IHAC-UFBa-AM-Aula15-SimetriasFinal

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Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 15 – Simetrias 
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Tópicos da Apresentação 
 Simetrias 
 Tipos de Simetrias 
 Rotação 
 Espelhamento 
 Translação 
 Inversão 
 Usos da Simetria 
 Simetria na Arte Contemporânea, Poesia, Musica, Dança 
 Simetria e Psicologia 
 Mais ilusões óticas 
 Teste Rorschach 
 Um Matemático Romântico: Abel 
 “Uma Memória sobre Equações Algébricas, Provando a 
Impossibilidade de uma Solução Geral de Equação de Quinto 
Grau” 
 
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 Simetrias 
do grego ‘sym’ e ‘metria’, significando “mesma medida” 
ABC... by Scott Kim 
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da Bahia Introdução 
 Simetria. Harmonia. Proporção. Ordem. Beleza. Regularidade. Igualdade. 
Equilíbrio. Muitas formas da natureza assim se apresentam. Fenômenos. 
 Todos, do poeta ao jardineiro, da 
bailarina ao músico, apreciam a 
beleza e a simetria do mundo, 
inclusive a sua ausência. Esta 
busca está indelevelmente ligada à 
História da Humanidade. Do mais 
antigo risco primitivo até a mais 
moderna teoria matemática existe 
esta incessante procura da 
harmonia e do equilíbrio. Até o olhar 
em nós mesmos encontramos 
simetria, nas nossas mãos, rosto, 
pernas: onde olharmos a nossa 
volta certamente encontraremos a 
proporção e a igualdade. . 
Igreja de São 
Francisco de Assis 
– Ouro Preto (1766) 
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Taj Mahal (Índia) 
Filhotes de Tigre Branco Mandril 
Porsche Cayenne 
Simetria em símbolos religiosos na ordem: Cristianismo, Judaísmo e Taoísmo 
- Islamismo, Budismo e Xintoísmo - Sikhismo, Fé Bahá'í e Hinduísmo 
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 Tipos de 
Simetrias 
Potes (esquerda) e padrão de tecelagem (acima) 
Mangbetu, Zaire 
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Tipos de Simetria1 
 Existem vários tipos de simetrias: a especular ou de reflexão (quando 
olhamos as duas mãos ou nos olhamos no espelho), a de inversão, a de 
rotação (girando um objeto de algumas formas, ele sempre volta a posição 
original, como a estrela do mar) e a de translação (a figura se repete em 
intervalos iguais). 
Exemplo de simetria especular: Solar do século passado 
Casa-Grande e Senzala, de Gilberto Freyre 
Exemplos de simetria 
translacional – a figura 
repete-se em intervalos 
Carranca 
 Simetria: placa 
de rotação 
Simetria de inversão – 
carta de baralho (dama) 
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Tipos de Simetria2 
 Translacional: 
 Rotacional: 
 Reflexão: 
 Inversão: 
Uma operação de rotação 
implica na existência do 
eixo de rotação. 
O elemento de simetria nesse caso é um plano de reflexão. 
Tem como elemento de simetria um ponto chamado centro de inversão. Embora a 
inversão seja uma simetria relativamente comum, é difícil achar um exemplo em que ela 
seja a única simetria, sem a presença de rotações ou reflexão – como a letra S. 
Tipo de simetria que se 
reproduz quando deslocada. 
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Duas Definições Simples 
 O significado moderno de simetria, introduzido 
em fins do sec. XVIII no sentido matemático 
pode ser traduzido por “imunidade a uma 
possível alteração” 
 De acordo com o matemático 
Hermann Weyl, pode-se definir 
assim: “uma coisa é simétrica se 
existir algo que você possa fazer a 
ela de maneira que, depois de você 
tiver terminado de fazê-lo, ela 
pareça igual a antes” Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955) FRS, matemático e físico alemão 
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Ambigrama 
 Corresponde a uma imagem ou uma representação gráfica de 
uma palavra que pode ser vista rotacionada ou invertida 
horizontalmente com a mesma fonética ou representação 
visual. 
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Exercício1 
 Determinar as simetrias na composição das 
seguintes palavras: 
in
ve
rs
ão
 
es
pe
lh
o 
in
ve
rs
ão
 
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 Simetria & Psicologia 
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Simetria & Psicologia1 
 Ilusões óticas são razoavelmente comuns 
e algumas se utilizam de simetria, como o 
vaso de Rubin e as linhas paralelas de 
Müller-Lyer: 
Edgar John Rubin (1886-1951), psicólogo 
dinamarquês 
Ilusão de Müller-Lyer: qual das linhas 
horizontais é maior? 
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Simetria & Psicologia2 
 Um tipo de simetria bastante comum 
em exames psicológicos (do tipo de 
reflexão) é o teste de Rorschach Hermann Rorschach (1884-
1922), psiquiatra suíço 
caranguejo, siri 
ser humano 
duas pessoas 
morcego, borboleta 
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 Usos da Simetria 
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Simetria com Números: 
Uso da Multiplicação 
 Curiosidade: apenas com o algarismo 1 e a operação de multiplicação pode-se obter 
todos os demais algarismos - primeiro ao fazer a conta 1×1=1 e tem-se como 
resultado 1. Depois, 11×11, que é igual a 121. Desta forma obtem-se os números 1 e 
2. A próxima conta é 111×111, que vai dar 12321, obtendo assim os números 1, 2 e 
3. Continuando as contas: 1111×1111, resulta no número 1234321 ... e seguindo 
adiante com as próximas contas obtém-se facilmente os 9 algarismos 
SATOR 
AREPO 
TENET 
OPERA 
ROTAS 
1 
121 
12321 
1234321 
123454321 
12345654321 
1234567654321 
123456787654321 
12345678987654321 
“O CRIADOR MANTÉM O 
MUNDO EM SUA ÓRBITA” 
 Como em um anagrama: 
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Uso da Simetria nas Artes 
 Na Idade Média, o uso da simetria visava concentrar a atenção das pessoas 
para um único foco: a elevação da alma, o poder do sagrado. As imagens eram 
representadas com perfeição divina. Através da simetria especular (‘bilateral’), 
o que se procurava era a igualdade total entre os dois lados da figura’ 
Rafael, Ressurreição de Cristo – 
MASP (1499-1502) 
Pietro Perugino, São Sebastião na coluna - 
MASP (1500-1510) 
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O Batismo de Cristo (1445) 
Piero della Francesca (1420–1492) 
Te
rra
 
C
é
u
 
 Embora não existam representações idênticas de um lado e de 
outro, toda a composição se organiza sob as simetrias do quadrado 
e do círculo: o quadrado dando forma a terra, e o círculo, aos céus. 
A pomba, que 
simboliza o 
Espírito Santo, 
está no centro 
do círculo. A 
linha vertical 
que divide a 
pintura 
atravessa a 
pomba, 
percorre a água 
que escoa da 
bacia erguida 
por S. João 
Batista, e pelas 
mãos ungidas 
de Cristo 
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 O Renascimento contou com outros homens brilhantes de diversas áreas do 
pensamento: pintores, músicos, cientistas e filósofos. Entre eles, em se 
tratando de simetria, merece destaque o pintor Albrecht Dürer 
 A escrita elegante e simétrica das letras do nosso 
alfabeto se deve aos pioneiros estudos de Dürer. 
Com seu talento, ele sistematizou a construção das 
letras romanas, trabalho essencial para as inscrições 
de grandes edifícios e de marcos históricos 
Albrecht Durer - De Symmetria Partium in Rectis Formis Humanorum Corporum (1532) 
Auto-retrato (1500) 
Mãos em Oração: 
www.albertina.at 
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Quebra da Simetria 
 Not to Be Reproduced (‘La 
Reproduction Interdite’): 1937 
René François Ghislain Magritte (1898 – 
1967), artista belga, em frente da obra 
“The Pilgrim” (‘Le Pelerin’, 1966) 
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Simetria na 
Arquitetura 
 A construção de 
capelas, altares, 
cúpulas e mesmo 
igrejas inteiras 
também dependiam
de estudos de 
simetria, como 
podemos ver nos 
trabalhos de 
grandes mestres 
europeus, como 
Leonardo da Vinci 
Projetos de domo e capela feitos por Leonardo da Vinci (circa 1500) 
www.greatbuildings.com 
Opera de Paris (1875), por Charles Garnier 
Torre Eiffel (1889) 
Catedral de Brasília (1958) 
Cristo Redentor (1931) 
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Arte 
Contemporânea 
Vicente R. Monteiro – 
A Crucificação (1924) 
Franz Weissmann – 
Três Pontos 
Ivan Serpa – 
Construção 87 
Luis Saciloto – 
Concreção 
Mauricio Nogueira 
Lima – Reticula 
Milton Dacosta – 
Composição (1962) 
Vicente R. Monteiro – A 
Mulher Sentada (1924) 
Alfredo Volpi –
Bandeirinhas Mastros 
Antonio Dias –
Demônio (1996) 
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Rubem Valentim1 
Rubem Valentim (1922 - 1991), jornalista e artista plástico baiano 
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Rubem Valentim2 
 Maiores detalhes: Sala 
Rubem Valentim: 
www.mam.ba.gov.br 
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Arte Contemporânea: 
Arquitetura 
Plano piloto de Brasília, 
obra de Lúcio Costa (1957) 
Palácio do Planalto, 
obra de Oscar 
Niemeyer (1958) 
Congresso Nacional, 
obra de Oscar Niemeyer 
(1960) 
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Nature 390 (1997) 356 
Masaccio, Santa Trinità (1425) 
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 Simetria na Poesia, na 
Musica e na Dança / 
Arte Marcial 
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Simetria: Poesia 
 De tudo, ao meu amor serei atento 
Antes, e com tal zelo, e sempre, e tanto 
Que mesmo em face do maior encanto 
Dele se encante mais meu pensamento 
 
Quero vivê-lo em cada vão momento 
E em seu louvor hei de espalhar meu canto 
E rir meu riso e derramar meu pranto 
Ao seu pesar ou seu contentamento 
 
E assim, quando mais tarde me procure 
Quem sabe a morte, angústia de quem vive 
Quem sabe a solidão, fim de quem ama 
 
Eu possa me dizer do amor (que tive): 
Que não seja imortal, posto que é chama 
Mas que seja infinito enquanto dure. 
 
“Soneto da Fidelidade”, Vinícius de Moraes 
Antologia Poética (1960) 
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Simetria: Musica 
 
 
 
 
Meu coração . . . . . . . . . . não sei porque 
Bate feliz . . . . . . . . . . quando te vê 
E os meus olhos ficam sorrindo 
E pelas ruas vão te seguindo 
Mas mesmo assim . . . . . . foges de mim 
 
Ah, se tu soubesses como eu sou tão carinhoso 
E muito muito que te quero 
E como é sincero o meu amor 
Eu sei que tu não fugirias mais de mim 
Vem, vem, vem, vem . . . . . . . . . . 
Vem sentir o calor dos lábios meus 
A procura dos teus 
Vem matar esta paixão 
Que me devora o coração 
E só assim então 
Serei feliz, bem feliz 
João de Barro / Braguinha 
Pixinguinha 
 Carinhoso 
 
 João de Barro e Pixinguinha
 
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Simetria: Dança 
 
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Capoeira: Arte Marcial 
 
Super 164 (2001) 
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 Simetria & 
Matemática: 
Abel 
Um dos vários rascunhos de Abel sobre 
idéias matemáticas 
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Abel e as Quínticas (1824) 
 “Mémoire sur les 
Équations Algébriques 
ou l’on démontre 
l’impossibilité de la 
Resolution de l’Équation 
Générale de Cinquieme 
Degré” (1824) 
Niels Henrik Abel (1802-1829), matemático norueguês 
‘Uma Memória sobre Equações Algébricas, Provando a Impossibilidade de uma Solução 
Geral de Equação de Quinto Grau’ 
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 
www.abelprize.no 
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Pequeno Escólio 
 A equação quíntica x5 − 243 = 0 tem enquanto solução 
óbvia: x = 3, pois 35 = 243. Euler demonstrou que quínticas 
especiais, como x5 − 5px3 + 5p2x −q = 0, quaisquer que 
sejam p e q eram solucionáveis por uma fórmula. 
 Considere enquanto exemplo a equação de segundo 
grau x2 − 3x + 2 = 0. Utilizando a fórmula usual sabe-se 
que as raízes são x1 = 2, e x2 = 1, pois são valores que 
satisfazem as relações x1 + x2 = −(−3) = 3 e x1x2 = 2. 
 Sem dúvida ao trocarmos x1 por x2 nada irá mudar. Por exemplo, a 
equação x1 + x2 = 3 torna-se simplesmente x2 + x1 = 3. O mesmo 
vale para o produto de ambas soluções. Há então uma simetria nos 
resultados envolvendo permutações das soluções. Assim Abel (e 
depois Galois) perceberam que para equações de grau igual ou 
acima de cinco tais permutações entre as raízes não são 
possíveis, i.e., não podem ser escritas como uma expressão que 
inclua combinações de operações envolvendo somas, subtrações, 
multiplicações, divisões e raízes (quadradas, cúbicas...). 
selos comemorativos noruegueses sobre Abel 
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Um Exemplo Simples 
 Considere a figura ao lado e suas possíveis simetrias: 
 
 Uma transformação de simetria possível refere-se a 
reflexão – em relação a um plano vertical – vamos 
denominar esta operação de r, que significa transportar 
o lado direito ao esquerdo e vice-versa. 
 Perceba que ao se aplicar duas vezes a operação de reflexão 
obtém-se novamente a situação original, i.e., devolver o lado 
esquerdo ao seu lugar e vice-versa: podemos escrever isto 
como r*r, onde o símbolo * pode ser entendido como “seguido 
de”, lido da direita para a esquerda. Em simetria pode-se adotar 
a operação identidade (I), significando uma operação de 
simetria que deixa tudo como está 
 Assim o conjunto de todas as 
operações de simetria da figura acima 
resumem-se a I e r da seguinte forma: 
e d 
* I r 
I I r 
r r I 
 
d e 
I 
r 
operação aplicada primeiro 
op
er
aç
ão
 
ap
lic
ad
a a
pó
s 
I*r 
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Conclusões 
Iniciais 
 O exemplo estudado revela que o conjunto de todas as 
transformações de simetria forma um grupo. Isto é, apresenta as 
seguintes propriedades: 
 
e d 
 Fechamento: a tabela demonstra que a combinação de duas 
transformações de simetria quaisquer pela operação “seguido de” é 
também uma transformação de simetria. 
 Associatividade: esta propriedade é claramente satisfeita por que é 
verdade para três (ou mais) transformações quaisquer combinadas por 
“seguido de”, por exemplo I*r*r – não faz absolutamente nenhuma 
diferença por qual delas operar primeiro (ou ainda separar por pares a 
operação, em parêntesis) 
* I r 
I I r 
r r I 
 Elemento neutro: o elemento neutro I é uma transformação de simetria 
 Inverso: da tabela acima observa-se que cada uma das 
transformações de identidade e reflexão serve como seu próprio 
inverso: I*I = I e r*r = I 
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Lembretes! Lista + Prova 
 Segunda Prova: 
06/08/13 
 
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Para Casa1: Grupo de 
Rotação – Caso da Letra S 
 Como exemplo, a letra S pode ser vista 
em termos grupais de duas formas: i) 
girando de 180º em relação ao seu centro; 
ii) ou ainda aplicando a operação 
identidade (ou ainda 360º, que resulta no 
mesmo) 
k 
Posição inicial Posição final rótulo 
I 
a 
b 
S 
a 
b 
S 
a 
b 
S b 
a S 
* I k 
I I k 
k k I 
operação aplicada primeiro (e 
escrita em segundo) 
op
er
aç
ão
 
ap
lic
ad
a a
pó
s 
I*k 
 A tabuada grupal é: 
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a 
c d 
b 
a 
c d 
b 
a 
c d 
b 
c 
a b 
d 
b 
d c 
a 
d 
b a 
c 
Para Casa2: Grupo do 
Retângulo 
 Considere um retângulo e suas simetrias. 
Posição inicial Posição final rótulo 
I 
p 
q 
r 
a 
c d 
b a 
c d 
b 
a 
c d 
b 
 Verifique a validade da seguinte tabuada 
grupal, onde q*p = r e p*p = I: 
* I p q r 
I I p q r 
p p I r q 
q q
r I p 
r r q p I 
operação aplicada primeiro (mas escrita segundo) 
op
er
aç
ão
 ap
lic
ad
a a
pó
s 
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Mario Livio (1945-), astrofísico romeno 
www.mariolivio.com 
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Referências 
 James Pierpoint – Early History of Galois‘ Theory of 
Equations – Bull. Am. Math. Soc. 4 (1898) 
 Manuscripts of Evariste Galois – Jules Tannery. 
Gauthier-Villars (1908) 
 Galois‘ Theory – Ian Stewart. Chapman & Hall 
(2004) 
 www.abelprize.no 
 A History of Mathematics – Florian Cajori 
 Why Beauty is True: The History of Symmetry – Ian 
Stewart (2007) 
 Deus é Matemático? – Mario Livio, Record (2011) 
 A Equação que Ninguém Conseguia Resolver – 
Mario Livio, Record (2009) 
 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	Introdução
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Tipos de Simetria1
	Tipos de Simetria2
	Duas Definições Simples
	Ambigrama
	Exercício1
	Slide Number 12
	Simetria & Psicologia1
	Simetria & Psicologia2
	Slide Number 15
	Simetria com Números: Uso da Multiplicação
	Uso da Simetria nas Artes
	O Batismo de Cristo (1445)
	Slide Number 19
	Quebra da Simetria
	Simetria na Arquitetura
	Arte Contemporânea
	Rubem Valentim1
	Rubem Valentim2
	Arte Contemporânea: Arquitetura
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Simetria: Poesia
	Simetria: Musica
	Simetria: Dança
	Capoeira: Arte Marcial
	Slide Number 32
	Abel e as Quínticas (1824)
	Pequeno Escólio
	Um Exemplo Simples
	Conclusões Iniciais
	Lembretes! Lista + Prova
	Para Casa1: Grupo de Rotação – Caso da Letra S
	Para Casa2: Grupo do Retângulo
	Slide Number 40
	Referências