Prova 2 Calculo 2 2015/2 + RESOLUÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CAMPUS MACAE´
Engenharia 07 de Marc¸o de 2016.
Professor Roberto Mamud
NOME: NOTA:
Prova 2 – Ca´lculo 2 - Engenharia– 2015/02
Justifique todas as suas respostas.
1a Questa˜o. (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

3x2y
x4 + 2y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
(a) Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y), caso exista;
(b) Determine se a func¸a˜o f e´ cont´ınua em (0, 0). Justifique sua resposta;
(c) Determine se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (0, 0). Justifique sua resposta.
2a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere z = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel no ponto (3, 5) e
os vetores u = (
√
3
2 ,
1
2) e v = (−12 ,
√
3
2 ).
(a) Suponha que
∂f
∂u
(3, 5) = 1 e
∂f
∂v
(3, 5) = −
√
3.
Calcule
∂f
∂x
(3, 5) e
∂f
∂y
(3, 5).
(b) Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 5, 2), onde
f(3, 5) = 2.
3a Questa˜o. (2,0 pontos) Suponha que a pressa˜o atmosfe´rica, P , relativa a` posic¸a˜o (x, y, z)
seja dada por
P (x, y, z) = 5 +
x2
4
− 2x3e2z.
Suponha que uma pessoa esteja na posic¸a˜o (1,
√
26/2, 0).
(a) Qual direc¸a˜o e sentido esta pessoa deve tomar de forma que a pressa˜o diminua o
mais ra´pido poss´ıvel?
(b) Determine a taxa com que a pressa˜o ira´ cair quando a pessoa seguir a direc¸a˜o do
item a).
4a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x, y) = 4x2e−(x2+y2).
(a) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f ;
(b) Classifique, se poss´ıvel, os pontos cr´ıticos em pontos de ma´ximo, mı´nimo e de sela.
Boa Prova!
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