No passado, 40% 
dos aparelhos de TV introduzidos pela 
empresa foram bem-sucedidos, enquanto 60% 
não foram. Antes de lançar o aparelho de TV no 
mercado, o departamento de pesquisa do 
mercado (DPM) realizou um amplo estudo e 
divulgou um relatório, favorável ou 
desfavorável. No passado, 80% dos aparelhos 
de TV bem-sucedidos receberam um relatório 
favorável na pesquisa de mercado, enquanto 
30% dos aparelhos de TV não foram bem- 
sucedidos receberam relatórios favoráveis. 
Para o novo modelo de TV que está sendo 
avaliado, o DPM emitiu um relatório favorável. 
Qual é a probabilidade de que a TV venha ser 
bem-sucedido? 
AULA 11 – EXERCÍCIO 
R
e
s
p
o
s
ta
 =
 0
,6
4
 
     nn2211
ii
i
AP*)AP(B...AP*)AP(BAP*)AP(B
)P(A*)A|P(B
B)|P(A

