sis vet Sistema Vetorial

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Sistemas de Vetores 
Elementos de Redução 
Condições de Equilíbrio 
Sistemas Distribuídos 
Ações nas Estruturas 
➤  Ação é qualquer causa exterior capaz de 
alterar o estado de tensão ou de deformação de 
uma estrutura. 
➤  São exemplos de ações o vento, as variações de 
temperatura, o peso dos equipamentos, a neve 
e os sismos. 
Ação do veículo sobre 
a ponte. 
Ação do vento sobre as 
edificações. 
Ações nas Estruturas 
➤  A norma ABNT NBR 8681:2004 define e 
quantifica as ações a serem consideradas no 
projeto das estruturas de edificações, 
classificando-as em: 
➣  Permanentes: peso próprio e dos equipamentos 
➣  Variáveis: cargas de serviço, térmicas, vento e sismos 
➣  Excepcionais: explosões, choques, incêndios. 
➤  Todas estas ações são assimiláveis a forças que 
se representam por sistemas de vetores. 
Ações nas Estruturas 
➤  Forma de atuação das 
forças: concentradas e 
distribuídas 
Ações nas Estruturas 
➤  Forma de atuação das forças: concentradas e 
distribuídas 
Sistemas de Vetores 
Definições básicas 
➤  Grandeza escalar – definida com intensidade ou 
módulo e representa-se por um número algébrico. 
Exemplos: massa, comprimento, tempo, temperatura. 
➤  Grandeza vetorial – define-se com módulo, 
direção, sentido (de translação) e ponto de aplicação. 
Requer um referencial. Exemplos: força, deslocamento. 
➤  Grandeza tensorial – é uma generalização do 
conceito de grandeza vetorial. Exemplos: tensor de inércia, 
das tensões, das deformações. 
x 
y 
z 
referencial direção 
sentido 
módulo 
ponto de aplicação 
Definições básicas 
➤  Consideram-se 3 tipos de vetores: 
➣  Vetor livre – definido com módulo, direção e 
sentido; o ponto de aplicação é arbitrário. 
➣  Vetor deslizante - definido com módulo, direção, 
sentido; o ponto de aplicação é arbitrário, ao longo 
da linha de ação. 
➣  Vetor fixo – são fixos todos os parâmetros do vetor. 
linha de ação (direção) 
Definições básicas 
➤  Quanto à forma, os vetores podem ser: 
➣  Coplanares – estão no mesmo plano 
➣  Concorrentes – as linhas de ação têm um ponto 
comum 
➣  Colineares – têm a mesma linha de ação 
Definições básicas 
➤  Um vetor tem capacidade de: 
➣  Translação – no sentido e direção do vetor 
➣  Rotação – momento do vetor em relação a um ponto 
Definições básicas 
➤  Momento – vetor fixo – traduz a capacidade de 
rotação de um vetor em relação a um ponto O: 
x 
y 
z 
F 
θ
d= |r| sin θ r 
MO = r × F = |F| |r| sin θ 
 = |F| d O 
|MO| = |r × F| = |F| |r| sin θ = |F| d Módulo: 
Direção: regra da Mão Direita ou do Saca Rolhas 
r - vetor posição de um ponto da linha de ação de F 
d – braço do vetor F 
Definições básicas 
➤  Produto externo ou vetorial 
➣  Regra da Mão Direita 
C = A × B = para fora 
= para dentro 
Convenção: 

A

B

C
Apontador 
Médio 
Resultado = Polegar 
C
A 
! Bpara fora 
! 
Definições básicas 
➤  Momento – Exemplos 
d= |r| sin θ 
θ
F 
r 
MO = r × F O 
x 
y 
z 
Definições básicas 
➤  Representações alternativas do momento 
Plano com o vetor 
posição r e vector F 
r 
F 
MO 
Definições básicas 
➤  Momento de F em relação ao 
ponto O. 
kFjFiFF
kzjyixrFrM
zyx
O !!!!
!!!!!!!
++=
++=×= ,
( ) ( ) ( )kyFxFjzFxFizFyF
FFF
zyx
kji
kMjMiMM
xyxzyz
zyx
zyxO
!!!
!!!
!!!!
−+−−−=
=
=++=
Definições básicas 
➤  Momento 
➣  Momento – em relação 
ao ponto O: 
➣  Momento escalar – momento em relação a um eixo 
que passa por O (eixo OL com versor λ): 
FrMO
!!!
×=
( )FrMM OOL
!!!!!
ו=•= λλ
Definições básicas 
➤  Binário ou conjugado – vetor livre 
correspondente ao momento de 2 forças 
paralelas F, não colineares, com o mesmo 
módulo e sentidos opostos: 
x 
y 
z 
MO = F(d+a) – F(a) = Fd 
O – ponto arbitrário 
d – braço do binário 
F
!
F
!
a 
d 
d+a 
O 
MO 
Definições básicas 
➤  Binário – vetor livre 
Definições básicas 
➤  Exemplo – determinar o momento do binário 
indicado e o braço (distância entre os vetores): 
760 N 
760 N 
350	
Β	
Α	
20
0 
m
m
 
100 mm 
Definições básicas 
➤  Resolução 
760 N 
760 N 
350	
Β	
Α	
20
0 
m
m
 
100 
mm 
F = -760 cos(350) i -760 sin(350) j = -622 i -435.9 j N 
rBA = -0.1 i + 0.2 j m 
M = 
 i j k 
-0.1 0.2 0 
-622 -435.9 0 
= 168 k Nm 
d=M/F =168/760=0.22 m 
Elementos de Redução 
Elementos de redução 
➤  Num ponto O, um sistema de vetores 
deslizantes Fi tem como elementos de redução: 
➣  Resultante – vetor livre dado pela soma dos 
vetores do sistema: 
➣  Momento Resultante - vetor fixo dado pela soma 
dos momentos dos vetores do sistema: 
RO = Σ Fi 
MO = Σ ri × Fi 
F1 
F2 Fn 
rn 
r2 
r1 
O 
RO 
MO x 
y 
z 
Elementos de redução 
➤  Dois sistemas de vetores deslizantes dizem-se 
estaticamente equivalentes ou equipolentes, 
quando têm os mesmos elementos de redução 
em qualquer ponto do espaço. 
➤  Um sistema de vetores deslizantes e os seus 
elementos de redução são estaticamente 
equivalentes. 
Condições de Equilíbrio 
Condições de equilíbrio 
➤  Num ponto P, o mesmo sistema de vetores 
deslizantes Fi tem como elementos de redução: 
➣  Resultante – vetor livre dado pela soma dos 
vetores do sistema: 
➣  Momento Resultante - vetor fixo dado pela soma 
dos momentos dos vetores do sistema: 
RP = RO = Σ Fi 
MP = MO + PO × RO 
F1 
F2 Fn 
rn 
r2 
r1 
O 
RO MO x 
y 
z 
P 
RP 
MP 
PO 
Condições de equilíbrio 
➤  Consequentemente, se os elementos de redução 
são nulos num ponto O, então são nulos em 
qualquer ponto P do espaço: 
 
 
 
RO= 0 e MO= 0 => RP= 0 e MP= 0 
MP = MO + PO × RO = 0 
RP = RO = 0 é um vetor livre 
F1 
F2 Fn 
rn 
r2 
r1 
O 
RO MO x 
y 
z 
P 
RP 
MP 
PO 
visto que 
e ainda 
Condições de equilíbrio 
➤  Assim, para se estabelecer as condições de 
equilíbrio basta impôr que em qualquer 
ponto do espaço, se verifiquem as equações 
vetoriais: 
➤  Em equilíbrio, um sistema de vetores não tem 
capacidade de movimento, isto é, são nulas a 
capacidade de translação (R=0) e a capacidade 
de rotação (M= 0 ). 
R= 0 e M= 0 
Condições de equilíbrio 
➤  No plano – um corpo tem 3 graus de liberdade 
(translações segundo x e y e rotação em torno de 
z). As equações de equilíbrio são 3 (projeção das 
equações vetoriais nos eixos coordenados) e 
representam o anulamento dos respetivos graus 
de liberdade: 
R = 0 => 
Rx= Σ Fix= 0 
Ry= Σ Fiy= 0 
M = 0 => Mz=Σ(xiFiy-yiFix)+ΣMiz= 0 
xi, yi – coordenadas de um ponto qualquer da linha de acção de Fi 
x 
y 
z 
Condições de equilíbrio 
➤  No espaço – um corpo tem 6 graus de liberdade 
(translações segundo os 3 eixos e rotações em 
torno dos 3 eixos). As equações de equilíbrio são 
6 (projeção das equações vetoriais nos eixos 
coordenados): 
R = 0 => 
Rx= Σ Fx= 0 
Ry= Σ Fy= 0 
Rz= Σ Fz= 0 
M = 0 => 
Mx=Σ(yiFiz-ziFiy)+ΣMix= 0 
My=Σ(ziFix-xiFiz)+ΣMiy= 0 
Mz=Σ(xiFiy-yiFix)+ΣMiz= 0 
x 
y 
z 
xi, yi – coordenadas de um ponto qualquer da linha de acção de Fi 
Condições de equilíbrio 
➤  Nota - as equações de equilíbrio de tranlação podem ser 
substituídas, por conveniência, por equações de 
equilíbrio de rotação, desde que todas as equações sejam 
linearmente independentes. No plano podem usar-se as 
seguintes3 equações, em alternativa ao caso geral: 
➣  Se a direcção de AB não é prependicular à direção s de proj.: 
➣  Se os pontos A, B e C não são colineares: 
Rs= 0 
MA= 0 
MB= 0 
MC= 0 
MA= 0 
MB= 0 
s 
A 
B 
F1 
F2 
F3 
A 
B 
F1 
F2 
F3 
B 
Sistemas Distribuídos 
Sistemas distribuídos 
➤  Cargas: distribuídas 
Sistemas distribuídos 
➤  Para efeitos de equilíbrio, os sistemas 
distribuídos podem substituir-se pelos seus 
elementos de redução num ponto qualquer. 
➤  No caso particular desse ponto ser o centróide 
da distribuição, mostra-se que o momento 
resultante do sistema distribuído é nulo. 
➣  Centróide (G) de um objeto (V) é o centro 
geométrico da respectiva forma do objeto: 
∫∫ ==
VV
dVVdVr
V
G com 1
Sistemas distribuídos 
➤  Cálculo da resultante e do momento resultante 
do sistema de vetores distribuído no ponto O: 
W = dW
0
L
∫ = wdx
0
L
∫ = dA
0
L
∫ = A
Resultante 
(vetor livre) 
Momento da Resultante 
(no ponto O) 
M = dM
0
L
∫ = x  dW
0
L
∫ = xw dx
0
L
∫
Linha de carga: w(x) 
Carga elementar: 
 dW = w dx = dA 
Momento elementar em O: 
 dM = x dW = x w dx 
Sistemas distribuídos 
➤  Exemplo – verificar o cálculo dos elementos de 
redução do sistema triangular nos pontos A e B: 
l 
a 
p = a x / l 
x 
y 
A B 
x 
y R= a l / 2 = área do diagrama R R 
M Q 
M= a l2 / 3 = R (2 l / 3) 
Q=R l – M = a l2 / 6 = R (l / 3) 
M = dM
0
l
∫ = xp dx
0
l
∫
R = dA
0
l
∫ = A
R 
b = 2 l / 3 
Sistemas distribuídos 
➤  Cálculo da resultante e da abcissa do centróide 
do sistema de vetores distribuído: 
W = dW
0
L
∫ = wdx
0
L
∫ = dA
0
L
∫ = A
Resultante (v. livre) Momento da Resultante (p. O) 
M = dM
0
L
∫ = x dw
0
L
∫ = xW
x =
x dw
0
L
∫
WO momento da carga distribuída = momento da resultante 
Sistemas distribuídos 
➤  Exemplo – verificar o cálculo da abcissa do 
centróide do sistema de cargas triangular: 
l 
a 
p = a x / l 
x 
y 
x 
y R= a l / 2 = área do diagrama 
b = 2 l / 3 
centróide 
bR = xp dx = a
0
l
∫ l
2
3
b = 2 l3
Sistemas distribuídos 
➤  Exemplo - cálculo da resultante do sistema 
distribuído no centróide: 
Resultante: 
Momento em A: 
kN 0.18=F
kN 18
mkN 63 ⋅
=X m5.3=X
m6
m
N
2
45001500
×
+
=F
iiii AXFXFX ∑∑ ==
Braço: