Caracterizacao_de_Particulas_Solidas_2015

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE 
Operações Unitárias A 
 
 
 
 
 
 
Maior meteorito (num único fragmento) encontrado no mundo (Namíbia); 
com 60 toneladas de ferro 
 
 
 
CARACTERIZAÇÃO E DINÂMICA DA 
PARTÍCULA 
 
 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
 
 
 
Toledo – PR 
2015 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA 01 
1.1 Características das Partículas 03 
1.2 Análise Granulométrica 11 
1.3 Distribuição de Tamanhos 13 
1.4 Pipeta de Andreasen 16 
 
2. DINÂMICA DA PARTÍCULA 17 
2.1 Efeito da Presença de Fronteiras Rígidas 20 
2.2 Influência da Concentração de Partículas 21 
2.3 Comprimento da Região de Aceleração 23 
2.4 Reômetro de Stokes para Fluidos Não-Newtonianos 24 
 
Bibliografia 26 
Prof. Dr. GIULIO MASSARANI – Um Breve Histórico 27 
Lista de Exercícios 28 
ANEXOS 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer 
outro talento.”(Isaac Newton) 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
O primeiro semestre da disciplina de Operações Unitárias A 
contemplou as seguintes operações industriais: o transporte de líquidos e 
gases, a compressão de gases, mistura e agitação e trocas de calor. 
Já neste segundo semestre da disciplina de Operações Unitárias A 
serão abordados temas como: leitos fixos e expandidos, engenharia de 
separação e fragmentação e transporte de sólidos. Todos esses conteúdos 
dizem respeito aos SISTEMAS PARTICULADOS, sistemas onde as 
partículas se fazem presentes. Alguns exemplos de sistemas particulados 
são as torres de absorção, os leitos fluidizados, os transportadores 
pneumáticos e hidráulicos, os decantadores, as centrífugas, os ciclones, 
entre tantos outros. A fim de dimensionar os mais diferentes sistemas 
particulados torna-se imprescindível o conhecimento da dinâmica das 
partículas visando um dimensionamento correto e otimizado. A dinâmica 
das partículas é afetada, entre outros fatores, pelas propriedades físicas das 
partículas tornando assim indispensável caracterizá-las. 
Sendo assim, a introdução aos Sistemas Particulados trata da 
caracterização das partículas (Capítulo 1) e, em seguida, do estudo da 
dinâmica das partículas (Capítulo 2). Destacam-se no Capítulo 1 o tamanho 
e a forma da partícula e as distribuições granulométricas. No Capítulo 2 
destacam-se a velocidade terminal da partícula isolada, as influências sobre 
a velocidade terminal e o método de cálculo da velocidade terminal. 
Ao final da apostila encontra-se um breve histórico de um dos 
pesquisadores mais importantes da área de Sistemas Particulados do Brasil, 
o professor GIULIO MASSARANI. O conteúdo de Sistemas Particulados 
desta disciplina vem sendo fundamentado, em sua maior parte, na obra do 
professor Massarani, em consonância com os cursos de graduação e pós-
graduação que reconhecem sua importantíssima contribuição aos estudos 
na área. 
Também estão presentes nesta apostila diversos exercícios propostos 
na literatura referentes à caracterização e à dinâmica da partícula. 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 1 
1. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA 
 
Caracterizar uma partícula significa dar suas características como forma, tamanho, 
massa específica, área superficial, porosidade, entre outras. 
A caracterização da partícula ou de um conjunto de partículas é algo de extrema 
importância nas operações unitárias, pois conhecendo-se a partícula (ou o conjunto de 
partículas) é possível dimensionar e operar equipamentos mais próximo ao ideal, o que 
acarreta em menores custos no processo. 
Quanto ao tamanho as partículas podem ser classificadas em: 
- pós (partículas de 1m a 0,5mm) 
- sólidos granulares (de 0,5mm a 10mm) 
- blocos pequenos (1 a 5cm) 
- blocos médios (5 a 15cm) 
- blocos grandes (maiores do que 15cm) 
 
O tamanho da partícula pode ser obtido por diversos meios: análise de imagens, 
difração de luz, por picnometria, por peneiramento, decantação, elutriação ou 
centrifugação. 
A picnometria consiste basicamente em se colocar N partículas (com tamanhos 
próximos) em um picnômetro. Conhecendo-se o volume total do picnômetro, completa-
se o picnômetro com um líquido cuja massa específica seja conhecida. Sabendo a 
diferença de massa entre o picnômetro com as partículas e o líquido e o picnômetro 
apenas com as partículas, determina-se a massa de líquido utilizada e por conseguinte, o 
volume utilizado de líquido. Conhecendo-se o volume total do picnômetro determina-se 
o volume ocupado pelas N partículas e assim, o volume ocupado por cada partícula. 
Assumindo que as partículas sejam esféricas, determina-se então o diâmetro equivalente 
da partícula (dP). 
O peneiramento 
consiste em fazer a 
partícula passar através de 
malhas progressivamente 
menores, até que ela fique 
retida. O tamanho da 
partícula estará 
compreendido entre a 
medida da malha que a 
reteve e a da imediatamente 
anterior. A média 
aritmética das aberturas 
destas malhas servirá para 
caracterizar o tamanho da 
partícula. 
A decantação e a elutriação são métodos indiretos que se baseiam na medida da 
velocidade de decantação da partícula num fluido. Conhecendo-se a relação entre a 
velocidade da partícula e o seu tamanho será então determinado o tamanho da partícula. 
O método de centrifugação, também indireto, obedece ao mesmo princípio da 
decantação, porém a força gravitacional é substituída por uma força centrífuga cujo 
valor pode ser bastante grande. É útil principalmente quando as partículas são muito 
pequenas, sendo por isso de decantação natural muito lenta. 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 2 
A difração a laser se destaca entre as técnicas destinadas à obtenção de diâmetros 
médios de partículas inferiores a 75m. Utiliza-se, nesta técnica, o volume como 
referência de representação da distribuição de tamanho de tamanho de partículas. Nos 
instrumentos que se utilizam do princípio da difração da luz (Mastersizer por exemplo), 
um feixe de laser é enviado em direção à amostra a ser analisada. Quando o feixe 
colimado encontra as partículas, parte do laser é difratado e, em sequência, focado, por 
meio de lentes, no detector como apresenta a figura a seguir. O diâmetro das partículas é 
inversamente proporcional ao ângulo do desvio sofrido pelo raio laser, quanto menor o 
tamanho da partícula, maior será o ângulo de difração. 
 
 
 
A técnica da análise de imagens refere-se à análise computacional de imagens 
digitalizadas, de modo a ser o número de (imagens) de partículas a base de 
representação da distribuição de tamanho de partículas. Nesta técnica existe a aquisição 
da imagem, que diz respeito ao processo no qual a imagem real da amostra é 
transformada em uma matriz numérica que é processada pelo computador. Cada ponto 
de imagem ou elemento de imagem é chamado de “pixel”, podendo ser definido como a 
menor unidade de resolução, sendo usualmente quadrado e possuindo um valor 
numérico que representa o brilho e as cores da imagem. Ao conseguir a imagem 
digitalizada é possível obter medições relativas ao diâmetro, normalmente conhecidos 
como diâmetros de Feret, que são as distâncias entre duas tangentes em lados opostos 
da feição em direções fixas como apresenta a figura a seguir. 
 
 
Ao se comparar (b) com (c) igualando Fmáx a dPI e Fmín a dPII é possível determinar 
a esfericidade por: 
PI
PII
d
d

 (1.1) 
e o diâmetro equivalente por: 
P
P
P
.S
6.V
d


 (1.2) 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 3 
sendo que VP e SP podem ser obtidos a partir de uma aproximação geométrica. 
Considerando por exemplo que a partícula em estudo seja um grãode arroz; pode-se 
aproximar a forma do grão à de um elipsóide e utilizar as fórmulas de volume e de área 
superficial do elipsóide na equação anterior para a obtenção do diâmetro equivalente. 
 
 
1.1 Características das Partículas 
 
Seja D o tamanho característico da partícula, obtido por qualquer um dos métodos 
anteriores. Esta dimensão será o diâmetro, mesmo que a partícula não seja esférica. As 
características importantes do material poderão ser calculadas como segue: 
 
Superfície externa da partícula (SP) 
 
2
P B.DS  (1.3) 
 
O valor do parâmetro B depende da forma da partícula. Para cubos é igual a 6 e 
para esferas vale . 
 
Volume da Partícula (VP) 
 
3
P C.DV  (1.4) 
 
O parâmetro C também depende da forma, sendo igual a 1 para partículas cúbicas 
e /6 para partículas esféricas. 
 
Fator de forma () e fator de forma de Leva (L) 
 
C
B
 (1.5) 
 
3/22/3
P
P
L
C
B
25,0
V
S
25,0  (1.6) 
 
O fator de forma é igual a 6 para cubos e esferas, sendo maior para partículas 
irregulares. Muitos produtos de operações de moagem têm fator de forma igual a 10,5. 
Para materiais pulverizados varia de 7 a 8 e, para partículas laminares de mica, é igual a 
55. 
O fator de forma de Leva é utilizado para calcular a perda de carga de fluidos 
através de leitos sólidos porosos ou fluidizados. 
 
Número de partículas da amostra (N) 
 
Sendo m a massa da amostra e  a massa específica do sólido, o número de 
partículas será: 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 4 
.C.D
m
N
3
 (1.7) 
 
Superfície externa total (ST) 
 


 D.
m.
B.D
.C.D
m
N.SS 2
3PT
 (1.8) 
 
 
Superfície específica (Sw) 
 
A superfície específica ou área específica é definida como a área superficial da 
partícula por unidade de massa (ou por unidade volume). 
 


D.m
S
S TW  (1.9) 
 
O conhecimento da superfície específica é muito importante para os estudos dos 
fenômenos de transferência de calor e massa. Existem diferentes métodos para a 
determinação do valor da superfície específica. A primeira é aquela que advém de 
cálculos dos valores do diâmetro da partícula ou da distribuição de diâmetros de 
partículas em um aglomerado, dada por: 
 
SP
W
.D.
6
S


 (1.10) 
a qual será detalhada mais adiante. 
A segunda técnica, por meio da adsorção gasosa ou líquida, baseia-se na 
quantidade em que um determinado soluto (espécie química) é adsorvido fisicamente 
sobre a superfície da amostra, de modo a formar uma monocamada desse soluto, que é 
proporcional à sua área superficial. A quantidade de gás adsorvido (nitrogênio ou 
criptônio, por exemplo) pode ser determinada por gravimetria, volumetria ou por 
técnica de fluxo contínuo. 
 
 
Diâmetro equivalente (dP) 
 
É o diâmetro da esfera com volume igual ao volume da partícula. 
 
3/1
P
P
6.V
d 






 (1.11) 
Diâmetro de peneira (d#) 
 
É a média aritmética entre a medida da malha que reteve a partícula e a da malha 
imediatamente anterior. 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 5 
Diâmetro de Stokes (dSt) 
 
É o diâmetro definido relativo ao escoamento laminar de uma esfera em ReD<0,1 a 
partir de um balanço de forças no instante em que a força resultante é nula. Sabendo-se 
então que o peso da partícula deve ser igual à soma do empuxo com a força de 
resistência, tem-se: 
.g.VP PS (1.12) 
.g.VE P (1.13) 
tSt
2
tD
d .vd...3
2
.A.v.C
F 

 (1.14) 
D
D
Re
24
C  (para ReD<0,1) (1.15) 
 

.d.v
ReD  (1.16) 
 
dFEP  (1.17) 
 
)g(
.v18.
d
S
t
St




 (1.18) 
 
onde 
  viscosidade do fluido 
  massa específica do fluido 
S  massa específica do sólido 
g  aceleração da gravidade 
vt  velocidade terminal 
CD  coeficiente de arraste 
ReD  número de Reynolds da partícula 
 
A partir da substituição de (12)-(14) em (17) é possível deduzir a equação para o 
coeficiente de arraste (CD), e a partir disso determinar os valores de CDRe
2
 e CD/Re com 
auxílio de (16). 
 
 
Relações entre dP, d# e dSt 
 
Para partículas com um “certo grau de uniformidade” (isométricas  aquelas que 
apresentam 3 eixos perpendiculares entre si, como a esfera, o cubo e o tetraedro regular) 
pode-se considerar que: 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 6 







0,065
log.843,0
d
d
P
St 
 (1.19) 
 
e de modo mais amplo, 
 K
d
d
P
#  (1.20) 
O valor de K varia em função do material. Para a areia, por exemplo, o valor é de 
0,97. Para uma partícula esférica dSt=dP. 
 
 
Diâmetro médio de Partícula 
 
O diâmetro médio em massa é dado por: 
 

ii
dxd (1.21) 
onde xi é a fração em massa do diâmetro i. 
 
O diâmetro da partícula cujo volume é igual ao volume médio de todas as 
partículas presentes em uma amostra é dado por: 
 
3/1
3
i
i
d
x
1
d




















 (1.22) 
 
O diâmetro da partícula em que a área superficial é igual à média das áreas 
superficiais de todas as partículas presentes em uma amostra é dado por: 
 















3
i
i
i
i
d
x
d
x
d
 (1.23) 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 7 
Diâmetro médio de Sauter ( D ) 
 
É o diâmetro da partícula cuja relação volume/superfície é a mesma para todas as 
partículas presentes em uma certa amostra. Pode ser obtido pela divisão de dp
3
 dado por 
(22) por dp
2
 dado por (23). Assim tem-se que: 
 
 






i
i
d
x
1
D
 (1.24) 
 
É o diâmetro médio de partícula mais utilizado em sistemas particulados, 
transferência de calor e de massa, cinética e catálise. 
Considere que as partículas de um dado material apresentem os fatores B e C e a 
massa específica constantes independentemente do tamanho das partículas. Sabendo 
que: 
 
m
dD
dD
dN
B.D
S 0
2
W


 (1.25) 
 
 e 
dD
dX
.C.D
m
dD
dN
3
S
 (1.26) 
 
então 
 
S
W
.DC.
B
S

 (1.27) 
 
e o diâmetro médio de Sauter é dado por: 
 
SW .C.S
B
D

 (1.28) 
 
Esse diâmetro também é dado por: 
 


1
0
.dD
dD
dX
.
D
1
1
D
 (contínua) (1.29) 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 8 
para uma distribuição contínua, e por: 
 




n
1i i
i
D
X
1
D
 (discreta) (1.30) 
 
para uma distribuição discreta, onde: 
 
iX  fração contida em determinada peneira 
iD  média aritmética dos tamanhos das peneiras i-1 / i 
 
 
Arredondamento (Ar) e Circularidade (C) 
 
A circularidade e o arredondamento comparam a superfície do objeto com a 
superfície do disco do mesmo perímetro, ou 
 
2
P
P
4π
C
1
Ar
S
 (1.31) 
 
onde P é o perímetro. Encontra-setambém a seguinte definição para o arredondamento: 
 
P
C
A
A
C
1
Ar  (1.32) 
onde AC é a área relativa ao menor diâmetro de uma esfera ciscunscrita, dpI, e AP é a 
área projetada da partícula em posição de repouso, ou seja, é como se deixasse tal 
partícula repousar sobre uma determinada superfície e nela deixasse grafadas as suas 
dimensões bidimensionais (estáveis), conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Para C<1,25 a partícula é circular, para 1,25<C<2,0 a partícula é dita angular e 
para C>2,0 a partícula é comprida. 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 9 
 
 
 
Alongamento (Al) 
 
O alongamento mede a razão entre o maior e o menor eixo do objeto, ou seja: 
 
II
I
dp
dp
b
a
Al
 (1.33) 
 
 
 
 
Esfericidade () 
 
A esfericidade expressa a forma de uma partícula independente de seu tamanho. A 
definição mais importante diz que é a razão entre a área superficial da esfera de mesmo 
volume que a partícula e a área superficial da partícula. 
 
PP
P
P
2
P
.Sd
6.V
S
d



 (1.34) 
 
A esfericidade pode ser determinada através da medida da superfície específica 
que pode ser feita por diferentes técnicas como o BET, a permeametria e por meio da 
difusão de Knudsen. Seja dP a dimensão característica da partícula. A equação (27) 
toma a forma: 
 
SP
W
.DC.
B
S

 (1.35) 
 
onde B=/ e C=/6, portanto, 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 10 
 
SPW .D.S
6

  (1.36) 
 
Uma definição clássica diz que a esfericidade é a razão entre o diâmetro de uma 
esfera de igual volume da partícula e o diâmetro da menor esfera circunscrita de 
diâmetro dpI, ou seja 
 
I
P
dp
d

 (1.37) 
Outra definição para esfericidade é a relação entre o diâmetro do círculo com área 
igual à projeção da partícula e o diâmetro do menor círculo circunscrito à partícula 
(dpI), ou seja 
 
I
P
dp
4.S
 
 (1.38) 
 
Existem outras definições para a esfericidade baseadas nas dimensões “a” (maior 
dimensão), “b” (menor dimensão) e “c” (dimensão intermediária) como, por exemplo: 
 
1/3
2
a.c
b







 (1.39) 
 
 
 Uma forma simples e rápida de se fazer uma estimativa sobre a esfericidade de uma 
partícula é dividir a menor dimensão pela maior dimensão, ou seja 
 
a
b1

Al

 (1.40) 
 
 
Porosidade da Partícula 
 
A porosidade de uma partícula é a relação entre o volume dos seus poros abertos e 
o volume total da partícula. 
 
 
 
A porosidade da partícula pode ser determinada por porosimetria por intrusão de 
mercúrio, a qual consiste em intrudir-se mercúrio líquido, sob pressão de até 400MPa, 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 11 
em uma determinada amostra, forçando o mercúrio a penetrar nos poros do material 
(utiliza-se uma pressão para cada diâmetro de poro, permitindo, dessa maneira, uma 
ampla distribuição de tamanho dos poros), avaliando-se diâmetros de poros superiores a 
0,03m. Para diâmetros de mesma ordem de grandeza e menores, pode-se utilizar a 
técnica da picnometria gasosa, a qual é baseada na difusão de um gás inerte no interior 
da partícula. A escolha do gás inerte depende da relação entre o diâmetro da molécula 
do gás e o diâmetro do poro, no que decorre o primeiro ser, necessariamente, menor do 
que o segundo. 
 
 
1.2 Análise Granulométrica 
 
É o método que consiste em se passar o material através de uma série de peneiras 
com malhas progressivamente menores, cada uma das quais retém uma parte da 
amostra. Esta operação é aplicável a partículas entre 7cm e 40m. Todavia, abaixo de 
80m o peneiramento já é insatisfatório. O material retido em cada peneira é pesado 
separadamente, sendo a sua quantidade relacionada com a abertura da malha que o 
reteve. Existem diversas séries de peneiras, mas a mais utilizada no Brasil é a série 
Tyler (veja a Tabela 1). Ela consta de catorze peneiras e tem como base uma peneira de 
200 malhas por polegada (200 mesh), feita com fios de 0,053mm de espessura, o que dá 
uma abertura livre de 0,074mm. As demais peneiras da série e que são colocadas acima 
desta durante o ensaio, apresentam 150, 100, 65, 48, 35, 28, 20, 14, 10, 8, 6, 4 e 3 mesh 
respectivamente. Quando se passa de uma peneira para a imediatamente superior a área 
da abertura é multiplicada por dois e, portanto, o lado da malha é multiplicado por 2 . 
 
Tabela 1. Peneiras da Série Tyler Padrão. 
Mesh m Mesh m Mesh m 
2
1/2
 8000 16 1000 115 125 
3 6730 20 841 150 105 
3
1/2 
5660 24 707 170 88 
4 4760 28 595 200 74 
5 4000 32 500 250 63 
6 3360 35 420 270 53 
7 2830 42 354 325 44 
8 2380 48 297 400 37 
9 2000 60 250 500 25 
10 1680 65 210 635 20 
12 1410 80 177 
14 1190 100 149 
 
 Os resultados de uma análise granulométrica podem ser apresentados na forma de 
tabelas ou gráficos. A Tabela 2 é a análise granulométrica diferencial (AGD) do 
material e a Tabela 3 é a análise granulométrica acumulada de grossos ou retidos 
(AGAR) e a análise granulométrica acumulada de finos (AGAF). 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 12 
Tabela 2. Análise granulométrica diferencial (AGD). 
Peneiras Abertura 
Di(mm) iD (mm) 
Fração 
i-1 / i iX 
4 4,760 
6 3,360 4,013 4/6 0,0251 
8 2,380 2,844 6/8 0,1250 
10 1,680 2,006 8/10 0,3207 
14 1,190 1,410 10/14 0,2570 
20 0,841 1,000 14/20 0,1590 
28 0,595 0,711 20/28 0,0538 
35 0,420 0,503 28/35 0,0210 
48 0,297 0,356 35/48 0,0102 
65 0,210 0,252 48/65 0,0077 
100 0,149 0,178 65/100 0,0058 
150 0,105 0,126 100/150 0,0041 
200 0,074 0,089 150/200 0,0031 
panela < 0,074 <0,074 - 200 0,0072 
 
O valor de iX é a razão entre a massa retida na peneira i e a soma da massa 
retida em todas as peneiras. 
 
Tabela 3. Análise granulométrica acumulada (AGA). 
Peneiras Abertura 
Di(mm) 
Fração Acumulada 
Retida  iX-1 
(AGAR) 
Fração Acumulada 
de finos  iX 
(AGAF) 
4 4,760 0,0000 1,0000 
6 3,360 0,0251 0,9749 
8 2,380 0,1501 0,8499 
10 1,680 0,4708 0,5291 
14 1,190 0,7278 0,2721 
20 0,841 0,8868 0,1131 
28 0,595 0,9406 0,0594 
35 0,420 0,9616 0,0384 
48 0,297 0,9718 0,0282 
65 0,210 0,9795 0,0205 
100 0,149 0,9853 0,0143 
150 0,105 0,9894 0,0106 
200 0,074 0,9925 0,0075 
- 200 - 1,0000 0,0000 
 
O valor de iX-1 é dado por: 
  i21i X...XXX-1  (1.41) 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 13 
1.3 Distribuições de Tamanhos 
 
Gates-Gaudin-Schumann (GGS) 
 
m
k
D
X 





 (1.42) 
1-m
k
D
k
m
dD
dX






 (1.43) 
onde Dk, m>0 e k=D100. 
Para a determinação de m basta plotar ln(X) versus ln(D), pois: 
 
m.ln(k)-m.ln(D)ln(X)  (1.44) 
 
O coeficiente angular da reta representada pela equação (44) dará o valor de m. 
Para m=1 a distribuição é uniforme. Nos casos usuais m>1. Para D pequeno recai 
na distribuição RRB. 
 
Rosin-Rammler-Bennet (RRB) 
 
n)-(D/D'e1X  (1.45) 
 
n)(D/D'-
1n
e.
D'
D
D'
1
dD
dX








 
(1.46) 
 
onde n>0 e D’=D63,2. 
Para a determinação de n basta plotar ln(D) versus ln[ln(1/(1-X))], pois: 
 
)n.ln(D'-n.ln(D)
X-1
1
lnln 











 (1.47) 
 
O coeficiente angular da reta representada pela equação (47) dará o valor de n. 
Quando n>1 verifica-se a forma de “S” para a função representadapela equação 
(45). 
O valor de D para (dX/dD)max e n>1 é dado por: 
 
 
1/n
(dX/dD)
n
1-n
D'D
max







 (1.48) 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 14 
Log-Normal (LN) 
 
2
erf(Z)]1[
X

 (1.49); 
)ln(2
)D/Dln(
Z 50


 
(1.50) 
 






  ...7.3!
Z
5.2!
Z
3.1!
Z
-Z
2
)duexp(-u
2
erf(Z)
753Z
0
2

 (1.51) 
 
erf(Z)erf(-Z)  (1.52) 
 
)ln( D2
)exp(-Z
dD
dX 2


 (1.53) 
 
1
D
D
D
D
15,866
50
50
84,134

 (1.54) 
A reta na representação gráfica é feita com ln(D) em função de X. 
Para =1 todas as partículas têm o mesmo diâmetro. 
O valor de D para (dX/dD)max é dado por: 
 
2
max
)-(ln
50(dX/dD) .eDD

 (1.55) 
 
Frare et al. (2000) propuseram uma metodologia para a obtenção do diâmetro 
médio e do desvio-padrão da distribuição LN. Através dessa metodologia faz-se a 
regressão linear de ln(D) em função de z que é dado de acordo com o domínio de X 
segundo as equações abaixo. 
para 0X0,5 
2X
1
t 
 (1.56) 
32
2
ftetdt1
ctbta
tz



 (1.57) 
 
para 0,5<X1,0 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 15 
 2X-1
1
t 
 (1.58) 
32
2
ftetdt1
ctbta
-tz



 (1.59) 
 
Os valores das constantes são: 
a=2,51557;b=0,802853;c=0,010328;d=1,432788;e=0,189269;f=0,001308 
A equação utilizada na regressão é dada por: 
 
  zln(D) (1.60) 
 
Tendo sido determinados o coeficiente angular e o coeficiente linear, são obtidos 
D50 e  por: 
 
)exp(D50  (1.61) 
)exp(  (1.62) 
 
Diâmetro médio de Sauter a partir das diferentes distribuições 
 
Conhecido o modelo de distribuição que melhor representa uma amostra, o 
diâmetro médio de Sauter pode ser calculado através das seguintes expressões do 
Quadro 1: 
 
Quadro 1.1. Equações para o diâmetro médio de Sauter. 
Modelo Diâmetro médio de Sauter 
GGS 
m
1).k-(m
D  (1.63) 
RRB 








n
1
-1
D'
D
 (1.64) 
  


0
1m dtet tm (1.65) 
LN 






 250 )(ln
2
1
-.expDD  (1.66) 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 16 
1.4 Pipeta de Andreasen 
 
O peneiramento tradicional é desaconselhado, por falta de precisão, na análise 
granulométrica de partículas menores que cerca de 70m (abertura da peneira Tyler n
o
 
200: 74m). Neste caso recomenda-se vivamente o emprego da Pipeta de Andreasen 
que conduz, de um modo simples, confiável e pouco oneroso à distribuição de tamanhos 
expressa em termos do diâmetro da esfera que tem a mesma velocidade terminal que a 
partícula no movimento lento (regime de Stokes): dSt. A caracterização do diâmetro 
através de seu comportamento dinâmico é particularmente interessante no estudo do 
sedimentador, da câmara de poeira, do ciclone, da centrífuga e do precipitador 
eletrostático. 
Estabelece-se uma relação entre a concentração da suspensão medida num 
determinado instante de tempo em um plano de referência da proveta e a fração em 
massa das partículas (X) com diâmetro menor que dSt, ou seja: 
 
 
c(0)
c(t)
)X(dSt  (1.67) 
 
onde c(0) está diretamente relacionado com a massa total para preencher a proveta. 
Essa técnica pode ser aplicada na faixa aproximada de 3m a 70m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 17 
2. DINÂMICA DA PARTÍCULA 
 
Seja uma partícula de massa m, volume V e densidade S movendo-se com 
velocidade v (velocidade do centro de massa da partícula) em um fluido de densidade . 
Seja u a velocidade do fluido. A equação do movimento da partícula é dada por: 
 
dS F.b)V.(
dt
dv
m   (2.1) 
 
onde “b” é a intensidade do campo exterior e “Fd” é a força resistiva que o fluido exerce 
sobre a partícula (não inclui o empuxo!). No campo gravitacional b=g (g  aceleração 
da gravidade) e no campo centrífugo b=
2
.R ( velocidade angular da partícula; R 
distância da partícula até o centro da curvatura). 
 
Admitiremos que a partícula apresente um “certo grau de uniformidade” em sua 
forma, tornando aceitáveis as seguintes suposições: 
 
a) A posição relativa partícula-fluido não afeta o valor da força resistiva Fd; 
b) dF tem a direção da velocidade relativa vu  . u é a velocidade do fluido e v 
é a velocidade da partícula. 
 
Dentro destas hipóteses, 
 
v-u
)v-u( 
.v-u..CA.
2
1
F
2
Dd  (2.2) 
 
onde CD é o coeficiente de arraste da partícula e A é uma área característica da partícula 
dada por: 
 
4
.d
A
2
P (2.3) 
 
A medida da velocidade terminal vt leva à determinação experimental do 
coeficiente de arraste CD, pois a partir das equações (2.1)-(2.3) para dv/dt=0 tem-se que: 
 
2
t
SP
D
v
g).(d
.
3
4
C

 

 (2.4) 
 
Verifica-se que CD é uma função do número de Reynolds e da esfericidade da 
partícula. A seguir apresenta-se um gráfico de CD em função do número de Reynolds da 
partícula. 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 18 
 
 
 
 
Considerando o escoamento ao redor de uma esfera isolada, o regime de Stokes 
vai de Re=0 até Re=1, o regime intermediário de 1 a 500, o regime de Newton de 500 a 
2.10
5
 e a partir de Re=2.10
5
 tem-se o regime turbulento. É possível verificar na figura 
acima que para uma esfera isolada o coeficiente de arraste torna-se constante e igual a 
0,2 no regime turbulento. 
As relações CD.Re
2
 e CD/Re são de grande interesse neste estudo pois não utilizam 
U e nem dP respectivamente. Estas relações são dadas por: 
 
2
S
3
P2
D
b)..(.d
.
3
4
ReC

 

 (2.5) 
 
32
SD
U
b)..(
.
3
4
Re
C

 

 (2.6) 
 
onde 
v-uU  (2.7) 
e 

 U..d
Re P
 (2.8) 
 
A seguir são apresentadas algumas relações para partículas esféricas e isométricas 
(aquelas que apresentam 3 eixos perpendiculares iguais entre si – esfera, cubo, tetraedro 
regular). 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 19 
partícula esférica isolada para Re<50.000 
1/0,63
0,63
0,63
D 0,43
Re
24
C















 (2.9) 
 
-1/0,95
-0,95/2
2
D
-0,95
2
D
43,0
ReC
24
ReC
Re





















 (2.10) 
 
1/0,88
0,88
D
0,88/2
D Re/C
43,0
Re/C
24
Re





















 (2.11) 
 
 
 
partícula isométrica isolada para Re<50.000 e 0,65<<1 
1/0,85
0,85
2
0,85
1
D K
Re.K
24
C















 (2.12) 
 
-1/1,2
-1,2/2
2
2
D
1,2-
2
D1
K
ReC
24
Re.CK
Re





















 (2.13) 
 
1/1,3
1,3
D
2
1,3/2
D1 Re/C
K
Re/CK
24
Re

























 (2.14) 
 
 
 
 







0,065
log.843,0K1

 (2.15) 
.88,431,5K2  (2.16) 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 20 
Quadro 2.1. Correlações para a partícula isométrica isolada. 
Regime de Stokes 
Re<0,1 
Regime de Newton 
1.000<Re<10.000 
Re.K
24
C
1
D (2.17) 
2D KC  (2.18) 


.18
b)..(K.d
U S1
2
P 
 (2.19) 
2
PS
.K3
b.d).(4
U

 

 (2.20) 
b)..(K
U..18
d
S1
P




 (2.21) b).(4
.K3.U
d
S
2
2
P




 (2.22) 
 
 
2.1 Efeito da Presença de Fronteiras Rígidas 
 
Quando a partícula se movimenta em fluido com sua velocidade terminal, essa 
velocidade pode variar dependendo da distância que a partícula se encontra da parede 
mais próxima. A partir disso, define-se o parâmetro kP dado por: 
 


v
v
k tP (2.23) 
onde v é a velocidade da partícula isolada e vt é a velocidade da partícula em uma dada 
condição de distância da parede. As relações abaixo servem para determinar kP para 
partículas isométricas com 0,65<<1 e 0<DP/Dt0,5. 
 
Quadro 2.2. Correlações para kP. 
Re<0,1 4
P
.475,01
1
k 










 (2.24) 
0,1< Re<1.000 
BP A.Re1
10
k

 (2.25) 
2,79e.91,8A  (2.26) 
.281,000117,0B  (2.27) 
Re>1.000 5,1
P 1k  (2.28) 
 

 
 
v..d
Re P
 (2.29) 
t
P
D
d

 (2.30) 
onde Dt é o diâmetro do tubo. 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 21 
2.2 Influência da Concentração de Partículas 
 
A velocidade terminal de uma partícula é influenciada pela presença de outras: um 
aumento na concentração da suspensão acarreta uma redução nesta velocidade, fato 
importante no estudo da separação sólido-fluido. 
A clássica correlação proposta por Richardson e Zaki é válida para porosidades 
inferiores a 75%, 
n
t .vv  (2.31) 
ou 
n.vU  (2.32) 
 
onde v é a velocidade terminal da partícula isolada,  é a porosidade e vt é a velocidade 
terminal de uma partícula não isolada. U está definido na equação (2.7). 
 
Quadro 2.3. Valores de n da equação (2.32) para partículas arredondadas. 
Re<0,2 65,3n  (2.33) 
0,2< Re<1 
 1.Re35,4n
-0,03  (2.34) 
1< Re<500 1.Re45,4n -0,1  (2.35) 
Re>500 39,1n  (2.36) 
 
Na sedimentação, vt da equação (2.32) é a velocidade da frente de sedimentação. 
Conhecendo-se os diferentes valores de vt para diferentes concentrações de um material 
A é possível de se realizar uma regressão linear a partir da equação (2.32), onde: 
 
)vln()ln(n)ln(vt   (2.37) 
 
e determinar v. Com v entra-se na equação (2.6) e calcula-se CD/Re, o qual por sua 
vez, conhecendo-se a esfericidade da partícula, serve de entrada para a equações (2.10) 
ou (2.13) para se obter o valor de Re. Com Re entra-se na equação (2.8) e calcula-se 
então o diâmetro das partículas na suspensão em análise. 
 
Quadro 2.4. Valores de U/v da equação (2.32) para porosidades de 0,5 a 1. 
Re<0,2 94,3.83,0U 

 v 0,5<<0,9 (2.38) 
 8,3.8,4U 

v 0,9<<1 
(2.39) 
1< Re<500 
BA.Re1
1
v
U




 0,5<<0,95 (2.40) 
5,960,28εA  (2.41) 
ε33,035,0B  (2.42) 
 
Re>2.000 
29,2.095,0vU e

 0,5<<0,95 (2.43) 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 22 
No transporte pneumático ou hidráulico vertical (>0,8) a equação (2.32) também 
serve de base para se estimar a porosidade na operação. Seja “A” a área transversal do 
transportador, QF a vazão volumétrica superficial de fluido e QS a vazão volumétrica 
superficial de sólido. 
Sendo U dado pela equação (2.7) tem-se que: 
 
A
Q
u F


 (2.44) 
A)1(
Q
v S


 (2.45) 
 
logo 
 
nSF
A)1(
Q
A
Q
v
1
v
v-u
v
U











 (2.46) 
 
Assim resolvendo a equação: 
 
nSF
A)1(
Q
A
Q
v
1











 (2.47) 
 
é possível determinar o valor da porosidade () do leito. Serão necessárias informações 
sobre o diâmetro e sobre a esfericidade da partícula, pois com essas informações 
calcula-se CD.Re
2
, depois Re e depois v que será utilizado na equação (2.47). 
Baseados na equação (2.32) Michael e Bolger desenvolveram um método que 
permite a caracterização de partículas floculadas (diâmetro e massa específica médios, 
grau de floculação e velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada 
experimentalmente a velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes 
concentrações co, os parâmetros desejados podem ser estimados através do seguinte 
sistema de equações: 
 
 4,65ok.c1.vv   (2.48) 
 


.18
)..(D
v FL
2
FL g (2.49) 
 
S
S
FL
k.




 (2.50) 
onde 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 23 
 
v – velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em 
batelada; 
v – velocidade terminal do floco à diluição infinita; 
k – volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de 
floculação); 
co – concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de suspensão; 
DFL – diâmetro médio dos flocos; 
FL – massa específica dos flocos; 
 – massa específica do fluido; 
S – massa específica do sólido seco; 
g – aceleração da gravidade; 
 – viscosidade do fluido. 
 
 
2.3 Comprimento da Região de Aceleração 
 
O comprimento da região de aceleração refere-se à distância na qual a partícula 
isolada atinge a sua velocidade terminal. O conhecimento desse comprimento é 
importante, principalmente quando se deseja obter experimentalmente o valor da 
velocidade terminal. 
Supondo que uma partícula de massa “m” e volume “V” esteja em movimento 
com velocidade “v” em um fluido parado e que o movimento da partícula seja no 
mesmo sentido da aceleração gravitacional, então: 
 
2D
S
v.
2
A.C
.g)V.(
dt
dv
m

  (2.51) 
ou 
2D
S
v.
m2
A.C
.g).(
m
V
dt
dv 
  (2.52) 
 
 
Sabendo que 
dt
dL
v  (2.53) 
então 
2
pS
D
S
v.
d4
3C
.g)1(
dL
dv
v




 (2.54) 
 




v
0
2
pS
D
S
L
0
v.
d4
3C
.g)1(
v.dv
dL




 (2.55) 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 24 
Utilizando-se a regra de Simpson para integrar (2.55), tem-se que: 
 
 
nn
h
L  
13210
4...424
3
 (2.56) 
 
onde n é um número par, h=v/n e 
 
1
2
i
pS
D
S
v.
d4
3C
.g)1(.v













ii
 (2.57) 
 
Para n=2 e n=4, (2.56) torna-se respectivamente: 
 
 
210
4
3
 
h
L (2.56a) 
 
 
43210
424
3
 
h
L (2.56b) 
 
 
 
2.4 Reômetro de Stokes para Fluidos Não-Newtonianos 
 
É possível determinar a reologia de um fluido não-newtoniano em regime de 
Stokes através da metodologia apresentada a seguir. 
Obtendo-se experimentalmente a velocidade terminal de partículas de massas 
específicas diferentes em tubos de diâmetros diferentes é possível obter CD e Re dados 
por: 
2
t
SP
D
v
g).(d
.
3
4
C

 

 (2.58) 
 
 
1/0,85
0,85
2
0,85
D
3,54β
1
KC
e
K
24
Re

 (Re<35) (2.59) 
 
Com Re obtem-se a viscosidade efetiva dada por: 
 
Re
ρ.dp.v
μ t
EF
 (2.60) 
 
A partir de equações para a taxa de distensão 
*
 apresentadas no Quadro 6 é 
possível obter a tensão de cisalhamento () no fluido por: 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 25 
*.μ
EF
 (2.61) 
 
Com os diversos pares de valores de  e 
*
 é possível então montar uma equação 
do tipo: 
n .k (2.62) 
 
a qual descreve o comportamento reológico do fluido. 
 
 
Quadro 2.5. Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano. 
Partículas esféricas e 
não esféricas isoladas  
dp
v
62,346,1385,839,0* t2  
 (2.63) 
 
Deslocamento de 
partícula esférica ao 
longo do eixo principal 
do tubo 
 
dp
v
39,0* t81,6  e (2.64) 
<0,5 
 
Efeito de concentração 
na fluidodinâmica de 
partículas dp
U1
9* 




 



 (2.65) 
<0,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 26 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
Alguns Aspectos da Separação Sólido-Fluido. G. Massarani; Programa 
de Engenharia Química COPPE/UFRJ - Rio de Janeiro, 1992. 
 
Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. G. Massarani; Editora E-
papers, Rio de Janeiro, 2002. 
 
Linearização do modelo log-normal para distribuição de tamanho de 
partículas. Frare, L. M; Gimenes, M. L; Pereira, N. C.; Mendes, E. S. 
Acta Scientiarum 22(5):1235-1239, 2000. ISSN 1415-6814. 
 
Operações Unitárias em Sistemas Particulados e Fluidodinâmicos. 
M.A. Cremasco; Blucher, 2014. 
 
Princípios das Operações Unitárias. A.S. Foust, L.A. Wenzel, C.W. 
Clump, L. Maus, L.B. Andersen; LTC, 1982. 
 
Problemas em Sistemas Particulados. G. Massarani; Editora Edgard 
Blucher, São Paulo, 1984. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 27 
PROF. Dr. GIULIO MASSARANI – UM BREVE HISTÓRICO 
 
Giulio Massarani nasceu em Roma, em 16 de dezembro de 1937. Filho de judeus 
italianos, era o caçula dos três irmãos e veio com a família da Itália para o Rio de 
Janeiro com cerca de um ano e meio de idade, por causa da perseguição aos judeus. 
Formou-se em Engenharia Química e em Química Industrial pela Escola Nacional 
de Química da Universidade do Brasil, atual UFRJ. É mestre pela Universidade de 
Houston, Texas, e Doutor pela Universidade Paul Sabatier, em Toulose, na França. 
Toda sua vida profissional foi vinculada à COPPE, no Programa de Engenharia 
Química, do qual fez parte desde a sua criação. 
Orientou 56 dissertações de mestrado e 26 teses de doutorado. Publicou mais de 
200 trabalhos técnicos em revistas científicas, é autor de 20 livros e publicações 
didáticas. Formou doutores que criaram cursos de pós-graduação em vários estados do 
país. 
Seu trabalho teve grande repercussão nos cursos de engenharia química de muitas 
universidades brasileiras. Ele também colaborava de forma permanente com instituições 
de ensino e pesquisa na França, Estados Unidos e Chile. 
Massarani foi agraciado com vários prêmios durante sua vida acadêmica. Entre 
eles, destacam-se: Comendador da Ordem Nacional do Mérito Científico, concedido 
pelo Governo Federal; Medalha Rilem (Réunion Internationale des Laboratoires 
d’Éssais et de Recherches sur les Matériaux et les Constructions); Medalha Prof. João 
Cristóvão Cardoso, do Instituto de Química da UFRJ; e Prêmio Álvaro Alberto de 
Tecnologia, da Prefeitura do RJ. Também foi Membro Fundador da Academia 
Brasileira de Engenharia. 
Giulio Massarani faleceu no dia 28 de setembro de 2004 durante o Congresso 
Brasileiro de Engenharia Química (COBEQ) em Curitiba-PR, deixando a esposa - Edna 
- e quatro filhos - Mariana, Paulo, Luisa e Susana. 
Massarani é o grande mentor das pesquisas em Sistemas Particulados no Brasil. 
 
 
(Texto extraído do folder de promoção do livro “Aplicações em Sistemas Particulados” 
– Edição comemorativa dos 30 anos da área de pesquisa em Sistemas Particulados do 
DEQ/UFSCar, da publicação no JC e-mail 2616, de 29 de Setembro de 2004 e da 
publicação da FAPERJ.) 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 28 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE 
Disciplina: Operações Unitárias A 
Prof. Marcos Moreira 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Sejam duas partículas de vidro (=2,5g/mL), um cilindro com 5mm de 
diâmetro e 3,5mm de altura e um paralelepípedo 2,9mm x 5,5mm x 5,5mm. 
Calcule SP, VP, dP,  (use D=dP) e . 
 
2) Na intenção de caracterizar grãos de arroz, obteve-se uma amostra de 
490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a 
média do raio menor foi de 0,97mm, e a média do raio maior, de 4,61mm. 
No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa 
igual a 30,5g que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de 43,5g. 
Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica 
de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50mL e massa de 
22,3g. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa 
de 72,2g. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está 
associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos no 
picnômetro, encontrando-se a massa de 74,3g, a qual corresponde à massa 
do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-
se: 
a) a massa específica da água determinada por picnometria; 
b) a massa específica do arroz determinada por picnometria; 
c) o diâmetro equivalente de partícula do arroz advindo da picnometria; 
d) sabendo que o volume de um esferoide prolato pode ser dado por 
V=4/3.(.a.b
2
), em que “a” é o raio maior e “b” o menor do esferoide 
prolato, determine o diâmetro equivalente de partícula a partir desta 
equação. 
e) a esfericidade do arroz sabendo que a área do esferoide prolato pode ser 
dada por: 
 
)(arcsen
.
22 2 e
e
ba
bS
P 





  
 
a
ba
e
22 
 
 
arcsen(e) é dado em radianos. 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 29 
3) Refaça o exercício 2 considerando grãos de painço, com amostra de 500 
grãos, os quais apresentam o formato de esferoide prolato, em que a média 
do raio menor é de 1,076mm, e a média do raio maior, de 1,566mm. No 
sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa 
igual a 28,55g que, após a adição dos 500 grãos, acusou 31,268g. Com o 
objetivo de obter a massa específica do painço, utilizou-se a técnica de 
picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50mL e massa de 
21,072g. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou 
massa de 72,949g. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que 
está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos, 
encontrando-se a massa de 73,09g, a qual corresponde à massa do 
picnômetro adicionada à da água e à da amostra. 
 
4) Determine o valor do diâmetro de Sauter para uma amostra de areia de 
massa igual a 106,47g, que apresentou a análise granulométrica a seguir. 
 
Sistema (mesh) Massa retida (g) 
- 10+ 12 8,69 
- 12+ 14 18,51 
- 14+ 16 60,76 
- 16+ 20 12,99 
- 20+ 24 5,52 
- 24+ 28 0 
 
5) Trinta e dois gramas de uma amostra de café solúvel, de formato 
esférico e massa específica igual a 1,5g/mL, apresentaram análise 
granulométrica indicada na tabela a seguir. Pede-se: 
 
Sistema (mesh) Massa retida (g) 
- 35+ 42 5,2 
- 42+ 65 9,3 
- 65+ 100 12,4 
- 100+ 250 4,0 
- 250+ 270 1,1 
- 270+ 325 0 
 
a) o gráfico de distribuição granulométrica (X versus D) (AGA) 
b) o gráfico de distribuição de frequência (X versus D) (AGD) 
c) o modelo mais apropriado para descrever a distribuição granulométrica 
d) o diâmetro médio de Sauter da amostra 
e) o diâmetro médio de Sauter segundo o modelo de distribuição mais 
adequado 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 30 
6) Uma amostra de 48 gramas de cristais de KCl, advindas de um 
cristalizador, apresentou a análise granulométrica da tabela a seguir. Pede-
se: 
 
Mesh 10 12 14 16 20 24 28 32 35 42 48 60 
gramas 1,5 2,0 4,5 5,0 6,5 6,5 6,5 5,0 4,0 3,02,5 1,0 
 
a) o gráfico de distribuição granulométrica (X versus D) (AGA) 
b) o gráfico de distribuição de frequência (X versus D) (AGD) 
c) o modelo mais apropriado para descrever a distribuição granulométrica 
d) o diâmetro médio de Sauter da amostra 
e) o diâmetro médio de Sauter segundo o modelo de distribuição mais 
adequado 
 
7) Considere a análise de peneira de areia apresentada na Tabela 1. 
 
Sistema Tyler 
(n
o
) 
Massa retida (g) 
iX iX 
 + 4 0 
- 4+ 6 10,5 
- 6+ 8 21,9 
- 8+ 10 34,5 
- 10+ 14 61,6 
- 14+ 20 70,5 
- 20+ 28 77,6 
- 28+ 35 45,5 
- 35+ 48 42,1 
- 48+ 65 30,3 
- 65+ 100 8,9 
- 100+ 150 4,1 
- 150+ 200 2,7 
- 200 0 
 
a) Complete as duas colunas em branco. 
b) Calcule o diâmetro médio de Sauter. 
c) Determine m e k da distribuição GGS e faça um gráfico de X versus D 
dos dados experimentais e dos dados calculados pelo modelo GGS. Calcule 
o desvio relativo absoluto médio. 
d) Determine n e D’ da distribuição RRB e faça um gráfico de X versus D 
dos dados experimentais e dos dados calculados pelo modelo GGS. Calcule 
o desvio relativo absoluto médio. 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 31 
e) Determine  e faça um gráfico de X versus D dos dados experimentais e 
dos dados calculados pelo modelo LN. Calcule o desvio relativo absoluto 
médio. 
f) Determine o diâmetro médio de Sauter a partir das distribuições GGS, 
RRB e LN. 
g) A partir de D (equação 1.66), obtido através do modelo LN, 
considerando-se K=1 na equação (1.20), vidro=2,66g/cm
3
, =0,4 e =0,75, 
determine SW e a permeabilidade para a areia. 
 
8) Uma amostra de barita foi analisada no Coulter Counter (fornece como 
dimensão característica, o diâmetro da esfera de igual volume que a 
partícula, dP) e no Cyclosizer (fornece dSt): 
 
%>d 90 80 70 60 50 40 30 
dP(m) 8,2 13,0 15,7 18,2 22,1 26,7 32,6 
dSt(m) 7,6 12,1 14,5 16,9 20,5 24,8 30,3 
 
 Determine a esfericidade das partículas de barita. 
 
9) Uma amostra de areia apresentou a seguinte análise de peneiras. 
 
Sistema Tyler (n
o
) Massa retida (g) 
 + 4 0 
- 4+ 6 12,6 
- 6+ 8 38,7 
- 8+ 10 50,0 
- 10+ 14 63,7 
- 14+ 20 32,5 
- 20+ 28 17,4 
- 28+ 35 11,2 
- 35+ 48 7,8 
- 48+ 65 3,7 
- 65+ 100 2,6 
- 100+ 150 1,8 
- 150+ 200 1,1 
- 200 0 
 
a) Fornecer gráfico acumulativo d# versus %>d#. 
b) Calcule o diâmetro médio de Sauter 
c) Verificar se a distribuição granulométrica segue a distribuição LN; em 
caso afirmativo calcular os parâmetros da distribuição. 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 32 
10) Os cereais apresentam frequentemente grãos em forma de esferóides 
prolatos. Estime a esfericidade de um grão de arroz sabendo que o valor 
médio da menor e da maior dimensão do grão são 2,8mm e 7,8mm 
respectivamente. 
 
11) Estime as esfericidades das partículas do exercício 1 a partir da menor e 
maior dimensão das partículas. 
 
12) Obtenha o valor da velocidade terminal das gotas esféricas de chuva de 
1 mm de diâmetro, que caem pelo ar a 25
o
C. 
 
13) Estime o valor do diâmetro de uma partícula de galena, que apresenta 
massa específica de 7,5g/mL e esfericidade de 0,75, que cai em água em 
repouso a 30
o
C a uma velocidade de 4 cm/s. 
 
14) Obtenha o valor da velocidade terminal de uma partícula isolada e 
esférica (1,84g/mL) submetida à queda livre em uma proveta de 7cm de 
diâmetro, contendo óleo (38cP; 0,92g/mL). O valor do diâmetro médio da 
partícula pode ser obtido da distribuição GGS com k=0,4cm e m=2. 
 
15) Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B 
através da elutriação com corrente ascendente de água. Na corrente de 
saída deve haver apenas A puro, enquanto no produto pode haver A e B. 
Propriedades do minério A: =2,2g/cm
3
; =0,7 
Propriedades do minério B: =3,2g/cm
3
; =0,85 
Faixa granulométrica da mistura A+B: 0,149<dP<0,595mm, 
correspondendo às peneiras 28/100 #Tyler. 
Determine a máxima velocidade de água que poderá ser utilizada na 
operação, a granulometria do produto de topo e a granulometria do produto 
de fundo. 
 
16) Os seguintes resultados foram obtidos na elutriação de 25g de um pó 
industrial (=1) com água a 20
o
C, numa vazão de 37cm
3
/min: 
 
Elutriador Diâmetro do 
tubo (cm) 
Massa 
recolhida (g) 
Diâmetro 
crítico no 
elutriador 
(m) 
 iX 
1 3,0 4,62 
2 4,0 6,75 
3 6,0 7,75 
4 12,0 4,42 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 33 
Complete a tabela acima com a distribuição granulométrica da amostra 
sabendo-se que a massa específica do sólido é de 1,8g/cm
3
. 
 
17) Calcule a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas 
em querosene. Propriedades do fluido: (=0,9g/cm
3
 e =2,3cP) 
Propriedades das partículas: (=2,3g/cm
3
, dP=0,8mm e =0,8) 
Concentração de sólidos na suspensão: 260g/L de suspensão 
 
18) Determine o valor da velocidade de queda de uma partícula de massa 
específica igual a 3,8g/mL, diâmetro de 120 micra (diâmetro da esfera de 
igual volume que a partícula) e esfericidade 0,806 em um elutriador que 
opera com a velocidade ascendente de líquido igual a 0,25cm/s. O líquido 
apresenta viscosidade de 1cP e massa específica de 1g/mL. Considere o 
sistema com uma concentração volumétrica de partículas igual a 10% para 
o cálculo da velocidade terminal. Despreze o efeito das paredes do tubo. 
 
19) Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da 
velocidade terminal limitando, com a escolha adequada do diâmetro do 
cilindro de testes, o efeito de parede a 5%, isto é, kP>0,95. A partícula tem 
diâmetro dP=5mm. Determine o diâmetro do cilindro nas seguintes 
situações: 
a) Re<0,1 
b) Re>1.000 
 
20) Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de 
partículas de Al2O3 em água a 20
o
C: 
 
C (g de Al2O3/cm
3
 de suspensão) v (cm/min) 
0,041 40,5 
0,088 38,2 
0,143 33,3 
0,275 24,4 
0,435 14,7 
 
A massa específica das partículas é de 4g/cm
3
 e a esfericidade é 
estimada em 0,7. 
 
a) Determine pela equação (2.31) a velocidade terminal das partículas à 
diluição infinita e, a partir deste valor, calcule dP; 
b) Faça um gráfico comparando os valores de v experimentais e os valores 
preditos pela equação (2.31). 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 34 
21) Calcule as propriedades características (v, DFL, k e FL) dos flocos de 
hidróxido de cálcio de uma suspensão aquosa (agente de floculação: 
alúmen) sabendo-se que a 25
o
C: 
 
co.10
3
(g/cm
3
) 6 8 10 12,5 15 20 25 30 
v (cm/min) 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30 
 
22) Determine a velocidade de elutriação para separar pó de diamante na 
faixa de 0 a 2m (dP). A massa específica do diamante é 3,5g/cm
3
 e a 
esfericidade das partículas é de 0,7. O fluido de arraste é a água a 20
o
C. 
 
23) Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 
em massa é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água com 
velocidade de 0,5cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a 
mesma: 
 
dP(m) 20 30 40 50 60 70 80 100 
100.X 15 28 43 54 64 72 78 88 
 
Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de 
fundo. 
Galena: =7,5g/cm
3
 e =0,8 
Calcário: =2,7g/cm
3
 e =0,7 
Temperatura da água: 20
o
C 
 
24) Um determinado material (=4,1g/cm
3
) apresenta a seguinte análise 
granulométrica: 
%>d 90 80 70 60 50 40 30 
dP(m) 8,2 13,0 15,7 18,2 22,1 26,7 32,6 
 
Sabendo que a sua superfície específica é igual a 0,1454m
2
/g, determine a 
esfericidade do material. 
 
25) Uma suspensão aquosa de caulim a 25
o
C apresentou as seguintes 
velocidades de sedimentação, v, a diferentes concentrações de sólido, c, 
c (g/cm
3
) 0,056 0,083 0,147 0,193 0,218 0,226 
v 
(cm/min) 
4,22 3,37 2,27 1,84 1,55 1,40 
 
Determine pela equação (2.31) a velocidade terminal das partículasà 
diluição infinita e, a partir deste valor, calcule dP. 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 35 
26) Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em 
duto com diâmetro Dt=5,1cm, de partículas sólidas com as seguintes 
propriedades: dP=1mm, =3g/cm
3
 e =0,75. 
a) o fluido é a água (=1g/cm
3
 e =0,9cP) e as vazões de fluido e sólido 
são respectivamente QF=15m
3
/h e QS=3m
3
/h. 
b) o fluido é o ar a 20
o
C e 1ata (=0,018cP) e as vazões de fluido e sólido 
são respectivamente QF=39,9m
3
/h e QS=1,32m
3
/h. 
 
27) Em um estudo preliminar do escoamento gás-partículas, a frio, em um 
reator riser, utilizou-se ar como fluido de arraste (1,091kg/m
3
; 17,5cSt) 
para partículas esféricas de catalisador FCC (2,15g/mL; 74,4m). Pede-se: 
 
a) obtenha o valor da velocidade terminal das partículas 
b) sendo o diâmetro interno do tubo de 7,3cm, avalie o efeito de parede 
c) sabendo que a concentração volumétrica de partículas é de 0,023mL/mL, 
avalie o efeito de concentração de partículas na velocidade terminal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 36 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 38 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 39 
 
EQUAÇÕES PARA REGRESSÃO LINEAR 
 
baxy  
 
 
  
  



2
2 xxn
yxxyn
a 
 
 
n
xa.y
b
 
 
 
 
 
Mesh m Mesh m Mesh m 
2
1/2
 8000 16 1000 115 125 
3 6730 20 841 150 105 
3
1/2 
5660 24 707 170 88 
4 4760 28 595 200 74 
5 4000 32 500 250 63 
6 3360 35 420 270 53 
7 2830 42 354 325 44 
8 2380 48 297 400 37 
9 2000 60 250 500 25 
10 1680 65 210 635 20 
12 1410 80 177 
14 1190 100 149