Atividade Estruturada 4 Controle e Servomecanismos 2

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Atividade Estruturada 4 Resposta no domínio do tempo 
Equações a diferença finitas 
Nome: Jonathan de Souza de Lima 
Matrícula: 201402075121 
Disciplina: Controle e Servomecanismo II 
Professor: Felipe Bastos 
 
Exercício 1 – No programa Octave ou MatLab crie vetores b e a que 
contenham os coeficientes de x[n] e y[n] respectivamente, na equação a 
diferença abaixo: 
1.1. y[n] – 0,9y[n –2] = 0,3 x[n] + 0,6x[n – 1] + 0,3x[n – 2] 
 
 Separando os coeficientes de x e y, temos: 
Y(Z). z² -0,9 
X(Z). 0,3z² + 0,6z +0,3 
H(Z) = Y(Z)/X(Z) 
H(Z) = 0,3z² + 0,6z +0,3/z² -0,9 
 
Modelagem no SCILAB 
-->num=poly([0.3,0.6,0.3],'z','c') 
 num = 
 0.3 + 0.6z + 0.3z² 
-->den=poly([-0.9,0,1],'z','c') 
 den = 
 - 0.9 + z² 
-->h1=syslin('d',num,den) 
 h1 = 
 0.3 + 0.6z + 0.3z² 
 ----------------- 
 - 0.9 + z² 
-->x=[zeros(1,4),1,zeros(1,10)] 
 x = 
 column 1 to 6 
 0. 0. 0. 0. 1. 0. 
 column 7 to 12 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 13 to 15 
 0. 0. 0. 
-->y=flts(x,h1) 
 y = 
 column 1 to 6 
 0. 0. 0. 0. 0.3 0.6 
 column 7 to 10 
 0.57 0.54 0.513 0.486 
 column 11 to 13 
 0.4617 0.4374 0.41553 
 column 14 to 15 
 0.39366 0.373977 
 
1.2 ) Calcule y[n] analiticamente para x[n] = [n]. 
Atribui-se um intervalo qualquer para n. 
Utilizou-se um intervalo 0 > n > 6, sendo n = 0 até n = 6, com condições iniciais: y[-1] = 0; y[-2] 
= 0 
y[n] – 0,9y[n –2] = 0,3 x[n] + 0,6x[n – 1] + 0,3x[n – 2] 
 
y[0] = 0,9 y[0 − 2] + 0,3x[0] + 0,6x[0 − 1] + 0,3x[0 − 2] = 0,9 y[−2] + 0,3x[0] + 0,6x[−1] + 
0,3x[−2] = 0,3 
 y[1] = 0,9 y[1 − 2] + 0,3x[1] + 0,6x[1 − 1] + 0,3x[1 − 2] = 0,9 y[−1] + 0,3x[1] + 0,6x[0] + 
0,3x[−1] = 0,6 
y[2] = 0,9 y[2 − 2] + 0,3x[2] + 0,6 x[2 − 1] + 0,3x[2 − 2] = 0,9 y[0] + 0,3x[2] + 0,6x[1] + 0,3x[0] 
= (0,9 × 0,3) + 0,3 = 0,57 
y[3] = 0,9 y[3 − 2] + 0,3x[3] + 0,6x[3 − 1] + 0,3x[3 − 2] = 0,9 y[1] + 0,3x[3] + 0,6x[2] + 0,3x[1] 
= 0,9 × 0,6 = 0,54 
y[4] = 0,9 y[4 − 2] + 0,3x[4] + 0,6 x[4 − 1] + 0,3x[4 − 2] = 0,9 y[2] + 0,3x[4] + 0,6x[3] + 0,3x[2] 
= 0,9 × 0,57 = 0,513 
y[5] = 0,9 y[5 − 2] + 0,3x[5] + 0,6x[5 − 1] + 0,3x[5 − 2] = 0,9 y[3] + 0,3x[5] + 0,6x[4] + 0,3x[3] 
= 0,9 × 0,54 = 0,486 
 y[6] = 0,9 y[6 − 2] + 0,3x[6] + 0,6x[6 − 1] + 0,3x[6 − 2] = 0,9 y[4] + 0,3x[6] + 0,6x[5] + 0,3x[4] 
= 0,9 × 0,513 = 0,4617 
 
 
 
n y[n] y[n-2] x[n] x[n-1] x[n-2] 
0 0,3 0 1 0 0 
1 0,6 0 0 1 0 
2 0,57 0,3 0 0 1 
3 0,54 0,6 0 0 0 
4 0,51 0,57 0 0 0 
5 0,48 0,54 0 0 0 
6 0,46 0,51 0 0 0 
 
 
 
Exercício 2 – Considere a equação a diferença finita: 
 
Plote utilizando o MatLab ou o Octave a resposta impulsional h[n] da 
equação diferença abaixo: 
y[n] – 1,8cos
cos
16
 
 
 
y[n –1] + 0,81y[n – 2] = x[n] + 0,5x[n – 1] 
2.1 – Plote a resposta impulsional na faixa de – 10 ≤ n ≤ 100; 
y[n] − 1,8cos(π/16) y[n − 1] + 0,81y[n − 2] = x[n] + 0,5x[n − 1] 
 y[n] − (1,8 × 0,98) y[n − 1] + 0,81y[n − 2] = x[n] + 0,5x[n − 1] 
 y[n] − 1,765 y[n − 1] + 0,81y[n − 2] = x[n] + 0,5x[n − 1] 
Separando os coeficientes de x e y, temos passando para transformada Z 
Y(Z). (1z² - 1,765z¹ + 0,81) 
X(Z). (1z² + 0,5z¹ + 0) 
H(Z)= Y(Z)/X(Z) 
H(Z) = z² + 0,5z 
 z² - 1,765z + 0,81 
 
Modelagem no SCILAB 
-->num=poly([0,0.5,1],'z','c') 
 num = 
 0.5z + z² 
-->den=poly([0.81,-1.765,1],'z','c') 
 den = 
 0.81 - 1.765z + z² 
 
-->h1=syslin('d',num,den) 
 h1 = 
 0.5z + z² 
 ---------------- 
 0.81 - 1.765z + z² 
 
-->x=[zeros(1,10),1,zeros(1,100)] 
 x = 
 column 1 to 16 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 17 to 32 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 33 to 48 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 49 to 64 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 65 to 80 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 81 to 96 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
 column 97 to 111 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 
-->y=flts(x,h1) 
 y = 
 column 1 to 13 
 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 2.265 3.187725 
 column 14 to 20 
 3.7916846 4.1102661 4.1833551 4.0543063 3.7673329 3.3653545 2.888311 
 column 21 to 27 
 2.3719318 1.8469278 1.3385627 0.8665517 0.4452279 0.0839204 - 0.2125151 
 column 28 to 34 
 - 0.4430646 - 0.6098719 - 0.7175415 - 0.7724645 - 0.7821913 - 0.7548714 - 0.6987730 
 column 35 to 41 
 - 0.6218885 - 0.5316271 - 0.4345922 - 0.3364372 - 0.2417920 - 0.1542488 - 0.0763976 
 column 42 to 48 
 - 0.0099002 0.0444082 0.0863996 0.1165247 0.1356824 0.1450944 0.1461889 
 column 49 to 55 
 0.1404970 0.1295641 0.1148781 0.0978129 0.0795886 0.0612453 0.0436313 
 column 56 to 62 
 0.0274005 0.0130205 0.0007868 - 0.0091579 - 0.0168010 - 0.0222358 - 0.0256375 
 column 63 to 69 
 - 0.0272391 - 0.0273107 - 0.0261397 - 0.0240149 - 0.0212131 - 0.0179891 - 0.0145681 
 column 70 to 76 
 - 0.0111416 - 0.0078647 - 0.0048565 - 0.0022014 0.0000484 0.0018685 0.0032587 
 column 77 to 85 
 0.0042381 0.0048408 0.0051111 0.0051000 0.0048615 0.0044496 0.0039157 
 column 84 to 90 
 0.0033071 0.0026652 0.0020254 0.0014160 0.0008587 0.0003686 - 0.0000449 
 column 91 to 97 
 - 0.0003779 - 0.0006306 - 0.0008069 - 0.0009134 - 0.0009585 - 0.0009520 - 0.0009038 
 column 98 to 104 
 - 0.0008242 - 0.0007225 - 0.0006077 - 0.0004873 - 0.0003679 - 0.0002546 - 0.0001514 
 column 105 to 111 
 - 0.0000610 0.0000150 0.0000759 0.0001218 0.0001535 0.0001722 0.0001797 
-->n=-10:100 
n = 
 column 1 to 15 
 - 10. - 9. - 8. - 7. - 6. - 5. - 4. - 3. - 2. - 1. 0. 1. 2. 3. 4. 
 column 16 to 29 
 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 
 column 30 to 42 
 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 
 column 43 to 55 
 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 
 column 56 to 68 
 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 
 column 69 to 81 
 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 
 column 82 to 94 
 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 
 column 95 to 107 
 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 
 column 108 to 111 
 97. 98.99. 100. 
-->plot(n,y,'.b') 
 
 
 
 
2.2 Determine a resposta impulsional analiticamente e confirme os resultados de 2.1; 
y[n] – 1,8cos
cos
16
 
 
 
y[n –1] + 0,81y[n – 2] = x[n] + 0,5x[n – 1] 
Resolução da forma analítica da resposta ao impulso para equação acima. 
 
y[0] = 1,765 y[0 − 1] − 0,81y[0 − 2] + x[0] + 0,5x[0 − 1] = 1,765 y[−1] − 0,81y[−2] + x[0] + 
0,5x[−1] = 1 
y[1] = 1,765 y[1 − 1] − 0,81y[1 − 2] + x[1] + 0,5x[1 − 1] = 1,765 y[0] − 0,81y[−1] + x[1] + 
0,5x[0] = 1,765 + 0,5 = 2,265 
 y[2] = 1,765 y[2 − 1] − 0,81y[2 − 2] + x[2] + 0,5x[2 − 1] = 1,765 y[1] − 0,81y[0] + x[2] + 0,5x[1] 
= (1,765 × 2,265) − 0,81 = 3,187725 
y[3] = 1,765 y[3 − 1] − 0,81y[3 − 2] + x[3] + 0,5x[3 − 1] = 1,765 y[2] − 0,81y[1] + x[3] + 0,5x[2] 
y[3] = (1,765 × 3,187725) − (0,81× 2,265) = 3,7916846 
y[4] = 1,765 y[4 − 1] − 0,81y[4 − 2] + x[4] + 0,5x[4 − 1] = 1,765 y[3] − 0,81 y[2] + x[4] + 0,5x[3] 
y[4] = (1,765 × 3,7916846) − (0,81× 3,187725) = 4,1102661 
y[5] = 1,765 y[5 − 1] − 0,81y[4 − 2] + x[5] + 0,5x[5 − 1] = 1,765 y[4] − 0,81 y[3] + x[5] + 0,5x[4] 
 y[5] = (1,765 × 4,1102661) − (0,81× 3,7916846) = 4,1833551 
y[6] = 1,765 y[6 − 1] − 0,81y[6 − 2] + x[6] + 0,5x[6 − 1] = 1,765 y[5] − 0,81 y[4] + x[6] + 0,5x[5] 
y[6] = (1,765 × 4,1833551) − (0,81× 4,1102661) = 4,0543063 
y[7] = 1,765 y[7 − 1] − 0,81y[7 − 2] + x[7] + 0,5x[7 − 1] = 1,765 y[6] − 0,81 y[5] + x[7] + 0,5x[6] 
y[7] = (1,765 × 4,0543063) − (0,81× 4,1833551) = 3,7673329 
y[8] = 1,765 y[8 − 1] − 0,81y[8 − 2] + x[8] + 0,5x[8 − 1] = 1,765 y[7] − 0,81 y[6] + x[8] + 0,5x[7] 
y[8] = (1,765 × 3,7673329) − (0,81× 4,0543063) = 3,3653545 
y[9] = 1,765 y[9 − 1] − 0,81y[9 − 2] + x[9] + 0,5x[9 − 1] = 1,765 y[8] − 0,81 y[7] + x[9] +0,5x[8] 
y[9] = (1,765 × 3,3653545) − (0,81× 3,7673329) = 2,8883110 
y[10] = 1,765 y[10 − 1] − 0,81y[10 − 2] + x[10] + 0,5x[10 − 1] = 1,765 y[9] − 0,81 y[8] + x[10] 
+ 0,5x[9] 
 y[10] = (1,765 × 2,8883110) − (0,81× 3,3653545) = 2,3719318 
 
n y[n] y[n-1] y[n-2] x[n] x[n-1] 
0 1 0 0 1 0 
1 2,26 1 0 0 1 
2 3,18 2,26 1 0 0 
3 3,79 3,18 2,26 0 0 
4 4,11 3,79 3,18 0 0 
5 4,18 4,11 3,79 0 0 
6 4,05 4,18 4,11 0 0 
7 3,76 4,05 4,18 0 0 
8 3,36 3,76 4,05 0 0 
9 2,88 3,36 3,76 0 0 
10 2,37 2,88 3,36 0 0 
 
Exercício 3 – Uma decomposição da resposta completa de um sistema em 
reposta em regime é aplicar um sinal da forma 3 u[n]nje     . Se o sistema for 
estável a resposta impulsional tende a zero. Considere o sistema representado 
pela equação a diferença finita: 
 
y[n] – 1,8cos
cos
16
 
 
 
y[n –1] + 0,81y[n – 2] = x[n] + 0,5x[n – 1] 
3.1 – Determine o valor da saída para n  

 
 
n  

 ; n ≠ 0 
y[n] − 1,8cos(π/16) y[n − 1] + 0,81y[n − 2] = x[n] + 0,5x[n − 1] 
y[1] – 1,8cos(π/16)y[1-1] + 0,81y[1-2] = x[1] + 0,5x[1-1] 
y[1] – 1,8cos(π/16)y[0] +0,81y[-1] = x[1] + 0,5x[0] 
 
3.2 – Considerando x[n]= 
 u[n]j ne 
. Obtenha a transformada z. 
 
X(z) = ∞ 
 ∑ = 
 u[n]j ne 
. z^-n 
 n=−∞ 
 
X(z) = ∞ 
 ∑ = (ejwn/z)n 
 n=0 
 
Para que a transformada exista, é preciso que: 
 
| (ejan/z)n |< 1 ou |z| >1 
 
X(z) = 1 
 1 - (ejwn/z) 
 
 X(z) = z 
 z - (ejwn/z) 
3.3 – Plote os polos e zeros no plano z. 
 
 
H(Z) = z² + 0,5z 
 z² - 1,765z + 0,81 
 
 
 
3.4 Não fui capaz de responder. Dúvida.