Lista XIII ALGA

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA XIII
1. Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes
matrizes:
a) v = (−2, 1),
(
2 2
1 3
)
. R.: Sim
b) v = (1, 1, 2),
 1 1 10 2 1
0 2 3
. R.: Sim
c) v = (−2, 1, 3),
 1 −1 02 3 2
1 2 1
. R.: Não
2. Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares:
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (x + 2y,−x + 4y). R.: λ1 = 3, v1 = (y, y), λ2 = 2,
v2 = (2y, y)
b) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x + 2y, x + 3y). R.: λ1 = 1, v1 = y(−2, 1), λ2 = 4,
v2 = x(1, 1)
c) T : R2 → R2, T (x, y) = (5x− y, x+ 3y). R.: λ1 = λ2 = 4, v1 = x(1, 1)
d) T : R2 → R2, T (x, y) = (y,−x). R.: Não existem
e) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+y+z, 2y+z, 2y+3z). R.: λ1 = λ2 = 1, v = (x, y,−y),
λ3 = 4, v3 = x(1, 1, 2)
f) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x,−2x − y, 2x + y + 2z). R.: λ1 = 1, v1 = z(3,−3, 1),
λ2 = −1, v2 = z(0,−3, 1), λ3 = 2, v3 = z(0, 0, 1)
g) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x + y, y, z). R.: λ1 = λ2 = λ3 = 1, v = (x, 0, z), x e z
não simultaneamente nulos.
3. Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2,
associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determinar a imagem do
vetor v = (4, 1) por esse operador. R.: (8, 11)
4. a) Determinar o operador linear T : R2 → R2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 =
3 associados aos autovetores v1 = (y,−y) e v2 = (0, y), respectivamente. R.:
T (x, y) = (x, 2x+ 3y)
1
b) O mesmo enunciado para λ1 = 3, λ2 = −2 e v1 = x(1, 2), v2 = x(−1, 0). R.:
T (x, y) = (−2x+ 5
2
y, 3y)
5. a) Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade? R.: λ = 1, todos os
vetores do espaço com exceção do vetor nulo
b) Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são autovalores de um operador linear TR2 → R2, associados aos
autovetores u = (2, 1) e v = (−1, 3), respectivamente, determinar T (3u − v). R.:
(26, 6)
6. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1)
e triplica o comprimento do vetor v = (1, 2), sem alterar as direções nem inverter os
sentidos.
a) Calcular T (0, 3). R.: (2, 10)
b) Determinar T (x, y). R.: T (x, y) = (5
3
x+ 2
3
y,−2
3
x+ 10
3
y)
c) Qual a matriz do operador T na base {(2, 1), (1, 2)}. R.:
(
2 0
0 3
)
7. Seja TR2 → R2 o operador linear definido por
T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y)
a) Determinar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
R.: {(−2, 1), (1, 2)}
b) Dar a matriz de T nessa base. R.:
(
9 0
0 −1
)
2