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ULT I MA T O ULT I MA T O 
Português • Matemática • Biologia 
Química • Física • Geografia • História.
Português • Matemática • Biologia 
Química • Física • Geografia • História.
 
 
 
1 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Pontuação 
 
 
1.1 Pontuação Nível Hard 
OP= Oração Principal 
OSA= Oração Subordinada Adverbial 
 
https://www.esquematizarconcursos.com.br/artigo/pontuacao 
 
https://www.esquematizarconcursos.com.br/artigo/pontuacao
 
 
 
2 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
 
Crase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Acentuação 
Depois do Novo Acordo Ortográfico... 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Regência Verbal 
 
 
 
 
6 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
 
Regência Nominal 
 
 
Colocação
 
Colocação Pronominal 
 
Concordância Verbal 
 
 
 
 
7 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
NÃO ESQUEÇA! 
 
 
 
Concordância Nominal 
 
 
 
Outros casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Lembre-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Redação 
 
 
 
 
1 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
LITERATURA 
TROVADORISMO 
O Trovadorismo foi um movimento literário que surgiu na 
Idade Média no século XI, na região da Provença (sul da 
França). Ele se espalhou por toda a Europa e teve seu 
declínio no século XIV, quando começou o humanismo. 
 
Contexto Histórico 
A idade média foi um longo período da história que esteve 
marcado por uma sociedade religiosa. Nele, a Igreja 
Católica dominava inteiramente a Europa. 
Nesse contexto, o teocentrismo (Deus no centro do 
mundo) foi sua principal característica. Sendo assim, o 
homem ocupava um lugar secundário e estava à mercê dos 
valores cristãos. 
Dessa maneira, a igreja medieval era a instituição social 
mais importante e a maior representante da fé cristã. Ela 
que ditava os valores e assim, agia diretamente no 
comportamento e no pensamento do homem. 
Esse sistema, chamado de feudal, estava baseado numa 
sociedade rural e autossuficiente. Nele, o camponês vivia 
miseravelmente e a propriedade de terra dava liberdade e 
poder. Naquele momento, somente as pessoas da Igreja 
sabiam ler e tinham acesso à educação. 
 
Trovadorismo em Portugal 
Na Península Ibérica, o centro irradiador do Trovadorismo 
foi na região que compreende o norte de Portugal e a 
Galiza. 
Assim, a Catedral de Santiago de Compostela, centro de 
peregrinação religiosa, desde o século XI, atraía multidões. 
Ali, as cantigas trovadorescas eram cantadas em galego-
português, língua falada na região. 
Os trovadores provençais eram considerados os melhores 
da época, e seu estilo foi imitado em toda a parte. 
O Trovadorismo português teve seu apogeu nos séculos 
XII e XIII, entrando em declínio no século XIV. 
O rei D. Dinis (1261-1325) foi um grande incentivador que 
prestigiou a produção poética em sua corte. Foi ele próprio 
um dos mais talentosos trovadores medievais com uma 
produção de 140 cantigas líricas e satíricas 
aproximadamente. 
Além dele, outros trovadores obtiverem grande destaque: 
Paio Soares de Taveirós, João Soares Paiva, João Garcia de 
Guilhade e Martim Codax. 
Nessa época, as poesias eram feitas para serem cantadas ao 
som de instrumentos musicais. Geralmente, eram 
acompanhadas por flauta, viola, alaúde, e daí o nome 
“cantigas”. 
O cantor dessas composições era chamado de "jogral" e o 
autor era o "trovador". Já o "menestrel", era considerado 
superior ao jogral por ter mais instrução e habilidade 
artística, pois sabia tocar e cantar. 
A Produção Literária em Portugal 
A literatura medieval portuguesa é dividida em dois 
períodos: 
Primeira Época (1198 a 1418) 
O ano de 1189 (ou 1198) é considerado o marco inicial da 
literatura portuguesa. 
Essa é a data provável da primeira composição literária 
conhecida “Cantiga da Ribeirinha” ou “Cantiga de 
Guarvaia”. Ela foi escrita pelo trovador Paio Soares da 
Taveirós e dedicada a dona Maria Pais Ribeiro. 
Em 1418, Fernão Lopes é nomeado chefe dos arquivos do 
Estado (guarda-mor da Torre do Tombo) e suas crônicas 
históricas tornaram-se marcos do Humanismo em 
Portugal 
Segunda Época (1418 a 1527) 
Em 1527, o escritor Sá de Miranda introduz as ideias do 
Classicismo em Portugal, inaugurando um novo estilo 
literário. 
 
Cancioneiros 
Os Cancioneiros são os únicos documentos que restam 
para o conhecimento do Trovadorismo. Trata-se de 
coletâneas de cantigas com características variadas e 
escritas por diversos autores. Eles são divididos em: 
• Cancioneiro da Ajuda: Constituído de 310 cantigas, 
esse cancioneiro se encontra na Biblioteca do Palácio da 
Ajuda, em Lisboa, originado provavelmente no século 
XIII. 
• Cancioneiro da Biblioteca Nacional de Lisboa: 
conhecido também pelo nome dos italianos que os 
possuíam, “Cancioneiro Colocci-Brancuti”, esse cancioneiro 
composto de 1.647 cantigas, foi compilado provavelmente 
no século XV. 
• Cancioneiro da Vaticana: originado provavelmente 
no século XV, esse cancioneiro está na Biblioteca do 
Vaticano composto de 1.205 cantigas. 
 
Cantigas Trovadorescas 
Com base nos Cancioneiros, as cantigas trovadorescas são 
classificadas em : 
Cantigas de Amigo 
Originárias da Península Ibérica, constituem a 
manifestação mais antiga e original do lirismo português. 
Nelas, o trovador procura traduzir os sentimentos 
femininos, falando como se fosse uma mulher. Nessa 
época, a palavra “amigo” significava “namorado” ou 
“amante”. 
Mal me tragedes, ai filha, 
porque quer ‘ aver amigo 
e pois eu com vosso medo 
non o ei, nen é comigo, 
no ajade-la mia graça 
e dê-vos Deus, ai mia filha, 
filha que vos assi faça, 
 
 
 
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Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
filha que vos assi faça. 
Sabedes casen amigo 
nunca foi molher viçosa, 
e, porque mi-o non leixades 
ver, mia filha fremosa, 
no ajade-la mia graça 
e dê-vos Deus, ai mia filha, 
filha que vos assi faça, 
filha que vos assi faça. 
Pois eu non ei meu amigo, 
non ei ren do que desejo, 
mais, pois que mi por vós veo 
Mia filha, que o non vejo, 
no ajade-la mia graça 
e dê-vos Deus, ai mia filha, 
filha que vos assi faça, 
filha que vos assi faça. 
Por vós perdi meu amigo, 
por que gran coita padesco, 
e, pois que mi-o vós tolhestes 
e melhor ca vós paresco 
no ajade-la mia graça 
e dê-vos Deus, ai mia filha, 
filha que vos assi faça, 
filha que vos assi faça. 
 
Cantigas de Amor 
Originárias da região de Provença, apresenta uma 
expressão poética sutil e bem elaborada. Os sentimentos 
são analisados com mais profundidade sendo o tema mais 
frequente: o sofrimento amoroso. 
Ai mia senhor! tod'o bem mi a mi fal, 
mais nom mi fal gram coita, nem cuidar, 
des que vos vi, nem mi fal gram pesar; 
mais nom mi valha O que pod'e val, 
se hoj'eu sei onde mi venha bem, 
ai mia senhor, se mi de vós nom vem! 
Nom mi fal coita, nem vejo prazer, 
senhor fremosa, des que vos amei, 
mais a gram coita que eu por vós hei, 
já Deus, senhor, nom mi faça lezer, 
se hoj'eu sei onde mi venha bem, 
ai mia senhor, se mi de vós nom vem! 
Nem remnom podem veer estes meus 
olhos no mund'[ond'] eu haja sabor, 
sem veer vós; e nom mi val[h]'Amor, 
nem mi valhades vós, senhor, nem Deus, 
se hoj'eu sei onde mi venha bem, 
ai mia senhor, se mi de vós nom vem! 
 
Cantigas de Escárnio e Cantigas de Maldizer 
Cantigas satíricas e irreverentes, reuniam versos que 
ridicularizavam os defeitos humanos. 
A Dom Foam quer'eu gram mal 
e quer'a sa molher gram bem; 
gram sazom há que m'est'avém 
e nunca i já farei al; 
ca, desquand'eu sa molher vi, 
se púdi, sempre a servi 
e sempr'a ele busquei mal.Quero-me já maenfestar, 
e pesará muit'[a] alguém, 
mais, sequer que moira por en, 
dizer quer'eu do mao mal 
e bem da que mui bõa for, 
qual nom há no mundo melhor, 
quero-[o] já maenfestar. 
De parecer e de falar 
e de bõas manhas haver, 
ela, nõn'a pode vencer 
dona no mund', a meu cuidar; 
ca ela fez Nostro Senhor 
e el fez o Demo maior, 
e o Demo o faz falar. 
E pois ambos ataes som, 
como eu tenho no coraçom, 
os julg'Aquel que pod'e val. 
 
HUMANISMO 
O Humanismo é o nome dado a uma corrente filosófica e 
artística que surgiu no século XV na Europa. 
Na literatura, ele representou o período de transição 
(escola literária) entre o Trovadorismo e o Classicismo, 
bem como da Idade Média para a Idade Moderna. 
Note que o termo “Humanismo” abriga diversas 
concepções. No geral, corresponde ao conjunto de valores 
filosóficos, morais e estéticos que focam no ser humano, 
daí surge seu nome. Do latim, o termo humanus significa 
“humano”. 
Trata-se de uma ciência que permitiu ao homem 
compreender melhor o mundo e o próprio ser. Isso ocorreu 
durante o período do Renascimento Cultural. 
 
 
 
3 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
Homem Vitruviano (1590) de Leonardo da Vinci: símbolo 
do antropocentrismo humanista 
Características do Humanismo 
As principais características do Humanismo são: 
• Racionalidade 
• Antropocentrismo 
• Cientificismo 
• Modelo Clássico 
• Valorização do corpo humano e das emoções 
• Busca da beleza e perfeição 
 
Humanismo em Portugal 
O marco inicial do humanismo literário português foi a 
nomeação de Fernão Lopes para cronista-mor da Torre do 
Tombo, em 1418. 
O movimento com foco na prosa, poesia e teatro, terminou 
com a chegada do poeta Sá de Miranda da Itália em 1527. 
Isso porque ele trouxe inspirações literárias baseadas na 
nova medida chamada de “dolce stil nuevo” (Doce estilo 
novo). Esse fato permitiu o início do classicismo como 
escola literária. 
 
Autores e Obras 
O teatro popular, a poesia palaciana e a crônica histórica 
foram os gêneros mais explorados durante o período do 
humanismo em Portugal. 
Gil Vicente (1465-1536) foi considerado o pai do teatro 
português, escrevendo “Autos” e “Farsas”, dos quais se 
destacam: 
• Auto da Visitação (1502) 
• O Velho da Horta (1512) 
• Auto da Barca do Inferno (1516) 
• Farsa de Inês Pereira (1523) 
 
Fernão Lopes (1390-1460) foi o maior representante da 
prosa historiográfica humanista, além de fundador da 
historiografia portuguesa. De suas obras merecem 
destaque: 
• Crônica de El-Rei D. Pedro I 
• Crônica de El-Rei D. Fernando 
• Crônica de El-Rei D. João I 
 
Com destaque para a poesia palaciana, Garcia de Resende 
(1470-1536) foi o maior representante com sua obra 
Cancioneiro Geral (1516). 
Saiba mais: 
• Poesia Palaciana 
• Teatro Vicentino 
• A Linguagem do Humanismo 
 
Principais Humanistas 
Os humanistas eram os estudiosos da cultura antiga que se 
dedicavam, sobretudo, aos estudos dos textos da 
antiguidade clássica greco-romana. 
Petrarca, Dante Alighieri e Boccaccio são certamente os 
poetas italianos humanistas que merecem destaque. 
Todos eles foram influenciados por características do 
período como o culto às línguas e às literaturas greco-
latinas (modelo clássico). 
Além deles, grandes representantes da literatura 
humanista foram: 
• o teólogo holandês Erasmo de Roterdã(1466-1536); 
• o escritor inglês Thomas More (1478-1535); 
• o escritor francês Michel de Montaigne(1533-1592). 
centro do mundo). Esse último, foi o ideal central do 
humanismo renascentista. 
 
RENASCIMENTO 
O Renascimento foi um movimento cultural, econômico e 
político que surgiu na Itália do século XIV, se consolidou 
no século XV e se estendeu até o século XVII por toda a 
Europa. 
Inspirado nos valores da Antiguidade Clássica e gerado 
pelas modificações estruturais da sociedade, resultou na 
reformulação total da vida medieval, dando início à Idade 
Moderna. 
https://www.todamateria.com.br/caracteristicas-do-humanismo/
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Anotações: 
Origem do Renascimento 
 
Florença, a cidade italiana considerada "Berço do 
Renascimento" 
O Renascimento originou-se na Itália, devido ao 
florescimento de cidades como Veneza, Gênova, Florença, 
Roma e outras 
Elas enriqueceram com o desenvolvimento do comércio 
no Mediterrâneo dando origem a uma rica burguesia 
mercantil que, em seu processo de afirmação social, se 
dedicou às artes, juntamente com alguns príncipes e 
papas. 
 
Cultura Renascentista 
A cultura renascentista teve quatro características 
marcantes, a saber: 
• Racionalismo - os renascentistas estavam convictos 
de que a razão era o único caminho para se chegar ao 
conhecimento, e que tudo podia ser explicado pela razão e 
pela ciência. 
• Experimentalismo - para eles, todo conhecimento 
deveria ser demonstrado através da experiência científica. 
• Individualismo - nasceu da necessidade do homem 
conhecer a si próprio, buscando afirmar a sua própria 
personalidade, mostrar seus talentos, atingir a fama e 
satisfazer suas ambições, através da concepção de que o 
direito individual estava acima do direito coletivo. 
• Antropocentrismo - colocando o homem como a 
suprema criação de Deus e como centro do universo. 
 
Renascimento Literário 
O Renascimento deu origem a grandes gênios da 
literatura, entre eles: 
• Dante Alighieri: escritor italiano autor do grande 
poema "Divina Comédia". 
• Maquiavel: autor de "O Príncipe", obra precursora da 
ciência política onde o autor dá conselhos aos 
governadores da época. 
• Shakespeare: considerado um dos maiores 
dramaturgos de todos os tempos. Abordou em sua obra os 
conflitos humanos nas mais diversas dimensões: pessoais, 
sociais, políticas. Escreveu comédias e tragédias, como 
"Romeu e Julieta", "Macbeth", "A Megera Domada", 
"Otelo" e várias outras. 
• Miguel de Cervantes: autor espanhol da obra "Dom 
Quixote", uma crítica contundente da cavalaria medieval. 
• Luís de Camões: teve destaque na literatura 
renascentista em Portugal, sendo autor do grande poema 
épico "Os Lusíadas". 
 
Renascimento Artístico 
No século XVI, o principal centro de arte renascentista 
passou a ser Roma. Os principais artistas plásticos do 
renascimento foram: 
Leonardo da Vinci: Matemático, físico, anatomista, 
inventor, arquiteto, escultor e pintor, ele foi um gênio 
absoluto. A Mona Lisa e A Última Ceia são suas obras 
primas. 
 
Mona Lisa 
Rafael Sanzio: foi um mestre da pintura, famoso pela 
doçura de suas madonas. A Madona do Prado foi 
considerada a mais perfeita. 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/racionalismo/
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https://www.todamateria.com.br/o-principe-de-maquiavel/
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Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
Madona do Prado 
Michelangelo: artista italiano cuja obra foi marcada pelo 
humanismo. Além de pintor foi um dos maiores escultores 
do Renascimento. Entre suas obras destacam-se a Pietá, 
David, O teto da Capela Sistina, A Criação de Adão e O 
Juízo Final. 
 
Renascimento Científico 
O Renascimento foi marcado por importantes descobertas 
científicas, notadamente nos campos da astronomia, da 
física, da medicina, da matemática e da geografia. 
O polonês Nicolau Copérnico, que negou a teoria 
geocêntrica defendida pela Igreja, ao afirmar que "a terra 
não é o centro do universo, mas simplesmente um planeta 
que gira em torno do Sol". 
Galileu Galilei descobriu os anéis de Saturno, as manchas 
solares, os satélites de Júpiter. Perseguido e ameaçado pela 
Igreja, Galileu foi obrigado a negar publicamente suas 
ideias e descobertas. 
Na medicina os conhecimentos avançaram com trabalhos 
e experiências sobre circulação sanguínea, métodos de 
cauterização e princípios gerais de anatomia. 
 
QUINHENTISMO 
Quinhentismo é a denominação genérica de todas as 
manifestações literárias ocorridas no Brasil durante o 
século XVI, no momento em que a cultura europeia foi 
introduzida no país. 
Note que, nesse período, ainda não se trata de literatura 
genuinamente brasileira, a qual revele visão do homem 
brasileiro. 
Trata-se de uma literatura ocorrida no Brasil, ligada ao 
Brasil, mas que denota a visão, as ambições e as intenções 
do homem europeu mercantilista em busca de novas 
terras e riquezas. 
As manifestações ocorridas se prenderam, basicamente, 
à descrição da terra e do índio, ou a textos escritos pelos 
viajantes, jesuítas e missionários que aqui estiveram. 
 
Literatura Informativa 
A Carta de Caminha inaugura o que se convencionou 
chamar de Literatura Informativa sobre o Brasil. Este 
tipo de literatura, também conhecido como literatura dos 
viajantes ou literatura dos cronistas, como consequência 
das Grandes Navegações, empenha-se em fazer um 
levantamento da “terra nova”, de sua floresta e fauna, de 
seus habitantes e costumes, que se apresentaram muito 
diferentes dos europeus. 
Daí ser uma literatura meramente descritiva e, como tal, 
sem grande valor literário. A principal característica da 
carta é a exaltação da terra, resultante do assombro do 
europeu diante do exotismo e da exuberância de um 
mundo tropical. Com relação à linguagem, o louvor à 
terra transparece no uso exagerado de adjetivos. 
Veja os principais documentos que compõem a nossa 
literatura informativa: 
1. Carta do descobrimento (Pero Vaz de Caminha): foi 
escrita no ano de 1500 e publicada pela primeira vez em 
1817. 
2. Tratado da terra do Brasil (Pero de Magalhães 
Gândavo): foi escrito por volta de 1570 e impresso pela 
primeira vez em 1826. 
3. História da Província de Santa Cruz, a que 
vulgarmente chamamos Brasil (Pero de Magalhães 
Gândavo): foi editado em 1576. 
4. Diálogo sobre a conversão dos gentios (Padre Manuel 
da Nóbrega): foi escrito em 1557 e impresso em 1880. 
5. Tratado descritivo do Brasil (Gabriel Soares de 
Sousa): escrito em 1587 e impresso por volta de 1839. 
 
Literatura Jesuítica 
Os impérios ibéricos continham em sua expansão uma 
profunda ambiguidade. Ao espírito capitalista-mercantil 
associavam um certo ideal religioso e salvacionista. Por 
essa razão, dezenas de religiosos acompanhavam as 
expedições a fim de converter os gentios. 
Como consequência da contrarreforma, chegam, em 
1549, os primeiros jesuítas ao Brasil. Incumbidos de 
catequizar os índios e de instalar o ensino público no 
país, fundaram os primeiros colégios, que foram, 
durante muito tempo, a única atividade intelectual 
existente na colônia. 
 
https://www.todamateria.com.br/michelangelo/
https://www.todamateria.com.br/renascimento-cientifico/
https://www.todamateria.com.br/nicolau-copernico/
https://www.todamateria.com.br/galileu-galilei/
 
 
 
6 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Do ponto de vista estético, os jesuítas foram responsáveis 
pela melhor produção literária do Quinhentismo 
brasileiro. Além da poesia de devoção, cultivaram o 
teatro de caráter pedagógico, inspirado em passagens 
bíblicas, e produziram documentos que informavam aos 
superiores na Europa o andamento dos trabalhos. 
O instrumento mais utilizado para atingir os objetivos 
pretendidos pelos jesuítas (moralizar os costumes dos 
brancos colonos e catequizar os índios) foi o teatro. Para 
isso, os jesuítas chegaram a aprender a língua tupi, 
utilizando-a como veículo de expressão. Os índios não 
eram apenas espectadores das peças teatrais, mas 
também atores, dançarinos e cantores. 
Os principais jesuítas responsáveis pela produção 
literária da época foram o padre Manuel da Nóbrega, o 
missionário Fernão Cardim e o padre José de Anchieta. 
José de Anchieta 
 
Nascido em 1534 na ilha de Tenerife, Canárias, o padre 
da Companhia de Jesus veio para o Brasil em 1553 e 
fundou, no ano seguinte, um colégio na região da então 
cidade de São Paulo. Faleceu na atual cidade de 
Anchieta, litoral do Espírito Santo, em 1597. 
Conhecido como o grande piahy ("supremo pajé 
branco"), Anchieta (1534 - 1597) deixou como legado a 
primeira gramática do tupi-guarani, verdadeira cartilha 
para o ensino da língua dos nativos (Arte da gramática 
da língua mais usada na costa do Brasil). Destacou-se 
também por suas poesias e autos, nos quais misturava a 
moral religiosa católica aos costumes dos indígenas. 
 
BARROCO 
O período conhecido como Barroco, ou Seiscentismo, é 
constituído pelas primeiras manifestações literárias 
genuinamente brasileiras ocorridas no Brasil Colônia, 
embora diretamente influenciadas pelo barroco 
europeu, isto é, vindo das Metrópoles. 
O termo denomina genericamente todas as 
manifestações artísticas dos anos 1600 e início dos anos 
1700. 
Além da literatura, estende-se à música, pintura, 
escultura e arquitetura da época. 
 
"Vaidade" (sem data), de Domenico Piola 
Temas frequentes na Literatura Barroca 
- fugacidade da vida e instabilidade das coisas; 
- morte, expressão máxima da efemeridade das coisas; 
- concepção do tempo como agente da morte e da 
dissolução das coisas; 
- castigo, como decorrência do pecado; 
- arrependimento; 
- narração de cenas trágicas; 
- erotismo; 
- misticismo; 
- apelo à religião. 
 
Barroco no Brasil 
O Barroco foi introduzido no Brasil por intermédio dos 
jesuítas. Inicialmente, no final do século XVI, tratava-se 
de um movimento apenas destinado à catequização. 
A partir do século XVII, o Barroco passa a se expandir 
para os centros de produção açucareira, especialmente 
na Bahia, por meio das igrejas. Assim, a função da igreja 
era ensinar o caminho da religiosidade e da moral a uma 
população que vivia desregradamente. 
Nos séculos XVII e XVIII não havia ainda condições para 
a formação de uma consciência literária brasileira. A 
vida social no país era organizada em função de 
pequenos núcleos econômicos, não existindo 
efetivamente um público leitor para as obras literárias, o 
que só viria a ocorrer no século XIX. 
 
 
 
 
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Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Por esse motivo, fala-se apenas em autores brasileiros 
com características barrocas, influenciados por fontes 
estrangeiras (portuguesa e espanhola), mas que não 
chegaram a constituir um movimento propriamente 
dito. Nesse contexto, merecem destaque a poesia de 
Gregório de Matos Guerra e a prosa do padre Antônio 
Vieira representada pelos seus sermões. 
Didaticamente, o Barroco brasileiro tem seu marco 
inicial em 1601, com a publicação do poema épico 
Prosopopeia, de Bento Teixeira 
Autores do Barroco 
Gregório de Matos Guerra: o Boca do Inferno 
Padre Antônio Vieira 
 
ARCADISMO 
O Arcadismo, também conhecido como Setecentismo ouNeoclassicismo, é o movimento que compreende a 
produção literária brasileira na segunda metade do 
século XVIII. O nome faz referência à Arcádia, região do 
sul da Grécia que, por sua vez, foi nomeada em 
referência ao semideus Arcas (filho de Zeus e Calisto). 
Denota-se, logo de início, as referências à mitologia 
grega que perpassa o movimento. 
houve dois momentos do Arcadismo no Brasil: 
a) poético: retorno à tradição clássica com a utilização 
dos seus modelos, e valorização da natureza e da 
mitologia. 
b) ideológico: influenciados pela filosofia presente no 
Iluminismo, que traduz a crítica da burguesia culta aos 
abusos da nobreza e do clero. 
Seus principais autores são Cláudio Manoel da Costa, 
Tomás Antônio Gonzaga, Basílio da Gama e Santa Rita 
Durão. No Brasil, o ano convencionado para o início do 
Arcadismo é 1768, quando houve a publicação de Obras, 
do poeta Claudio Manoel da Costa. 
 
Arcádia Ultramarina 
Trata-se de uma sociedade literária fundada na cidade 
de Vila Rica (MG), influenciada pela Arcádia italiana 
(fundada em 1690) e cujos membros adotavam 
pseudônimos, isto é, nomes artísticos, de pastores 
cantados na poesia grega ou latina. Por isso que alguns 
dos principais nomes do Arcadismo brasileiro 
publicavam suas obras com nomes inspirados na 
mitologia grega e romana. 
 
Principais características 
- inspiração nos modelos clássicos greco-latinos e 
renascentistas, como por exemplo, em O Uraguai 
(gênero épico), em Marília de Dirceu (gênero lírico) e em 
Cartas Chilenas(gênero satírico); 
- Influência da filosofia francesa; 
- Mitologia pagã como elemento estético; 
- O bom selvagem, expressão do filósofo Jean-Jacques 
Rousseau, denota a pureza dos nativos da terra fazem 
menção à natureza e à busca pela vida simples, bucólica 
e pastoril; 
- Tensão entre o burguês culto, da cidade, contra a 
aristocracia; 
- Pastoralismo: poetas simples e humildes; 
- Bucolismo: busca pelos valores da natureza; 
- Nativismo: referências à terra e ao mundo natural; 
- Tom confessional; 
- Estado de espírito de espontaneidade dos sentimentos; 
- Exaltação da pureza, da ingenuidade e da beleza. 
 
ROMANTISMO 
O romantismo floresceu na Alemanha (Goethe e 
Schlegel), na França (Madame de Stäel e Chateaubriand) 
e na Inglaterra (Coleridge e Wordsworth), como resposta 
aos modelos pretendidos pelos Iluministas, que 
privilegiavam o racional e o objetivo, em detrimento do 
emocional e da subjetividade. 
Houve, no período, o desenvolvimento da chamada 
poesia ultrarromântica, dos romances (novels) e dos 
romances históricos (romances). Tanto a prosa quanto a 
poesia foram amplamente difundidos no período. 
Porém, com a ascensão da imprensa e da burguesia 
comercial, os romances e os periódicos foram ganhando 
cada vez mais espaço e se popularizaram a ponto de 
atingir um novo público leitor que até então não tinha 
acesso à literatura 
 
Poesia no Romantismo 
Primeira metade do século XIX 
As primeiras manifestações do período romântico 
aconteceram em forma de poesia. Suspiros poéticos e 
saudades, de Gonçalves de Magalhães inaugura o 
movimento romântico no Brasil, no ano de 1836. 
Além disso, diversos outros autores desenvolveram suas 
temáticas por meio da poesia, o que permitiu aos críticos 
agruparem as manifestações literárias do gênero em três 
principais gerações. 
 
Primeira geração romântica: nacionalista ou indianista 
Nessa geração, os temas principais giram em torno da 
nova pátria, com menções ao passado histórico do país. 
Também estão presentes temas como a exaltação do 
índio, considerado o herói nacional por excelência, que 
deu nome à geração. 
O mito do bom selvagem, do filósofo Rousseau é aqui 
traduzido na figura do índio que, além de valente e 
defensor da sua terra, é livre e incorruptível. Seus 
principais autores são: 
 Gonçalves de Magalhães 
 Gonçalves Dias 
 
 
 
8 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Araújo Porto-Alegre 
 
Segunda geração romântica: mal do século 
Inspirados nas obras dos poetas Lord Byron, Goethe, 
Chateaubriand e Alfred de Musset, os autores dessa 
geração também são conhecidos como "byronianos". 
As principais características da geração são: o 
individualismo, egocentrismo, negativismo, dúvida, 
desilusão, tédio e sentimentos relacionados à fuga da 
realidade, que caracterizam o chamado 
ultrarromantismo. 
Seus principais poetas são Álvares de Azevedo, 
Casimiro de Abreu, Junqueira Freire e Fagundes Varela. 
 
Terceira geração romântica: condoreira 
A terceira geração romântica é caracterizada pela poesia 
libertária influenciada, principalmente, pela obra 
político-social do escritor e poeta francês Victor Hugo, 
que originou a expressão "geração hugoana". 
Além disso, a ave símbolo da geração é o condor, que 
habita o alto das cordilheiras dos Andes e representa a 
liberdade. Daí o nome da geração ser condoreira. 
A poesia dessa geração é combativa e prima pela 
denúncia das condições dos escravos, decorrência do 
sistema econômico brasileiro, baseado no trabalho 
escravo. Os poetas dessa geração também clamam por 
uma poesia social em que a humanidade trabalhe por 
igualdade, justiça e liberdade. 
Seus principais autores são Castro Alves e Sousândrade. 
 
Prosa no Romantismo 
Segunda metade do século XIX 
O desenvolvimento da prosa no período romântico 
coincide com o desenvolvimento do romance como um 
gênero novo que, no Brasil, chegou graças à influência 
dos romances europeus e do surgimento dos jornais - 
que publicavam, diariamente, os folhetins, isto é, 
capítulos de histórias que compunham um romance. 
As primeiras manifestações no gênero estavam 
empenhadas na descrição dos costumes da classe 
dominante na cidade do Rio de Janeiro, que agora vivia 
um grande período de urbanização, e de algumas 
amenidades da vida no campo. Ou então, apresentavam 
personagens selvagens, concebidos pela ideologia e 
imaginação do período romântico como idealização do 
herói nacional por excelência: o índio 
Os principais autores do período são: 
- Joaquim Manoel de Macedo 
- Manuel Antônio de Almeida 
- José de Alencar 
- Martins Pena (constituindo o teatro nacional) 
 
 
REALISMO 
Para se compreender o Realismo, suas obras e suas 
características, é necessário entender o que acontecia na 
Europa, em especial na França, no decorrer do século 
XIX, pois as mudanças estruturais, principalmente 
sociais, que ocorreram no continente influenciaram as 
produções literárias brasileiras. 
 
A Literatura Realista 
As produções do movimento realista enfocam 
determinados aspectos da sociedade por meio de uma 
linguagem objetiva e com precisão de detalhes. 
Como se os fatos cotidianos estivessem debaixo da lupa 
do escritor, que faz um estudo sistemático de seus 
personagens, desenvolvendo minuciosamente tanto 
suas características físicas quanto seu caráter. 
Há uma preocupação por parte dos autores em retratar 
as camadas mais baixas da sociedade, seus dramas e suas 
condições precárias, como forma de denúncia social. 
Com relação à burguesia e às camadas mais altas da 
sociedade, os escritores se preocuparam em criticar 
instituições como a Igreja, sistemas como a escravidão e 
a evidenciar os vícios, os jogos de poder e as traições 
dentro da família patriarcal. 
Publicado em forma de folhetim em 1856, Madame 
Bovary, de Gustave Flaubert, é considerado o romance 
precursor do Realismo, inaugurando a narrativa realista 
moderna. 
 
Principais características 
As características do movimento estão intimamente 
ligadas com o contexto histórico brasileiro e com as 
novas teorias vindas da Europa, principalmente no que 
diz respeito ao positivismo, ao socialismo e ao 
evolucionismo. 
 
Autores e obras 
Os principais autores realistas brasileiros são Machado 
de Assis e Raul Pompeia. Este último pode ser 
considerado um escritor de transição entre o Realismo e 
o Naturalismo, pois seu romance principal, O Ateneu, 
possui características de ambos os períodos. No entanto, 
consideraremos o romance de Pompeiacomo 
pertencente ao Realismo. 
 
NATURALISMO 
Frequentemente o Realismo e o Naturalismo são 
estudados juntos, pois suas origens e suas características 
são muito semelhantes. 
Pode-se dizer que o Naturalismo é uma ramificação do 
Realismo, pois os dois movimentos se desenvolveram ao 
mesmo tempo na Europa e encontraram no Brasil 
escritores que souberam desenvolver o romance, dadas 
 as condições sociais de um país às vésperas da abolição 
da 
 
 
 
9 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
escravatura, da Proclamação da República e que estava 
vendo os latifúndios serem gradativamente invadidos 
por estrangeiros e máquinas. 
 
Características 
As principais características do período incluem: uma 
análise social bastante acurada de grupos 
marginalizados, isto é, que não costumavam aparecer até 
então na literatura no Romantismo. Há, por meio dos 
escritores, uma valorização dos ambientes coletivos, 
como aglomerados e habitações. 
 
Naturalismo no Brasil 
Aluísio Azevedo (1857-1935) 
O naturalismo iniciou no Brasil com a publicação do 
romance O Mulato, de Aluísio Azevedo, no ano de 1881. 
O autor, abolicionista, trata do preconceito racial e da 
corrupção do clero vividos na sociedade maranhense do 
fim do século XIX. 
 
PARNASIANISMO 
Este movimento se originou juntamente com o Realismo 
e o Naturalismo a partir da segunda metade do século 
XIX. Na realidade, o Parnasianismo é considerado o 
"Realismo em poesia". 
Diferentemente do Realismo, que usava a ficção como 
teses científicas para a sociedade, mostrando o pior dela, 
o Parnasianismo pouco se interessou por tais questões. 
A influência do cientificismo e do positivismo esteve 
atrelada à estética da poesia. A busca pela formalidade 
da linguagem e a rigidez das formas foram as principais 
características do período. Assim, o movimento ficou 
conhecido por buscar a “arte pela arte”, com inspiração 
nos ideais poéticos clássicos, sem sofrer influência de 
aspectos das teorias sociais, tão em voga no momento. 
 
Principais características 
Contrários ao sentimentalismo, ao subjetivismo e à falta 
de rigor da poesia romântica, os parnasianos dedicaram-
se a uma poesia empenhada na objetividade, na 
impessoalidade, no racionalismo e na rigidez da forma, 
cuja temática principal girava, basicamente, em torno de 
alguns fatos históricos e de objetos, como vasos e 
estátuas, remetendo a elementos da cultura clássica. Um 
dos poemas mais famosos do período é “Vaso Grego”, 
de Alberto de Oliveira, que se tornou um símbolo da 
poesia parnasiana. 
Nesse movimento, os poemas (em geral, sonetos) 
possuem formas fixas, compostas de versos 
alexandrinos (12 sílabas poéticas) ou decassílabos (10 
sílabas poéticas), sempre com a chamada rima rica. 
Impera também a intensa descrição visual e o 
preciosismo sobre o elemento-tema do poema. Os poetas 
do Parnasianismo são frequentemente comparados aos 
ourives, pois trabalham minuciosamente em materiais 
nobres como o ouro. 
Os três principais escritores do Parnasianismo são 
Alberto de Oliveira, Raimundo Correia e Olavo Bilac. 
 
SIMBOLISMO 
A partir de 1880, na França, ocorreu uma reação contra 
os pontos de vista cientificistas da elite intelectual da 
época, representadas na literatura pelo fatalismo 
naturalista e pelo rigor parnasiano. 
Nesse sentido, o Simbolismo surgiu como uma recusa a 
todos os valores ideológicos e existenciais da burguesia, 
e não apenas como uma estética oposta à literatura, 
objetiva, descritiva e plástica, mais especificamente a 
poesia lírica. 
 
Contexto 
Ao final de 1880, o mundo ocidental passava por 
transformações culturais, sociais e políticas. A França, 
como centro transmissor de cultura, é derrotada na 
guerra contra a Alemanha. A derrota compromete um 
universo de ideias e concepções. As proposições 
científicas e o predomínio da razão sobre os sentimentos 
passam por uma revisão. 
Como resultado, a arte tende ao abandono da 
objetividade e retoma as posições de ordem subjetiva do 
Romantismo. Os anseios, as aspirações individuais e 
coletivas, difundidas através de várias gerações. 
Valorizava o mundo interior do indivíduo. Apresentava 
poesia “difícil”, que versava sobre o “eu” profundo e as 
“emoções”, manifestando os desejos íntimos e a visão 
pessoal e sombria do mundo. 
Conteúdo irracional: poemas vagos e complexos, 
imprecisos e, alguns, indecifráveis. Em razão disso, os 
poetas da época foram chamados de “nefelibatas”, ou 
seja, sonhadores quanto aos seus ideais, nebulosos 
quanto ao conteúdo e inatingíveis quanto à linguagem. 
 
Autores do Simbolismo 
João da Cruz e Sousa (Dante Negro ou Cisne Negro) 
Alphonsus de Guimaraens 
Pedro Kilkerry 
 
PRÉ-MODERNISMO 
O Pré-Modernismo teve seu início em 1902, 
estabelecendo como limite as obras Os Sertões, de 
Euclides da Cunha, e Canaã, de Graça Aranha. Terminou 
em 1922, com a Semana de Arte Moderna. 
O movimento representou o momento de transição e de 
preparação para a fase de emancipação da literatura 
brasileira, o Modernismo. 
O Pré-Modernismo, que coexistiu com o Simbolismo e o 
Parnasianismo, apontou os problemas de nossa 
 
 
 
10 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
realidade cultural e social. 
 
Contexto histórico 
O início do século XX foi marcado pelo confronto das 
rivalidades internacionais, que teve como resultado a 
Primeira Guerra Mundial (1914 – 18) e que teve como 
resultado o surgimento de uma nova potência: os 
Estados Unidos da América. Em 1917, com a Revolução 
Russa, o proletariado toma o poder. Começaram, então, 
a tomar forma dois regimes opostos: o comunismo e o 
capitalismo. 
No Brasil, o Pré-Modernismo desenvolveu-se na época 
de transição da República da Espada (ditadura militar) 
para a República das Oligarquias ou República do café 
com leite, onde o Brasil foi governado ora por donos de 
fazendas cafeeiras de São Paulo, ora por fazendeiros de 
Minas, os dois estados mais ricos do país. 
No entanto, nas cidades surgia uma classe média 
reformista e, nos quartéis, uma geração de militares, 
entusiasmados por ideias positivistas, que exigiam 
mudanças. Ao mesmo tempo, surgia pela primeira vez 
no país uma massa popular insatisfeita e propensa à 
revoltas sem sentido, como por exemplo a rebelião 
contra a vacina obrigatória (Revolta da Vacina), em 1904. 
 
Características 
Assim como o Romantismo, o Pré-Modernismo 
caracterizava-se pela temática nacionalista; o primeiro, 
com textos de cunho ufanista e o segundo, com um 
nacionalismo crítico, questionador. 
 
Autores do Pré-Modernismo 
Euclides da Cunha 
Graça Aranha 
Lima Barreto 
Monteiro Lobato 
 
Vanguardas artísticas 
As principais manifestações artísticas ocorridas no início 
do século XX foram essenciais para o desenvolvimento 
do Modernismo literário. 
Entre os principais movimentos de vanguarda que 
influenciaram não apenas a literatura, mas as artes em 
geral estão: 
• Cubismo (1907) 
• Futurismo (1909) 
• Expressionismo (1910) 
• Dadaísmo (1916) 
• Surrealismo (1924) 
 
Semana de Arte Moderna 
Contexto histórico 
O modernismo chegou ao Brasil no ano de 1922, por 
meio da Semana de Arte Moderna, também chamada de 
Semana de 22. 
O evento ocorreu entre 11 a 18 de fevereiro, sendo cada 
um desses dias dedicado para uma área diferente no 
campo das artes (pintura, escultura, poesia, literatura e 
música). 
O local escolhido para o evento foi o Teatro Municipal 
da cidade de São Paulo. 
 
MODERNISMO 
Contexto histórico 
As inquietações da primeira década do século XX se 
tornaram mais visíveis nos anos 1920, quando a República 
do café com leite apresentava sinais de decadência. 
O contexto da crise da República no Brasil se deu no 
período bastante rico do ponto de vista cultural. No 
contexto mundial, era o período pós-guerra, e o 
continente europeu celebrava o fim do conflito e 
experimentava a efervescência intelectual. 
No começo do século XX, as correntes artísticas 
desenvolvidas na Europa (Dadaísmo, Surrealismo, 
Expressionismo, Futurismo)constituíram a arte 
moderna europeia. Os artistas brasileiros, em suas 
viagens ao exterior, voltavam sob estas novas influências 
que, aliadas ao desejo de mudança, permitiram o início 
do Modernismo no Brasil. 
 
Fases do Modernismo no Brasil 
O marco inicial do Modernismo no Brasil foi a Semana 
de Arte Moderna, que ocorreu em fevereiro de 1922. O 
Modernismo no Brasil teve três fases: 
• Primeira fase - início em 1922 
• Segunda fase - início em 1930 
• Terceira fase - início em 1945 
 
Primeira Fase do Modernismo (1922 – 1930) 
A primeira fase do Modernismo no Brasil, também 
chamada de "fase heroica", foi marcada pelo combate à 
tradição. Foi um período de grande produção de arte 
moderna, de materiais que divulgavam esta arte e de 
poesias. Em meio a essa "grande produção", quatro 
correntes de pensamento ganharam força e foram 
ganhando teor ideológico ao longo da década de 20. São 
elas: Pau Brasil, Verde Amarelismo, Escola da Anta e 
Antropofagia. 
 
Características 
• Utilização do verso livre 
• Linguagem coloquial 
• Linguagem condensada 
https://www.soliteratura.com.br/premodernismo/premodernismo18.php
https://www.soliteratura.com.br/premodernismo/premodernismo19.php
 
 
 
11 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
• Ausência de pontuação 
• Valorização do cotidiano 
• Utilização de paródias 
• Utilização do humor (poema-piada) 
• Criação de neologismos 
• Aproximação da linguagem da prosa 
 
Principais autores modernistas da primeira fase 
Mário de Andrade 
Oswald de Andrade 
Manuel Bandeira 
 
Segunda fase do Modernismo (1930 - 1945) 
A segunda fase do modernismo foi um momento rico na 
produção poética e também na prosa. O universo 
temático ampliou-se e os artistas passaram a se 
preocupar mais com o destino dos homens e sua 
presença no mundo. 
A poesia na segunda fase do modernismo voltava-se 
para o sentimento humano, levantando o 
questionamento sobre a existência humana e a 
compreensão do local do mundo e do local que o ser 
humano tem neste mundo repleto de conflitos. 
A prosa neste período volta-se para a crítica social, 
levando em consideração os retratos de várias regiões do 
país (regionalismo) como forma de denúncia dos 
problemas sociais de cada região e com uma reflexão 
sobre a solução do problema. 
A literatura de 30 é mais madura. Não traz a 
descontração e a irreverência da fase anterior. No 
entanto, apresenta reflexões sobre a realidade do povo 
brasileiro, trazendo à tona o nacional através desta 
reflexão, com textos de linguagem mais próxima do 
popular. 
 
Principais autores modernistas da segunda fase 
- Carlos Drummond de Andrade 
- Cecília Meireles 
- Vinicius de Moraes 
- Murilo Mendes 
- Jorge de Lima 
- Rachel de Queiroz 
- Graciliano Ramos 
- José Lins do Rego 
- Jorge Amado 
- Erico Verissimo 
 
Terceira fase do Modernismo 
A terceira fase do Modernismo é marcada pela deposição 
de Getúlio Vargas e o fim da Segunda Guerra Mundial. 
Porém os tempos são de Guerra Fria (entre Estados 
Unidos e a extinta União Soviética) e Governo Juscelino 
Kubitschek, no Brasil. 
Neste período, a literatura brasileira entra na fase que 
muitos críticos denominam de Pós-Modernismo, onde a 
poesia e ideias propostas pela geração de 22 passam a ser 
rejeitadas, surgindo a poesia voltada para as relações 
sociais e as reflexões políticas, econômicas e morais. É na 
terceira fase, também, que a crônica, o conto, a prosa 
autobiográfica e o teatro se destacam. 
Na literatura, três escritores destacaram-se pela pesquisa 
de linguagem: Guimarães Rosa e Clarice Lispector na prosa, 
e João Cabral de Melo Neto na poesia. 
Já a "geração de 45", representada por Péricles Eugênio da 
Silva Ramos, Ledo Ivo, Geir Campos e Mário Quintana, 
apresenta características neoparnasianas, onde esses 
poetas revalorizaram a rima, a métrica e usaram 
vocabulário erudito, tomando distância do vocabulário 
coloquial. 
 
Características da terceira fase modernista 
Na literatura, a terceira fase é marcada pelo fim do verso 
livre, da paródia, da ironia, do poema-piada, entre 
outros. 
A poesia desta fase segue um modelo mais formal, com 
características neoparnasianas ou neossimbolistas, com 
versos mais regrados, maior erudição com relação às 
palavras e uso de temas mais universais. 
 
Autores modernistas da terceira fase 
Guimarães Rosa 
Clarice Lispector 
João Cabral de Melo Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
Adição e multiplicação: são as operações primárias. 
Subtração e divisão são definidas em termos da adição 
e multiplicação. 
Subtração 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) 
Divisão 
𝑎
𝑏
= 𝑎. (
1
𝑏
) , 𝑏 ≠ 0 
Propriedade comutativa: 
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 
Propriedade associativa: 
(𝑢 + 𝑣)+ 𝑤 → 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
(𝑢𝑣)𝑤 = 𝑢(𝑣𝑤) 
Propriedade do elemento neutro: 
𝑢 + 0 = 𝑢 𝑢. 1 = 𝑢 
Propriedade do elemento inverso: 
𝑢 + (−𝑢) = 0 ,𝑢.
1
𝑢
= 1, 𝑢 ≠ 0 
Propriedade distributiva: 
𝑢(𝑣 + 𝑤) = 𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 (𝑢 + 𝑣)𝑤 = 𝑢𝑤 + 𝑣𝑤 
 
Ordem Matemática: 
Operadores: 
1) Potenciação ou Radiciação; 
2) Multiplicação ou Divisão; 
3) Adição ou Subtração; 
Separadores: 
1) Parênteses ( ); 
2) Colchete [ ]; 
3) Chaves { } 
 
Frações: 
1) 
𝑢
𝑣
+
𝑤
𝑣
=
𝑢+𝑤
𝑣
 →
1
2
+
3
2
=
1+3
2
=
4
2
= 2 
2) 
𝑢
𝑣
+
𝑤
𝑧
=
𝑢.𝑧+𝑣.𝑤
𝑣𝑧
→ 
 
2
9
 + 
5
33
=
2.11 + 5.3
99
=
22 + 15
99
=
37
99
 
 
3) 
𝑢
𝑣
.
𝑤
𝑧
=
𝑢.𝑤
𝑣.𝑧
→ 
3
2
.
4
5
=
12
10
=
6
5
 𝑜𝑢 =
3
2
.
4
5
=
3
1
.
2
5
=
6
5
 
 
4) 
𝑢
𝑣
÷
𝑤
𝑧
=
𝑢
𝑣
.
𝑧
𝑤
=
𝑢.𝑧
𝑣.𝑤
→
2
3
÷
9
7
=
2
3
.
7
9
=
14
27
 
 
 
Potenciação 
(−3)(−3)(−3) = (−3)3 
 (2x + 1)(2x + 1) = (2𝑥 + 1)2 
Propriedades: 
1. 𝑢𝑚𝑢𝑛 = 𝑢𝑚+𝑛 → 52. 53 = 52+3 = 55 
2. 
𝑢𝑚
𝑢𝑛
= 𝑢𝑚−𝑛 →
24
23
= 24−3 = 21 = 2 
3. 𝑢0 = 1 → 189789560 = 1 
4. 𝑢−𝑛 =
1
𝑢𝑛
→ 3−2 =
1
32
→
2
5−(3)
= 2.53 
5. (𝑢. 𝑣)𝑚 = 𝑢𝑚. 𝑣𝑚 → (4.5)3 = 43. 53 
6. (𝑢𝑚)𝑛 = 𝑢𝑚.𝑛 → (32)4 = 32.4 = 38 
7. (
𝑢
𝑣
)
𝑚
=
𝑢𝑚
𝑣𝑚
→ (
2
3
)
3
=
23
33
→ (
3
5
)
−2
= (
5
3
)
2
=
52
32
 
 
Radiciação: 
1) √𝑢. 𝑣
𝑛 = √𝑢
𝑛 . √𝑣
𝑛 → √3.4 = √3.√4 
2) √
𝑢
𝑣
𝑛
=
√𝑢
𝑛
√𝑣
𝑛 → √
5
9
3
=
√5
3
√9
3 
3) √ √𝑢
𝑛𝑚 = √𝑢
𝑚.𝑛 → √√16
43
= √16
12
 
4) ( √𝑢
𝑛 )𝑛 = 𝑢 → (√3
4
)
4
= 3 
5) √𝑢𝑚
𝑛
= (√𝑢
𝑛 )𝑚 → √52
3
= (√5
3
)
2
 
6) √𝑢𝑚
𝑛
= 𝑢
𝑚
𝑛 → √78
5
= 7
8
5 
7) √𝑢𝑛
𝑛
= {
|𝑢| 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟
𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
Racionalização: 
Quando o denominador tem a forma √𝑢𝑘
𝑛
, 
multiplicando numerador e denominador por √𝑢𝑛−𝑘
𝑛
 
podemos eliminar o radical do denominador: 
√𝑢𝑘
𝑛
. √𝑢𝑛−𝑘
𝑛
= √𝑢𝑘. 𝑢𝑛−𝑘
𝑛
= √𝑢𝑘+𝑛−𝑘
𝑛
= √𝑢𝑛
𝑛
= 𝑢 
 
Notação Científica: 
Todo número positivo pode ser escrito em N.C.: 
𝑐 𝑥 10𝑚, 𝑜𝑛𝑑𝑒 
1 ≤ 𝑐 < 10 𝑒 𝑚 𝜖 𝛧 
Regra: 
3 𝑥 108 = 300.000.000 
25349 𝑥 10−4 = 2,5349 
Conversão em N.C.: 
2,375 𝑥 108 = 237.500.000 
0,00000349 = 3,49 𝑥 10−6 
 
Divisão por racional: 
Seguindo os passos abaixo podemos realizar tal 
divisão: 
1) Igualamos o número de casas decimais; 
2) Apagamos as vírgulas; 
3) Efetuamos a divisão. 
 
Fração Geratriz: 
Geratriz é a fração que representa uma dízima 
periódica: 
Exemplo: 
Número Periódico: 2,765̅̅̅̅ 
I – Inteiro = 2; 
N – Não Periódico = 7 ⇒ 0; 
P – Periódico = 65 ⇒ 99; 
𝐼𝑁𝑃 − 𝐼𝑁
9. .0. .
=
2765 − 27
990
=
2738
990
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Produtos notáveis: 
1) Produto de uma soma e uma diferença: 
(𝑢 + 𝑣)(𝑢 − 𝑣) = 𝑢2 − 𝑣2 
Exemplo: (3𝑎 + 2𝑏) ∙ (3𝑎 − 2𝑏) = 9𝑎2− 4𝑏2 
 
2) Quadrado de uma soma de dois termos: 
(𝑢 + 𝑣)2 = 𝑢2 + 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣2 
Exemplo: (√3 + √5)
2
= (√3)
2
+ 2√3 ∙ √5 + (√5)
2
 
= 9 + 2√3.5 + 5 ⇒ 14 + 2√15 
 
3) Quadrado de uma diferença de dois termos: 
(𝑢 − 𝑣)2 = 𝑢2 − 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣2 
Exemplo: (5 − √3)
2
= 52 − 2 ∙ 5 ∙ √3 + (√3)
2
 
 = 25 − 10√3 +3 = 28 − 10√3 
 
4) Cubo de uma soma de dois termos: 
(𝑢 + 𝑣)3 = 𝑢3 + 3. 𝑢2. 𝑣 + 3. 𝑢. 𝑣2+ 𝑣3 
Exemplo: (2𝑥 + 5𝑦)3 
= (2𝑥)3 + 3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 5𝑦 + 3 ∙ 2𝑥 ∙ (5𝑦)2 + (5𝑦)3 
= 8𝑥3+ 60𝑥2𝑦 + +150𝑥𝑦2 + 125𝑦3 
 
5) Cubo de uma diferença de dois termos: 
 (𝑢 − 𝑣)3 = 𝑢3− 3. 𝑢2. 𝑣 + 3. 𝑢. 𝑣2− 𝑣3 
Exemplo: (5𝑥 − 3𝑦)3 
= (5𝑥)3 − 3 ∙ (5𝑥)2 ∙ 3𝑦 + 3 ∙ 5𝑥 ∙ (3𝑦)2 − (3𝑦)3 
= 125𝑥3− 225𝑥2𝑦 + 135𝑥𝑦2 − 9𝑦3 
 
Fatoração: 
1) Fator comum em evidência; 
2𝑥3 + 2𝑥2− 6𝑥 = 2𝑥. 𝑥. 𝑥 + 2𝑥 ∙ 𝑥 − 3.2𝑥 
= 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 3) 
2) Agrupamento; 
2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 
= 2𝑎(𝑐 − 𝑑) + 𝑏(𝑐 − 𝑑) 
= (𝑐 − 𝑑). (2𝑎 + 𝑏) 
 
3) Diferença de dois quadrados; 
𝑎2− 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
Exemplo: 4𝑥2− (𝑦 + 3)2 
Basta aplicar raiz quadrada nos dois membros para 
descobrir quais são os termos: 
√4𝑥2−√(𝑦 + 3)2 
Assim os termos são 
2𝑥 e (𝑦 + 3) 
Portanto: 
4𝑥2− (𝑦 + 3)2 = (2𝑥 + 𝑦 + 3)[2𝑥 − (𝑦 + 3)] 
= (2𝑥 + 𝑦 + 3)(2𝑥 − 𝑦 − 3) 
 
4) Trinômio quadrado perfeito; 
4𝑥2− 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥 − 3𝑦)2 
Basta aplicar raiz quadrada no primeiro e último 
membro para descobrir quais são os termos: 
√4𝑥2− 12𝑥𝑦 + √9𝑦2 
Assim os termos são 2𝑥 e 3𝑥 
Portanto: 
4𝑥2− 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥 − 3𝑦)2 
 
5) Trinômio do segundo grau: 
𝑎(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) 
6𝑥2 − 5𝑥 + 1 
Fazendo os cálculos encontramos que as raízes são: 
𝑥1 =
1
3
 𝑒 𝑥2 =
1
2
 
Portanto: 
6𝑥2− 5𝑥 + 1 = 6 ∙ (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
) 
 
6) Soma e da diferença de dois cubos; 
𝑢3 + 𝑣3 = (𝑢 + 𝑣)(𝑢2 − 𝑢𝑣 + 𝑣2) 
𝑢3 − 𝑣3 = (𝑢 − 𝑣)(𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣2) 
Exemplo: 
Basta aplicarmos uma raiz cúbica em ambos os 
membros para descobrirmos os termos: 
8𝑥3+ 27 
√8𝑥3
3
+ √27
3
 
Assim os termos são: 
2𝑥 e 3 
Portanto: 
8𝑥3 + 27 = (2𝑥 + 3)(4𝑥2 − 6𝑥 + 9) 
 
Regra de Três: 
Simples: 
Passos utilizados numa regra de três simples: 
1) Reunir em uma mesma coluna as grandezas de 
igual espécie e de mesma unidade de medida; 
2) Verificar se as grandezas envolvidas são diretas ou 
inversamente proporcionais; 
3) Escrever a proporção corresponde e solucioná-la. 
 
Exemplo: 
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², 
uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. 
Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a 
energia produzida? 
𝑚2 W 
1,2 400 
1,5 x 
 
400
𝑥
=
1,2
1,5
⇒ 1,2𝑥 = 400.1,5 ⇒ 𝑥 =
600
1,2
⇒ 𝑥 = 500 
 
Composta: 
Passos utilizados numa regra de três composta: 
1) Reunir em uma mesma coluna as grandezas de 
igual espécie e de mesma unidade de medida; 
 
 
 
3 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
2) Analisar as grandezas duas a duas em relação à que 
possui a incógnita), a fim de verificar se são diretas ou 
inversamente proporcionais; 
3) Escrever a proporção corresponde e solucioná-la. 
 
Exemplo: 
Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 
40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras 
produziriam 2000 desses panfletos? 
 
Impressoras Panfletos Minutos 
6 1000 40 
3 2000 x 
 
Minutos e Panfletos são proporcionais, já Minutos e 
Impressoras são inversamente proporcionais. 
40
𝑥
=
1000
2000
.
3
6
⇒
40
𝑥
=
3
12
 
 
3𝑥 = 12.40 ⇒ 𝑥 =
480
3
⇒ 𝑥 = 160 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
Razão: O proprietário de um automóvel equipado com 
a tecnologia flex-fuel resolveu abastecê-lo com álcool e 
gasolina na razão de 1 para 3. 
Proporção: Um determinado mapa foi construído na 
escala 1:13500. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 
Arredondamento: 
= 5 → pode-se escolher se adiciona +1 no valor anterior 
ou não; 
> 5 → adiciona-se +1 ao número anterior; 
< 5 → não há alteração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
MATEMÁTICA 1 
CONJUNTOS: 
Simbologia: 
∈: pertence ∉: não pertence 
∃: existe ∄: não existe 
⊂: está contido ⊄: não está contido 
⊃: contém ⊅: não contém 
|: tal que ℕ: conjunto dos naturais 
ℤ: conjunto dos inteiros ℚ: conjunto dos racionais 
𝕀: conjunto dos irracionais ℝ: conjunto dos reais 
ℂ: conjunto dos complexos ⇒: implica que 
⟺: se somente se ∆: variação, final - inicial 
 
Conjuntos Numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto é uma coleção de elementos: 
a) Vazio: não possui elementos; 
b) Unitário: possui um único elemento; 
c) Universo: conjunto que possui todos os elementos; 
Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A 
pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, 
ou seja, A ⊂ B. 
 
Operações entre conjuntos: 
União: 
1) Dois Conjuntos: 
𝐴𝑈𝐵 = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 
 
 
 
 
 
2) 3 Conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
Diferença: 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
Interseção: 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Complementar: 𝐶𝐴
𝐵 = 𝐴 − 𝐵 
 
Teoria básica de funções 
Representações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 
Definição: Dados dois conjuntos A e B, uma relação 𝐴 →
𝐵 é chamada função quando associa a cada elemento de 
A um único elemento de B. O domínio de f é um conjunto 
A, o contradomínio de f é o conjunto B e a imagem de f é 
o subconjunto de B formado por todos os elementos que 
estão em correspondência com os elementos de A. 
 
Classificações: 
 Pode Sobrar 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 
Sobrejetora X 
Injetora X 
Bijetora: um função bijetora é injetora e sobrejetora ao 
mesmo tempo. 
Exemplos de Conjuntos: 
 
Figura 1 
https://www.google.com/url?sa=i&source=imgres&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiK_ciNyvjiAhWUILkG
HewQAnwQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fengenhariaexercicios.com.br%2Fpre-calculo%2Ffuncoes-
sobrejetoras-injetoras-e -bijetoras%2F&psig=AOvVaw3fpklyfrwiA_SvTnSA5Hc 
 
𝐴 𝐵 
𝐴 𝐵 
𝜋 √2 
ℕ ℤ ℚ 
𝕀 
ℂ 
0,1,2,3,4… …− 3, −2,−1 
0,1,2,3 … 
0, 9̅ 
𝑎
𝑏
 
𝑒 
ℝ 
𝐴 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 
𝐴 𝐵 
𝐴 − 𝐵 − 𝐶 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐶 
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 
𝐴 ∩ 𝐶 − 𝐵 𝐵 ∩ 𝐶 − 𝐴 
𝐵 − 𝐴 − 𝐶 
𝐶 − 𝐴 − 𝐵 
𝐶 
𝐴 ∩ 𝐵 
𝐴 ∩ 𝐵 
𝑦 
𝑥 
(2,5) 
2 
5 
𝑥 
𝑦 
𝑓(𝑥) 
 
 
 
5 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Exemplos de Gráficos: 
 
 
Figura 2 https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=94946 
Função par: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥); {simétrico ao eixo y} 
Função ímpar: 𝑓(𝑥) = −[𝑓(−𝑥)]. {simétrico à origem} 
Função composta: 
 
Figura 3 https://www.math.toronto.edu/preparing-for-calculus/4_functions/images/composition.png 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 
𝑓𝑜𝑔 = 𝑓[𝑔(𝑥)] = (3𝑥 + 2)2 = 9𝑥2+ 12𝑥 + 4 
 
Função inversa: 
Se 𝑓:𝐴 → 𝐵 é uma função bijetora, então existe uma 
função 𝑓−1:𝐵 → 𝐴 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 ⇒ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥. 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 
𝑓(𝑥) ⇒ 𝑦 = 4 − 𝑥2 ⇒ 𝑥 = 4− 𝑦2 
𝑥 + 𝑦2 = 4 ⇒ 𝑦2 = 4 − 𝑥 ⇒ 𝑦 = √4 − 𝑥 
𝑓(𝑥)−1 = √4 − 𝑥 
 
Figura 4 http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcao-inversa/inversa45.png 
 
 
 
 
FUNÇÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES: 
Função afim ou polinomial do 1° Grau: 
Representação: 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
 
 
Figura 6 https://www.dicasdecalculo.com.br/wp-
content/uploads/2017/04/Fun%C3%A7%C3%A3o-do-
1-grau-decrescente.jpg 
 
 
Zeros da função: valores onde 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0. 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
Inequação do 1° grau 
Exemplos: 
1) Simples 
a. −4𝑥 + 8 < 0 
−4𝑥 + 8 − 8 < 0 − 8 ⇒ −4𝑥 < −8 
−4𝑥
−4
>
−8
−4
⇒ 𝑥 > 2 
2) Produto ou Quociente: 
a. 
(𝑥−1).(𝑥+2)
−𝑥+6
≥ 0 
i. −𝑥 + 6 não pode ser igual a zero no 
denominador. 
 
1) 𝑥 − 1 ≥ 0 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
 
 
 
 
 
2) 𝑥 + 2 ≥ 0 
𝑥 + 2 = 0 
𝑥 = −2 
3) −𝑥 + 6 > 0 
−𝑥 + 6 = 0 
𝑥 = 6 
1) 
2) 
3) 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 1 ≤ 𝑥 < 6} 
 
 
coeficiente linear 
coeficiente angular 
𝑎 = 𝑡𝑔𝛼 =
Δ𝑦
Δ𝑥
 
 
 
𝑎 > 0 𝑒 𝑏 = 0,5 
 
 
Figura 5 https://www.dicasdecalculo.com.br/wp-
content/uploads/2017/04/Fun%C3%A7%C3%A3o-do-1-grau-
crescente.jpg 
 
 
𝑎 < 0 𝑒 𝑏 = 3,5 
 
 
1 
+ − 
-2 
+ − 
6 
+ − 
1 -2 6 
(−) (+) (+) (+) 
(−) (−) (+) (+) 
(+) (+) (+) (−) 
(+) (−) (+) (−) 
1 -2 6 
 
 
 
6 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Função quadrática ou polinomial do 2° grau: 
Representação: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
 
Figura 7 https://www.dicasdecalculo.com.br/wp-content/uploads/2017/05/Fun%C3%A7%C3%A3o-do-2-grau.jpg 
 
 
 
Zeros da função: valores onde a 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0. 
Bhaskara: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎
 
Sendo que: 
Δ > 0, 𝑥1 ≠ 𝑥2 
Δ = 0, 𝑥1 = 𝑥2 
Δ < 0, 𝑥1 𝑒 𝑥2 ∄ 𝑛𝑜𝑠 ℝ 
Soma e Produto: 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
Vértice: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 𝑒 𝑦𝑣 = −
Δ
4𝑎
 
Função biquadrada: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2+ 𝑐 ⇒ 𝑦 = 𝑥2 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
 
Inequação do 2° grau 
Exemplo:(𝑥2− 2𝑥 − 3). (2𝑥2− 5𝑥 + 2) ≤ 0 
 
1) 𝑥2− 2𝑥 − 3 ≤ 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
= −
−2
1
= 2 
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
= −3 = {
−1.3
−3.1
 
𝑥1 = −1 𝑒 𝑥2 = 3 
 
 
 
 
2) 2𝑥2− 5𝑥 + 2 ≤ 0 
2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 
Δ = (−5)2 − 4.2.2 
Δ = 25 − 15 = 9 
𝑥 =
−(−5)± 3
2.2
=
5 ± 3
4
 
𝑥1 = 2 𝑒 𝑥2 = −
1
2
 
 
 
 
1) 
2) 
 
 
 
 
Função Exponencial: 
Representação: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
 
Figura 8 https://www.estudofacil.com.br/wp-content/uploads/2014/11/funcao-exponencial-graficos-e-exemplos.gif 
Equação exponencial: 
Exemplo: 
252𝑥+2 = 5 ⇒ (52)2𝑥+2 = 51 
54𝑥+4 = 51 ⇒ 4𝑥 + 4 = 1 
4𝑥 = 1 − 4 ⇒ 4𝑥 = −3 ⇒ 𝑥 = −
3
4
 
 
Função Logarítmica: 
Representação: 
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 
 
Figura 9 http://www.centralexatas.com.br/img/matematica/formulas/funcao/funcao_logaritmica_crescente_decrescente.png 
Logaritmo: 
Sendo 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑏 > 0, 
Propriedades: 
1. log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎
𝑐 = 𝑏 
2. log𝑎 1 = 0 
3. log𝑎 𝑎 = 1 
4. logm(𝑎. 𝑏) = log𝑚 𝑎 + log𝑚 𝑏 
5. log𝑚 (
𝑎
𝑏
) = log𝑚 𝑎 − log𝑚 𝑏 
6. log𝑚 𝑏
𝑛 = 𝑛. log𝑚 𝑏 
7. log𝑛𝑚 𝑏 =
1
𝑚
. log𝑛 𝑏 
8. log𝑛𝑚 =
log𝑐𝑚
log𝑐𝑛
 
9. log𝑎 𝑏 =
1
log𝑏𝑎
 
10. 𝑎log𝑎𝑏 = 𝑏 
11. log𝑒 𝑎 ⇒ ln 𝑎 
12. log10 𝑎 ⇒ log 𝑎 
 
Inequação Logarítmica 
Exemplo:log2(𝑥 + 2) >3 
Condição de existência: 
𝑥 + 2 > 0 ⇒ 𝑥 > −2 
log2(𝑥 + 2) > 3 ⇒ 𝑥 + 2 > 2
3 ⇒ 𝑥 > 6 
coeficiente linear 
𝑎 < 0, 𝑏 = 3 𝑒 𝑐 = −2 
 
 
𝑎 > 0, 𝑏 = −1 𝑒 𝑐 = −1 
 
 
−1 
+ + 
3 
− 1
2
 + + 2 − 
1
2
 -1 3 
(+) (−) (−) (+) 
(+) (+) (+) (+) 
(+) (−) (−) (+) 
1
2
 
-1 3 2 
(−) 
(−) 
(+) 
2 
 
 
 
7 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
Verificação: 
𝒙 > 𝟔 > −2 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
Logo, o conjunto solução é: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 6} 
 
Função Modular: 
Representação: 
𝑓(𝑥) = |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 
Figura 10 http://www.alfaconnection.pro.br/images/FUN070101b.gif 
 
Inequação Modular 
Exemplo: |𝑥 − 2| − |𝑥 + 4| ≤ 1 − 𝑥 
 
|𝑥 − 2| = {
𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 − 2 < 0 ⇒ 𝑥 < 2
 
|𝑥 + 4| = {
𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 + 4 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −4
−𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 + 4 < 0 ⇒ 𝑥 < −4
 
 
Figura 11 http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7534lista_de_exebcycios_3_-_funyyo_modulab_-
_gababito_pdf.pdf 
 
1° Caso: 𝑥 < −4 
|𝑥 − 2| − |𝑥 + 4| ≤ 1 − 𝑥 
6 ≤ 1 − 𝑥 
𝑥 ≤ 1 − 6 
𝑥 ≤ −5 
 
Figura 12 http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7534lista_de_exebcycios_3_-_funyyo_modulab_-
_gababito_pdf.pdf 
𝑆1 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −5} 
 
2° Caso: −4 ≤ 𝑥 < 2 
|𝑥 − 2| − |𝑥 + 4| ≤ 1 − 𝑥 
−2𝑥 − 2 ≤ 1 − 𝑥 
−2𝑥 + 𝑥 ≤ 1 + 2 
−𝑥 ≤ 3 
−𝑥 ≥ 3 
 
Figura 13http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7534lista_de_exebcycios_3_-_funyyo_modulab_-
_gababito_pdf.pdf 
𝑆2 = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑥 < 2} 
 
3° Caso: 𝑥 ≥ 2 
|𝑥 − 2| − |𝑥 + 4| ≤ 1 − 𝑥 
−6 ≤ 1− 𝑥 
𝑥 ≤ 1 + 6 
𝑥 ≤ 7 
 
Figura 14http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7534lista_de_exebcycios_3_-_funyyo_modulab_-
_gababito_pdf.pdf 
𝑆3 = {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 
Unindo todos as possível soluções: 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 
 
Figura 15 http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7534lista_de_exebcycios_3_-_funyyo_modulab_-_gababito_pdf.pdf 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −5 𝑜𝑢 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 
SEQUÊNCIAS 
Progressão Aritmética 
Sequência de números somados sucessivamente a um 
termo chamado de razão, na qual a diferença entre dois 
termos consecutivos representa tal razão. 
Termo Geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
Soma dos n termos: 𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛).𝑛
2
 
𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 = (𝑛 −𝑚). 𝑟 
A média aritmética dos extremos de uma P.A. é o 
elemento do meio. 
Exemplo: (𝟐, 4, 𝟔, 8, 𝟏𝟎) ⇒
2+10
2
= 6 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Progressão Geométrica 
Sequência de números multiplicados sucessivamente a 
um termo chamado de razão, na qual o quociente entre 
dois termos consecutivos representa tal razão. 
Termo Geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
𝑛−1 
Soma dos termos: 
Finitos: 𝑆𝑛 =
𝑎1.(1−𝑞
𝑛)
1−𝑞
 Infinitos: 𝑆𝑛 =
𝑎1
1−𝑞
, |𝑞| < 1 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑞𝑛−𝑚 
A média geométrica dos extremos de uma P.A. é o 
elemento do meio. 
Exemplo: (𝟐, 4, 𝟖, 16, 𝟑𝟐) ⇒ √2.32 = √64 = 𝟖 
Dica: representar os termos de uma PA como … , 𝑥 −
𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟,… ou de uma P.G. como … ,
𝑥
𝑞
, 𝑥, 𝑥. 𝑞,…, pode 
facilitar a resolução de algumas questões de 3 termos. 
 
GEOMETRIA PLANA 
Ângulos 
Unidade de medida de ângulo: 
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 ⇔ 180° 
A medida de uma volta completa é 360º. 
1° = 60′ ° - grau 
1′ = 60′′ ‘ – minuto 
 ‘’ – segundo 
Classificação e definições dos ângulos: 
 𝜃 = 0º - ângulo nulo; 
 0º < 𝜃 < 90º - ângulo agudo; 
 𝜃 = 90º - ângulo reto; 
 90º < 𝜃 < 180º - ângulo obtuso; 
 𝜃 = 180º - ângulo raso; 
Complementares: 𝛼 + 𝛽 = 90º 
Suplementares: 𝛼 + 𝛽 = 180º 
Replementares: 𝛼 + 𝛽 = 360º 
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas 
por uma reta transversal: 
Ângulos correspondentes são congruentes: b e f; 
Ângulos colaterais são suplementares: h e c, d e g; 
Ângulos alternos são congruentes: b e h, a e g; 
Ângulos opostos pelo vértice: a e c, b e d, e e g, f e h; 
 
 
 
 
 
Trigonometria no triângulo retângulo: (𝑺𝒐𝒉𝑪𝒂𝒉𝑻𝒐𝒂) 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
𝑐
 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑏
𝑐
 𝑡𝑔𝛼 =
𝑎
𝑏
 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
 
 
 
Figura 16 
https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwjg4qrEwP7iAhXKDrkGHR_jDpkQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fb
rainly.com.br%2Ftarefa%2F517024&psig=AOvVaw02_3wlegnu7YSMVLvLFk0t&ust=1561341502852891 
 
Relações trigonométricas básicas: 
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 = cos (90° − 𝛼) 
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛽 = sen(90° − 𝛼) 
𝑠𝑒𝑛𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛼2 = 1 
Tabela de ângulos fundamentais: 
 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 
𝒔𝒆𝒏 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 0 1 0 -1 
𝒄𝒐𝒔 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 1 0 -1 0 
𝒕𝒈 
√3
3
 1 √3 0 ∄ 0 ∄ 
 
Círculo Trigonométrico 
 
Figura 17 https://professorjairjunior.files.wordpress.com/2012/05/cc3adrculo_trigonomc3a9trico.png?w=636 
 
 
 
 
r 
s 
r/
/s 
a 
c 
d 
b 
e 
g 
h 
f 
 
 
 
9 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
 
Figura 18 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Triangle.Labels.svg/1200px-Triangle.Labels.svg.png 
Lei dos Senos: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
Lei dos Cossenos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos 𝛼 
𝑏2 = 𝑎2+ 𝑐2 − 2. 𝑎. 𝑐. cos 𝛽 
𝑐2 = 𝑎2+ 𝑏2 − 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝛾 
Área: 
𝐴 =
𝑎. 𝑏
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝛾, 𝐴 =
𝑐. 𝑏
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
𝑜𝑢 𝐴 =
𝑎. 𝑐
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 
 
Teorema de Tales 
“Os segmentos correspondentes determinados por um 
feixe de retas paralelas distintas sobre duas retas 
transversais são proporcionais.” 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
ou 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
Figura 19 http://voupassar.club/wp-content/uploads/2017/04/Untitled-216.jpg 
 
Semelhança de polígonos: 
“Dois polígonos são semelhantes quando têm os 
ângulos internos correspondentes de mesma medida e 
lados correspondentes proporcionais”. 
 
Relações no triângulo retângulo: 
 
Figura 20 https://3.bp.blogspot.com/-79Qu1q7PsD4/W3BXf-
3Z5rI/AAAAAAAAi7A/qxpCs_xSNRwcgOtKJxd3vxu_pLM4LAOzQCLcBGAs/s1600/Tri%25C3%25A2ngulo%2Bret%25C3%25A2ngulo%2B-
%2Brela%25C3%25A7%25C3%25B5es%2Bm%25C3%25A9tricas.PNG 
Deduções: 
𝑏
𝑛
=
ℎ
𝑐
=
𝑎
𝑏
= 𝑘, 
𝐴∆𝐴𝐵𝐶
𝐴∆𝐸𝐷𝐶= 𝑘2 𝑒 
𝑉∆𝐴𝐵𝐶
𝑉∆𝐸𝐷𝐶
= 𝑘3 
Pitágoras: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Relações de semelhança: 
𝑏2 = 𝑎𝑚, 𝑐2 = 𝑎𝑛, ℎ2 = 𝑚𝑛 𝑒 𝑎ℎ = 𝑏𝑐 
 
Triângulos 
Elementos de um Triângulo: 
 
Os vértices A, B e C. 
Os lados e suas medidas AB = c, AC = b e BC = a. 
Os ângulos internos �̂�, �̂� 𝑒 𝐶. 
Ângulo externo (𝛼). 
Soma dos ângulos internos de um triângulo: 
�̂� + �̂� + 𝐶 = 180° 
Ângulo externo de um triângulo: 
𝛼 = �̂� + 𝐶 
 
Classificação: 
Quanto aos lados: 
Escaleno: 3 lados e ângulos diferentes. 
 
Isósceles: 2 lados e ângulos iguais. 
 
Equilátero: ângulos e lados iguais. 
 
 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
A 
B 
C 
x x 
A 
B C 
x 
x 
x 
 
 
 
10 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Quanto aos ângulos: 
Acutângulo: ângulos internos agudos. 
 
Retângulo: 1 ângulo reto. 
 
Obtusângulo: 1 ângulo obtuso. 
 
Figura 21 https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2017/02/tipos -de-triangulos4.jpg 
Condição de existência: 
|𝐴𝐶 − 𝐶𝐵| < 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 
 
Retas particulares do triângulo: 
Bissetriz é a semirreta que divide um ângulo do 
triângulo em duas partes iguais. 
Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao 
ponto médio do lado oposto. 
Altura é o segmento de reta que partindo de um vértice 
é perpendicular ao lado oposto. 
Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo 
passando pelo seu ponto médio. 
 
 
Figura 22 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300_arquivos/GEO030001z.gif 
Ponto de encontro das retas particulares: 
O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos 
do triângulo, denominado de incentro, é equidistante 
dos lados sendo, portanto, o centro da circunferência 
inscrita no triângulo. 
 
Figura 23 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300_arquivos/GEO030002a.gif 
 
O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um 
triângulo, denominado de circuncentro, é equidistante 
dos vértices sendo, portanto, o centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo. 
 
Figura 24 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300_arquivos/GEO030003a.gif 
 
O ponto de encontro das medianas, denominado de 
baricentro por ser o centro de massa do triângulo, está 
situado a uma distância do vértice igual à 2/3 do 
comprimento da mediana. 
 
Figura 25 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300_arquivos/GEO030005a.gif 
 
As alturas de um triângulo se encontram num ponto 
denominado de ortocentro. 
 
Figura 26 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0300_arquivos/GEO030006a.gif 
 
 
A C 
B 
A B 
C 
 
 
 
11 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Círculo: 
Retas: 
 
Figura 27 http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream 
/handle/mec/10396/geo0500_arquivos/GEO050003a.gif 
 
Ângulos: 
 
𝛽 = 𝐴�̂�, 𝛼 = 𝛾 =
𝐴�̂�
2
 
𝜃 = |
𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2
| 
𝜑 =
𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2
 
Comprimento do Arco: 
𝐴�̂� = 𝛽.𝑅 
 
 
Ângulos inscritos em uma 
mesma circunferência, que são 
relativos a um mesmo arco, têm 
medidas iguais. 
 
Quando os extremos de um 
arco são os extremos de um 
diâmetro AB, cada um dos 
arcos é uma semicircunferência 
e a medida de cada um dos 
arcos é igual a 180°. 
 
Segmentos Proporcionais: 
 
Figura 28 
http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/Aula_15067/419.png 
𝐵𝑃̅̅ ̅̅ . 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ = 𝐷𝑃̅̅ ̅̅ . 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ 
 
Figura 29 
http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/Aula_15067/427.png 
𝑃𝐴̅̅ ̅̅ . 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐶̅̅̅̅ . 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ 
 
Figura 30 
http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/Aula_15067/429.png 
𝑃𝑇̅̅̅̅ 2 = 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ . 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
Áreas 
Triângulo: 
 
Figura 31 https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/novos-angulos-no-
triangulo.jpg 
𝐴Δ =
𝑏. ℎ
2
 
𝐴Δ =
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2
. 𝑠𝑒𝑛𝛽 
𝐴Δ = √𝑝. (𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝. 𝑐) 
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 
𝐴Δ𝑒𝑞 =
𝑙2√3
4
 
 
Quadriláteros: 
 
Figura 32 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/%C3%81rea_dos_Paralelogramos.png/498px-
%C3%81rea_dos_Paralelogramos.png 
𝐴∎ = 𝑏. ℎ 𝐴𝑇𝑟𝑎𝑝 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
 𝐴𝑙𝑜𝑠 =
𝐷. 𝑑
2
 
 
Círculos: 𝐴𝑂 = 𝜋. 𝑟
2 
Setor Circular: 
𝐴𝑆𝑒𝑡 =
𝛼.𝜋. 𝑟2
360°
 
 
Figura 33 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/ 
Circle_arc.svg/1200px-Circle_arc.svg.png 
 
Segmento Circular: 
𝐴𝑆𝑒𝑔 = 𝐴𝑆𝑒𝑡 − 𝐴Δ 
 
 
Figura 34 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 
f/fb/Circularsegment.svg/257px-Circularsegment.svg.png 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
MATEMÁTICA 2 
TRIGONOMETRIA 
Relações trigonométricas: 
1) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2 𝑥 = 1, para todo x 𝜖 ℝ; 
2) 𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋; 
3) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
cos𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 
4) sec 𝑥 =
1
cos𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋; 
5) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 
 
Transformações Trigonométricas: 
Adição: 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎. cos 𝑏 + cos 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎. cos 𝑏 − cos 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑡𝑔 (𝑎 + 𝑏) =
 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏
1 − 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏
 
𝑡𝑔 (𝑎 − 𝑏) =
 𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏
1 + 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏
 
Arco Duplo: 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑎. cos 𝑎 ; 
cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎; 
Arco Metade: 
cos (
𝑥
2
) = ±√
1+ cos 𝑥
2
 
sen (
𝑥
2
) = ±√
1− cos 𝑥
2
 
Adição trigonométrica: 
𝑠𝑒𝑛 𝑝 ± 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 ± 𝑞
2
) . cos (
𝑝 ± 𝑞
2
) 
cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2. cos (
𝑝 + 𝑞
2
) . cos (
𝑝 − 𝑞
2
) 
cos 𝑝 − cos 𝑞 = −2. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 + 𝑞
2
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑝 − 𝑞
2
) 
 
Funções trigonométricas: 
Os valores das funções seno, cosseno, tangente, 
cossecante, secante e cotangente podem ser vistos 
encontrados no círculo trigonométrico abaixo: 
 
Figura 35 https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/circulo-trigonometrico-2.png 
Função Seno: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Gráfico 
 
Figura 36 https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2018/06/img_5b1956561d93c.png 
 
 
Função Cosseno: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = cos(𝑥) 
Gráfico 
 
Figura 37 https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2018/06/img_5b195cd1e4e7d.png 
 
 
Função Tangente: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥) 
Gráfico 
 
Figura 38 https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2018/06/img_5b195fa1ccac3.png 
Período de uma função: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑛. 𝑥) 
𝑇 =
2𝜋
𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 
Matrizes 
Definição: Uma matriz x é uma tabela de elementos 
dispostos em linhas e colunas. Se, a matriz é dita 
quadrada e de ordem. Um elemento na i-ésima linha e 
na j-ésima coluna é indicado por a ij. Assim uma matriz 
é apresentada: 
 
𝐴𝑖 𝑥 𝑗 = [
𝑎11 … 𝑎1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗
] 
Igualdade entre Matrizes: duas matrizes são iguais 
quando têm o mesmo número de linhas, o mesmo 
número de colunas, e seus termos correspondentes são 
iguais. 
 
Adição de matrizes: 
𝐴𝑖 𝑥 𝑗 = [
𝑎11 … 𝑎1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗
] 𝑒 𝐵𝑖 𝑥 𝑗 = [
𝑏11 … 𝑏1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑖1 … 𝑏𝑖𝑗
] 
Então: 
𝐴 + 𝐵 = [
𝑎11 + 𝑏11 … 𝑎1𝑗 + 𝑏1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 + 𝑏𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
] 
Obs: a soma dos elementos da diagonal principal é 
chamada de traço. 
 
Multiplicação de uma matriz por um número: 
2. 𝐴𝑖 𝑥 𝑗 = [
2. 𝑎11 … 2. 𝑎1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
2. 𝑎𝑖1 … 2. 𝑎𝑖𝑗
] 
Sendo: 
(−1). 𝐴𝑖 𝑥 𝑗 = [
−𝑎11 … −𝑎1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
−𝑎𝑖1 … −𝑎𝑖𝑗
], chamada de matriz 
oposta. 
 
Produto entre matrizes: 
Dadas duas matrizes A e B, sendo A de tamanho i x j e B 
de tamanho m x n, definimos o produto A.B como sendo 
uma matriz de tamanho i x n, se e somente se j = m, onde 
cada elemento da nova matriz C é obtido multiplicando-
se os elementos correspondentesna i-ésima linha da 
matriz A e na j- ésima coluna de B, e depois somando 
esses n produtos. 
Exemplo: 
𝐴3𝑥 2 = [
2 0
3 −2
−1 4
] 𝑒 𝐵2𝑥 2 = [
7 −3
2 1
] 
𝐴.𝐵 = [
2 0
3 −2
−1 4
] . [
7 −3
2 1
] = [
2.7 + 0.2 2. (−3)+ 0
3.7 − 2.2 3. (−3) − 2.1
−1.7 + 4.2 −1. (−3)+ 4.1
] 
𝐴. 𝐵 = [
14 −6
17 −11
1 7
] , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵.𝐴 
Tipos de Matrizes: 
Transposta: Transforma-se suas i linhas em j colunas, ou 
de modo equivalente, suas j colunes em i linhas. 
𝐴 = [
4 0
√15 200!
3 𝜋
] ⇒ 𝐴𝑡 = [4 √15 3
0 200! 𝜋
] 
 
Matriz simétrica: uma matriz é igual a sua transposta. 
 
Matriz antissimétrica: uma matriz A é igual a oposta de 
sua matriz transposta 𝐴𝑡 , ou seja, a transposta 𝐴𝑡 é igual 
a matriz oposta −𝐴. 
 
Matriz Identidade: a matriz identidade de ordem n é a 
matriz quadrada i x j que tem o número um em sua 
diagonal principal e zero em todas os outros elementos. 
𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
Matriz Inversa: Dizemos que uma matriz quadrada A, 
de ordem n, admite inversa, ou é invertível, quando é 
diferente de zero e existe outra matriz B, também 
quadrada de ordem n , tal que 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼𝑛, então 
chamamos 𝐵 = 𝐴−1. 
Exemplo: 
𝐴 = [
1 −1
2 0
] , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐵 = 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
Então: 
𝐴. 𝐵 = 𝐼2 ⇒ [
1 −1
2 0
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
Forma-se um sistema em que: 
[
𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑
2𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] , 𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝐵 = 𝐴−1 = [
0
1
2
−1
1
2
] 
 
Determinantes 
Ordem 2: 
𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ⇒ det𝐴 = 𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐 
 
Ordem 3: 
1) Regra de Sarrus: 
1. Repetem-se as duas primeiras colunas (ou linhas); 
2. Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da 
diagonal principal, atribuindo a estes produtos sinais 
positivos; 
3. Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da 
diagonal secundária, atribuindo a estes produtos sinais 
negativos; 
4. A soma algébrica de todos estes elementos 
corresponde ao determinante. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
 
Figura 39 https://matika.com.br/images/90/det_3x3.svg 
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz 
quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 pode ser obtido pela soma 
dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha 
ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores: 
det𝑀 =∑𝑎𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗
𝑚
𝑖=1
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴𝑖𝑗 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠. 
Exemplo: 
𝑀 = [
2 4 1
0 3 2
3 1 2
] 
Escolhendo a primeira coluna e aplicando o teorema de 
Laplace temos: 
det𝑀 = 2.𝐴11 + 0.𝐴21 + 3.𝐴31 
Para resolver o primeiro cofator retiramos a linha 1 e a 
coluna 1: 
𝐴11 = (−1)
1+1. [
3 2
1 2
] = 1. [6 − (2)] = 6 − 2 = 4 
Para resolver o primeiro cofator retiramos a linha 2 e a 
coluna 1: 
𝐴21 = (−1)
2+1. [
4 1
1 2
] = (−1). [8 − (1)] = (−1). 7 = −7 
Para resolver o primeiro cofator retiramos a linha 3 e a 
coluna 1: 
𝐴31 = (−1)
3+1. [
4 1
3 2
] = 1. [8 − (3)] = 8 − 3 = 5 
Com isso: 
det𝑀 = 2.4 + 0. (−7)+ 3.5 = 8 + 15 = 23 
 
Quando o determinante de uma matriz é nula! 
1. Se tiver uma fila nula; 
2. Se tiver duas filas iguais; 
3. Se uma fila for múltipla de outra; 
4. Se uma fila for uma adição das outras duas; 
 
Propriedades: 
1. det𝐴 = det 𝐴𝑡 ; 
2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma 
matriz, o determinante muda de sinal; 
3. det(𝐴−1) =
1
det𝐴
; 
4. det(𝐴. 𝐵) = det 𝐴 . det 𝐵 ; 
5. det(𝑘. 𝐴) = 𝑘𝑛 det 𝐴, sendo n a ordem da matriz A; 
 
Sistemas e Equações Lineares 
Toda equação do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏 é 
uma equação linear, em que: 
• 𝑎1 , 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números reais chamados 
coeficientes; 
• 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são as variáveis reais ou incógnitas; 
• 𝑏 é um número real chamado termo independente. 
Sistema Linear 
São sistemas de equações onde o maior expoente é 1. 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2…𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2…𝑎𝑚𝑛𝑥𝑚𝑛 = 𝑏𝑚
 
Forma matricial: 
[
𝑎11 … 𝑎1𝑗
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 … 𝑎𝑖𝑗
] [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
⋮
𝑏𝑛
] 
 
 
 
 
Sistema homogêneo: quando 𝑏1 = 𝑏2… = 𝑏𝑛 = 0; 
Regra de Cramer: é um teorema que dá a solução de um 
sistema de equações lineares em termos de 
determinantes: 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
… 
Em que D é o determinante da matriz dos coeficientes, 
Dx, Dy e Dz são as matrizes em que os termos 
independentes substituem os termos respectivos de suas 
incógnitas. 
 
Análise: 
𝑆. 𝐿.
{
 
 
 
 
𝑃𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
{
 
 
 
 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 {𝐷 = 0
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 {
𝐷 = 0
𝐷𝑥 ≠ 0
…
𝐷𝑛 ≠ 0
𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 {
𝐷 = 0
𝐷𝑥 𝑜𝑢 𝐷𝑦 𝑜𝑢 …𝐷𝑛 = 0
 
 
Exemplo: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 7
𝑥 − 𝑦 = 1
⇒ [
2 3
1 −1
] . [
𝑥
𝑦] = [
7
−1
] 
𝐷 = [
2 3
1 −1
] = −2 − 3 = −5 
𝐷𝑥 = [
7 3
1 −1
] = −7 − 3 = −10 
𝐷𝑦 = [
2 7
1 1
] = 2 − 7 = −5 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−10
−5
= 2 𝑒 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−5
−5
= 1 ⇒ 𝑆.𝑃.𝐷. 
 
Escalonamento: método para resolver sistemas lineares 
de qualquer ordem. Para escalonar um sistema dotamos 
o seguinte procedimento: 
1. Fixamos como 1º equação uma das que possuem o 
coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. 
2. Utilizando a adição das outras duas linhas, utilizando 
de produto ou divisão para que a 1º incógnita seja 
anulada. 
3. Repetimos o processo com as demais incógnitas, até 
que o sistema se torne escalonado: 
 
 
Matriz dos 
coeficientes 
(D) 
(única solução) 
(Infinitas 
soluções) 
(sem solução) 
 
 
 
15 
 
 
Venha Aprender de Verdade! 
Anotações: 
Exemplo: 
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −4
 
(1)
(2)
(3)
 
 
(1). (−2) + (2) 
{
−2𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = −18
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
 
 −3𝑦 − 3𝑧 = −15 𝑛𝑜𝑣𝑎 (2) 
 
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
 −3𝑦 − 3𝑧 = −15
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −4
 
(1)
(2)
(3)
 
 
(1). (3) + (3). (−1) 
{
3𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 27
−3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4
 
 7𝑦 + 5𝑧 = 31 𝑛𝑜𝑣𝑎 (3) 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10
 −3𝑦 − 3𝑧 = −15
 7𝑦 + 5𝑧 = 31 
 
(1)
(2)
(3)
 
 
(2). (7) + (3). (3) 
{
−21𝑦 − 21𝑧 = −105
21𝑦 + 15𝑧 = 93
 
 −6𝑧 = −12 𝑛𝑜𝑣𝑎 (3) 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10
 −3𝑦 − 3𝑧 = −15
 −6𝑧 = −12 
 
(1)
(2)
(3)
 
 
𝑧 = 2, 𝑦 = 3 𝑒 𝑥 = 1 
 
Análise Combinatória 
Fatorial: {
0! = 1
𝑛! = 𝑛. (𝑛 − 1)!
, 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
Princípio fundamental da contagem (P.F.C.): 
Para entendermos o P.F.C. vamos ao exemplo, Maria tem 
4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. 
De quantas maneiras diferentes pode se vestir? 
 
Figura 40 https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/Untitled-6(48).jpg 
Isso se repete para as outras 3 camisas, tendo então 
48 combinações, podendo também ser encontrado 
por: 
4.3.2.2 = 48 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. 
 
Outro exemplo: De quantas maneiras distintas podemos 
formar placas de automóveis, com 3 letras e 4 
algarismos? 
26.26.26.10.10.10.10 = 263. 104 
 
Permutações: quando utilizar todos os elementos para 
permutarem-se. 
Sem Repetição: 𝑃𝑛 = 𝑛! 
Com Repetição: 𝑃𝑛
𝛼,𝛽,𝛾
=
𝑛!
𝛼!𝛽!𝛾!
 
 
Arranjo: quando formar grupos com os elementos para 
que permutem-se, 123 ≠ 321 ⇒ conta-se. 
𝐴𝑛
𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
Combinação: quando formar grupos com os elementos 
sem permutarem-se, 123 ≠ 321 ⇒ não conta-se. 
Sem Repetição: 𝐶𝑛
𝑝 =
𝑛!
𝑝!(𝑛−𝑝)!
 
Com Repetição: 𝐶𝑅𝑛
𝑝
= 𝐶𝑛+𝑝−1
𝑝
 
 
Se tivermos uma permutação, arranjo ou combinação 
sucedido por OU implica em ADIÇÂO, sucedido por E 
implica MULTIPLICAÇÂO de cada caso. 
 
Binômio de Newton: 
Triângulo de Pascal: 
 
Exemplo: 
(𝑥 + 𝑦)5 = 1𝑥5+ 5𝑥4𝑦 + 10𝑥3𝑦2 + 10𝑥2𝑦3+ 5𝑥𝑦4 + 𝑦5 
Utilizando do formato binomial da combinação temos 
que: 
(
5
0
)𝑥5 + (
5
1
)𝑥4𝑦+ (
5
2
)𝑥3𝑦2 + (
5
3
)𝑥2𝑦3 + (
5
4
)𝑥𝑦4 + (
5
5
)𝑦5 
Então como termo geral: 
𝑇𝑘+1 = (
𝑛
𝑘)
𝑥𝑛−𝑘. 𝑦𝑘 
Exemplo: 
Qual é o 5º termo do desenvolvimento de (𝑥 + 2)5, de 
acordo com as potências decrescentes de x? 
𝑇5 ⇒ 5 = 𝑘 + 1 ⇒ 𝑘 = 4 
𝑇5 = (
5
4
)𝑥5−4. 24 =
5!
4! .1!
. 𝑥. 16