Integrais duplas

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INTEGRAIS DUPLAS 
Danilo Sande Santos 
SUMÁRIO 
¢  Definição e interpretação geométrica; 
¢  Propriedades das Integrais duplas; 
¢  Cálculo das integrais duplas; 
¢  Mudança de variáveis nas integrais duplas; 
¢  Integrais duplas em coordenadas polares; 
¢  Aplicações de Integrais Duplas; 
¢  Referências. 
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA 
Uma integral dupla de uma função positiva é um volume, que 
é o limite das somas dos volumes de colunas retangulares. 
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA 
Vamos considerar uma função z = f(x,y) positiva, definida em 
uma região fechada e limitada R do plano xy. 
 
 
z = f (x, y)
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, 
cobrimos a região R com pequenos retângulos. 
 
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA 
Vamos considerar somente os retângulos Ri totalmente contidos em 
R, numerando-os de 1 até n. 
Escolhendo um ponto (xi,yi) em um dado retângulo Ri, podemos 
calcular o volume aproximado entre z = f(x,y) e esse retângulo. 
 
 
V ≈ f (xi, yi )ΔAi = f (xi, yi )ΔxiΔyi
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA 
Somando o volume de todos os prismas retos gerados como os da 
figura anterior, temos uma aproximação do volume do espaço entre a 
função e o plano xy. 
 
 V ≈ f (xi, yi )ΔxiΔyi
i=1
n
∑
DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA 
Tomando o limite dessa soma, quando o número de retângulo tende 
para infinito, obtemos o volume delimitado pela função z = f(x,y) e o 
plano xy. 
 
 V = lim
n→∞
f (xi, yi )ΔxiΔyi
i=1
n
∑ = f (x, y)dxdy
R
∫∫
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Supondo f(x,y) e g(x,y) contínuas sobre a região R: 
a) kf (x, y)dA = k f (x, y)dA
R
∫∫
R
∫∫
b) [ f (x, y)+ g(x, y)]dA = f (x, y)dA
R
∫∫ + g(x, y)dA
R
∫∫
R
∫∫
Se f(x,y) ≥ g(x,y) para todo (x,y) pertencente `a R, então: 
c) f (x, y)dA
R
∫∫ ≥ g(x, y)dA
R
∫∫
Se f(x,y) ≥ 0 para todo (x,y) pertencente `a R, então: 
d) f (x, y)dA
R
∫∫ ≥ 0
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não 
possuem pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas 
fronteiras, então: 
e) f (x, y)dA = f (x, y)dA
R1
∫∫ + f (x, y)dA
R2
∫∫
R
∫∫
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
A região de integração pode ser basicamente de dois tipos: 
Teorema de Fubini: 
 
1- Se R é definida por a ≤ x ≤ b e f1(x) ≤ y ≤ f2(x), onde f1(x) e f2(x) são 
contínuas em [a,b], então: 
f (x, y)dA = f (x, y)dydx
f1(x )
f2 (x )
∫
a
b
∫
R
∫∫
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
2 Se R é definida por c ≤ y ≤ d e g1(y) ≤ x ≤ g2(y), onde g1(y) e g2(y) são 
contínuas em [c,d], então: 
f (x, y)dA = f (x, y)dxdy
g1(y)
g2 (y)
∫
c
d
∫
R
∫∫
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Exemplo 2: Calcular a integral , onde R é a região 
limitada por y = x2 e y = 2x. 
I = (x + y)dA
R
∫∫
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Exemplo 3: Calcule a integral I = e−y
2 dydx
4x
4
∫
0
1
∫
CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 
Exemplo 4: Descreva e inverta a região de integração da 
Integral: 
I = f (x, y)dydx
− 4−x2
4−x2
∫
−2
2
∫
Exemplo 5: Calcular , onde R é o triângulo OAB da 
figura. 
I = xydA
R
∫∫
MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL 
DUPLA 
A mudança de variáveis na integração de funções de uma variável é 
dada por: 
f (x)dx =
a
b
∫ f (g(t))g '(t)dt
c
d
∫
x = g(t)
, onde a = g(c) e b = g(d) 
Para integrais duplas, podemos realizar a mudança de variáveis: 
x = x(u,v)
y = y(u,v)
Desse modo, uma uma integral dupla sobre a região R do 
plano xy pode ser transformada em uma integral dupla sobre 
uma região R’ do plano uv. 
MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL 
DUPLA 
Considerando u, v, x e y contínuas, com derivadas parciais 
contínuas em R’ e R, temos: 
f (x, y)dxdy =
R
∫∫ f (x(u,v), y(u,v)) ∂(x, y)
∂(u,v) dudvR '∫∫
∂(x, y)
∂(u,v) =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
, onde 
é o determinante Jacobiano de x 
e y em relação a u e v. 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
Em coordenadas polares: 
x = rcosθ
y = rsenθ è 
∂(x, y)
∂(r,θ ) =
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
= cosθ −rsenθsinθ rcosθ = r
Desse modo, a integral dupla em coordenadas polares fica: 
f (x, y)dxdy =
R
∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dr dθ
R '
∫∫
0 ≤θ ≤ 2π
−π ≤θ ≤ π
, com 
Interpretação geométrica em coordenadas polares: 
R’ e R se relacionam pela transformação de coordenadas 
Dividindo R’ em pequenos retângulos, pelas retas r = constante, 
θ = constante, R fica dividido em retângulos polares. 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
Interpretação geométrica em coordenadas polares: 
O Retângulo de área ΔA’ =ΔrΔθ, na região R’, está em 
correspondência com o retângulo polar de área ΔA, na região R. 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
2π −−−πR2
α −−−−x
x = 12αR
2
ΔA = 12 (r +Δr)
2Δθ −
1
2 r
2Δθ
ΔA = 12 [(r +Δr)
2 − r2 ]
ΔA = [r + (r +Δr)]2 ΔrΔθ
ΔA = rΔA '
è 
é o raio médio entre r e r +Δr, se 
Δr tender a 0, então: 
r
f (x, y)dA =
R
∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dA '
R '
∫∫
f (x, y)dxdy =
R
∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dr dθ
R '
∫∫
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
Exemplo 1: Calcular , sendo R o 
 
 círculo de centro na origem e raio 2. 
x2 + y2 dxdy
R
∫∫
Exemplo 2: Calcular , onde R é delimitada por 
 
e . 
ex2+y2 dxdy
R
∫∫ x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 9
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
Exemplo 3: Usando coordenadas polares, escreva na forma de uma 
integral iterada, a integral: 
f (x, y)dxdy
R
∫∫ , onde R é a região delimitada por x2 + y2 − ay = 0,
a > 0
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
Exemplo 4: Calcular [(x − 2)2 + (y− 2)2 ]dxdy
R
∫∫ , onde R é a região delimitada 
(x − 2)2 + (y− 2)2 = 4pela circunferência . 
z = (x − 2)2 + (y− 2)2
(x − 2)2 + (y− 2)2 = 4
*Não confundir uma função no espaço com uma curva 
no plano. z ≠ 4è 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS 
POLARES 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
Vimos que para f(x,y) ≥ 0, a integral é o volume do 
 
sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente 
pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno 
de R. 
V = f (x, y)dA
R
∫∫
Exemplo 1: Calcule o volume do sólido acima do plano xy e 
delimitado por z = 4 – 2x2 – 2y2. 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
Exemplo 2: Calcule o volume do sólido delimitado por y + z = 2 e 
pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x2 e x = y2, 
no primeiro octante. 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
Quando um sólido é determinado por duas superfícies z1 = f(x,y) e 
z2 = g(x,y) com z1 ≥ z2. O volume será dado por: 
V = [ f (x, y)− g(x, y)]
R
∫∫ dxdy , onde R é a projeção do sólido sobre o plano xy. 
Exemplo 3: Calcule o volume do sólido delimitado por z = 2x2 + y2 e 
z = 4 – 2x2 – y2. 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
O Volume é dado por , se fizermos f(x,y) = 1, 
temos: 
V = f (x, y)dA
R
∫∫
A = dA
R
∫∫ , que é a área da região de integração R. 
A = dA = dydx
f1(x )
f2 (x )
∫
a
b
∫
R
∫∫ = [ f2 (x)− f1(x)]dx
a
b
∫
Analisando para uma região do tipo 1: 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS 
Exemplo 1: Calcule a área da região R delimitada por e . x = y2 +1 x + y = 3
Exemplo 2: Mostrar, usando integrais duplas, que a área delimitada por uma 
elipse com semi-eixos a e b é πab. 
REFERÊNCIAS 
¢  GONÇALVES, M. B. e FLEMMING, D. M., Cálculo B: Funções de 
Várias Variáveis, Integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de 
superfície. 2ª Edição. Editora Makron Books do Brasil, São Paulo, 
2007. 
¢  STEWART J, Cálculo, volume 2. Tradução da 6ª edição norte americana. 
Editora Cengage Learning, São Paulo, 2013.