Flexão.torção.vigas - 344.pdf

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ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR – FORÇAS INTERNAS 
 
Quais são as intensidades dos esforços interno no ponto B ? Sabendo que 
eles são as força normal, a força cortante e o momento fletor 
Para projetar uma estrutura mecânica é necessário conhecer o 
carregamento agindo dentro do membro para que sejamos capazes de 
assegurar que o material irá suportar o carregamento. . As forças 
internas são calculadas utilizando o método da seção. Veja o exemplo 
da viga em balanço abaixo. 
Forças Internas 
Convenção de sinais: N, V, M são positivos quando 
Exercício: Determine a força normal, força cisalhante e o momento fletor no 
ponto B. Primeiro calcule as reações dos apoios. Faça o diagrama de corpo 
livre. 
Diagrama de corpo livre do corpo todo e do segmento AB 
Exercício: Determine a força normal, força cortante e momento fletor no 
ponto C. Faça os diagramas de corpo livre de todo o corpo e da segmento AC. 
Calcule as reações do apoio. 
Exercício: Determine a força normal, força cortante e momento fletor no 
ponto C. Faça os diagramas de corpo livre de todo o corpo e da segmento AC. 
Calcule as reações do apoio. 
TIPOS DE VIGAS e TIPOS DE CARREGAMENTO 
• Viga são membros estruturais projetados para suportar cargas aplicadas perpendiculares aos 
seus eixos. Em geral, elas são longas e retas, e possuem uma área da seção transversal 
constante. Normalmente são classificadas de acordo com a forma como são apoiadas. Por 
exemplo, uma viga que é simplesmente apoiadas com um pino em uma extremidade com 
um rolete na noutra está mostrado abaixo. 
VIGAS ENGASTADA (kip = kilopound) 
TIPOS DE CARREGAMENTO 
TIPOS DE CARREGAMENTO 
TIPOS DE CARREGAMENTO 
CLASSFIFICAÇÃO DE VIGAS 
CLASSIFICAÇÃO DE VIGAS 
CLASSFICAÇÃO DE VIGAS 
Exercício 1: Dada a viga fixa em A com carga distribuida triangular determine 
as reações nos apoios. Calcule o esforço cortante V e o momento fletor M no 
ponto C. 
Exercício 2: Determine a força normal, força cortante e momento fletor 
no ponto a 4m do ponto A. Faça os diagramas de corpo livre de todo o 
corpo e da segmento AD. Calcule as reações do apoio. O ponto A é 
pinado e D rotulado. Calcule o esforço cortante e momento fletor no 
ponto D. Apoio duplo em A e apoio simples em C. A viga é soldada em B. 
Exercício 3: Determine a força normal, força cortante e momento fletor 
no ponto C. Faça os diagramas de corpo livre de todo o corpo e do 
segmento da extremidade esquerda até o ponto C. Calcule as reações nos 
apoios. O ponto A é apoio duplo e o ponto B é apoio simples. 
Exercício 4: Determine a força normal, força cortante e momento fletor 
no ponto C. Faça os diagramas de corpo livre de todo o corpo e do 
segmento AC. Calcule as reações nos apoios. O ponto A é apoio simples 
e o ponto B é apoio duplo. 
FLEXÃO 
- Vigas e eixos são importantes elementos estruturais e 
mecânicos usados em projetos de engenharia. 
- Assim como os diagramas de força cortante e momento 
fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior 
força de cisalhamento e o maior momento fletor em um 
elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. 
- Uma vez determinado o momento interno em uma seção a 
tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar, 
consideraremos elementos retos, com seção transversal 
simétrica e feitos de materiais homogêneos lineares elásticos. 
Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor de uma viga 
Exemplo: Representação gráfica da força cortante e momento fletor de uma viga. 
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM ELEMENTO RETO 
 
Aqui discutiremos as deformações que ocorrem quando uma viga 
prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão. A 
discussão ficará limitada a vigas com área de transversal simétrica em 
relação a um eixo e a um momento fletor aplicado em torno de uma linha 
central perpendicular a essa linha de simetria, como mostrado na figura 
abaixo 
A Figura Abaixo Mostra uma Viga não Deformada que tem seção 
transversal quadrada e marcada por uma grade de linhas longitudinais 
e transversais. Quando o momento fletor é aplicado, as linhas da 
grade tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado figura 
posterior 
 
 
Viga Deformada Devido a Aplicação de Momento Puro. 
 
 Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se tornam curvas e as 
linhas transversais verticiais continuam retas, porém sofrem rotação. 
 O comportamento de qualquer barra deformável sujeito a um momento 
fletor positivo provoca o alogamento do material na parte inferior da barra e a 
compressão do material na porção superior da barra. Por consequência, entre 
essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada superfície neutra, na 
qual não ocorrerá mudanças nos comprimentos das fibras longitudinais do material. 
 
 
Três premissas em relação ao modo como a tensão deforma o material de uma vigas longas 
em flexão: 
- A primeira premissa é que o eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície 
neutra, não sofre qualquer mudança no comprimento. 
-A segunda é que todas as seções transversais da viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação. 
- A terceira é que qualquer deformação da seção transversal dentro de seu próprio plano 
será desprezada. Em particular, o eixo Z, que se encontra no plano da seção transversal e 
em torno do qual a seção transversal gira, é denominado eixo neutro, sua localização será 
determinada adiante. 
-Para mostrar como essa distorção deformará o material, isolaremos um segmento da viga 
localizado à distância 𝑥 (veja figura anterior) ao longo do comprimento da viga com espessura ∆𝑥 
antes da deformação. A figura abaixo mostra uma vista lateral desse elemento tomado da viga 
antes e após a deformação. 
- Observe que qualquer segmento de reta ∆𝑥, localizado na superfície neutra, não muda de 
comprimento, ao passo que qualquer segmento de reta ∆𝑠, localizado à distância arbitrária 𝑦 
acima da superfície neutra, se contrairá e se tornará ∆𝑠´ após a deformação. Por definição, a 
deformação normal ao longo de ∆𝑠 é determinada pela equação 
 
 𝜖 =
𝑙𝑖𝑚
∆𝑥 →0
∆𝑠´ −∆𝑠
∆𝑠
 
Agora, representaremos essa deformação em termos da localização 𝒚 do segmento e 
do raio de curvatura 𝜌 do eixo longitudinal do elemento. 
-Antes da deformação, ∆𝑠 = ∆𝑥. 
-Após a deformação, ∆𝑥 tem um raio de curvatura 𝜌 com centro de curvatura no 
ponto O´. 
-Visto que ∆𝜃 define o ângulo entre os lados da seção transversal do elemento, 
 ∆𝑥 = ∆𝑠 = 𝜌∆𝜃. 
Da mesma maneira, o comprimento deformado de 
 ∆𝑠´ = (𝜌 − 𝑦)∆𝜃. 
Substituindo na equação acima, obtemos 
 
𝜖 =
𝑙𝑖𝑚
∆𝜃 → 0
(𝜌 − 𝑦)∆𝜃 − 𝜌∆𝜃
𝜌∆𝜃
 
ou 
 
𝜖 = −
𝑦
𝜌
 
Esse importante resultado indica que a deformação normal longitudinal de qualquer 
elemento no interior de uma viga depende de sua localização 𝑦 na seção transversal e 
do raio de curvatura do eixo longitudinal da viga no ponto. 
Em outras palavras, para qualquer secção transversal específica, a deformação normal 
longitudinal variará linearmente com 𝑦 em relação ao eixo neutro. 
 
Assumiremos aqui que se somente um momento é aplicado à viga, esse momento 
provoca tensão normal somente na direção 𝑥, devido as premissas adotadas. É esse 
estado de tensão uniaxial que faz o material ter a componente da deformação normal 
longitudinal 𝜖𝑥 e consequentemente a tensão é dada por 
𝜎𝑥 = 𝐸 ∙ 𝜖𝑥 
 
essas deformações farão com que as dimensões da 
 
A Fórmula da Flexão 
Desenvolveremos uma equação que relaciona a distribuição detensão 
longitudinal em uma viga e o momento fletor interno resultante que age na 
seção transversal da viga. Para isto, partiremos da premissa de que o material 
se comporta de uma maneira linear elástica, de modo que a lei de Hooke se 
aplica, isto é 𝜎 = 𝐸𝜖. Então, uma variação linear da deformação normal deve 
ser a consequência de uma variação linear da tensão. Logo, assim como a 
variação a variação da deformação normal, 𝜎 variará de zero no eixo neutro 
do elemento até um valor máximo, 𝜎𝑚á𝑥 à distância 𝑐 mais afastada do eixo 
neutro. Temos que 
 
𝜎 = −
𝑦
𝑐
𝜎𝑚á𝑥 
 
Essa equação representa a distribuição de tensão na área da seção 
transversal. Aqui, a convenção de sinal definida é significativa. Para M 
positivo, que age na direção +𝑧 valores positivos de 𝑦 dão valores negativos 
para 𝜎, isto é uma tensão de compressão, visto que age na direção 𝑥 
negativa. De maneira semelhante, valores negativos de 𝑦 darão valores 
positivos ou de tração para 𝜎. 
Podemos localizar a posição do eixo neutro na seção transversal satisfazendo a 
condição de que a força resultante produzida pela distribuição de tensão na área 
transversal deve ser nula. Observando que a força 𝑑𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑑𝐴 age sobre o 
elemento arbitrário 𝑑𝐴 da viga, exige-se que 
 
𝐹𝑅 = 𝑑𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 0 = −
𝑦
𝑐
𝜎𝑚á𝑥𝑑𝐴𝐴 
 
Visto que 
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
 ≠ 0, então 
 
 𝑦𝐴 𝑑𝐴 = 0 
 
Essa condição só pode ser satisfeita se o eixo neutro também for o eixo do 
centroide horizontal para a seção transversal analisada. Por consequência, uma 
vez determinado o centroide para a área da seção transversal do elemento, a 
localização do eixo neutro é conhecida. 
 
• Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento 
interno resultante 𝑀 deve ser igual ao momento produzido pela 
distribuição de tensão em torno do eixo neutro. 
 
• O momento de 𝑑𝐹 na figura em torno do eixo neutro é 
• 𝑑𝑀 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐹. 
 
• Esse momento é positivo, visto que, pela regra na mão direita, o polegar 
está direcionado ao longo do eixo 𝑧 positivo quando os dedos são 
curvados no sentido da rotação causada por 𝑑𝑀. 
 
• 𝑀 = 𝑦 ∙ 𝑑𝐹𝐴 = 𝑦𝐴 ∙ 𝜎 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑦 ∙
𝑦
𝑐
𝜎𝑚á𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴 
 
• 𝑀 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
 𝑦2𝑑𝐴𝐴 
 
Nessa expressão, a integral representa o momento de inércia da área da 
seção transversal, calculada em torno do eixo neutro, 
 𝐼 = 𝑦2𝐴 ∙ 𝑑𝐴. 
 
Por consequência, pode-se representar 𝜎𝑚á𝑥 como 
 
 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀∙𝑐
𝐼
 
 
 
Visto que 
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
= −
𝜎
𝑦
 , a tensão normal em uma distância normal em uma 
distância intermediária 𝑦 pode ser determinada por 
 
𝜎 = −
𝑀
𝐼
𝑦 
Observe que o sinal negativo é necessário, já que está de acordo com os 
eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 definidos. Essa formula é usada para determinar a tensão 
normal em um elemento reto e momento aplicado perpendicularmente ao 
eixo. 
Exemplo: a viga tem seção transversal retangular e está sujeita à distribuição 
de tensão linear. Determine 𝜎𝑚á𝑥 sabemdo-se que o momento interno 
M= 𝟐𝟖𝟖𝟎 𝑵 ∙ 𝒎, a viga está engastada. 
 
 
Exercício 1. Dado o problema abaixo determine 𝜎𝑚𝑎𝑥 no meio da viga. 
Sabendo que o perfil da viga é retangular. 
 
Determine também 𝜎𝑚𝑎𝑥 em 1,5m e 0,5m do ponto A. 
Exercício 2 - Determine 𝜎𝑚á𝑥 em 𝑥 = 1,5𝑚, para a viga simplesmente 
apoiada mostrada na figura abaixo. Apoio simples de um lado e apoio duplo 
do outro lado. 
 
 
Exercíco 3- Determine 𝜎𝑚á𝑥 em 𝑥 = 3𝑚, para viga simplesmente apoiada. 
Apoio simples de um lado e apoio duplo do outro lado. O perfil da viga está 
mostrada na figura. A carga é distribuída e é 5kN/m. 
 
 
 
 
Exercíco 4- Determine 𝜎𝑚á𝑥 em 𝑥 = 0,3𝑚 a direita de A, para viga 
simplesmente apoiada. Apoio simples de um lado e apoio duplo do outro 
lado. O perfil da viga está mostrada na figura. Sendo D=30cm. 
 
Flexão Assimétrica 
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a 
área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular 
ao eixo neutro e também que o momento interno resultando 𝑀 agisse ao 
longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas seções em T ou em U. Porém, 
essas condições são desnecessárias, e, nesta seção, mostraremos que a 
fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga com área de 
seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento 
interno resultante que aja em qualquer direção. 
 
Momento Aplicado ao longo do eixo principal 
Considere a seção transversal da viga tem a forma assimétrica mostrada na 
figura abaixo. Como na seção anterior, o sistema de coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 
orientado para a direita é definido de modo tal que a origem esteja localizada 
no centroide C da seção transversal e o momento interno resultante 𝑀 aja ao 
longo do eixo +𝑧. 
 
 
A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal deve 
ter força resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo 𝑦 
nulo e momento interno resultante em torno do eixo 𝑧 igual a 𝑀. 
Assim temos 
 
 𝐹𝑅 = 𝐹𝑥; 0 = − 𝜎 ∙ 𝑑𝐴𝐴 (1) 
 
 𝑀𝑅 𝑦 = 𝑀𝑦; 0 = 𝑧 ∙ 𝜎 ∙ 𝑑𝐴𝐴 (2) 
 
 𝑀𝑅 𝑍 = 𝑀𝑍; 𝑀 = −𝑦𝐴 ∙ 𝜎 ∙ 𝑑𝐴 (3) 
 
A primeira equação é satisfeita desde que o eixo 𝑧 passe pelo centroide da 
área da seção transversal. 
Além disso, visto que o eixo 𝑧 representa o eixo neutro para a seção 
transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro para a seção 
transversal, a deformação normal variará de zero no eixo neutro a máxima em 
um ponto 𝑦 localizado à maior distância 𝑦 = 𝑐 do eixo neutro, como mostra a 
figura abaixo. 
 
 
Contanto que o material se comporte de maneira linear elástica, a 
distribuição de tensão normal na área da seção transversal também será 
linear, de modo que 𝜎 = −
𝑦
𝑐
𝜎𝑚á𝑥. 
 
 
Quando essa equação é substituída na eq. 3 acima e integrada, resulta na fórmula 
da flexão 
 
 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀∙𝐶
𝐼
. 
 
Quando substituída na eq. 2 acima, obtemos 
0 =
−𝜎𝑚á𝑥
𝑐
 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
Que exige que 
 𝑦𝐴 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 = 0 
 
Essa integral é denominada produto de inércia para a área. Ela será nula desde 
que os eixos 𝑥 e 𝑦 sejam escolhidos como os eixos principais de inércia para a 
área. Se a área tiver um eixo de simetria, é fácil definir os eixos principais visto 
que eles sempre estarão orientados ao longo do eixo de simetria e 
perpendiculares a ele. 
Então, resumindo, as equações 1 e 3 acima sempre serão satisfeitas 
independentemente da direção do momento aplicado M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visto que M é aplicado em torno de um dos eixos principais (eixo 𝑧) temos 
que 𝜎 = 𝑀∙𝑦 𝐼𝑧 como pode ser visto na figura acima. 
Momento Aplicado Arbitrariamente 
As vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento 
interno resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção 
transversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser 
decomposto em componentes dirigidas ao longo do eixos principais. Então, a 
fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada 
por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da 
superposição, a tensão normal resultante no ponto pode ser determinada. 
Orientação do Eixo Neutro 
𝑦 =
𝑀𝑦 𝐼𝑧
𝑀𝑧𝐼𝑧
𝑍 
Vigas Compostas 
Vigas construídas com doisou mais materiais diferentes são denominadas 
vigas compostas. Visto que a fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de 
materiais homogêneo, ela não pode ser aplicada diretamente para 
determinar a tensão normal em viga composta. Nesta seção 
desenvolveremos um método para modificar ou transformar a seção 
transversal da viga em uma seção feita de um único material. Feito isso, a 
fórmula da flexão poderá ser usada para a análise de tensão. 
Torção 
Nesta seção, discutiremos os efeitos da aplicação de um carregamento de 
torção a um elementos longo e reto, como um eixo ou tubo. Inicialmente, 
consideraremos que o elemento tem seção transversal circular. Mostraremos 
como determinar a distribuição da tensão no interior do elemento e o ângulo 
de torção quando o material se comporta de maneira linear elástica. 
Deformação por Torção de um eixo circular 
Torque é um momento que tende a torce um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação primária em projeto de 
eixos de acionamento utilizado em veículos e estruturas diversas. Podemos 
ilustrar fisicamente o que acontece quando um torque é aplicado a um eixo 
circular considerando que este seja feito de um material de alto grau de 
deformação, como a borracha. Como mostra a figura abaixo. 
Quando o torque é aplicado , os círculos e as retas longitudinais da 
grade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundo 
o padrão mostrado na figura abaixo. 
 Examinando a figura acima no estado deformado, vemos que a 
torção faz com que os círculos continuem como círculos e cada linha 
longitudinal da grade se deforme na forma de uma hélice que intercepta os 
círculos em ângulos iguais. Além disso; as seções transversais nas 
extremidades do eixo continuam planas, e as linhas radiais nessas 
extremidades continuam retas durante a deformação como pode ser visto 
na figura acima que mostra um eixo deformado. Por essas observações, 
podemos considerar que, se o ângulo de rotação for pequeno, o 
comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. 
 Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicado 
um torque à sua outra extremidade, o plano sobreado na figura abaixo será 
distorcido. 
 
Aqui, uma linha radial localizada na seção transversal a uma distância 𝑥 da 
extremidade fixa do eixo girará de um ângulo 𝛟(𝑥). O ângulo 𝛟(𝑥), 
definido dessa maneira, é denominado ângulo de torção, depende da posição 
𝑥 e variará ao longo do eixo como a figura acima. 
 Para entender como esta distorção deforma o material, isolaremos 
agora um pequeno elemento localizado à distância 𝜌 da linha central do eixo. 
Devido a deformação observada na figura acima, as faces anterior e posterior 
do elemento sofrerão uma rotação – a face posterior, de 𝛟(𝑥) e a face 
anterior, 𝛟(𝑥)+∆𝛟. 
O resultado é que, em razão da diferença entre essas rotações, ∆𝛟, o elemento é 
submetido a uma deformação por cisalhamento. Para caluclar essa deformação, 
observe que, antes da deformação, o ângulo entre as bordas AB e AC é 900; 
todavia, após a deformação, as bordas do elemento se tornam AD e AC e o ângulo 
entre elas é 𝜃´. Pela definição de deformação por cilhamento, temos 
 𝐶→𝐴
𝐵→𝐴
𝛾= 𝜋
2
lim 𝜃´
 
 
 Esse ângulo, 𝛾 está indicado no elemento e pode ser relacionado com o 
comprimento ∆𝑥 do elemento e com a diferença no ângulo de rotação, ∆𝛟, entre 
as faces sobreadas. Se ∆𝑥 → 𝑑𝑥 e ∆𝛟 → 𝑑𝛟, temos 
 
𝐵𝐷 = 𝜌 ∙ 𝑑𝛟 = 𝑑𝑥 ∙ 𝛾 
 
 𝛾 = 𝜌
𝑑𝛟
𝑑𝑥
 (4) 
 
 
 Visto que 𝑑𝑥 e 𝑑𝛟 são os mesmos para todos os elementos 
localizados em pontos da seção transversal em 𝑥, então 𝑑𝛟 𝑑𝑥 é constante 
nesta seção, e a eq. (4) acima indica que o valor da deformação por 
cisalhamento para qualquer um desses elementos varia com sua distância 
radial 𝜌 em relação à linha central do eixo. Em outras palavras, a deformação 
por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquer 
linha radial, de zero na linha central do eixo até um valor máximo 𝛾𝑚á𝑥 em 
seu contorno externo. Visto que 
 
𝑑𝛟
𝑑𝑥
=
𝛾
𝜌
=
𝛾𝑚á𝑥
𝑐
, 
Então, 
 𝛾 =
𝜌
𝑐
𝛾𝑚á𝑥 
A fórmula da Torção 
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno 
correspondente no interior do eixo. Nesta seção, desenvolveremos uma 
equação que relaciona esse torque interno com a distribuição da tensão de 
cisalhamento na seção transversal de um eixo. 
 Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica 
 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾, 
E, por consequência, uma variação linear na deformação por cisalhamento, 
como observado na seção anterior, resulta em variação linear na tensão de 
cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção 
transversal. Consequentemente, assim como ocorre com a deformação por 
cisalhamento para um eixo maciço, 𝜏 variará de zero na linha central do eixo 
longitudinal a um valor máximo 𝜏𝑚á𝑥 na superfície externa. Assim temos que 
 
𝜏 =
𝜌
𝑐
∙ 𝜏𝑚á𝑥 
Usando essa equação, aplicaremos agora a condição que exige que o torque 
produzido pela distribuição de tensão por toda a seção transversal seja 
equivalente ao torque interno resultante T na seção, o que mantém o eixo em 
equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Especificamente, cada elemento 𝑑𝐴, localizado em 𝜌, está sujeito a uma 
𝑑𝐹 = 𝜏 ∙ 𝑑𝐴. O torque produzido por essa força é 
𝑑𝑇 = 𝜌 ∙ (𝜏 ∙ 𝑑𝐴). 
 
Portanto, para toda a seção transversal, temos 
𝑇 = 𝜌 ∙ 𝜏 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 𝜌 ∙
𝜌
𝑐
∙ 𝜏𝑚á𝑥 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
Visto que 𝜏𝑚á𝑥 𝑐 é constante, 
 
 𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
 𝜌2 ∙ 𝑑𝐴𝐴 . 
A integral nessa equação depende somente da geometria do eixo. Ela 
representa o momente polar de inércia da área transversal do eixo calculada 
em torno da linha central longitudinal do eixo. Esse valor será representado 
pelo símbolo 𝐽 e, portanto, 
 
 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇∙𝑐
𝐽
. 
 
A tensão de cisalhamento da distância intermediária 𝜌 pode ser determinada 
por: 
𝜏 =
𝑇 ∙ 𝜌
𝐽
 
Qualquer uma das duas citadas é frequentemente denominada fórmula da 
torção. 
 
 
 
Exemplo 1. 
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao 
longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura abaixo. 
Determine o torque interno resultante da seção. 
 
 
Solução: O momento polar de inércia para a área da seção transversal é 
 
 𝐽 =
𝜋∙𝑅4
2
 
 
 𝐽 =
𝜋∙(50𝑋10−3)4
2
= 9,82X10−6𝑚4 
 
 
 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
 
 
56 ∙ 106 =
𝑇 ∙ 50 ∙ 10−3
9,82 ∙ 10−6
 
 
 𝑇 = 1,0998 ∙ 104 𝑁.𝑚 
 
Exemplo 2. Sobre o eixo mostrado na figura abaixo 𝜏𝑚á𝑥 = 56 𝑀𝑃𝑎 na 
superfície externa. Determine o torque interno resultante na seção. Tomando 
𝑐 = 50𝑚𝑚. 
 
 
 
Resolução: 
Momento polar de inércia: 
 J =
𝜋
2
𝑐0
4 − 𝑐𝑖
4 𝐽 =
𝜋
2
(50 ∙ 10−3)4−(25 ∙ 10−3)4 
 
 𝐽 = 9,2039 ∙ 10−6𝑚4 
 
Cálculo do torque interno resultante T : 
 𝜏
𝑚á𝑥=
𝑇∙𝑐
𝐽
 56 ∙ 106 =
𝑇∙50∙10−3
9,2039∙10−6
 
 
 𝑇 = 1,0308 ∙ 104𝑁.𝑚 
 
Observação: Aqui, a região sombreada mais clara resiste a aproximadamente 
a 94% do torque do eixo maciço, o núcleo retirado resiste a 6% do torque do 
eixo maciço. 
Exemplo: O eixo mostrado na figura está apoiado em dois mancais e sujeito a 
três torques. Determine a tensão de cisalhamento máximo na seção a-a do 
eixo. 
 
 
 
Solução: 
 As reações dos mancaissobre o eixo são nulas contanto que o peso 
seja desprezado. Além disso, os torques aplicados satisfazem o equilíbrio de 
momento em torno da linha central do eixo. 
 O torque interno na seção a-a determinado pelo diagrama de corpo 
livre do segmento esquerdo 
 
 
 
Temos 
 
 𝑀𝑥 = 0 
 
 4250𝑁.𝑚 − 3000𝑁.𝑚 − 𝑇 = 0 𝑇 = 1250𝑁 ∙ 𝑚 
 
Propriedade da seção: O momento polar de inércia para o eixo é 
𝐽 =
𝜋
2
75 ∙ 10−3 4 = 4,97 ∙ 10−5𝑚4 
Tensão de cisalhamento: 
𝜏𝑚á𝑥 =
1250 ∙ 75 ∙ 10−3
4,97 ∙ 10−5
= 1,89𝑀𝑃𝑎 
Exercício : O tubo mostrado na figura abaixo tem diâmetro interno, de 80mm 
e diâmetro externo de 100mm. Se sua extremidade for apertada contra o 
apoio em A usando-se uma chave em B, determine a tensão de cisalhamento 
desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da porção 
central do tubo são aplicadas forças de 80 N à chave. 
Sendo que J =
𝜋
2
𝑐0
4 − 𝑐𝑖
4 .