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Universidade Federal da Bahia INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON SANTOS’ mlfn@ufba.br Marcio Luis Ferreira Nascimento HACA82: Arte & Matemática: Aula 4 – Origens da Matemática Abstrata / Origem do Zero Universidade Federal da Bahia Tópicos da Apresentação Origens da Matematica Abstrata Origem do Zero Sistema Posicional de Numeração Ábaco: Soroban Exercicios para Casa Ano Zero Cristão? Adam Ries Cronograma Tentativo 2013 / Avaliação Jasper Johns, Numbers in Color (1958–1959) Universidade Federal da Bahia O número de manchas numa joaninha indica sua espécie e pode funcionar como um padrão defensivo contra predadores + Matemática e Natureza... Além de mel, hexágonos dos favos servem para armazenar ovos e larvas no menor espaço possível, economizando material (cera) Qualquer círculo, como o obtido a partir do eclipse solar visto da Capadócia, Turquia (em 2006) envolve o número π= 3,1415926.... Universidade Federal da Bahia A Origens da Matematica Abstrata Universidade Federal da Bahia O homem começou a fazer arte na caverna. São pinturas e gravuras conhecidas como arte rupestre. Aquilo que ele via, temia, ou simplesmente o que ele queria, ele desenhava, pintava ou gravava. Uma das hipóteses que levantamos hoje é que ele fazia essa ‘arte’ para espantar os fantasmas e dominar a natureza, afinal é mais fácil dominar um animal perigoso no desenho do que na realidade. Quarenta mil anos depois, o homem ainda faz arte. Talvez pelo mesmo simples motivo: fazemos arte porque somos humanos Caverna de Lascaux, França (20-30 mil anos) Onde Tudo Começou – Origem do Zero Universidade Federal da Bahia Uma Grande Descoberta1 Qual foi a mais importante descoberta feita pelo homem? Pode- se pensar na roda, no fogo, na penicilina, na televisão... Para os matemáticos, é quase consenso: o zero é uma das primeiras grandes abstrações matemáticas Há muitos séculos que a maioria dos homens, necessitando realizar operações matemáticas, mesmo as mais elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão), recorriam aos ábacos 234 183 + 1 Alguns ábacos eram feitos com sulcos na areia. Mais tarde se tornaram tábuas de madeiras divididas em colunas ou pequenas varetas com contas a correr: a primeira das unidades, a segunda das dezenas, a terceira das centenas, e assim por diante. Universidade Federal da Bahia Se for necessário somar 234 com 183 pode-se utilizar o ábaco da seguinte maneira: 4 unidades, 3 dezenas e 2 centenas, ou seja: coloca- se o 4 na primeira coluna, 3 na segunda e 2 na terceira. Agora, adicionando 3 unidades, 8 dezenas e 1 centena ao ábaco, qual o resultado? Primeiro, coloca-se o 3 na primeira coluna, o 8 na segunda e o 1 na terceira, e conta-se quantas pedrinhas existe em cada coluna. Na primeira coluna, tem-se sete pedrinhas. Na segunda, onze pedrinhas, e na terceira, três pedrinhas. É fácil perceber que a cada dez pedrinhas numa coluna equivale a uma pedrinha na coluna mais à esquerda – é o popular “vai um”. Tem-se então o resultado da soma feita no ábaco: 7 no primeiro sulco, 1 no segundo sulco e 4 no terceiro, ou ainda, 4 centenas, 1 dezena e 7 unidades, ou 417. 234 183 + 417 1 Ábaco de Areia: Praia de Ondina, Salvador Universidade Federal da Bahia Uma Grande Descoberta2 A partir de então, houve um longo e vagaroso processo que até a maioria das culturas adotassem o zero Os romanos costumavam escrever os primeiros números a partir de símbolos: I, II, III... Já os maias utilizavam pontos: •, • •, • • •... Os vários sistemas numéricos começam a divergir a partir do quarto número. Maiores detalhes podem ser obtidos no livro de Georges Ifrah O antigo sistema hindu (depois hindu-arábico) utilizava barras horizontais: , , ... Nossos algarismos provavelmente surgiram quando as pessoas começaram a escrever estes três símbolos sem tirar a caneta do papel, gerando um tipo de padrão peculiar: , Z, ... ⊃ ⊃ Tempos depois, o algarismo ‘um’ passou a ser escrito na vertical Georges Ifrah – Historia Universal dos Algarismos Universidade Federal da Bahia Uma Grande Descoberta3 Sendo bastante sucinto, e exemplificando, o sistema romano é bastante difícil na operação de contas. Eles de fato utilizavam o ábaco e registravam os resultados utilizando seus algarismos... O zero tem uma função importante - serve como um guardador de lugar e indica ausência de valor numa certa ordem: 3 4 3 4 3 4 3 4 Note: é impossível diferenciar o 43, do 403 ou do 430 e do 4030. Sem o zero, o registro dessas quantidades diferentes é sempre 43 Assim tudo leva a crer que a descoberta do zero foi uma espécie de acidente causado pela tentativa de registrar o resultado de algumas operações feitas com o ábaco! Universidade Federal da Bahia Origem do Zero: Índia Forte Gwalior (ग्वा�लय �क़�व) Neste forte encontra-se inscrito um dos primeiros registros do numeral zero (por volta do século IX), além dos outros que seriam conhecidos como algarismos. Universidade Federal da Bahia Super 6 (1988) 59 Super 29 (1990) 71 Universidade Federal da Bahia Sistema Posicional de Numeração: Vantagens Para escrever 1986 (= 1000 + 900 + 80 + 6), enquanto os latinos utilizavam apenas quatro símbolos, os romanos utilizavam nove: MCMLXXXVI. Mas não é essa a única vantagem. Nosso sistema é posicional. Isto é, além do valor absoluto do 5 (cinco) por exemplo, ele adquire um valor da posição que ocupa: M para o mil, CM para o novecentos, LXXX para o oitenta e VI para o seis. U C D U C D U 5 5 0 0 5 0 0 0 0 cinco quinhentos cinqüenta mil milhão milhar unidades simples A ausência de pedrinhas no ábaco deve ter sugerido a algum matemático antigo a idéia do zero Universidade Federal da Bahia Numerais Romanos Escultura em relevo mostrando o horário do Mercado Imperial Romano, que empregava os numerais romanos Universidade Federal da Bahia Ano Zero Cristão A Adoração dos Magos (1475). O ano de nascimento de Cristo causou confusão no Calen- dário Gregoriano, que conta o ano 1 como aquele que Jesus nasceu, e não como aquele em que completou 1 ano. Sandro Botticelli (1445-1510) está representado a esquerda, mirando os observadores do quadro, que na verdade foram membros da família Medici. Universidade Federal da Bahia Um Abaco Especial: Soroban No soroban existem dez posições das contas para cada coluna, representando os números de 0 a 9. O ábaco foi inventado como uma forma de contar, mas passou a ser um método de calculo em si – um verdadeiro computador analógico. A aritmética ficou mais fácil: para calcular 3 mais 1, começa-se com três contas, move-se uma conta e o resultado é registrado automaticamente. O mesmo vale para a soma 31 mais 45, resultando em 76. com um pouco de pratica e dedicação, pode tornar-se um jogo. Representação do numero 314.159 no soroban Posição das contas representando os primeiros dez algarismos no soroban Universidade Federal da Bahia Adam Ries www.adam-ries-museum.de : um dos primeiros autores de livros do ensino didático da matemática, e do ábaco em particular na Europa “Rechenung nach der lenge / auff den Linihen vnd Feder” (1a edição, 1550), algo como “Calculo com Ábaco” Adam Ries (1492-1559), matemático alemão, divulgador dos algarismos arábicos na Europa Uma das 100 outras edições, 1562 “D as m ac ht n ac h A da m R ies e.. .” “de acordo com Adam Riese...” Universidade Federal da Bahia Para Casa1 Que número esta representado no soroban abaixo? Verifique que a representação corresponde ao numero 987.654.321. Técnica bastante útil ao ensino de matematica básica a deficientes visuais em todo o mundo Reconstrução de um ábaco romano, em bronze Universidade Federal da Bahia Para Casa2 Conta simples de adição: 1265 + 1224 Conta simples de subtração : 8 − 3 Universidade Federal da Bahia Sistemas de Contagem Um sistema de contagem com dedos, do folio IV de “De Numeris”, manuscrito do Sec. IX do Codex Alcobacense, do teólogo e escrito alemão Raban Maur (780-856). O livro ensina a contar de 1 até 20.000 Universidade Federal da Bahia Super 139 (1999) 83 Exemplo de contas utilizando o quipu: o número de nós indicam os algarismos Universidade Federal da Bahia Curso Online... Universidade Federal da Bahia O que é ? www.moodle.ufba.br Universidade Federal da Bahia Acesso ao Universidade Federal da Bahia Curso ONLINE Acesso a livros, exercícios, vídeos, artigos & outras fontes código inscrição: AM2013 Universidade Federal da Bahia Bibliografia Básica... Universidade Federal da Bahia Bibliografia Básica Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Donald no País da Matemágica (1959) Vídeo e quadrinho no site: www.moodle.ufba.br Universidade Federal da Bahia Revista em Quadrinhos: Donald na Matemagicalândia… Al m an aq ue d o Ti o Pa tin ha s 1 9 Universidade Federal da Bahia Cronograma Tentativo Universidade Federal da Bahia Proposta de Avaliação Provas (entre duas e três) Exercícios / Atividades (vários: a serem feitos em casa: NÃO serão cobrados!) 05 3 Provas Media ,≥= ∑ Prova Substitutiva: apenas quem comprovar a ausência em uma das provas, conforme Regimento da UFBA Conteúdo: Todo o curso Universidade Federal da Bahia NETiqueta Por gentileza não utilizar equipamentos eletrônicos (principalmente computadores) Evitar o uso de celulares, tablets e internet em sala Universidade Federal da Bahia Código Universal de Produto: Código de Barras Estabelecido por George Laurer em 1973 como um dos padrões universais de compras George Joseph Laurer D. Savir, G. J. Laurer: "The Characteristics and Decodability of the Universal Product Code". IBM Systems Journal 14 (1975) 16-34. exemplo: Universidade Federal da Bahia girar cola Tira de Möbius Iniciar aqui ou iniciar por aqui... M. C. Escher - Tira de Möbius II (1963) Jarra de Klein Universidade Federal da Bahia Uma escultura inspirada na tira de Möbius em defronte ao Laboratório Nacional do Acelerador Fermi, (Fermi National Accelerator Laboratory), EUA: www.fnal.gov . August Ferdinand Möbius (1790–1868), matemático e astrônomo alemão Universidade Federal da Bahia “Dois e dois: quatro” Como dois e dois são quatro sei que a vida vale a pena embora o pão seja caro e a liberdade pequena como teus olhos são claros e a tua pele morena como é azul o oceano e a lagoa, serena como um tempo de alegria por trás do terror me acena e a noite carrega o dia no seu colo de açucena - sei que dois e dois são quatro sei que a vida vale a pena mesmo que o pão seja caro e a liberdade, pequena Dentro da Noite Veloz Ferreira Gullar, poeta brasileiro Em todo lugar é possível encontrar padrões... Nos desenhos dos grandes pintores, nos rabiscos das crianças, nos bolos e quitutes da doceira, nas construções do pedreiro, no tricô e no crochê das nossas avós, nos versos poéticos, no gingado da dançarina, na música que nos emociona... E em nossos comportamentos - quando discutimos ou quando amamos... Na incessante busca do cientista ao tentar compreender um problema – em tudo isto e em muito mais existe uma procura de padrões - e com estes, a matematica Universidade Federal da Bahia Obrigado & Bem-Vindos!!! O IHAC é de vocês! Foto: Arestides Baptista – A TARDE, 14/12/2008 Slide Number 1 Tópicos da Apresentação + Matemática e Natureza... Slide Number 4 Slide Number 5 Uma Grande Descoberta1 Slide Number 7 Uma Grande Descoberta2 Uma Grande Descoberta3 Origem do Zero: Índia Slide Number 11 Sistema Posicional de Numeração: Vantagens Numerais Romanos Ano Zero Cristão Um Abaco Especial: Soroban Adam Ries Para Casa1 Para Casa2 Sistemas de Contagem Slide Number 20 Slide Number 21 Slide Number 22 Slide Number 23 Slide Number 24 Slide Number 25 Slide Number 26 Slide Number 27 Slide Number 28 Donald no País da Matemágica (1959) Revista em Quadrinhos: Donald na Matemagicalândia… Cronograma Tentativo Proposta de Avaliação NETiqueta Código Universal de Produto: Código de Barras Slide Number 35 Slide Number 36 “Dois e dois: quatro” Slide Number 38
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