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ESCOLA DE ENGENHARIA Lista de Exercícios Disciplina de Resistência dos Materiais II Semestre 2014.2 Esforços Internos Prof. Fernando Peroba Para as vigas a seguir, determine as equações de Esforços Internos: 01) 02) 03) 006 ESCOLA DE ENGENHARIA 04) 𝑉𝐴 = 33𝑘𝑁 𝑉𝐷 = 15𝑘𝑁 (0 ≤ 𝑥 ≤ 4): { 𝑄1 = 33 − 12𝑥 𝑀1 = 33𝑥 − 6𝑥 2 (4 ≤ 𝑥 ≤ 6): { 𝑄2 = 33 − 48 = −15 𝑀2 = −15𝑥 + 96 (6 ≤ 𝑥 ≤ 8): { 𝑄3 = −15 𝑀3 = −15𝑥 + 120 05) 𝑉𝐴 = 57,7𝑘𝑁 𝑉𝐷 = 52,3𝑘𝑁 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2): { 𝑄1 = 57,7 − 8𝑥 𝑀1 = 57,7𝑥 − 4𝑥 2 (2 ≤ 𝑥 ≤ 6): { 𝑄2 = 55,7 − 12𝑥 𝑀2 = −6𝑥 2 + 55,7𝑥 + 12 (6 ≤ 𝑥 ≤ 9): { 𝑄3 = 1,7 − 6𝑥 𝑀3 = −3𝑥 2 + 1,7𝑥 + 227,7 007 ESCOLA DE ENGENHARIA 06) 𝑉𝐵 = 45,5𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 4,5𝑘𝑁 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2): { 𝑄1 = −18 𝑀1 = −18𝑋 (2 ≤ 𝑥 ≤ 6): { 𝑄2 = 43,5 − 8𝑥 𝑀2 = −4𝑥 2 + 43,5𝑥 − 107 (6 ≤ 𝑥 ≤ 8): { 𝑄3 = 0 𝑀3 = 10 07) 𝑉𝐴 = −2𝑘𝑁 ↓ 𝓂𝐴 = 38𝑘𝑁. 𝑚 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2): { 𝑄1 = −2 𝑀1 = 38 − 2𝑥 (2 ≤ 𝑥 ≤ 4): { 𝑄2 = −2 𝑀2 = 28 − 2𝑥 (4 ≤ 𝑥 ≤ 6): { 𝑄3 = 30 − 8𝑥 𝑀3 = −4𝑥 2 + 30𝑥 − 36 008 ESCOLA DE ENGENHARIA APLICAÇÃO Disciplina de Resistência dos Materiais II Semestre 2014.2 Linha Elástica Prof. Fernando Peroba A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga isostática abaixo. Dados: 𝐸𝐼 = 2000 𝑘𝑁. 𝑚². i) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝐸𝐼𝑦" = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼𝑦1" = 6𝑥 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 6 𝑥2 2 + 𝐶1 = 3𝑥 2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦1 = 3 𝑥3 3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = 𝑥 3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 ii) 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖 𝐸𝐼𝑦" = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼𝑦2" = 6𝑥 − 12(𝑥 − 4) = −6𝑥 + 48 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −6 𝑥2 2 + 48𝑥 + 𝐶3 = −3𝑥 2 + 48𝑥 + 𝐶3 𝑠 𝑠 009 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦2 = −3 𝑥3 3 + 48 𝑥2 2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 = −𝑥 3 + 24𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 iii) Condições de contorno (1) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 (2) 𝑥 = 8 e 𝑦 = 0 (3) 𝑥 = 4 e 𝑦1′ = 𝑦2′ (4) 𝑥 = 4 e 𝑦1 = 𝑦2 iv) Substituição das condições de contorno nas respectivas equações (1) 𝐸𝐼 ∙ 0 = 03 + 𝐶1 ∙ 0 + 𝐶2 ⇒ 𝑪𝟐 = 𝟎 (2) 𝐸𝐼 ∙ 0 = −83 + 24 ∙ 82 + 𝐶3 ∙ 8 + 𝐶4 ⇒ 𝟖𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 = −𝟏𝟎𝟐𝟒 (3) 3 ∙ 42 + 𝐶1 = −3 ∙ 4 2 + 48 ∙ 4 + 𝐶3 ⇒ 𝑪𝟏 − 𝑪𝟑 = 𝟗𝟔 (4) 43 + 𝐶1 ∙ 4 = −4 3 + 24 ∙ 42 + 𝐶3 ∙ 4 + 𝐶4 ⇒ 4 ∙ (𝐶1 − 𝐶3) = 256 + 𝐶4 Substituindo (3) em (4): 4. (96) = 256 + 𝐶4 ⇒ 𝑪𝟒 = 𝟏𝟐𝟖 Substituindo o valor de 𝐶4 em (2): 8𝐶3 − 128 = −1024 ⇒ 𝑪𝟑 = −𝟏𝟒𝟒 Substituindo 𝐶3 em (3): 𝐶1 − (−144) = 96 ⇒ 𝑪𝟏 = −𝟒𝟖 Depois de calculadas as constantes, podem-se obter as equações da linha elástica e da inclinação para a presente viga: { 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 3𝑥2 − 48 𝐸𝐼𝑦1 = 𝑥 3 − 48𝑥 { 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −3𝑥2 + 48𝑥 − 144 𝐸𝐼𝑦2 = −𝑥 3 + 24𝑥2 − 144𝑥 + 128 010 ESCOLA DE ENGENHARIA De posse das equações, o próximo passo é determinar o valor de 𝑥 para o qual a flecha é máxima. Não obstante a simetria da viga, tanto de carga como de geometria, permitir afirmar que a deflexão máxima ocorre no meio do vão, por uma questão de generalização e por amor à didática, segue a demonstração formal deste fato. Uma das aplicações da derivada de uma função é ser ela o coeficiente angular da reta tangente. Isto implica dizer que o máximo de uma função ocorrerá quando essa tangente for horizontal, ou seja, quando a sua inclinação for nula. Transpondo esta propriedade para o caso da linha elástica, a flecha máxima ocorre quando sua inclinação for zero. Trata-se de um ponto crítico, onde a linha elástica muda seu crescimento. Matematicamente isso pode ser expresso por: 𝑦′ = 0 ⇒ 𝑦𝑚á𝑥 3𝑥2 − 48 = 0 ⇒ 𝑥 = 4𝑚 Substituindo o valor de 𝑥 = 4 na equação da linha elástica: 𝐸𝐼𝑦1 = 𝑥 3 − 48𝑥 2000 ∙ 𝑦𝑚á𝑥" = 4 3 − 48 ∙ 4 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟎𝟔𝟒𝒎 Já as inclinações da linha elástica nos apoios da viga são calculadas facilmente pela substituição das abscissas correspondentes (𝑥𝐴 = 0 e 𝑥𝐶 = 8𝑚) nas equações de 𝑦1 ′ e 𝑦2 ′ . Desta forma: { 2000 ∙ 𝑦1 ′ = 3(0)2 − 48 ⇒ 𝑦1 ′ = −𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝐫𝐚𝐝 2000 ∙ 𝑦2 ′ = −3(8)2 + 48(8) − 144 ⇒ 𝑦2 ′ = 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝐫𝐚𝐝 011 ESCOLA DE ENGENHARIA Lista de Exercícios Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.1 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba 01) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 2,5 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 10𝑘𝑁 𝐸𝐼𝑦" = 10𝑥 − 2𝑥2 𝐸𝐼𝑦′ = 5𝑥2 − 2 3 𝑥3 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 5 3 𝑥3 − 1 6 𝑥4 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 5 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = 5 3 (0)3 − 1 6 (0)4 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = 5 3 (5)3 − 1 6 (5)4 + 𝐶1(5) 𝑪𝟏 = − 𝟏𝟐𝟓 𝟔 016 ESCOLA DE ENGENHARIA 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = 5𝑥2 − 2 3 𝑥3 − 125 6 = 0 Raízes calculadas pelo Microsoft Mathematics: 𝒙 = 𝟐, 𝟓 𝑥 = −1,83 (Fora do domínio) 𝑥 = 6,83 (Fora do domínio) 𝐸𝐼𝑦 = 5 3 𝑥3 − 1 6 𝑥4 − 125 6 𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = 5 3 (2,5)3 − 1 6 (2,5)4 − 125 6 (2,5) 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟏𝟑𝒎𝒎 ↓ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = 5𝑥2 − 2 3 𝑥3 − 125 6 𝜃𝐴 = −𝜃𝐵 = 1 2,5 ∙ 105 [5(0)2 − 2 3 (0)3 − 125 6 ] = −𝟖, 𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟓𝒓𝒂𝒅 02) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios. Dados: 𝐸𝐼 = 2,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 + 20 − 20 = 0 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 0 017 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦" = −20 𝐸𝐼𝑦′ = −20𝑥 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = −10𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = −10(0)2 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = −10(6)2 + 𝐶1(6) 𝑪𝟏 = 𝟔𝟎 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = −20𝑥 + 60 = 0 𝒙 = 𝟑𝒎 𝐸𝐼𝑦 = −10𝑥2 + 60𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = −10(3) 2 + 60(3) 𝒚𝒎á𝒙 = +𝟎, 𝟒𝟓𝒎𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = −20𝑥 + 60 𝜃𝐴 = −𝜃𝐵 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝒓𝒂𝒅 018 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios. Dados: 𝐸𝐼 = 6,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝑀 = 80𝑥 𝐸𝐼𝑦1 " = 80𝑥 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 40𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦1 = 40 3 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝑀 = −40𝑥 + 240 𝐸𝐼𝑦2 " = −40𝑥 + 240 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −20𝑥2 + 240𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦2 = − 20 3 𝑥3 + 120𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 iii) 𝑥 = 2 e 𝑦1 ′ = 𝑦2′ iv) 𝑥 = 2 e 𝑦1 = 𝑦2 Substituição das condições de contorno. 𝐸𝐼 ∙ (0) = 40 3 ∙ (0)3 + 𝐶1 ∙ (0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 019 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼 ∙ (0) = − 20 3 (6)3 + 120 ∙ (6)2 + 𝐶3 ∙ (6) + 𝐶4 𝟔𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 = −𝟐𝟖𝟖𝟎 40𝑥2 + 𝐶1 = −20𝑥 2 + 240𝑥 + 𝐶3 40(2)2 + 𝐶1 = −20(2) 2 + 240(2) + 𝐶3 𝑪𝟏 − 𝑪𝟑 = 𝟐𝟒𝟎 40 3 𝑥3 + 𝐶1𝑥 = − 20 3 𝑥3 + 120𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 40 3 (2)3 + 𝐶1(2) = − 20 3 (2)3 + 120(2)2 + 𝐶3(2) + 𝐶4 2(𝐶1 − 𝐶3) = 320 + 𝐶4 2 ∙ 240 = 320 + 𝐶4 𝑪𝟒 = 𝟏𝟔𝟎 6𝐶3 + 160 = −2880 𝑪𝟑 = −𝟓𝟎𝟔, 𝟔𝟕 𝐶1 − (−506,67) = 240 𝑪𝟏 = −𝟐𝟔𝟔, 𝟔𝟕 Equações da linha elástica. Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 40𝑥2 − 266,67 𝐸𝐼𝑦1 = 40 3 𝑥3 − 266,67𝑥 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −20𝑥2 + 240𝑥 − 506,67 𝐸𝐼𝑦2 = − 20 3 𝑥3 + 120𝑥2 − 506,67𝑥 + 160 Flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 → 𝑦 ′ = 0 020 ESCOLA DE ENGENHARIA i) Verificação da flecha máxima no primeiro trecho. 40𝑥2 − 266,67 = 0 𝑥 = 2,58𝑚 > 2𝑚 A posição desse máximo está fora do domínio do trecho. Portanto, a flecha máxima não ocorre nele. ii) Verificação da flecha máxima no segundo trecho. −20𝑥2 + 240𝑥 − 506,67 = 0 𝒙′ = 𝟐, 𝟕𝟑𝒎 𝑥′ = 9,27 (Fora do domínio) Flecha máxima. O valor encontrado para 𝑥, que indica a posição da flecha máxima, deve ser substituído na segunda equação. 𝐸𝐼𝑦2 = − 20 3 𝑥3 + 120𝑥2 − 506,67𝑥 + 160 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = − 20 3 (2,73)3 + 120(2,73)2 − 506.67(2,73) + 160 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟕𝟕𝒎𝒎 ↓ Inclinação nos apoios. 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 40𝑥2 − 266,67 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 40(0) 2 − 266,67 𝜽𝑨 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓 rad 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −20𝑥2 + 240𝑥 − 506,67 𝐸𝐼𝜃𝐵 = −20(6) 2 + 240(6) − 506,67 𝜽𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟔 rad 021 ESCOLA DE ENGENHARIA 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios. Dados: 𝐸𝐼 = 2,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝑀 = 2𝑥 𝐸𝐼𝑦1 " = 2𝑥 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦1 = 1 3 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝑀 = 2𝑥 − 12 𝐸𝐼𝑦" = 2𝑥 − 12 𝐸𝐼𝑦2 ′ = 𝑥2 − 12𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦2 = 1 3 𝑥3 − 6𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 iii) 𝑥 = 2 e 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ iv) 𝑥 = 2 e 𝑦1 = 𝑦2 Substituição das condições de contorno. 𝐸𝐼 ∙ (0) = 1 3 ∙ (0)3 + 𝐶1 ∙ (0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼 ∙ (0) = 1 3 ∙ (6)3 − 6 ∙ (6)2 + 𝐶3 ∙ (6) + 𝐶4 𝟔𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 = 𝟏𝟒𝟒 022 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝑥2 + 𝐶1 = 𝑥 2 − 12𝑥 + 𝐶3 (2)2 + 𝐶1 = (2) 2 − 12(2) + 𝐶3 𝑪𝟏 − 𝑪𝟑 = −𝟐𝟒 1 3 𝑥3 + 𝐶1𝑥 = 1 3 𝑥3 − 6𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 1 3 (2)3 + 𝐶1(2) = 1 3 (2)3 − 6(2)2 + 𝐶3(2) + 𝐶4 2(𝐶1 − 𝐶3) = −24 + 𝐶4 2 ∙ (−24) = −24 + 𝐶4 𝑪𝟒 = −𝟐𝟒 6𝐶3 − 24 = 144 𝑪𝟑 = 𝟐𝟖 𝐶1 − (28) = −24 𝑪𝟏 = 𝟒 Equações da linha elástica. Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 𝑥2 + 4 𝐸𝐼𝑦1 = 1 3 𝑥3 + 4𝑥 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝐸𝐼𝑦2 ′ = 𝑥2 − 12𝑥 + 28 𝐸𝐼𝑦2 = 1 3 𝑥3 − 6𝑥2 + 28𝑥 − 24 Flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 → 𝑦 ′ = 0 i) Verificação da flecha máxima no primeiro trecho. 𝑥2 + 4 = 0 023 ESCOLA DE ENGENHARIA Não existem raízes reais para essa equação nesse trecho. Portanto, a flecha máxima não ocorre nele. ii) Verificação da flecha máxima no segundo trecho. 𝑥2 − 12𝑥 + 28 = 0 𝒙′ = 𝟑, 𝟏𝟕𝒎 𝑥′ = 8,83 (Fora do domínio) Flecha máxima. O valor encontrado para 𝑥, que indica a posição da flecha máxima, deve ser substituído na segunda equação. 𝐸𝐼𝑦2 = 1 3 𝑥3 − 60𝑥2 + 388𝑥 − 240 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = 1 3 (3,17)3 − 6(3,17)2 + 388(3,17) − 24 𝒚𝒎á𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝒎𝒎 ↑ Inclinação nos apoios. 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 𝑥2 + 4 𝐸𝐼𝜃𝐴 = (0) 2 + 8 𝜽𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐 rad 𝐸𝐼𝑦2 ′ = 𝑥2 − 12𝑥 + 28 𝐸𝐼𝜃𝐵 = (6) 2 − 12(6) + 28 𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒 rad 024 ESCOLA DE ENGENHARIA 05) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios. Dados: 𝐸𝐼 = 6,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 4 + 12 + 8 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 24 6 + 4 ∙ 𝑉𝐶 − 8 ∙ 3 − 12 ∙ 2 − 4 ∙ 1 = 0 𝑉𝐶 = 24 + 24 + 4 − 6 4 𝑉𝐶 = 11,5 𝑘𝑁 𝑉𝐴 = 12,5 𝑘𝑁 Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝑀 = 12,5𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑥 2 𝐸𝐼𝑦1 " = 12,5𝑥 − 𝑥2 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 12,5 2 𝑥2 − 1 3 𝑥3 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦1 = 12,5 6 𝑥3 − 1 12 𝑥4 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝑀 = 12.5𝑥 − 4(𝑥 − 1) − 12(𝑥 − 2) − 4(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 2) 2 𝐸𝐼𝑦2 " = −2𝑥2 + 4,5𝑥 + 20 𝐸𝐼𝑦2 ′ = − 2 3 𝑥3 + 4,5 2 𝑥2 + 20𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦2 = − 2 12 𝑥4 + 4,5 6 𝑥3 + 20 2 𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 Trecho III: 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝑀 = 6 (olhando para a direita) 𝐸𝐼𝑦" = 6 025 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦3 ′ = 6𝑥 + 𝐶5 𝐸𝐼𝑦3 = 3𝑥 2 + 𝐶5𝑥 + 𝐶6 Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦1 = 0 ii) 𝑥 = 4 e 𝑦2 = 0 iii) 𝑥 = 2 e 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ iv) 𝑥 = 2 e 𝑦1 = 𝑦2 v) 𝑥 = 4 e 𝑦2 ′ = 𝑦3 ′ vi) 𝑥 = 4 e 𝑦2 = 𝑦3 Substituição das condições de contorno. i) 𝐸𝐼(0) = 12,5 6 (0)3 − 1 12 (0)4 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 ii) 𝐸𝐼(0) = − 2 12 (4)4 + 4,5 6 (4)3 + 20 2 (4)2 + 𝐶3(4) + 𝐶4 𝟒𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 = − 𝟒𝟗𝟔 𝟑 iii) 12,5 2 𝑥2 − 1 3 𝑥3 + 𝐶1 = − 2 3 𝑥3 + 4,5 2 𝑥2 + 20𝑥 + 𝐶3 12,5 2 (2)2 − 1 3 (2)3 + 𝐶1 = − 2 3 (2)3 + 4,5 2 (2)2 + 20(2) + 𝐶3 𝑪𝟏 − 𝑪𝟑 = 𝟔𝟒 𝟑 iv) 12,5 6 𝑥3 − 1 12 𝑥4 + 𝐶1𝑥 = − 2 12 𝑥4 + 4,5 6 𝑥3 + 20 2 𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 12,5 6 (2)3 − 1 12 (2)4 + 𝐶1(2) = − 2 12 (2)4 + 4,5 6 (2)3 + 20 2 (2)2 + 𝐶3(2) + 𝐶4 2(𝐶1 − 𝐶3) = 28 + 𝐶4 026 ESCOLA DE ENGENHARIA 2 ∙ 64 3 = 28 + 𝐶4 𝑪𝟒 = 𝟒𝟒 𝟑 Substituição. 4𝐶3 + 44 3 = − 496 3 𝑪𝟑 = −𝟒𝟓 v) − 2 3 𝑥3 + 4,5 2 𝑥2 + 20𝑥 + 𝐶3 = 6𝑥 + 𝐶5 − 2 3 (4)3 + 4,5 2 (4)2 + 20(4) + 𝐶3 = 6(4) + 𝐶5 𝑪𝟑 − 𝑪𝟓 = − 𝟏𝟒𝟖 𝟑 vi) − 2 12 𝑥4 + 4,5 6 𝑥3 + 20 2 𝑥2 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4 = 3𝑥 2 + 𝐶5𝑥 + 𝐶6 − 2 12 (4)4 + 4.5 6 (4)3 + 20 2 (4)2 + 𝐶3(4) + 12 = 3(4) 2 + 𝐶5(4) + 𝐶6 388 3 + 4 ∙ (𝐶3 − 𝐶5) = 𝐶6 𝐶6 = 388 3 + 4 ∙ (− 148 3 ) 𝑪𝟔 = −𝟔𝟖 Substituição. 𝐶1 − (−45) = 64 3 𝑪𝟏 = − 𝟕𝟏 𝟑 027 ESCOLA DE ENGENHARIA −45 − 𝐶5 = − 148 3 𝑪𝟓 = 𝟏𝟑 𝟑 Equações da linha elástica. Trecho I: 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 12,5 2 𝑥2 − 1 3 𝑥3 − 71 3 𝐸𝐼𝑦1 = 12,5 6 𝑥3 − 1 12 𝑥4 − 71 3 𝑥 Trecho II: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝐸𝐼𝑦2 ′ = − 2 3 𝑥3 + 4,5 2 𝑥2 + 20𝑥 − 45 𝐸𝐼𝑦2 = − 2 12 𝑥4 + 4,5 6 𝑥3 + 20 2 𝑥2 − 45𝑥 + 44 3Trecho III: 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝐸𝐼𝑦3 ′ = 6𝑥 + 13 3 𝐸𝐼𝑦3 = 3𝑥 2 + 13 3 𝑥 − 68 Flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 → 𝑦 ′ = 0 i) Verificação da flecha máxima no primeiro trecho. 12.5 2 𝑥2 − 1 3 𝑥3 − 71 3 𝑥 = 0 Raízes calculadas pelo Microsoft Mathematics: 𝑥 = 0 (máximo local) 𝑥 = 5,26 (Fora do domínio) 𝑥 = 13,48 (Fora do domínio) 028 ESCOLA DE ENGENHARIA A posição desse máximo está fora do domínio do trecho. Portanto, a flecha máxima não ocorre nele. ii) Verificação da flecha máxima no segundo trecho. − 2 3 𝑥3 + 4.5 2 𝑥2 + 20𝑥 − 45 = 0 𝒙 = 𝟐, 𝟎𝟔 𝑥 = −5,01 (Fora do domínio) 𝑥 = 6,41 (Fora do domínio) iii) Verificação da flecha máxima no terceiro trecho. 6𝑥 + 13 3 = 0 𝑥 = −0,72 (Fora do domínio) Flecha máxima. O valor encontrado para 𝑥, que indica a posição da flecha máxima, deve ser substituído na segunda equação. 𝐸𝐼𝑦2 = − 2 12 𝑥4 + 4,5 6 𝑥3 + 20 2 𝑥2 − 45𝑥 + 44 3 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = − 2 12 (2,06)4 + 4,5 6 (2,06)3 + 20 2 (2,06)2 − 45(2,06) + 44 3 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟎𝟓𝟑𝒎𝒎 ↓ Inclinação nos apoios. 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 12,5 2 𝑥2 − 1 3 𝑥3 − 71 3 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 12,5 2 (0)2 − 1 3 (0)3 − 71 3 𝜽𝑨 = −𝟑, 𝟗𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟓 rad 𝐸𝐼𝑦2 ′ = − 2 3 𝑥3 + 4,5 2 𝑥2 + 20𝑥 − 45 𝐸𝐼𝜃𝐶 = − 2 3 (4)3 + 4,5 2 (4)2 + 20(4) − 45 𝜽𝑩 = 𝟒, 𝟕𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟎 −𝟓 rad 029 ESCOLA DE ENGENHARIA 06) Considere que não há reações horizontais para a viga hiperestática abaixo. Sabendo que sua rigidez é 𝐸𝐼 = 4,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚², utilize o método da superposição (Tabela) para determinar as reações de apoio nos engastes. Antes de qualquer procedimento, deve-se levar em conta as seguintes simplificações: a) As reações horizontais nos engastes são consideradas nulas; b) Existem duas reações superabundantes. Portanto, deve-se fazer a compatibilidade dos deslocamentos no engaste da direita tanto em relação ao deslocamento vertical quanto à rotação, sendo ambas nulas. Condição 1. 𝑦𝐷 = 𝑦𝑤 + 𝑦𝑃 + 𝑦𝑉 + 𝑦𝑀 = 0 − 𝑤𝐿𝐴𝐵 4 8𝐸𝐼 + 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ∙ (− 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 ) − 𝑃𝐿𝐴𝐶 3 3𝐸𝐼 + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ∙ (− 𝑃𝐿𝐴𝐶 2 2𝐸𝐼 ) + 𝑉𝐷𝐿 3 3𝐸𝐼 − 𝑀𝐷𝐿 2 2𝐸𝐼 = 0 − 6 ∙ 44 8 + 4 ∙ (− 6 ∙ 43 6 ) − 12 ∙ 63 3 + 2 ∙ (− 12 ∙ 62 2 ) + 𝑉𝐷 ∙ 8 3 3 − 𝑀𝐷 ∙ 8 2 2 = 0 𝑽𝐃 = 𝟑𝑴𝑫 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐𝟕 𝟑𝟐 Condição 2. 𝜃𝐷 = 𝜃𝑤 + 𝜃𝑃 + 𝜃𝑉 + 𝜃𝑀 = 0 − 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 − 𝑃𝐿𝐴𝐶 2 2𝐸𝐼 − 𝑉𝐷𝐿 2 2𝐸𝐼 − 𝑀𝐷𝐿 𝐸𝐼 = 0 030 ESCOLA DE ENGENHARIA − 6 ∙ 43 6 − 12 ∙ 62 2 + 𝑉𝐷 ∙ 8 2 2 − 𝑀𝐷 ∙ 8 = 0 𝑽𝐃 = 𝑴𝑫 + 𝟑𝟓 𝟒 Deve-se agora resolver o sistema formado pelas duas equações anteriores: { 𝑉𝐷 = 3𝑀𝐷 16 + 327 32 𝑉𝐷 = 𝑀𝐷 + 35 4 𝑽𝑫 = 𝟏𝟒, 𝟔𝟑 𝒌𝑵 𝑴𝑫 = 𝟐𝟑, 𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 Fazendo o equilíbrio estático, tem-se: ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐷 − 24 − 12 = 0 𝑉𝐴 + 14,63 = 36 𝑽𝑨 = 𝟐𝟏, 𝟑𝟕 𝒌𝑵 ↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 + 14.63 ∙ 8 − 23.5 − 24 ∙ 2 − 12 ∙ 6 = 0 𝑴𝑨 = 𝟐𝟔, 𝟒𝟔 𝒌𝑵. 𝒎 031 ESCOLA DE ENGENHARIA 07) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação nos apoios. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dados: 𝐸𝐼 = 8,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 08) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dados: 𝐸𝐼 = 8,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 09) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dados: 𝐸𝐼 = 8,0 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 032 ESCOLA DE ENGENHARIA 10) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. A viga é feita de aço temperado e revenido ASTM-A709 classe 690 e tem seção transversal retangular de 100𝑚𝑚 × 120𝑚𝑚. OBS: Em todas as questões acima, independentemente da solução ser obtida por meio da equação da linha elástica ou pelo método da superposição (Tabela), faça uma lista de todas as condições de contorno possíveis envolvidas em cada caso. BONS ESTUDOS!!! 033 ESCOLA DE ENGENHARIA Resistência dos Materiais II Prof. Fernando Peroba Semestre 2013.2 Equação da Linha Elástica em vigas com inércia variável Nesta seção serão estuadas vigas que possuem inércia variável. Tais casos representam uma vasta aplicação na engenharia. Desta forma, seja a viga tronco cônica, maciça, engastada e carregada com uma carga concentrada � em sua extremidade livre, como mostra a figura abaixo. Inicialmente, deve-se determinar como o diâmetro da seção transversal da viga varia ao longo do eixo �. Para tanto, observam-se as característica geométricas deste elemento tronco cônico mostrado na figura a seguir. Fazendo semelhança de triângulos, tem- se: � � = � − ��2��2 �� − ��� = ��� �� = ��� + ��� � = ��� � + �� O momento de inércia de uma seção circular é dado por: � = ��64 = ���64�� � + ��� � = ���� � + ��� A equação do momento fletor para a viga em questão é: � = −�� Aplicando as expressões encontradas acima na equação diferencial da linha elástica, produz-se: ����� = � � ����� � + ���� ��� = −�� ��� = −������ � � � + ���� A seguir, utiliza-se o método da dupla integração e as respectivas condições de contorno. No entanto, a integral do segundo membro da equação não é 034 ESCOLA DE ENGENHARIA imediata. Portanto, faz-se necessário comentar a metodologia pertinente e eficaz para resolvê-la. � � � + ��� �� � + � = � � � = � − � �� = �� �� − ��� �� = � � �� �� −� � �� �� = ������ − ������� = �����−3 + 1 − � ����� −4 + 1 + � = − 12� + � 3�� + � = −3� + 2�6�� + � = −3 � + �� + 2�6 � + ��� + � = − � + 3�6 � + ��� + � Portanto, a equação da inclinação da linha elástica, oriunda da primeira integração, a menos de uma constante, é dada por: !� = +"#$%&' � # + () * # + )�(� + +, Integrando novamente, e repetindo o procedimento acima para resolver a integral, obtém-se: � = ���6��� �� � 1 � + ��� �� + 3� � � + ��� ��� + ��� + � � = − ���6��� - � 2 � + �� + 3 � + 2�� 2 � + �� . + ��� + � ! = − "#$*%&' � $# + *) / # + )�/� + +,) + +/ Condições de contorno. i) � = � e �′ = 0 (Engaste) ii) � = � e � = 0 (Engaste) Substituindo, tem-se: i) 0 = + ���6��� � � + 3� � + ���� + �� 0 = + ���6��� � 4� 8��� + �� 0 = + �� 12��� + �� +, = − "# / ,/%&' ii) 0 = − ���6��� � 4� + 6� 2 � + �� � − �� 12��� � + � 0 = − ���6��� � 10� 8� � − ��� 12��� + � 0 = −10���48��� − ��� 12��� + � 035 ESCOLA DE ENGENHARIA 0 = −10��� − 4���48��� + � 0 = −14���48��� + � +/ = 3"# (/$%&' Portanto, a equação da inclinação e da deflexão da linha elástica é dada por: Inclinação (Rotação) �� = + ���6��� � � + 3� � + ���� − �� 12��� Deflexão (Flecha ou deslocamento vertical) � = − ���6��� � 4� + 6� 2 � + �� � − �� 12��� � + 7��� 24��� A determinação do máximo encerra uma discussão deveras interessante. Pelo procedimento padrão, deve-se igualar a equação da inclinação a zero. �� = 0 ��� 6��� � � + 3� � + ���� − �� 12��� = 0 ��� 6��� � � + 3� � + ���� = �� 12��� � � � + 3� � + ���� = 1 2 �� + 3� � � + ��� = 1 2 �� + 3� � + 3�� + �� = 2�� + 6� � �� + 3�� − 3� � − �� = 0 Como pode-se observar facilmente, � = � é uma das raízes dessa equação cúbica. Utilizando o dispositivo prático de Briot- Ruffini, tem-se: � 1 3� −3� −�� 1 4� � 0 Assim, obtêm-se os coeficientes do quociente da divisão do polinômio original por � − ��, reduzido de um grau, o que resulta: � − �� � + 4�� + � � = 0 Portanto, � + 4�� + � = 0 � = −4� ± √16� − 4� 2 � = −4� ± √12� 2 � = −4� ± 2√3� 2 � = −2� ± √3� �� = −3,73� (fora do domínio) ��� = −0,27� (fora do domínio) Em que pese ter sido possível encontrar as três raízes daquela equação cúbica, duas delas estão fora do domínio e a outra que é � = �, representa um máximo relativo e não um máximo absoluto dentro do domínio geométrico da viga. Portanto, no ponto onde a viga está engastada, existe um ponto crítico 036 ESCOLA DE ENGENHARIA de máximo valor relativo. Haja vista a inclinação ser zero. Porém, a máxima deflexão ocorrerá no extremo em balanço. Em última análise, a máxima deflexão ocorrerá para � = 0. Substituindo este valor na equação da flecha, obtém-se: � = − ���6��� � 4� + 6 ∙ 0 2 � + 0� � − �� 12��� ∙ 0 + 7��� 24��� � = − ���6��� � 4� 2� � + 7��� 24��� � = − ���3��� + 7��� 24��� � = −8��� + 7���24��� ! = − "#(/$%&' 037 ESCOLA DE ENGENHARIA Resistência dos Materiais II Prof. Fernando Peroba Semestre 2013.2 Equação da Linha Elástica pelo Método da Carga. Até o presente momento, a equação da linha elástica foi determinada pelo Método da Dupla Integração, a partir de sua equação diferencial. Neste tópico estuda-se outro método que, partindo da equação da carga, permite determinar a deflexão e a rotação da linha elástica em uma viga bi apoiada isostática. A este método denomina-se Método da Carga. 1. Esforços Internos – Relações Diferenciais. Antes de mostrar o método propriamente dito, faz-se necessária uma revisão sobre os esforços internos. Destaca-se o elemento diferencial da figura abaixo. Nele é possível verificar a existência dos esforços internos � e �, na face esquerda do elemento, e seus respectivos esforços internos acrescidos de seus diferencias �� e ��, na face direita. Aplicando-se as condições de equilíbrio da Estática, tendo como ponto de referência para os momentos o canto inferior direito do elemento, podem-se escrever as seguintes equações diferenciais: i) ∑ �� = � � − �� − �� + ��� = 0 � − �� − � − �� = 0 �� = − �� ���� = −� Conclui-se, então, que a derivada do cortante em relação a � é igual ao simétrico do carregamento. ii) ∑ �� = � � ∙ �� + � − �� ∙ ��2 − �� + ���= 0 Desprezando-se as diferenciais de segunda ordem, ����� ≪ 1, tem-se que: � ∙ �� + � − � − �� = 0 �� = ��� ���� = � Portanto, é correto afirmar que a derivada do momento fletor em relação a � é o esforço cortante. Assim, as seguintes conclusões são pertinentes: 038 ESCOLA DE ENGENHARIA a) A derivada segunda do momento fletor é igual ao simétrico da carga. ���� = � ������ = ���� = − b) Substituindo a equação da linha elástica, tem-se: ����� ����′′� = − �� � ��� = − ���!!!! = − EXEMPLO: Considere a viga isostática simplesmente apoiada mostrada na figura a seguir. Nela é aplicada uma carga senoidal distribuída de intensidade = "#$% &'�( ) Sabendo que a rigidez dessa viga é constante e igual a ��, determine a flecha máxima e as rotações nos apoios. ���!!!! = − "#$% &'�( ) ���!!! = (' "*+# &'�( ) + ,- ���!! = − (�'� "#$% &'�( ) + ,-� + ,� ���! = (.'. "*+# &'�( ) + ,- � � 2 + ,��+ ,. ��� = − ( ' "#$% &'�( ) + ,- � . 6 + ,� ��2 + ,.� + , Condições de contorno. i) � = 0 e �′′ = 0 ii) � = ( e �′′ = 0 iii) � = 0 e � = 0 iv) � = ( e � = 0 Substituindo, tem-se: i) ���0� = (�'� "#$% 0' ∙ 0( 1 + ,-�0�+ ,� 23 = � ii) ���0� = (�'� "#$% 0' ∙ (( 1 + ,-�(� 0 = (�'� "#$%' + ,-�(� 039 ESCOLA DE ENGENHARIA 24 = � iii) ��� = − ( ' "#$% &'�( ) + ,.� + , ���0� = − ( ' "#$% 0' ∙ 0( 1 + ,.�0�+ , 25 = � iv) ��� = − ( ' "#$% &'�( ) + ,.� ���0� = − ( ' "#$% 0' ∙ (( 1 + ,.�(� 0 = − ( ' "#$%' + ,.�(� 26 = � Portanto, as equações da inclinação e da deflexão são: 78 9 ���! = (.'. "*+# &'�( ) ��� = − ( ' "#$% &'�( ) Por fim, deve-se determinar a posição onde ocorre a flecha máxima. Pela simetria tanto de carregamento quanto geométrica, é fácil perceber que esse máximo ocorre no meio do vão. No entanto, por amor à didática, calcula-se a seguir a posição onde haverá a maior deflexão da viga. �:á< → �! = 0 (.'. "*+# &'�( ) = 0 *+# &'�( ) = 0 *+# &'�( ) = *+# &'2) Sendo a função cos injetora para valores de x no primeiro quadrante, tem-se que elementos do domínio que possuem a mesma imagem são iguais. '�( = '2 � = (2 Substituindo na equação da linha elástica, obtém-se: ��� = − ( ' "#$% &'�( ) ���:á< = − ( ' "#$% 0' ∙ (( ∙ 21 ���:á< = − ( ' "#$% &'2) �>á� = − ��?5@AB5 040 ESCOLA DE ENGENHARIA AVALIAÇÃO PARCIAL 1 Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.2 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba GABARITO/ 2141 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a rotação nos apoios. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = −0,00652 𝑞𝐿4 𝐸𝐼 = −0.00652 6 ∙ 104 1000 = −𝟎, 𝟑𝟗𝒎 𝜃𝐴 = − 7𝑞𝐿3 360𝐸𝐼 = − 7 ∙ 6 ∙ 103 360 ∙ 1000 = −𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝜃𝐵 = + 𝑞𝐿3 45𝐸𝐼 = + 6 ∙ 103 45 ∙ 1000 = +𝟎, 𝟏𝟑𝟑𝟑 𝒓𝒂𝒅 041 ESCOLA DE ENGENHARIA 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação na extremidade em balanço. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 i) Cálculo da flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 = − 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 − 5𝑃𝐿3 48𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 = − 48 ∙ 103 3 ∙ 1000 − 5 ∙ 48 ∙ 103 48 ∙ 1000 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟐𝟏 𝒎 ii) Cálculo da rotação na extremidade em balanço. 𝜃𝐶 = − 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 − 𝑃𝐿2 8𝐸𝐼 𝜃𝐶 = − 48 ∙ 102 2 ∙ 1000 − 48 ∙ 102 8 ∙ 1000 𝜽𝑪 = −𝟑 𝒓𝒂𝒅 042 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². Deve-se retirar o apoio do meio e, em seu lugar, inserir uma reação superabundante, 𝑃 = 𝑉𝐵, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o deslocamento nulo referente ao apoio B (x = 6m). Desta forma, tem-se:𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 + 𝑦𝑉 = 0 − 𝑞𝑎3 24𝐿𝐸𝐼 (4𝐿2 − 7𝑎𝐿 + 3𝑎2) − 𝑃𝑏𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2) + 𝑉𝐵𝐿 3 48𝐸𝐼 = 0 𝑉𝐵 ∙ 12 3 48 ∙ 1000 = 24 ∙ 63 24 ∙ 12 ∙ 1000 ∙ (4 ∙ 122 − 7 ∙ 6 ∙ 12 + 3 ∙ 62) + 96 ∙ 3 ∙ 6 6 ∙ 12 ∙ 1000 (122 − 32 − 62) 𝑽𝑩 = 𝟏𝟓𝟔𝒌𝑵 Cálculo das reações de apoio. → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 = 144 + 96 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 = 240 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 12 + 𝑉𝐵 ∙ 6 − 96 ∙ 9 − 144 ∙ 3 = 0 12𝑉𝐶 + 156 ∙ 6 − 1296 = 0 12𝑉𝐶 = 360 𝑽𝑪 = 𝟑𝟎𝒌𝑵 𝑉𝐴 + 156 + 30 = 240 𝑽𝑨 = 𝟓𝟒𝒌𝑵 043 ESCOLA DE ENGENHARIA 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 − 24 + 24 = 0 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 0 𝐸𝐼𝑦" = 24 𝐸𝐼𝑦′ = 24𝑥 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 12𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 9 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = 12(0)2 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = 12(9)2 + 𝐶1(9) 𝑪𝟏 = −𝟏𝟎𝟖 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = 24𝑥 − 108 = 0 𝐱 = 𝟒, 𝟓𝐦 𝐸𝐼𝑦 = 12𝑥2 − 108𝑥 044 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = 12(4,5) 2 − 108(4,5) 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟐𝟒𝟑 𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = 24𝑥 − 108 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 24(0) − 108 𝜽𝑨 = −𝟎, 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝐸𝐼𝜃𝐵 = 24(9) − 108 𝜽𝑩 = +𝟎, 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒂𝒅 045 ESCOLA DE ENGENHARIA AVALIAÇÃO PARCIAL 1 Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.1 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba GABARITO 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha para 𝑥 = 5 e a rotação no apoio da esquerda. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = − 𝑞𝑎3 24𝐿𝐸𝐼 (4𝐿2 − 7𝑎𝐿 + 3𝑎2) 𝑦 = − 24 ∙ 53 24 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 105 ∙ (4 ∙ 82 − 7 ∙ 5 ∙ 8 + 3 ∙ 52) = −𝟑, 𝟗𝟖𝒎𝒎 𝜃𝐴 = − 𝑞𝑎2 24𝐿𝐸𝐼 (2𝐿 − 𝑎)2 = − 24 ∙ 52 24 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 105 ∙ (2 ∙ 8 − 5)2 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗 𝒓𝒂𝒅 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação nos apoios. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 046 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝑦 = 𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 i) Cálculo da flecha máxima. 𝑦 = − 𝑞𝑎2 24𝐿𝐸𝐼 (2𝑥3 − 6𝐿𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 4𝐿2𝑥 − 𝑎2𝐿) − 𝑃𝑥 48𝐸𝐼 (3𝐿2 − 4𝑥2) 𝑦 = 1 𝐸𝐼 [− 24 ∙ 22 24 ∙ 8 ∙ (2 ∙ 𝑥3 − 6 ∙ 8 ∙ 𝑥2 + 22 ∙ 𝑥 + 4 ∙ 82 ∙ 𝑥 − 22 ∙ 8) − 12 ∙ 𝑥 48 ∙ (3 ∙ 82 − 4 ∙ 𝑥2)] 𝑦 = 1 𝐸𝐼 (24𝑥2 − 178𝑥 + 16) 𝑦′ = 1 𝐸𝐼 (48𝑥 − 178) 𝑦′ = 0 48𝑥 − 178 = 0 𝑥 = 3,71𝑚 𝑦𝑚á𝑥 = 1 2 ∙ 105 ∙ (24 ∙ 3,712 − 178 ∙ 3,71 + 16) = −𝟏, 𝟓𝟕𝒎𝒎 ii) Cálculo da rotação no apoio da esquerda. 𝑦 = − 𝑞𝑥 24𝐿𝐸𝐼 (𝐿𝑥3 − 4𝑎𝐿𝑥2 + 2𝑎2𝑥2 + 4𝑎2𝐿2 − 4𝑎3𝐿 + 𝑎4) − 𝑃𝑥 48𝐸𝐼 (3𝐿2 − 4𝑥2) 𝑦 = 1 𝐸𝐼 [− 24 ∙ 𝑥 24 ∙ 8 ∙ (8 ∙ 𝑥3 − 4 ∙ 2 ∙ 8 ∙ 𝑥2 + 2 ∙ 22 ∙ 𝑥2 + 4 ∙ 22 ∙ 82 − 4 ∙ 23 ∙ 8 + 24) − 12 ∙ 𝑥 48 ∙ (3 ∙ 82 − 4 ∙ 𝑥2)] 𝑦 = 1 𝐸𝐼 (−𝑥4 + 7𝑥3 − 146𝑥) 𝑦′ = 1 𝐸𝐼 (−4𝑥3 + 21𝑥2 − 146) 𝜃𝐴 = 1 2 ∙ 105 ∙ (−4 ∙ 03 + 21 ∙ 02 − 146) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟑 𝒓𝒂𝒅 047 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². Deve-se retirar o apoio da esquerda e, em seu lugar, inserir uma reação superabundante 𝑃 = 𝑉𝐶, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o deslocamento nulo referente ao apoio C. Desta forma, tem-se: 𝑦𝑇 + 𝑦𝑃 = 0 (𝑦𝐵 + 𝑚𝜃𝐵) + 𝑦𝑃 = 0 (− 𝑞𝐿𝐴𝐵 4 30𝐸𝐼 − 4 ∙ 𝑞𝐿𝐴𝐵 3 24𝐸𝐼 ) + 𝑉𝐶𝐿 3 3𝐸𝐼 = 0 − 10 ∙ 44 30 − 4 ∙ 10 ∙ 43 24 + 𝑥 ∙ 83 3 = 0 𝑽𝑪 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟓𝒌𝑵 Cálculo das reações de apoio. → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 20 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 8 − 20 ∙ 4 3 − 𝓂𝐴 = 0 𝑉𝐴 + 1,125 = 20 𝑽𝑨 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟕𝟓𝒌𝑵 1,125 ∙ 8 − 20 ∙ 4 3 + 𝓂𝐴 = 0 𝓶𝑨 = 𝟏𝟕, 𝟔𝟕𝒌𝑵 048 ESCOLA DE ENGENHARIA 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 + 12 + 24 = 0 𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = 6𝑘𝑁 𝐸𝐼𝑦" = 6𝑥 − 24 𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = (0)3 − 12(0)2 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = (6)3 − 12(6)2 + 𝐶1(6) 𝑪𝟏 = 𝟑𝟔 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36 = 0 𝐱 = 𝟐𝐦 𝐱 = 𝟔𝐦 (máximo local) 𝐸𝐼𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 36𝑥 049 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = (2) 3 − 12(2)2 + 36(2) 𝒚𝒎á𝒙 = +𝟎, 𝟏𝟔 𝒎𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 3(0) 2 − 24(0) + 36 𝜽𝑨 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝐸𝐼𝜃𝐵 = 3(6) 2 − 24(6) + 36 𝜽𝑩 = 𝟎 050 ESCOLA DE ENGENHARIA AVALIAÇÃO PARCIAL 1 Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.1 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba GABARITO 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a rotação na extremidade em balanço. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = 𝑀𝐿2 2𝐸𝐼 = 20 ∙ 102 2 ∙ 2 ∙ 105 = 𝟓 𝒎𝒎 𝜃𝐴 = 𝑀𝐿 𝐸𝐼 = 20 ∙ 10 2 ∙ 105 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒓𝒂𝒅 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação no apoio da esquerda. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = 𝑀𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (2𝐿2 − 3𝐿𝑥 + 𝑥2) − 𝑃𝑏𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2) 𝑦 = 1 𝐸𝐼 [ 24 ∙ 𝑥 6 ∙ 10 ∙ (2 ∙ 102 − 3 ∙ 10 ∙ 𝑥 + 𝑥2) − 36 ∙ 4 ∙ 𝑥 6 ∙ 10 ∙ (102 − 42 − 𝑥2)] 051 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝑦 = 1 𝐸𝐼 ( 14𝑥3 5 − 12𝑥2 − 608𝑥 5 ) 𝑦′ = 1 𝐸𝐼 ( 42𝑥2 5 − 24𝑥 − 608 5 ) Cálculo da flecha máxima. 42𝑥2 5 − 24𝑥 − 608 5 = 0 𝒙 = −𝟐, 𝟔𝟒𝒎 (Fora do domínio) 𝒙 = 𝟓, 𝟒𝟗𝒎 𝑦 = 1 2 ∙ 105 ( 14 5 ∙ 5,493 − 12 ∙ 5,492 − 608 ∙ 5,49 5 ) = −𝟐, 𝟖𝟑𝒎𝒎 𝑦′ = 𝜃𝐴 = 1 2 ∙ 105 ( 42 5 ∙ 02 − 24 ∙ 0 − 608 5 ) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟏 𝒓𝒂𝒅 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁.𝑚². Deve-se retirar o apoio da esquerda e, em seu lugar, inserir uma reação superabundante 𝑃 = 𝑉𝐶, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o deslocamento nulo referente ao apoio C. Desta forma, tem-se: 𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 = 0 052 ESCOLA DE ENGENHARIA (𝑦𝐵 + 𝑚𝜃𝐵) + 𝑦𝑃 = 0 (− 𝑞𝐿𝐴𝐵 4 8𝐸𝐼 − 4 ∙ 𝑞𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 ) + 𝑉𝐶𝐿 3 3𝐸𝐼 = 0 − 48 ∙ 44 8 − 4 ∙ 48 ∙ 43 6 + 𝑉𝐶 ∙ 8 3 3 = 0 𝑽𝑪 = 𝟐𝟏𝒌𝑵 Cálculo das reações de apoio. → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 192 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 8 − 192 ∙ 2 + 𝓂𝐴 = 0 𝑉𝐴 + 21 = 192 𝑽𝑨 = 𝟏𝟕𝟏𝒌𝑵 21 ∙ 8 − 192 ∙ 2 + 𝓂𝐴 = 0 𝓶𝑨 = 𝟐𝟏𝟔𝒌𝑵 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 053 ESCOLA DE ENGENHARIA 6 ∙ 𝑉𝐵 + 24 − 72 = 0 𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = 6𝑘𝑁 𝐸𝐼𝑦" = −24 − 6𝑥 𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = −12𝑥2 − 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 8 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = −12(0)2 − (0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = −12(8)2 − (8)3 + 𝐶1(8) 𝑪𝟏 = 𝟏𝟔𝟎 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 160 = 0 𝑥 = −12,33 𝑚 (Fora do domínio) 𝒙 = 𝟒, 𝟑𝟑𝒎 𝐸𝐼𝑦 = −12𝑥2 − 𝑥3 + 160𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = −12(4,33) 2 − (4,33)3 + 160 ∙ 4,33 𝒚𝒎á𝒙 = +𝟏, 𝟗𝟑𝟑 𝒎𝒎 ↑ 054 ESCOLA DE ENGENHARIA 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 160 𝐸𝐼𝜃𝐴 = −24(0) − 3(0) 2 + 160 𝜽𝑨 = +𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟖𝒓𝒂𝒅 𝐸𝐼𝜃𝐵 = −24(8) − 3(8) 2 + 160 𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝒓𝒂𝒅 055 ESCOLA DE ENGENHARIA TESTE SIMULADO Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.1 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba GABARITO 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha e a rotação na extremidade em balanço. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 4 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². Utilizando a tabela, tem-se: 𝛿𝐵 = − 𝑞𝐿4 30𝐸𝐼 = − 2 ∙ 34 30 ∙ 4 ∙ 105 = 1,35 ∙ 10−5 𝑚 = 0,0135𝑚𝑚 𝜃𝐵 = − 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 = − 2 ∙ 33 24 ∙ 4 ∙ 105 = 5,625 ∙ 10−6 𝑟𝑎𝑑 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação no apoio da esquerda. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dados: 𝐸𝐼 = 8 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². Deve-se utilizar a tabela da linha elástica para os três casos de carregamento observados: carga uniformemente distribuída ao longo do vão completo da viga, carga concentrada aplicada nomeio do vão e carga momento concentrada aplicada no apoio da esquerda. Desta forma: 𝑦 = 𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 + 𝑦𝑀 056 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝑦 = − 𝑞𝑥 24𝐸𝐼 (𝐿3 − 2𝐿𝑥2 + 𝑥3) − 𝑃𝑥 48𝐸𝐼 (3𝐿2 − 4𝑥2) − 𝑀𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (2𝐿2 − 3𝐿𝑥 + 𝑥2) 𝑦 = − 2𝑥 24𝐸𝐼 (103 − 2 ∙ 10 ∙ 𝑥2 + 𝑥3) − 12𝑥 48𝐸𝐼 (3 ∙ 102 − 4𝑥2) − 24𝑥 6 ∙ 10 ∙ 𝐸𝐼 (2 ∙ 102 − 3 ∙ 10 ∙ 𝑥 + 𝑥2) 𝑦 = 1 𝐸𝐼 (− 𝑥4 12 + 34𝑥3 15 + 12𝑥2 − 715𝑥 3 ) 𝑦′ = 1 𝐸𝐼 (− 𝑥3 3 + 34𝑥2 5 + 24𝑥 − 715 3 ) Para obter-se a posição da flecha máxima é necessário igualar a equação da inclinação a zero. 1 𝐸𝐼 (− 𝑥3 3 + 34𝑥2 5 + 24𝑥 − 715 3 ) = 0 Resolvendo a equação acima, obtém-se as seguintes raízes: 𝑥1 = 22,19 (Fora do domínio) 𝑥2 = −6,64 (Fora do domínio) 𝒙𝟑 = 𝟒, 𝟖𝟓 Desta forma: i) Flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 = 1 8 ∙ 105 ∙ (− 4,854 12 + 34 ∙ 4,853 15 + 12 ∙ 4,852 − 715 ∙ 4,85 3 ) 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟎, 𝟖𝟐𝟔𝟓 𝒎𝒎 ii) Rotação nos apoios. 𝑦′ = 𝜃𝐴 = 1 8 ∙ 105 ∙ (− 03 3 + 34 ∙ 02 5 + 24 ∙ 0 − 715 3 ) 𝜽𝑨 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟗𝟕𝟗 𝒓𝒂𝒅 057 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dados: 𝐸𝐼 = 5 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Cálculo das reações de apoio. ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 = 20 → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 8 + 𝑉𝐵 ∙ 4 − 12 ∙ 6 − 8 ∙ 2 = 0 2. Método da superposição. A reação vertical do apoio B pode ser considerada superabundante, tornando o problema hiperestático. Para resolver esse óbice, deve-se retirar o apoio intermediário a fim de se obter uma viga isostática auxiliar. Tal procedimento não pode ficar impune. Em contrapartida, para restabelecer as condições originais da estrutura, aplica-se uma carga P vertical e para cima ao nó B. Por fim, a seguinte equação de compatibilidade dos deslocamentos deve ser considerada: 𝛿1𝐵 + 𝛿2𝐵 + 𝛿3𝐵 = 0 [− 𝑞𝑥 24𝐿𝐸𝐼 (𝐿𝑥3 − 4𝑎𝐿𝑥2 + 2𝑎2𝑥2 + 4𝑎2𝐿2 − 4𝑎3𝐿 + 𝑎4)] + [− 𝑃𝑏𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2)] + 𝑉𝐵𝐿 3 48𝐸𝐼 = 0 [− 2 ∙ 4 24 ∙ 8 (8 ∙ 43 − 4 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 42 + 2 ∙ 42 ∙ 42 + 4 ∙ 42 ∙ 82 − 4 ∙ 43 ∙ 8 + 44)] + [− 12 ∙ 2 ∙ 4 6 ∙ 8 (82 − 22 − 42)] + 𝑉𝐵 ∙ 8 3 48 = 0 𝑽𝑩 = 𝟏𝟑, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 058 ESCOLA DE ENGENHARIA Substituindo o valor acima nas equações encontradas por meio do equilíbrio da estático, obtém- se as demais reações de apoio: 𝑽𝑨 = 𝟐, 𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑽𝑪 = 𝟒, 𝟑𝟕𝟓 𝒌𝑵 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 − 12 − 24 = 0 𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = −6𝑘𝑁 𝐸𝐼𝑦" = 12 − 6𝑥 𝐸𝐼𝑦′ = 12𝑥 − 3𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 6𝑥2 − 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = 6(0)2 − (0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = 6(6)2 − (6)3 + 𝐶1(6) 𝑪𝟏 = 𝟎 059 ESCOLA DE ENGENHARIA 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = 12𝑥 − 3𝑥2 = 0 𝑥 = 0 𝒙 = 𝟒𝒎 𝐸𝐼𝑦 = 6𝑥2 − 𝑥3 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = 6(4) 2 − (4)3 𝒚𝒎á𝒙 = +𝟎, 𝟏𝟔 𝒎𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = 12𝑥 − 3𝑥2 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 12(0) − 3(0) 2 𝜽𝑨 = 𝟎 𝐸𝐼𝜃𝐵 = 12(6) − 3(6) 2 𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟖𝒓𝒂𝒅 060 ESCOLA DE ENGENHARIA TESTE Disciplina de Resistência dos Materiais II Semestre 2013.2 Linha Elástica Prof. Fernando Peroba 01) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga isostática abaixo. Dado: �� = 1000 ��. ². Fazendo � = 6 e � = 12 , para uma carga � = 18��, tem-se como reações de apoio �� = 12�� e �� = 6��. Trecho I: � ≤ � ≤ � � = 12� ���" = 12� ����� = 6�� + !� ���� = 2�" + !�� + !� Trecho II: � ≤ � ≤ #$ � = −6� + 108 ���" = −6� + 108 ����� = −3�� + 108� + !" ���� = −�" + 54�� + !"� + !) Condiçõesde contorno. i) � = 0 e � = 0 ii) � = 18 e � = 0 iii) � = 6 e ��� = ��� iv) � = 6 e �� = �� Substituição das condições de contorno. i) �� ∙ +0, = 2 ∙ +0," + !� ∙ +0, + !� 061 ESCOLA DE ENGENHARIA -. = � ii) �� ∙ +0, = −+18," + 54 ∙ +18,� + !" ∙ +18, + !) 18!" + !) = −11664 iii) 6�� + !� = −3�� + 108� + !" 6 ∙ +6,� + !� = −3 ∙ +6,� + 108 ∙ +6, + !" !� − !" = 324 iv) 2�" + !�� = −�" + 54�� + !"� + !) 2 ∙ +6," + !� ∙ +6, = −+6," + 54 ∙ +6,� + !" ∙ +6, + !) 6+!� − !", = 216 + !) 6 ∙ 324 = 216 + !) -/ = �/$ 18!" + 648 = −11664 -0 = −�$/ !� − +−684, = 324 -# = −0�� Equações da linha elástica. Trecho I: � ≤ � ≤ � ����� = 6�� − 360 ���� = 2�" − 360� Trecho II: � ≤ � ≤ #$ ����� = −3�� + 108� − 684 ���� = −�" + 54�� − 684� + 648 Flecha máxima. �1á3 → �� = 0 062 ESCOLA DE ENGENHARIA i) Verificação da flecha máxima no primeiro trecho. 6�� − 360 = 0 � = 7,75 A posição desse máximo está fora do domínio do trecho. Portanto, a flecha máxima não ocorre no nele. i) Verificação da flecha máxima no segundo trecho. −3�� + 108� − 684 = 0 ÷ +−3, �� − 36� + 228 = 0 �� = $, .8 �� = 27,8 (Fora do domínio) Flecha máxima. O valor encontrado para �, que indica a posição da flecha máxima, deve ser substituído na segunda equação. ���� = −�" + 54�� − 684� + 648 1000�1á3 = −+8,2," + 54 ∙ +8,2,� − 684 ∙ +8,2, + 648 98á� = −#, $$8 Inclinação nos apoios. ����� = 6�� − 360 ��:� = 6+0,� − 360 ;< = −�, 0� rad ����� = −3�� + 108� − 684 ��:� = −3+18,� + 108+18, − 684 ;= = �, .$$ rad 02) uma viga engastada é carregada uniformemente por uma carga momento distribuída (momento fletor, não torque) de intensidade por unidade de comprimento ao longo do eixo x, conforme mostra a figura abaixo. A partir da equação diferencial da linha elástica, determine a deflexão e a rotação na extremidade em balanço da viga. 063 ESCOLA DE ENGENHARIA Neste caso é melhor seccionar a viga no trecho AB, olhando para a direita. A distribuição é de carga momento. Portanto, basta multiplicar o momento fletor dado pela distância correspondente e utilizar a convenção de momento fletor. Desta forma: � = − +> − �, Trecho I: � ≤ � ≤ ? ���" = − > + � ���� = − >� + ��2 + !� ��� = − > ��2 + �" 6 + !�� + !� Condições de contorno. i) � = 0 e � = 0 ii) � = 0 e :� = 0 Substituindo as condições de contorno, tem-se: !� = !� = 0 Na extremidade em balanço, tem-se �� = >. ���� = − >� + ��2 ��:� = − >+>, + +>, � 2 ;= = − 8? . .@A ��� = − > ��2 + �" 6 ���� = − > +>, � 2 + +>," 6 064 ESCOLA DE ENGENHARIA 9= = − 8? 0 0@A 03) Uma viga isostática simplesmente apoiada está submetida a uma carga parabolicamente distribuída de intensidade B, conforme mostra a figura a seguir. Determine a equação da linha elástica e calcule a deflexão máxima. ������� = − 4BC�> + 4BC��>� ������ = − 2BC��> + 4BC�"3>� + !� ����� = − 2BC�"3> + BC�)3>� + !�� + !� ���� = − BC�)6> + BC�D15>� + !� �� 2 + !�� + !" ��� = − BC�D30> + BC�E90>� + !� �" 3 + !� �� 2 + !"� + !) Condições de contorno. i) � = 0 e � = 0 ii) � = 0 e �′′ = 0 (Momento fletor nulo no apoio simples) iii) � = > e ��� = 0 (Momento fletor nulo no apoio simples) iv) � = > e � = 0 Substituindo, tem-se: i) ��+0, = − BC+0,D30> + BC+0,E90>� + !� +0," 3 + !� +0,� 2 + !"+0, + !) -/ = � 065 ESCOLA DE ENGENHARIA ii) ��+0, = − 2BC+0,"3> + BC+0,)3>� + !�+0, + !� -. = � iii) ��+0, = − 2BC+>,"3> + BC+>,)3>� + !�+>, -# = H�?0 iv) ��+0, = − BC+>,D30> + BC+>,E90>� + BC>3 +>," 3 + !"+>, -0 = − H�? 0 0� Portanto, a equação da linha elástica é dada por: � = − BC�90>��� +3>D − 5>"�� + 3>�) − �D, Pela simetria tanto de carga como geométrica, pode-se afirmar que flecha máxima ocorre no meio do vão. Desta forma, substituindo � = > 2I na equação da linha elástica, tem-se: �1á3 = − BC J >2K90>��� L3>D − 5>" M > 2N � + 3> M>2N ) − M>2N DO �1á3 = − BC>180>��� L3>D − 5>D 4 + 3>D 16 − >D 32O �1á3 = − BC180>�� L 96>D − 40>D + 6>D − >D 32 O 98á� = − �#H�? / PQ��@A 066 ESCOLA DE ENGENHARIA AVALIAÇÃO PARCIAL 1 Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.2 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba GABARITO/ 3161 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a rotação nos apoios. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = + 5𝑞𝐿4 384𝐸𝐼 = + 5 ∙ 96 ∙ 104 384 ∙ 1000 = −𝟏𝟐, 𝟓 𝒎 𝜃𝐴 = + 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 = + 96 ∙ 103 24 ∙ 1000 = +𝟒 𝒓𝒂𝒅 𝜃𝐵 = − 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 = − 96 ∙ 103 24 ∙ 1000 = −𝟒 𝒓𝒂𝒅 067 ESCOLA DE ENGENHARIA 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação na extremidade em balanço. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 i) Cálculo da flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 = − 𝑤𝐿𝐴𝐵 4 8𝐸𝐼 + 𝑚 ∙ (− 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 ) − 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 = − 24 ∙ 44 8 ∙ 1000 + 4 ∙ (− 24 ∙ 43 6 ∙ 1000 ) − 48 ∙ 83 3 ∙ 1000 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟗, 𝟗𝟖𝟒 𝒎 ii) Cálculo da rotação na extremidade em balanço. 𝜃𝐶 = − 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 − 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 𝜃𝐶 = − 24 ∙ 43 6 ∙ 1000 − 48 ∙ 82 2 ∙ 1000 𝜽𝑪 = −𝟏, 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒂𝒅 068 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². Deve-se retirar o apoio do meio e, em seu lugar, inserir uma reação superabundante, 𝑃 = 𝑉𝐵, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o deslocamento nulo referente ao apoio B (x = 6m). Desta forma, tem-se: 𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 + 𝑦𝑉 = 0 − 𝑞𝑎3 24𝐿𝐸𝐼 (4𝐿2 − 7𝑎𝐿 + 3𝑎2) − 𝑃𝑏𝑥 6𝐿𝐸𝐼 (𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2) + 𝑉𝐵𝐿 3 48𝐸𝐼 = 0 𝑉𝐵 ∙ 12 3 48 ∙ 1000 = 48 ∙ 63 24 ∙ 12 ∙ 1000 ∙ (4 ∙ 122 − 7 ∙ 6 ∙ 12 + 3 ∙ 62) + 192 ∙ 3 ∙ 6 6 ∙ 12 ∙ 1000 (122 − 32 − 62) 𝑽𝑩 = 𝟑𝟏𝟐𝒌𝑵 Cálculo das reações de apoio. → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 = 288 + 192 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 = 480 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 12 + 𝑉𝐵 ∙ 6 − 192 ∙ 9 − 288 ∙ 3 = 0 12𝑉𝐶 + 312 ∙ 6 − 2592 = 0 12𝑉𝐶 = 720 𝑽𝑪 = 𝟔𝟎𝒌𝑵 069 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝑉𝐴 + 312 + 60 = 480 𝑽𝑨 = 𝟏𝟎𝟖𝒌𝑵 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica (Método da dupla integração), determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 − 72 = 0 𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = −12 𝐸𝐼𝑦" = −12x 𝐸𝐼𝑦′ = −6𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = −2𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = −2(0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = −2(6)3 + 𝐶1(6) 𝑪𝟏 = 𝟕𝟐070 ESCOLA DE ENGENHARIA 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 𝐸𝐼𝑦′ = −6𝑥2 + 72 = 0 x = −3,46m (Fora do domínio) 𝐱 = 𝟑, 𝟒𝟔𝐦 𝐸𝐼𝑦 = −2𝑥3 + 72𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = −2 ∙ (3,46) 3 + 72(3,46) 𝒚𝒎á𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟔 𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = −6𝑥2 + 72 𝐸𝐼𝜃𝐴 = −6(0) 2 + 72 𝜽𝑨 = +𝟎, 𝟎𝟕𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝐸𝐼𝜃𝐵 = −6(6) 2 + 72 𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟏𝟒𝟒 𝒓𝒂𝒅 071 ESCOLA DE ENGENHARIA SIMULADO/GABARITO Disciplina: Resistência dos Materiais II Semestre 2014.2 Equação da Linha Elástica Prof. Fernando Peroba 2141/3162 01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha e a rotação máximas. Utilize a tabela de deslocamento transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = + 𝑀𝐿2 2𝐸𝐼 = + 20 ∙ 102 2 ∙ 1000 = +𝟏 𝒎 𝜃𝐵 = 𝑀𝐿 𝐸𝐼 = 20 ∙ 10 1000 = 𝟎, 𝟐 𝒓𝒂𝒅 072 ESCOLA DE ENGENHARIA 02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a inclinação na extremidade em balanço. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 i) Cálculo da flecha máxima. 𝑦𝑚á𝑥 = − 𝑤𝐿𝐴𝐵 4 8𝐸𝐼 + 𝑚 ∙ (− 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 ) − 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 = − 48 ∙ 54 8 ∙ 1000 + 5 ∙ (− 48 ∙ 53 6 ∙ 1000 ) − 6 ∙ 103 3 ∙ 1000 𝒚𝒎á𝒙 = −𝟏𝟎, 𝟕𝟓 𝒎 ii) Cálculo da rotação na extremidade em balanço. 𝜃𝐶 = − 𝑤𝐿𝐴𝐵 3 6𝐸𝐼 − 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 𝜃𝐶 = − 48 ∙ 53 6 ∙ 1000 − 6 ∙ 102 2 ∙ 1000 𝜽𝑪 = −𝟏, 𝟑 𝒓𝒂𝒅 073 ESCOLA DE ENGENHARIA 03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². Deve-se retirar o apoio da extremidade e, em seu lugar, inserir uma reação superabundante, 𝑃 = 𝑉𝐵, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o deslocamento nulo referente ao apoio. Desta forma, tem-se: 𝑦𝑞 + 𝑦𝑀 + 𝑦𝑃 = 0 − 𝑤𝐿4 8𝐸𝐼 − 𝑀𝐿2 2𝐸𝐼 + 𝑉𝐵𝐿 3 3𝐸𝐼 = 0 − 8 ∙ 104 8 ∙ 1000 − 40 ∙ 102 2 ∙ 1000 + 𝑉𝐵 ∙ 10 3 3 ∙ 1000 = 0 𝑽𝑩 = 𝟑𝟔𝒌𝑵 Cálculo das reações de apoio. → ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎 ↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 80 𝑉𝐴 + 36 = 80 𝑽𝑨 = 𝟒𝟒 𝒌𝑵 ↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐵 ∙ 10 + 𝓂𝐴 − 80 ∙ 5 − 40 = 0 𝓶𝑨 = 𝟖𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 074 ESCOLA DE ENGENHARIA 04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica (Método da dupla integração), determine o valor da flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado: 𝐸𝐼 = 1000 𝑘𝑁. 𝑚². BOA PROVA!! 1. Equação diferencial. 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 6 ∙ 𝑉𝐵 − 28 + 100 = 0 𝑉𝐵 = −12 𝑘𝑁 𝑉𝐴 = 12 𝑘𝑁 𝐸𝐼𝑦" = 12𝑥 − 100 𝐸𝐼𝑦′ = 6𝑥2 − 100𝑥 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 2𝑥3 − 50𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 2. Condições de contorno. i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 ii) 𝑥 = 6 e 𝑦 = 0 3. Cálculo das constantes de integração. 𝐸𝐼(0) = 2 ∙ (0)3 − 50 ∙ (0)2 + 𝐶1(0) + 𝐶2 𝑪𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼(0) = 2 ∙ (6)3 − 50 ∙ (6)2 + 𝐶1(6) 𝑪𝟏 = 𝟐𝟐𝟖 4. Flecha máxima. A flecha é máxima onde a inclinação é nula. 075 ESCOLA DE ENGENHARIA 𝐸𝐼𝑦′ = 6𝑥2 − 100𝑥 + 228 = 0 𝐱 = 𝟐, 𝟕𝟑𝐦 𝐱 = 𝟏𝟑, 𝟗𝟒𝐦 (Fora do Domínio) 𝐸𝐼𝑦 = 2𝑥3 − 50𝑥2 + 228𝑥 𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = 2 ∙ (2,73) 3 − 50(2,73)2 + 228(2,73) 𝒚𝒎á𝒙 = +𝟎, 𝟐𝟗 𝒎𝒎 ↑ 5. Rotações nos apoios. 𝐸𝐼𝑦′ = 6𝑥2 − 100𝑥 + 228 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 6(0) 2 − 100(0) + 228 𝜽𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝐸𝐼𝜃𝐵 = 6(6) 2 − 100(6) + 228 𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟏𝟓𝟔 𝒓𝒂𝒅 076
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