Aula 35: Superfícies orientadas. Integrais de superfície de campos vetoriais

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Superfícies Orientadas
Seja S a superfície paramétrica descrita pela função vetorial
−→r (u, v) = x(u, v) −→i + y(u, v) −→j + z(u, v) −→k , (u, v) ∈ D
onde
−→r u ×−→r v 6= −→0 no interior de D.
Podemos associar ao ponto (u, v) do interior de D o vetor normal unitário
−→n =
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖
(que é o vetor normal unitário do plano tangente no ponto
−→r (u, v)).
Observe que nada impede que tenhamos dois pares ordenados (u1, v1) e (u2, v2) distintos
satisfazendo −→r (u1, v1) = −→r (u2, v2)
(isto é, podemos ter dois pares ordenados distintos em D cuja imagem é o mesmo ponto da
superfície).
Se o vetor normal unitário variar continuamente sobre a superfície S e se, para qualquer
curva fechada na superfície S, o vetor normal unitário obtido pelo ponto final da curva coincidir
com o do ponto inicial, então dizemos que a superfície é orientável e dizemos que os vetores
normais unitários
−→n =
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖
fornecem uma orientação positiva para S induzida pela parametrização −→r (u, v). Se tomarmos
em cada ponto o vetor normal unitário no sentido oposto à este, isto é, se tomarmos em cada
ponto (u, v) o vetor unitário
−−→n = −
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖
então dizemos que a superfície está orientada negativamente.
Se existir alguma curva fechada contida na superfície S na qual o vetor normal unitário
obtido pelo ponto final da curva for diferente do vetor normal unitário obtido pelo ponto inicial
da curva, então dizemos que a superfície é não-orientável.
Exemplo 1. A faixa de Möbius, que é a superfície da figura abaixo:
é não-orientável, pois se tomarmos uma curva fechada passando pelo meio da faixa dando
apenas uma volta na faixa, então o vetor normal unitário obtido no ponto final da curva tem
sentido oposto ao vetor normal unitário obtido pelo ponto inicial da curva.
1
Exemplo 2. A esfera x2 + y2 + z2 = 1 é uma superfície orientável. Como a função vetorial
−→r (θ, φ) = sen φ cos θ−→i + sen φsen θ−→j + cosφ−→k , (θ, φ) ∈ [0, 2pi]× [0, pi]
descreve a esfera e, da última aula, sabemos que
−→r θ ×−→r φ = −sen 2φ cos θ−→i − sen 2φsen θ−→j − sen φ cosφ−→k
||−→r θ ×−→r φ|| = sen φ
então a orientação positiva de S induzida pela parametrização −→r (θ, φ) é definida pelos vetores
normais unitários
−→n =
−→r θ ×−→r φ
‖−→r θ ×−→r φ‖ = −sen φ cos θ
−→
i − sen φsen θ−→j − cosφ−→k = −−→r (θ, φ)
(que são os vetores unitários radiais que apontam para dentro da esfera).
A orientação negativa de S é definida pelos vetores normais unitários
−−→n = −→r (θ, φ)
(que são os vetores unitários radiais que apontam para fora da esfera).
Integrais de superfície de campos vetoriais
Seja S uma superfície orientável cuja orientação é dada pelos vetores normais unitários −→n
e seja
−→
F um campo vetorial do R3 tal que S ⊂ Dom(−→F ). Definimos a integral de superfície de−→
F sobre S como ∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫∫
S
−→
F • −→n dS
2
As vezes a integral de superfície de
−→
F sobre S é chamada de fluxo de
−→
F através de S.
Observe que, se S é descrita pela função vetorial
−→r (u, v) = x(u, v) −→i + y(u, v) −→j + z(u, v) −→k , (u, v) ∈ D
então a orientação induzida por essa parametrização é
−→n =
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖
Nesse caso, temos que∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫∫
S
−→
F (−→r (u, v)) •
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖ dS
=
∫∫
D
[−→
F (−→r (u, v)) •
−→r u ×−→r v
‖−→r u ×−→r v‖
]
‖−→r u ×−→r v‖ dA
=
∫∫
D
−→
F (−→r (u, v)) • (−→r u ×−→r v) dA
Ou seja, ∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫∫
D
−→
F (−→r (u, v)) • (−→r u ×−→r v) dA
Exemplo 3. Determine o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = z
−→
i + y
−→
j + x
−→
k através da
esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
Sabemos que a esfera x2 + y2 + z2 = 1 pode ser descrita pela função vetorial
−→r (θ, φ) = sen φ cos θ−→i + sen φsen θ−→j + cosφ−→k , (θ, φ) ∈ [0, 2pi]× [0, pi]
e que
−→r θ ×−→r φ = −sen 2φ cos θ−→i − sen 2φsen θ−→j − sen φ cosφ−→k
Como −→
F (−→r (θ, φ)) = (cosφ)−→i + (sen φsen θ)−→j + (sen φ cos θ)−→k
então
−→
F (−→r (θ, φ)) • (−→r θ ×−→r φ) = −sen 2φ cos θ cosφ− sen 3φsen 2θ − sen 2φ cosφ cos θ
= −2sen 2φ cos θ cosφ− sen 3φsen 2θ
Logo, ∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫∫
D
−→
F (−→r (θ, φ)) • (−→r θ ×−→r φ) dA
onde D = {(θ, φ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi} e, portanto,∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫ pi
0
∫ 2pi
0
(−2sen 2φ cos θ cosφ− sen 3φsen 2θ) dθ dφ
3
Calculando a integral em θ:∫ 2pi
0
(−2sen 2φ cos θ cosφ− sen 3φsen 2θ) dθ =
∫ 2pi
0
(−2sen 2φ cos θ cosφ− sen 3φ1− cos(2θ)
2
) dθ
=
[
−2sen 2φsen θ cosφ− sen
3φ
2
(
θ − sen (2θ)
2
)]θ=2pi
θ=0
= −pisen 3φ
Calculando a integral do resultado com relação à φ:∫ pi
0
(−pisen 3φ) dφ = −pi
∫ pi
0
(1− cos2 φ)sen φ dφ = −pi
[
− cosφ+ cos
3 φ
3
]φ=pi
φ=0
= −4pi
3
Logo, ∫∫
S
−→
F • d−→S = −4pi
3
A figura à seguir mostra o campo vetorial
−→
F sobre a esfera:
É natural que o resultado tenha dado negativo, uma vez que o fluxo está saindo da esfera e a
nossa orientação pelo vetor normal é para dentro da esfera.
Se S é uma união finita de superfícies S1, ..., Sn orientáveis (com orientação compatível) que
só se interceptam ao longo de suas fronteiras e se cada superfície Si, i ∈ {1, 2, ..., n}, é descrita
por uma função vetorial
−→ri em Di satisfazendo [−→ri ]u × [−→ri ]v 6= −→0 no interior de Di, então
definimos a integral de superfície de um campo
−→
F sobre S como sendo∫∫
S
−→
F • d−→S =
∫∫
S1
−→
F • d−→S +
∫∫
S2
−→
F • d−→S + ...
∫∫
Sn
−→
F • d−→S
Exercício 1. Calcule
∫∫
S
−→
F •d−→S , onde −→F (x, y, z) = y−→i +x−→j +z−→k e S é a fronteira do sólido
E limitado pelo parabolóide z = 1− x2 − y2 e pelo plano z = 0.
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