Notas de aula sobre separação sólido-fluído

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2o Semestre de 2004 1
EQ651 – Operações Unitárias I
Capítulo II – Dinâmica de Sistemas Sólido-Fluido
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2o Semestre de 2004 2
Dinâmica da Partícula Sólida
A 2o lei de Newton estabelece que o que atuam em um
sistema é igual a taxa de mudança de momentum linear do
sistema.
F


ou vm.P onde ,
dt
Pd
F




Para uma partícula de massa m, que atuam na partícula é a 
taxa de mudança de momentum linear da partícula ( quantidade 
de movimento da partícula).
F



dt
vd
mF


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2o Semestre de 2004 3
Para uma partícula caindo em um fluido,
dp

eF

kF

pF

s
kep FFF
dt
vd
m


kFg.V.ρg.m
dt
vd
m



ou ks Fg.V.ρg.V.ρdt
vd
m



  ks Fg.Vρρ
dt
vd
m



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2o Semestre de 2004 4
?Fk 

v

u

u
 velocidade do fluido
velocidade da partícula
v

Força de atrito está relacionada à velocidade 
relativa ( )
vu


Define-se o coeficiente de arraste: CD
 vuvuρ
2
1
A/F
C KD 

  vuvu.C.A.ρ
2
1
F DK


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2o Semestre de 2004 5
onde:
A – área da partícula projetada na direção do escoamento
Esfera : 
4
d
A
2
p

CD é função do fluido (,m) e da partícula (s,dp e forma)
CD=f(Rep, forma) onde: 
m


vud
Re
p
p

Caso particular da equação do movimento: 0
dt
vd
m 

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2o Semestre de 2004 6
ou 0
dt
vd


Escoamento da partícula sem aceleração
0F 
 Movimento uniforme
Velocidade Terminal: velocidade atingida pela partícula em 
condições de equilíbrio de forças ( ) em um fluido em repouso.
0F 

0u e vv t 

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2o Semestre de 2004 7
  2tDs vAC
2
1
Vg0 Equação do movimento
tv
 
D
st
AC
gV2v


Parâmetro importante no projeto de 
equipamento de separação
* Partindo do repouso, há um período de aceleração da partícula 
de velocidade terminal uniforme.
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2o Semestre de 2004 8
Estimativa de CD
CASO 1: Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido 
em repouso (também chamado Regime de Stokes)
0 < Rep < 1
m


tp
p
vd
Reonde
tpK vd3F m
(solução analítica para escoamento
Lento de Stokes, em 1901)
2
tDtpK vAC
2
1
vd3F m
2
t
2
p
tp
D
vd2/1
4vd3
C

m

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2o Semestre de 2004 9
tp
D
vd
24C

m

p
D
Re
24
C 
Substituindo na expressão de vt
   
2/1
ts
2
p
2/1
tp
2
p
s
3
p
t
18
gvd
vd
24
4
d
g
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2
v








m

















m




 
m


18
gd
v
s
2
p
t
Expressão de vt para o Regime 
de Stokes
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2o Semestre de 2004 10
CASO 2: Região Intermediária: 1<Rep<500
Allen: 
6,0
p
D
Re
5,18
C 
3/1
p
p
D Re4
Re
24
C

Klyachko: para 3 < Rep < 400
Langmuir e Blodgett:  39,1p63,0p
p
D Re0026,0Re197,01
Re
24
C 
1<Rep<100
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2o Semestre de 2004 11
CASO 3: Regime de Newton: 500 < Rep< 2 10
5
cteCD 
CD=0,44
 
2/1
sp
t
gd3
v











CASO 4: Turbulento Rep> 2 10
5
CD=0,20
 
2/1
sp
t
gd
58,2v











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2o Semestre de 2004 12
Rep
CD
Stokes
Interm.
Newton
esfera
turbulento
1 500 2.105
24/Rep
0,44
0,20
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2o Semestre de 2004 13
Rep
CD
1 500 2.105
F=1 (esfera)
F’s diferentes
Perry - 5a. Edição – Tabela 5-22: f para diferentes materiais
Foust - p. 539 : CD x Rep (f’s)
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2o Semestre de 2004 14
Resolução de problemas
1. Dados dp, s, , m, e calcular vt
Utilizando novos grupos adimensionais
Temos que:
   
D
2
p
s
3
p
D
s
t
C
4
d
g
6
d
2
AC
gV2
v

















 




 
2
t
ps
D
v
gd
3
4
C


 e
m


tp
p
vd
Re
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2o Semestre de 2004 15
Novo grupo adimensional: 2
p
D Re
2
C
   
2
s
3
p
2
2
p
2
t
2
2
t
ps2
p
D
gd
 
3
2dv
 
v
gd
6
4
Re
2
C
m


m




(não contém vt)
F=1
F=0,8
leio Rep  vt
Rep
2
p
D Re
2
C
Coulson e Richardson,
vol II ou 
problemas em Sistemas Particu-
lados, G. Massarani COPPE/UFRJ
Tentativa ou pelo Método do Foust
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2o Semestre de 2004 16
2. Dados vt,, s, , m, e calcular dp
Grupo Adimensional:  
3
t
2
s
p
D
v
g
 
3
2
Re
2/C

m
(não contém dp)
leio Rep  dp
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2o Semestre de 2004 17
Método do Foust
1. Calcular vt
 
2
t
ps
D
v
gd
3
4
C



 
t
ps
D vlog2
gd
3
4
logClog 








m


tp
p
vd
Re t
p
p vlog
d
logRelog 





m


ou,






m


p
pt
d
logRelogvlog
(1)
(2)
Substituindo (2) em (1)
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2o Semestre de 2004 18
 








m


2
s
3
p
pD
gd
3
4
logRelog2Clog
CD*
Reta de coeficiente angular(-2) e que passa pelo ponto:
Rep=1,0, 
 
2
s
3
p*
D
gd
3
4
C
m

 em papel log-log
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2o Semestre de 2004 19
Juntando essa reta com o gráfico CDxRep para a esfericidade, 
obtém-se Rep e, portanto, vt
CD
Rep
CD*
1,0 leio Rp vt
coefc. angular -2
F
(*relação de 1x para 2y)
2
1
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2o Semestre de 2004 20
2. Calcular dp
Da equação de CD
 
p2
t
s
D dlog
v
g
3
4
logClog 

















m

 tpp
v
logRelogdlog
(1)
(2)
Subst. (2) em (1):
 







m

3
t
2
s
pD
v
g
3
4
logRelogClog
CD*
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2o Semestre de 2004 21
Reta de coefc. Angular (1) e que passa pelo ponto Rep=1,0 e 
 
3
t
2
s*
D v
g
3
4
C

m

CD
Rep
CD*
1,0 leio Rep  dp
coefc. angular 1
F
(*relação de 1x para 1y)
1
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2o Semestre de 2004 22
vt
dp
ar s
s
H2O
Perry- pág. 5-65, 5a. Ed. , Gráfico vt x dp para esferas com diferentes
s caindo em água e ar a 20
o.C
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2o Semestre de 2004 23
Exemplos
1. Dada uma partícula de areia de 700 mm de diâmetro, esfericidade 
de 0,8 e massa específica 2,65 g/cm3. Obter sua vt caindo em água.
Método de Foust: dado dp, calcular vt
2. Calcular o diâmetro de uma partícula de galena(PbS) que possui 
densidade igual a 7,5 e que cai em água com velocidade terminal 
igual a 4 cm/s.
Método de Foust: dado vt, calcular dp
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2o Semestre de 2004 24
Partícula escoando entre 2 placas paralelas
Comportamento de um partícula em um fluido escoando 
entre duas placas planas
u

x
y
vx
vy
v

   vuvuACρ
2
1
gVρρ
dt
vd
m Ds



Simplificações: - fluido escoa apenas na direção x (uy=0)
- não há aceleração da partícula
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o
ch
a
2o Semestre de 2004 25
Direção x:
0
dt
vd
m x  gx=0
  0vuvuAC
2
1
xxxxD 
ux=vx
a velocidade da partícula é igual à velocidade do fluido
Direção y: a velocidade da partícula é igual à sua velocidade terminal
uy=0
   2yDs vAC
2
1
Vg0 
0
dt
vd
m
y

 
D
s
y
AC
gV2
v



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a
2o Semestre de 2004 26
Equipamento de Separação Gás-Sólido e Líquido-
Sólido
Partículas grandes, com vt >1ft/s se separam facilmente de um
fluido, enquanto que as partículas finas tendem a seguir o
mesmo percurso do fluido tornando a separação difícil.
Porque separar partícula-fluido?
 Para evitar o desperdício de materiais de valor
 Para manter a atmosfera ao redor da fábrica e/ou a água (líquido)
descartada limpos
 Para eliminar riscos de explosão, pois alguns materiais finos(pós)
formam misturas explosivas com o ar, em determinadas concentrações
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2o Semestre de 2004 28
Câmara de Poeira
H
B
L
partícula
+ gás
x
y
u
coletor
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2o Semestre de 2004 29
Velocidade Média do Fluido x)direção(
A
Q
u 
Qual o diâmetro da menor partícula que fica retida na câmara?
câmara pela passagem de temporesidência de potem 
Tempo de queda depende de vt
Se tres.> tqueda partícula fica retida
Se tqueda>t res. partícula passa com o gás
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a
2o Semestre de 2004 30
t
queda.res
v
H
t e 
u
L
t 
Condição mais desfavorável para a separação:
tv
H
 
u
L

L
uH
v t 
Como:  
D
s
t
AC
gV2
v



 
D
s
AC
gV2
L
uH


Então:
Expressão geral para a 
Câmara de Poeira
E
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2o Semestre de 2004 31
Para partícula esférica e Regime de
Stokes
0<Rep<1
 
m


18
gd
v
s
2
p
t e
Mas 
BH
Q
A
Q
u 
  Q
LBH
gd
H18
s
2
p


m
  u
L
gd
H18
s
2
p


m
Volume da 
câmara V
tv
H
 
u
L

E
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2o Semestre de 2004 32
 
2/1
s
p
g
HQ18
d 






m

V
Menor partícula retida 
na câmara
O mesmo pode ser feito para os outros regimes. Entretanto, para a
faixa de tamanhos de partículas utilizadas e u em câmara de poeira, 
o Regime é geralmente de Stokes.
Dados práticos: separação para dp>50mm e u<10 ft/s.
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a
2o Semestre de 2004 33
Exemplo
1 ft
10 ft
3ft
3ft
3ft
O separador de poeira esquematizado opera com 3 compartimentos. 
Determinar a faixa de diâmetro das partículas retidas em cada 
compartimento. Considere Qar=500ft
3/min (1atm, 20ºC), s=3g/cm
3
e esfericidade igual 1.
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2o Semestre de 2004 34
Elutriador (Classificador Hidráulico)
alimentação
Sólidos de
vários tamanhos
e/ou materiais
água
(Q)
Partículas finas e leves
Partículas intermediáriasPartículas grandes 
e pesadas
D1 D2>D1
Partículas com vt >vágua caem e são recolhidas por baixo. O líquido(normalmente água)
escoa para cima e a alimentação de sólidos a separar é alimentada por cima.
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2o Semestre de 2004 35
Exemplo
Uma mistura de galena(PbS) e calcáreo, na proporção de 1:4 em peso
é submetida à elutriação com uma corrente ascendente de água com
velocidade 0,5 cm /s. A distribuição de tamanhos nos materiais é
a mesma.
dp(mm)
%peso <dp
20 30 40 50 60 70 80 100
15 28 48 54 64 72 78 100
Calcular a % de galena no material arrastado e no produto de fundo.
Dados: G=7,5 g/cm
3
C= 2,7 g/cm
3
H2O= 1g/cm
3
fG=0,8
fC=0,7
mH2O= 1 cp
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2o Semestre de 2004 36
Partícula em um Meio Fluido Sujeita a um 
Campo Centrífugo
Equação do Movimento: coordenadas cilíndricas, componentes
tangencial e radial
Fluido e partículas
R
r
Carcaça sólida

Força de campo centrífugo na 
direção radial
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a
2o Semestre de 2004 37
Considerações: 
• para o fluido: ur=0 (velocidade radial nula)
ru 
(velocidade tangencial com perfil linear
em r=R ; 
Ru 
• para a partícula: vr e v existem e 0
dt
dv
dt
dvr  
Força de campo centrífugo  2cc rmmaF 
dt
dv
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a
2o Semestre de 2004 38
Componente radial
   rrrrDcs
r vuvuAC
2
1
Va
dt
dv
m 
0 0
2r
(1)
  2rD
2
s vAC
2
1
rV0  (2)
 
D
2
s
r
AC
rV2
v



Velocidade teminal 
radial da partícula
vr=vr (r), pois a intensidade do campo é função de r
(3)
0
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a
2o Semestre de 2004 39
Componente tangencial
 2D vuAC
2
1
dt
dv
m 
 
(4)  2D vuAC
2
1
dt
dv
m 
 
(4)
rvu  
(5)
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2o Semestre de 2004 47
Equação Geral para a Sedimentação Centrífuga
Centrífuga Tubular
Alimentação (suspensão sólido-líquido)
Descarga
de líquido
Trajetória de 
uma partícula
Fluxo da alimentação
r1
rB
r2
L
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a
2o Semestre de 2004 48
A alimentação é descartada no fundo da centrífuga e supõe-se que
todo líquido tem movimento asdendente uniforme, carregando
consigo as partículas, as quais se movem radialmente com
velocidade radial terminal vr.
Uma partícula de um determinado tamanho será separada do líquido
se o tempo de residência for suficiente para a partícula atingir a
parede da centrífuga. Ao fim do tempo de residência, a partícula está
a uma distância rB do eixo de rotação.
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a
2o Semestre de 2004 49
Se rB< r2 : partícula sai com o fluido
Se rB = r2 : partícula fica sedimentada na parede e não deixa a 
centrífuga com o fluido
Vamos admitir inicialmente sedimentação no regime de Stokes: 
por analogia a expressão de vt, com “g” substituido por r
2
 
dt
dr
18
rd
v
22
ps
r 
m

 ou
  r
dr
d
18
dt
22
ps


m

E
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. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 50
Integração, entre r = r1 para t=0 e r = r2 para t
   
m

2
1
r
r
22
ps
t
0 r
dr
d
18
dt ou
  1
2
22
ps
r
r
ln
d
18
t

m

Tempo que uma partícula de 
diâmetro dp leva para ir de r1 a r2
O tempo de residência na centrífuga será : 
Q
t r
V

onde V= volume da centrífuga = L(r2
2-r1
2)
Q = a vazão da alimentação
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d
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 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 51
Para tr = t 
  Qr
r
ln
d
18
1
2
22
ps
V







m
  V
Q
r
r
ln
18
d
1
2
2
s
2
p 






m

  )rπL(r
Q
r
r
ln
18
d
2
1
2
21
2
2
s
p








m

Partículas com dp > que o calculado pela equação anterior serão 
separados
Regime de Newton  
 V


s
2
2
12
p
Qrr33,1
d
E
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ch
a
2o Semestre de 2004 52
Diâmetro Crítico ou Diâmetro de Corte
É definido como o diâmetro de uma partícula que alcança a metade
da distância entre r1 e r2.
Esta partícula percorre uma distância da metade da camada líquida
ou (r2-r1)/2, durante o tempo que ela permanece na centrífuga.
Para o caso especial, em que a espessura da camada líquida é
pequena comparada ao raio da centrífuga, pode-se considerar
praticamente constante a intensidade do campo centrífugo, ou
2
22 rr 
 
m


18
rd
dt
dr
v
2
22
ps
r
 
dt
18
rd
dr
2
22
ps
m


E
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a
2o Semestre de 2004 53
Seja dr a distância percorrida pela partícula de diâmetro dpc
no tempo t disponível
Q
t
V

   
 m


 t
0
2
22
pcs
2/rr
0
dt
18
rd
dr
12
   
Q18
rd
2
rr 2
22
pcs12 V
m



 
  2
2
s
122
pc
r
Q
2
rr18
d


m

V
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2o Semestre de 2004 54
 
  2
2
s
12
pc
r
rrQ9
d

m

V
Equação simplificada
Quando dp>dpc, a partícula irá sedimentar predominantemente. 
Para dp=dpc, a eficiência de coleta é 50%.
h
dp/dpc
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2o Semestre de 2004 61
Figura 1. Padrão de fluxo do gás no interior de um 
ciclone
Mistura gás-partículas entra 
tangencialmente
Movimento centrífugo
Partículas se aproximam da parede e caem 
Ciclones
aceleração gravitacional
Movimento helicoidal
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a
2o Semestre de 2004 62
Ciclones
Figura 2. Dimensões de um ciclone
A eficiência de coleta depende do tipo de
partícula e das dimensões do ciclone
Restrições:
a < S  evitar a passagem direta das 
partículas
S < h  evitar que o vortex penetre na 
parte cônica e partículas 
depositadas não subam e saiam
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a
2o Semestre de 2004 63
Ciclones
a = Dc/2 S = Dc/1,6 h = 2Dc B = Dc/4
b = Dc/4 De = Dc/2 H = 4Dc
Ciclone Lapple: Dc  dimensão base
Outras configurações também utilizadas  geram eficiência 
de coleta e perda de carga diferente. 
Ciclone Stairman (Bastante popular)
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2o Semestre de 2004 64
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 P
ro
fa
. 
K
a
ti
a
 T
a
n
n
o
u
s 
e
 S
a
n
d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 65
Por analogia à expressão para a centrífuga chega-se ao dpc de ciclones
Expressão para centrífuga
Por analogia:
Espessura da suspensão: (r2 – r1) Espessura da mistura gás partícula: b
Velocidade do fluido: r2 u = Q/ab
Velocidade de rotação:  Tempo de residência:
 
 
 
  





)r(Vρρ
rrQμ9
rVρρ
rrQμ9
dp
2s
12
2
2
s
12
c
QV
Nπ2 e
Ne  número efetivo de voltas Para ciclones Lapple, Ne  5
Diâmetro de corte, dpc
E
Q
6
5
1
 -
M
a
te
ri
a
l 
E
la
b
o
ra
d
o
 p
e
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. 
K
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u
s 
e
 S
a
n
d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 66
Substituindo as analogias propostas,
  QNπ2Vuρρ
V Qbμ9
dp
es
c


  es
c
Nπ2uρρ
bμ9
dp


Diâmetro de corte, dpc
E
Q
6
5
1
 -
M
a
te
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a
l 
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 S
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n
d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 67
Ciclones
Para ciclones Lapple – Gráfico h x dp / dpc
Xerox Perry – p. 20-85
Foust – p. 547
E
Q
6
5
1
 -
M
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s 
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 S
a
n
d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 68
Dados de Eficiência de Coleta
Como em geral a mistura gás-partícula que entra no ciclone
contém partículas de tamanhos diferentes, podemos calcular a
eficiência de coleta para cada tamanho de partícula
E
Q
6
5
1
 -
M
a
te
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a
l 
E
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 S
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d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 69
Ciclones
A eficiência média ou eficiência global de coleta depende da
análise granulométrica da mistura alimentada
η
Eficiência média ou global
Para obter a eficiência média, monta-se a seguinte tabela:
Análise granulométrica Calculado Gráfico ou 
tabela
X*: % de partículas com diâmetro > dp
E
Q
6
5
1
 -
M
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n
d
ra
 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 70
Ciclones
Eficiência global de coleta
Quando as áreas 1 e 2 são 
iguais ou:
*
1
0
dX ηη 
Ou ainda:
i
i
iηxη  xi: fração retida % peso partículas com 
diâmetro >dp)
E
Q
6
5
1
 -
M
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 S
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 C
.S
. 
R
o
ch
a
2o Semestre de 2004 71
Velocidades de entrada  u entre 20 e 70 ft/s
Perda de carga normalmente permitida: até 10 in H2O
- Cálculo de hL ciclone é considerado um acidente:
g2
u
Nh
2
HL 
- Em coluna d’água:









O2H
2
HL
ρ
ρ
g2
u
Nh
NH é função da geometria do ciclone. Para ciclone Lapple, NH = 8,0
- Faixa usual de separação: 5 a 1000 mm
Dados práticos para o cálculo de ciclones
E
Q
6
5
1
 -
M
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 S
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n
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 C
.S
. 
R
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ch
a
2o Semestre de 2004 72
Ciclones Lapple, NIIGAS-11 e CBV-DEMCO
E
Q
6
5
1
 -
M
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te
ri
a
l 
E
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b
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 S
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ra
 C
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R
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ch
a
2o Semestre de
2004 73
Exemplo
Deseja-se projetar um ciclone Lapple para manipular 2100 ft3/min de
ar a 300 oC, contendo partículas em suspensão. O ciclone deve operar
com uma perda de carga de 3 in H2O. Estimar a eficiência de coleta e
fornecer as dimensões do ciclone. A densidade do sólido é 2,6 e a
granulometria é:
mar (300
oC)=0,029 cp
 ar (300
oC)=6,14.10-4 g/cm3