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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto LISTA 3 - Retas e Planos ⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão 1: Considere o ponto A = (2, 3,−4) e o vetor ~v = (1,−2, 3). a) Escreva as equações vetoriais da reta r que passa por A e tem a direção de ~v. b) Encontre os pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente. c) Verifique se os pontos D = (4,−1, 2) e E = (5,−4, 3) pertencem a r. d) Determinar os valores de m e n tal que o ponto (m, 5, n) pertence a reta r Questão 2: O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa pelos pontos A = (3,−1, 4) e B = (4,−3,−1). Determine P . Questão 3: Sejam r1 : (x, y, z) = (2mt − 3, 1 + 3t,−4t) e r2 = {(x, y, z) ∈ R3;x = 2y − 1 e z = −y + 4}. Determine m para que as retas sejam ortogonais. Questão 4: Considere os planos π1 : mx+ y− 3z− 1 = 0 e π2 : 2x− 3my+4z+1 = 0. Determinar m para que os planos π1 e π2 sejam perpendiculares. Questão 5: Escrever a equação geral do plano que passa por A = (−1, 2,−1) e é paralelo as retas r1 = {(x, y, z) ∈ R3; y = x e z = 1− 3x} e r2 = {(x, y, z) ∈ R3; 2x = y = 3z}. Questão 6: Considere as retas r1 := { 3x− y − z = 0 8x− 2y − 3z + 1 = 0 r2 := { x− 3y + z + 3 = 0 3x− y − z + 5 = 0 . Mostre que as retas são paralelas e encontre uma equação geral para o plano determinado por essas retas. Questão 7: Calcule a distância entre o ponto P = (1,−1, 0) e a reta r : (x, y, z) = (2− t, 0, t). Questão 8: Calcule a distância entre o ponto P = (0, 0, 0) e o plano π : 3x− 4y + 20 = 0. Questão 9: Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta que passa pelos pontos A e B de modo que ‖ −−→ PB‖ = 3‖ −→ PA‖. Questão 10: Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. Questão 11: As equações X = (0, 0, 0) + tα(1, 2, 4) e X = (1, 0,−2) + t(−1,−1,−1), t ∈ R, descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre? Questão 12: Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π, nos casos: a) P = (1, 0, 1) e π : x− 2y + 4z = 1. b) P = (4, 0, 1) e π : 3x− 4y + 2 = 0. 1 Questão 13: Obtenha o simétrico do ponto P em relação ao plano π, nos casos: a) P = (1, 4, 2) e π : x− y + z − 2 = 0. b) P = (1, 1, 1) e π : 4y − 2z + 3 = 0. Questão 14: O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em π1 : x+y+z = 1. O cateto BC está contido em π2 : x− 2y − 2z = 0 e a hipotenusa mede 2 √ 6 3 , sendo A = (0, 1, 0), determine B e C. Respostas 1. a) (x, y, z) = (2, 3,−4) + t(1,−2, 3), t ∈ R b) B = (3, 1,−1) e C = (6,−5, 8) c) D sim e E não d) m = 1 e n = −7 2. P = (2, 1, 9) 3. m = −7/4 4. m = −12 5. 20x− 11y + 3z + 45 = 0 6. 4x+ 2y − 3z + 5 = 0 7. √ 6/2 8. 4 9. ( 3 4 , 7 4 , 15 4 ) ou ( 3 2 , 5 2 , 15 2 ) 10. (1, 0, 0) 11. α = −1 2 ; t = 2 12. a) ( 17 21 , 8 21 , 5 21 ) b) ( 58 25 , 56 25 , 1 ) 13. a) (3, 2, 4) b) (1,−1, 2) 2
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