Integrais de linha

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INTEGRAIS DE LINHA 
Danilo Sande Santos 
SUMÁRIO 
¢  Integrais de linha de funções escalares; 
¢  Integrais de linha de funções vetoriais; 
¢  Referências. 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
A integral de linha é semelhante `a integral comum, a 
diferença é que integramos sobre uma curva C. 
 
 
 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Seja C uma curva plana (suave) dada pelas equações paramétricas: 
 
 
 
Se dividirmos o intervalo [a,b] 
em n sub-intervalos [ti-1,ti] iguais 
e fizermos: 
 
 
 
x = x(t)
y = y(t) ,a ≤ t ≤ b
"
#
$
%$
ou 
r (t) = x(t)i + y(t)j
xi = x(ti )
yi = y(ti )
!
"
#
$# Pi (xi, yi )
, então os correspondentes 
pontos dividem C 
em n sub-arcos com 
comprimentos 
ΔS1, ΔS2, ..., ΔSn 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Vamos escolher um ponto em um arco arbitrário. 
Se f(x,y) é uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva 
C, podemos calcular f no ponto , multiplicar por Δsi e 
formar a soma: 
 
 
 
 
 
Pi *(xi*, yi*)
Pi *(xi*, yi*)
f (xi*, yi*)ΔSi
i=1
n
∑
Tomando o limite quando nè∞: 
lim
n→∞
f (xi*, yi*)ΔSi = f (x, y)ds
C
∫
i=1
n
∑
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
lim
n→∞
f (xi*, yi*)ΔSi = f (x, y)ds
C
∫
i=1
n
∑
como: 
ds = dxdt
!
"
#
$
%
&
2
+
dy
dt
!
"
#
$
%
&
2
dt , então: 
f (x, y)
C
∫ ds = f (x(t), y(t))
a
b
∫ dxdt
"
#
$
%
&
'
2
+
dy
dt
"
#
$
%
&
'
2
dt
No caso 3-d: 
f (x, y, z)
C
∫ ds = f (x(t), y(t), z(t))
a
b
∫ | r '(t) | dt
r '(t) = dxdt

i + dydt

j + dzdt

k
, onde: 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
No caso de funções positivas de duas variáveis, a integral de 
linhas pode ser interpretada como uma área. A integral 
representa a área lateral de uma “cerca”. 
 
 
 
f (x, y)ds
C
∫
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Ex: Calcule , onde C é a metade superior da 
 
circunferência x2+y2 = 1. 
 
 
 
(2+ x2y)ds
C
∫
x = cost
y = sent , 0 ≤ t ≤ π
"
#
$
%$
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Vamos supor que C seja uma curva suave por partes, ou seja, 
é a união de um finito número de curvas suaves: 
 
 
f (x, y)
C
∫ ds = f (x, y)
C1
∫ ds+ f (x, y)
C2
∫ ds+...+ f (x, y)
Cn
∫ ds
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Ex: Calcule , onde C consiste do arco C1 da parábola 
 
y = x2 de (0,0) a (1,1) seguido da linha vertical C2 de (1,1) a (1,2). 
 
 
 
 
2x ds
C
∫
C1 :
x = x
y = x2 , 0 ≤ x ≤1
"
#
$
%$
C2 :
x =1
y = y ,1≤ y ≤ 2
"
#
$
%$
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Duas outras integrais de linhas podem ser obtidas 
substituindo Δsi por Δxi ou Δyi na definição da integral de 
linha: 
 
 
 
f (x, y)dx
C
∫ = limn→∞ f (xi*, yi*)Δxi
i=1
n
∑
f (x, y)dy
C
∫ = limn→∞ f (xi*, yi*)Δyi
i=1
n
∑
Que podem ser calculadas expressando tudo em termos do 
parâmetro t: 
f (x, y)
C
∫ dx = f (x(t), y(t))x '(t)
a
b
∫ dt
f (x, y)
C
∫ dy = f (x(t), y(t))y '(t)
a
b
∫ dt
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
É comum aparecer integrais de linha com relação `a x e y 
juntos, nesse caso podemos abreviar a escrita: 
 
 
P(x, y)
C
∫ dx + Q(x, y)
C
∫ dy = P(x, y)
C
∫ dx +Q(x, y)dy
Na resolução de integrais de linha, a maior dificuldade é parametrizar a 
curva dada! 
Para o caso de segmentos de reta, podemos parametrizar da seguinte 
forma: 
r (t) = (1− t)r0 + t
r1 , com 0 ≤ t ≤1
Vetor 
inicial 
Vetor final 
x
C
∫ dx + ydy+ zdz =

F
C
∫ .dr =W

F = x

i + y

j + z

k, onde Ex: 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Ex: Calcule , onde: 
 
a)  C = C1 é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) 
b)  C = C2 é o arco da parábola x = 4 – y2 de (-5,-3) a (0,2) 
 
 
y2 dx + x dy
C
∫
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
ESCALARES 
Do exemplo anterior vemos que: 
 
A integral de linha geralmente depende do caminho... 
 
 
 
f (x, y)
−C
∫ dx = − f (x, y)
C
∫ dx
f (x, y)
−C
∫ dy = − f (x, y)
C
∫ dy
f (x, y)
−C
∫ ds = f (x, y)
C
∫ ds
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
O trabalho realizado por uma força variável f(x) para mover 
uma partícula de a até b ao longo do eixo x é: 
 
 
Vamos supor que é um campo de forças 
contínuas sobre R3. Qual o trabalho realizado por essa força 
no movimento de uma partícula ao longo da curva suave C? 
W = f (x)dx
a
b
∫

F = P

i +Q

j + R

k
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Vamos dividir C em sub-arcos com comprimentos Δsi. Essa divisão é 
possível através de divisões do intervalo de parâmetros [a,b] em sub-
intervalos de igual comprimento. 
 
Pi *(xi*, yi*, zi*)ti *
Escolhemos o ponto , 
equivalente a . 
Uma partícula que se move 
de Pi-1 a Pi ao longo da 
curva, segue na direção 

T (ti*)
Vetor tangente unitário em Pi* 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
O Trabalho realizado pela força F para mover uma partícula de Pi-1 
para Pi é aproximadamente: 
 F(xi*, yi*, zi*).[Δsi

T (ti*)]= [

F(xi*, yi*, zi*).

T (ti*)]Δsi
Força Deslocamento Componente da força na direção do deslocamento 
Trabalho total para mover a partícula ao 
 longo de C é aproximadamente: 
[ F(xi*, yi*, zi*).

T (xi*, yi*, zi*).]Δsi
i=1
n
∑
Fazendo nè∞: 
W =

F(x, y, z). T (x, y, z)ds
C
∫ =

F. T ds
C
∫
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
 
 
 
Se a curva C for parametrizada por , 
então a direção tangente unitária T, será dada por: 
W =

F(x, y, z). T (x, y, z)ds
C
∫ =

F. T ds
C
∫
r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)

k

T =
r '(t)
| r '(t) |
, logo: 
W = [ F(r (t)).
r '(t)
| r '(t) |] |
r '(t) | dt
C
∫
W =

F(r (t)).r '(t)dt =
C
∫

F.dr
C
∫
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Definição: Seja F um campo de forças contínuo definido sobre a 
curva suave C, dada pela função vetorial , a ≤ t ≤ b. Então, a 
integral de linha de F ao longo de C é: 
 
 
 
 
Ex: Calcule , onde e C é dado 
por: 
r (t)

F.dr
C
∫ =

F(r (t)).r '(t)dt =
a
b
∫

F. T ds
C
∫

F.dr
C
∫ F(x, y, z) = xyi + yzj + zx

k
C :
x = t
y = t2
z = t3
, 0 ≤ t ≤1
"
#
$
%
$
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Qual a conexão entre as integrais de linha escalar e vetorial? 
 
Seja , temos que: 

F = P

i +Q

j + R

k

F.dr
C
∫ =

F(r (t)).r '(t)dt
a
b
∫

F.dr
C
∫ = (P

i +Q

j + R

k ).(x '(t)i + y '(t)j + z '(t)

k )dt
a
b
∫

F.dr
C
∫ = Pdx +Qdy+ Rdz
C
∫
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Ex: Calcular ao longo da curva z = x2, 
 
y = 2, do ponto A(0,2,0) ao ponto B(2,2,4). 
2x dx + yzdy+3zdz
C
∫
C :
x = t
dx = dt
y = 2
dy = 0dt
z = t2
dz = 2tdt
, 0 ≤ t ≤ 2
"
#
$
$
$
$
%
$
$
$
$
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Independência do caminho: 
 
Vamos supor C1 e C2 duas curvas suaves por partes que tenham o 
mesmo ponto inicial Ae final B. Em geral: 
 
 
 
Porém, se F é conservativo, temos que: 

F.dr
C1
∫ ≠

F.dr
C2
∫

F.dr
C1
∫ =

F.dr
C2
∫

F.dr = 0∫
Consequência do teorema fundamental das integrais de 
linhas: 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Teorema fundamental das integrais de linha: 
 
Seja C uma curva suave por partes dada pela função vetorial r(t), 
a ≤ t ≤ b. Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis 
cujo vetor gradiente é contínuo em C. Então: 
 
 

F.dr
C1
∫ =

F.dr
C2
∫

∇f .dr
C
∫ = f (r (b))− f (r (a))
Se a função é conservativa 

F =

∇f

∇f .dr
C1
∫ =

∇f .dr
C2
∫
Se C1 e C2 possuem os mesmos pontos 
inicial A e final B. 
INTEGRAIS DE LINHA DE FUNÇÕES 
VETORIAIS 
Ex: Seja , calcule , onde C é: 
 
a)  Um segmento de reta do ponto (0,0) ao ponto (1,1); 
b)  Um arco da parábola y = x2 de (0,0) ao ponto (1,1); 
c)  Calcule ; 
d)  Obtenha a função potencial associada, se existir. 

F = (3+ 2xy)i + (x2 −3y2 )j F.dr
C
∫

F.dr∫
REFERÊNCIAS 
¢  GONÇALVES, M. B. e FLEMMING, D. M., Cálculo B: Funções de 
Várias Variáveis, Integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de 
superfície. 2ª Edição. Editora Makron Books do Brasil, São Paulo, 
2007. 
¢  STEWART J, Cálculo, volume 2. Tradução da 6ª edição norte americana. 
Editora Cengage Learning, São Paulo, 2013.