Torção e Flexão - Teoria e Exercícios Resolvidos (Com gabarito)

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Resistência dos Materiais I 
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CAPÍTULO 03 
 
TORÇÃO EM BARRA DE SEÇÃO CIRCULAR 
Nos capítulos anteriores estudamos os efeitos de um carregamento axial. Analogamente, nesse 
capítulo estaremos analisando os efeitos de um conjugado de torção em um elemento estrutural muito 
comum; eixo. 
Os eixos, são barras de seções circulares ou anelares utilizados na engenharia, principalmente, 
para transmitir torque. 
Fig. 27. Transmissão de torque por meio de eixos. 
A aplicação de conjugados de torção em um eixo tenderá a torcer o elemento, mas, diferente de 
barras com seções não circulares, para pequenas deformações angulares as seções permaneceram 
praticamente planas e as variações em suas dimensões podem ser consideradas desprezíveis. 
Fig. 28. Torção sobre barras de seção circular (a) e de seção retangular (b). 
As seções em eixos permanecem planas depois de submetidas à torção, como indicado na 
figura anterior, devido a simetria da seção em relação a eixo longitudinal do elemento. 
Representação esquemática do torque: 
Os conjugados são grandezas vetoriais e podem ser representadas por setas curvas (Fig. 29a), 
ou por setas duplas (Fig. 29b), para distingui-los dos vetores que representam forças. 
Fig. 29. Representação esquemática para o torque. 
Exercício Resolvido 14 
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, 
represente o diagrama de esforços internos de torção. 
 
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Solução: 
 
DCL s 
A partir dos DCL s apresentados na figura anterior, pode-se observar que os torçores internos 
nas regiões AC, CD e EB são todos constantes, mas de intensidades diferentes. Dessa forma o 
diagrama de momento torçor do eixo é o seguinte: 
3.1. Fórmula Coulomb para torção 
Quando aplicamos um torque T a um eixo suas seções tendem a rotacionar umas em relação as 
outras ficando submetidas a tensões de cisalhamento que variam linearmente em função da distancia ao 
eixo longitudinal do elemento (Fig. 30). 
 
Fig. 30. Elemento cilíndrico submetido à torção. 
Assim, a tensão correspondente a distancia pode ser calculada por: 
máx.c
 
Eq. 15.
 
Tensão causada por torção.
 
Dessa maneira, o torque T poderá ser encontrado da seguinte forma: 
A
)torque(
)alavancadebraço(
)força(
)área(
A
)tensão(
máx Td.c
 ou 
A
A
máx d
c
T 2
 
Eq. 16.
 
Tensão 
causada por 
torção.
 
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Lembrando que o termo 
A
Ad2
 
corresponde ao momento polar de inércia (J) da seção. Com 
isso 
c
J.T máx , ou seja: 
J
c.T
máx
 
Eq. 17.
 
Tensão máxima causada por torção. 
A equação acima foi deduzida por Coulomb, engenheiro francês, por volta de 1775. 
Momento polar de inércia para seção circular 
c
oA
A
c.d..dJd...dA
2
22
4
32
 
Momento polar de inércia para seção vazada 
22
22
44
32 b.c.d..dJd...dA
c
bA
A
 
3.2. Observações sobre tensões cisalhantes causas por torção 
Vimos anteriormente que um torçor agindo no eixo 
longitudinal de uma barra de perfil circular, produz tensões 
cisalhantes 
 
nas seções transversais perpendiculares a este eixo. 
Porém uma observação importante deve ser feita em relação às 
tensões cisalhantes: 
As condições de equilíbrio para um elemento infinitesimal da 
barra (Fig. 31), exigem que estas mesmas tensões cisalhantes 
também ocorram nas faces paralelas ao eixo longitudinal 1. Fig. 31. Tensões cisalhantes 
causadas por torção. 
Exercício Resolvido 15 
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, 
respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são 
maciços, com diâmetro d. Determinar: a) O valor máximo e 
mínimo da tensão tangencial no eixo BC; O diâmetro necessário 
nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 
MPa. 
 
 
1
 Teorema de CAUCHY- tensão cisalhantes perpendiculares tem o mesmo valor. 
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Solução: 
 
Exercício Proposto 41 
Determinar o momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de 80 mm de diâmetro sem 
exceder a tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa. Resolver o caso anterior para um eixo de 
seção vazada de mesma massa e de 80 mm de diâmetro interno. 
Resposta: T = 6,03 kN.m; T = 12,8 kN.m. 
Exercício Proposto 42 
Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de 
bronze indicado. Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) 
a tensão de cisalhamento no ponto D que fica em uma circunferência 
de 15 mm de raio, desenhada na seção extrema do cilindro. 
Resposta: a) 70,7 MPa; b) 35,4 MPa. 
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Exercício Proposto 43 
Sob condições normais de funcionamento, o 
motor elétrico produz um torque de 2,4 kN.m. 
Sabendo-se que todos os trechos são maciços, 
determinar a máxima tensão de cisalhamento: 
a) no trecho AB; b) no trecho BC. 
Resposta: a) 77,6 MPa; b) 71,7 Mpa. 
Exercício Proposto 44 
Resolver o problema anterior considerando que um furo de 30 mm de diâmetro foi feito ao longo dos 
eixos de A a E. 
Resposta: AB = 85,8 MPa e BC = 91,7 Mpa. 
Exercício Proposto 45 
Uma haste AB de diâmetro ds = 66 mm é colocada em um tubo CD e 
soldada a ele em C. O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e sua parede 
tem 6 mm de espessura. Sabendo-se que a tensão admissível do material 
das duas peças é de 60 MPa, determinar o maior momento de torção T que 
pode ser aplicado ao conjunto. 
Resposta: T = 2,88 kN.m. 
Exercício Proposto 46 
Ainda em relação a questão anterior, considerando que o tubo CD, de diâmetro externo igual a 80 mm e 
6 mm de espessura de parede, é feito de latão com tensão admissível de 40 MPa, e que a haste AB tem 
diâmetro ds = 56 mm e é feita de aço com tensão admissível ao cisalhamento de 55 MPa. Determinar o 
maior valor de momento de torção que pode ser aplicado ao conjunto. 
Resposta: 1,90 kN.m. 
Exercício Proposto 47 
No conjunto de engrenagens indicado, os diâmetros dos três 
eixos maciços são dAB = 20 mm, dCB = 25 mm e dEF = 40 
mm. Sabendo-se que em cada eixo a tensão de cisalhamento 
admissível é de 60 MPa, determinar o maior momento T que 
pode ser aplicado ao conjunto. 
Resposta: 73,6 N.m. 
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3.3. Ângulo de torção no regime elástico 
O ângulo de torção corresponde ao giro causado na seção de um elemento submetido a um 
torque qualquer T. Na figura a seguir apresentamos uma imagem que ilustra o ensaio utilizado para 
determinação experimental de ângulos de torção; ensaio de torção. 
Fig. 32. Ensaio de torção. 
Durante o ensaio de torção o corpo de prova, de comprimento L, é progressivamente submetido 
a um torque. Semelhante ao ensaio de tração, é obtida uma curva que relaciona os valores de tensão 
cisalhante máxima máx em função da deformação de cisalhamento . Para o regime elástico, a relação 
encontrada entre máx e
 
é: 
máx = G.
 
Eq. 18.
 
Lei de Hooke para o cisalhamento. 
Onde: 
Tensão de cisalhamento correspondente ao torque T 
 deformação de cisalhamento 
G= Módulo de elasticidade transversal 
A Eq. 18 é conhecida como lei de Hooke para o cisalhamento. 
Para valores infinitesimais de L (dl), geometricamente e 
 
se relacionam pela seguinte 
expressão: 
dl
d.c
 
Eq. 19.
 
Deformação de cisalhamento.Lembrando que J
c.T
máx
 e substituindo a Eq. 19 em Eq. 18, temos: 
L
máx G.J
dl.T
G.J
dl.Td
dl
d.c
.G
J
c.T
0
 
Eq. 20.
 
Ângulo de torção. 
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Exercício Resolvido 16 
Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, 
determinar as reações ao momento em A e B. 
Solução: 
DCL 
A partir do diagrama de corpo livre, temos: 
ftlbTT BA 90 (i) 
(problema estaticamente indeterminado) 
Dividimos o eixo em duas seções, as quais devem ter deformações compatíveis, 
0
CBP
CBB
ACP
ACA
B/CC/AB/A IG
LT
IG
LT
 => A
ACPCB
CBPAC
B TIL
IL
T (ii) 
Substituindo ii em i, temos: 
ftlbT
IL
IL
T A
ACPCB
CBPAC
A 90 
Exercício Resolvido 17 
Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial 
admissível de 8.000 psi nestes eixos e G=11,2.106 psi. Calcular: a) O maior momento torçor T0 que 
pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB; b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB, 
correspondente a T0. 
Solução: 
- Equilíbrio estático dos dois eixos. 
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04520
087500 0
CDC
B
Tin.,FM
Tin.,FM
 .: 082 T,TCD
 
- Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens: 
O deslocamento linear no encontro das engrenagens é o mesmo, assim: 
'MM"MM
 
=> CCBB rr => CC
B
C
B in.,
in.,
r
r
8750
452
 => CB ,82
 
Exercício Proposto 48 
Um eixo circular de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um 
apoio fixo e a um disco rígido, como mostra a seção longitudinal na 
figura. Sabendo-se que as tensões iniciais são nulas, determinar o 
máximo torque T0 que pode ser aplicado ao disco. Considerar para o 
alumínio adm = 70 MPa e G = 27 GPa, e para o aço, adm = 120 MPa 
e G = 80 GPa. 
Resposta: To = 6,20 kN.m 
Exercício Proposto 49 
Dois eixos de aço, maciços, são ligados pelo flange em B e engastados a 
apoios rígidos em A e C. Determinar, para o momento de torção indicado, 
a máxima tensão de cisalhamento no eixo AB e no eixo BC. 
Resposta: 76,0 MPa e 31,7 MPa 
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3.4. Projeto de Eixos de Transmissão de Potência 
Para a determinação do torque que atua num eixo de transmissão, utilizamos a expressão da 
Dinâmica que relaciona a potência (P), o torque (T) e a velocidade angular (w), ou seja: 
f
PT
2
 
Onde: 
T = torque, no S.I. indicado em N.m. 
P= potencia transmitida, no S.I. indicado em watts (W). 
f = freqüência de trabalho, no S.I. indicado em hertz (1s-1). 
Exercício Proposto 50 
Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de 
potência a uma freqüência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de 
cisalhamento não exceda a 60 MPa. 
Resposta: 5 mm. 
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CAPÍTULO 04 
 
FLEXÃO PURA E SIMPLES EM VIGAS 
As vigas são barras estruturais projetadas para resistir a esforços laterais transversais. 
Fig. 33. Viga. 
Em conseqüência do tipo de solicitação, internamente, a viga é submetida a esforços de 
momento fletor e força cortante. Dessa maneira, para o estudo de tensões e deformações em vigas, 
torna-se extremamente necessário o domínio dos procedimentos de determinação dos digramas de força 
cortante e momento fletor, apresentados em Mecânica dos Sólidos I Estática. 
Classificação de Vigas 
As vigas são geralmente classificadas de acordo com os seus apoios. No quadro abaixo 
apresentamos alguns tipos de vigas. 
Quadro 3. Classificação de vigas. 
Estaticamente Determinadas Estaticamente Indeterminadas 
 
(a) biapoiada ou simplesmente apoiada. (d) contínua. 
 
(b) biapoiada com balanço. 
(e) apoiada e engastada. 
 
(c) em balanço. (c) biengastada. 
 
Tipos de Flexão 
A flexão é classificada de acordo com dois critérios. 
Quadro 4. Classificação da flexão. 
Critério Classificação Representação 
Flexão Normal: quando o plano do momento coincide com 
um dos planos de simetria do elemento. 
Plano de ação do 
momento 
Flexão Oblíqua: quando o plano do momento não coincide 
com um dos planos de simetria do elemento. 
Pura: quando atua somente momento fletor (M). 
 
Simples: quando atuam simultaneamente momento fletor e 
força cortante (M e V). 
 
Esforço solicitante 
Composta: quando atuam simultaneamente momento 
fletor, força cortante e força axial (M, V e N). 
 
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4.1. Deformação por Flexão de uma Viga 
O estudo das deformações por flexão de uma viga será aqui apresentado considerando a 
hipótese estabelecida por Jacob Bernoulli; As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu 
eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão. 
Essa hipótese é válida e comprovada experimentalmente para o caso de flexão pura. Para o 
caso de flexão simples a hipótese de Bernoulli, em função da força cortante, na fase elástica apresenta 
erro desprezíveis e também pode ser considerada válida. 
 
Fig. 34. Deformação por flexão em vigas segundo hipótese de Bernoulli. 
Na figura acima ilustramos o que é dito na hipótese de Bernoulli. Assim, considerando que as 
seções transversais permaneceram planas após aplicação do momento M, podemos verificar que a parte 
inferior da viga irá se alongar e a parte superior irá se encurtar. Existirá uma região intermediária onde o 
comprimento L da viga permanecerá inalterado; Linha Neutra. 
Pela geometria apresentada na Fig. 34b o comprimento da linha neutra pode ser determinado 
por: 
.L
 
Eq. 21.
 
Comprimento da linha 
neutra. 
Ainda pela geometria apresentada na Fig. 34b o comprimento do arco AB localizado acima da 
linha neutra pode ser determinado por: 
).y('L
 
Eq. 22.
 
Comprimento do arco acima 
da linha neutra. 
Assim, sabendo que o comprimento inicial de AB era L, a deformação sofrida pelo arco AB que 
está a uma distancia y acima da linha neutra é: 
.y.).y(L'L
 
Eq. 23.
 
Deformação do arco acima 
da linha neutra. 
Encontrada a deformação, podemos encontrar a deformação específica longitudinal no arco AB 
da viga, dividindo pelo comprimento inicial L. Dessa forma temos: 
y
.
.y
L
 
Eq. 24.
 
Deformação do arco acima 
da linha neutra. 
Onde: 
= deformação específica 
y= distancia acima da linha neutra 
= raio de curvatura 
A equação apresentada anteriormente também é válida para regiões abaixo da linha neutra. 
Mas, para essa situação o valo de y será negativo, fazendo com que o valor final de 
 
seja positivo e 
reflita a alongamento sofrido pela viga abaixo da linha neutra. 
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4.2. Tensões no regime elástico 
Lei de Hooke 
Como foi visto na seção anterior, durante a flexão a viga sofre deformações longitudinais. Esse 
tipo de deformação causa tensões normais nas seções da viga que, considerando o material homogêneo 
e em regime elástico, pode ser determinada por: 
Ey.E
 
Eq. 25.
 
Tensão longitudinal. 
Para determinarmos o valor máximo de tensão longitudinal em uma seção de uma viga, basta 
aplicar na equação anterior, o valor máximo atingido por y. De acordo com a figura abaixo, a tensão 
longitudinal máxima será a uma distancia c da linha neutra2. 
 
Fig. 35. Tensão longitudinal máxima em vigas. 
Ainda de acordo com a Fig. 35 a tensão longitudinalmáxima é: 
 Ec
.máx
 
Eq. 26.
 
Tensão longitudinal máxima. 
Contrapondo Eq. 26 e Eq. 25, podemos relacionar e máx por: 
 
máxc
y
 
Eq. 27.
 
Tensão longitudinal máxima. 
Localização da Linha Neutra 
Para encontrar a posição da linha neutra podemos utilizar a equação do equilíbrio estático na 
direção longitudinal da viga. Assim temos: 
00 dA.y
c
dA.y
c
dA.
c
ydA.F máxmáxmáxx
 
Como c e máx são valores diferentes de zero, podemos deduzir que, na equação anteriormente 
apresentada, 0dA.y . Essa expressão, como apresentado em Mecânica dos Sólidos I, assume valor 
nulo quando é tomado o centróide como referencial, ou seja, a linha neutra (referencial para 
determinação de y) passa pelo centróide da seção. 
 
 
2 Hipótese de Navier - O momento fletor produz tensões normais linearmente distribuídas sobre a seção. 
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Relação entre o Momento fletor e a tensão longitudinal 
A tensão longitudinal na seção de uma viga pode ser determinada em função do momento fletor 
encontrado na referida seção. 
 
Fig. 36. Equilíbrio em relação ao ponto P localizado na linha neutra. 
Para encontrar a relação entre o momento fletor e a tensão longitudinal, aplicaremos o equilíbrio 
dos momentos em relação a um ponto P, localizado centróide da seção. Assim temos: 
 
dA..yMMdA..yM 0 Eq. 28.
 
T 
Aplicando Eq. 27 em Eq. 28, encontramos: 
dA.y.
c
dA..
c
y
.yM máxmáx 2
 
O termo dA.y2 representa o momento de Inércia I da seção em relação a linha neutra. 
Assim: 
 
I
c.MI
c
M máxmáx
 
Eq. 29.
 
Relação entre o Momento 
fletor e a tensão longitudinal 
Se desejarmos o valor da tensão a uma distância y da linha neutra, substituímos máx dado por 
Eq. 27 em Eq. 29 e encontramos: 
 
I
y.M
 
Eq. 30.
 
Relação entre o Momento 
fletor e a tensão longitudinal 
Exercício Proposto 51 
O momento fletor indicado na figura atua no plano vertical. 
Determinar as tensões normais nos pontos A e B sobre a 
seção transversal mostrada. 
Resposta: -94,0 MPa e -62,7 MPa. 
Exercício Proposto 52 
Determinar as tensões normais nos pontos A e B sobre a 
seção transversal mostrada. 
Resposta: -61,1 MPa e 91,7 MPa. 
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Exercício Proposto 53 
Determine o máximo momento fletor Mx que pode ser aplicado à seção 
transversal do perfil de abas largas mostrado na figura. O material 
deste perfil tem adm = 155 MPa. 
Resposta: 80,3 kN.m 
Exercício Proposto 54 
Duas forças verticais são aplicadas à viga que tem a 
seção transversal indicada. Determinar as tensões 
normais máximas de tração e compressão na viga. 
Resposta: +73,2 MPa; -102,4 MPa 
Exercício Proposto 55 
Determine o máximo valor para as forças P que podem ser aplicadas a viga da figura sabendo que a 
mesma é construída com um material para o qual valem ( adm)C = 12 ksi e ( adm)T = 22 ksi . 
Resposta: 7,29 kip 
Exercício Proposto 56 
A viga carregada como mostra a figura deverá ser construída em madeira com seção transversal 
retangular com h = 4b. Determinar as dimensões transversais mínimas necessárias, se para a madeira a 
tensão normal admissível vale 10 MPa, quer à tração quer à compressão. 
Resposta: b = 104 mm