Relatório Momento de inércia UEM

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA 1
CAPÍTULO 8: MOMENTO DE INÉRCIA
ACADÊMICOS: 	FERNANDA KURODA 			RA: 95607	
				POLYANNA THAMYRES		RA: 95616
				ROBERTO TAKESHI			RA: 94170
TURMA: 06 – ENGENHARIA CIVIL 				PROFESSOR: IVAIR
MARINGÁ/2015
Resumo
O experimento tem como intuito determinar o momento de inércia (I) de corpos rígidos que giram em torno de um eixo fixo, tal grandeza expressa a forma como a massa do corpo estra distribuída em relação ao eixo de rotação . Além disso, foram abordados os conceitos de princípio da conservação da energia, e torque, a luz da física dos movimentos translacionais e rotacionais. Para isso, são utilizados discos acoplados na parede e massas de prova, formando um sistema, no qual foi possível comparar o momento inercial experimental e teórico. [1]
 
Introdução
O momento de inércia (I) de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo é uma grandeza análoga à massa (m) no movimento de translação. Tal grandeza depende da forma como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação e é definida como a resistência que esse corpo se opõe ao movimento e rotação em relação ao mesmo eixo. [1]
Diferentemente da massa inercial no movimento de translação, o momento inercial não se trata apenas o quanto de massa que há no corpo, mas também, trata-se da distância de cada parte do corpo até o eixo de rotação. Deste modo, quanto mais distante a massa estiver do eixo de rotação, maior será o momento de inércia. [2]
Objetivos
O objetivo deste experimento é determinar o momento de inércia de um disco homogêneo experimentalmente, principalmente, investigando o momento de translação e rotação do sistema, através dos conceitos de conservação de energia mecânica e de torque. [1]
Fundamentação teórica
O momento de inércia (I) de um corpo rígido em relação ao eixo de rotação nos diz como a massa do corpo em rotação está distribuída ao redor do seu eixo de rotação. Esta grandeza é uma constante para um dado corpo rígido e um eixo de rotação particular. No caso de um corpo rígido que contém um número pequeno de partículas, momento de inércia é expressa da seguinte forma:
 (1.1)
Quando um corpo rígido contém um número muito grande de partículas muito próximas uma das outras (é contínuo), substitui-se a soma por uma integral, definimos o momento de inércia como:
 (1.2)
Como neste experimento, utilizamos discos uniformes, logo, estamos considerando corpos homogêneos, significa que sua densidade é constante, ou seja, dm é escrito em função da densidade ρ, e como , e a espessura do disco e R o raio do disco, temos então: [2]
Sendo ρ a densidade definida como:
Derivando:
Sendo v o volume do disco definido como , substituindo o volume na derivada temos que:
Como o corpo é contínuo, pela equação 1.2 tem-se:
Então, como o raio do disco maior varia até R: 
 (1.3)
Como no laboratório de Física temos 2 discos acoplados centralizados, então:
 (1.4)
Sendo que M e R estão relacionados ao disco maior e o m e r com o disco menor. A unidade de medida, no Sistema Internacional (SI) para o momento de inércia é dado em Kg.m². Neste experimento, utilizou-se o comprimento em cm e a massa em g, logo, a unidade do momento de inércia será em cgs: g/cm2.
No experimento, para o cálculo do momento de inércia experimental, é possível obter a equação de duas formas, via conservação da energia mecânica e via torque. 
VIA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
Como neste caso existe a conservação da energia mecânica, temos que:
Ou seja: 
Figura 1.1 - Esquema para o cálculo do Momento de Inércia Experimental do conjunto de discos, utilizando o princípio da Conservação da Energia Mecânica.
Como a massa suspensa é lançada do repouso, temos que , e como o fim do movimento da massa está em h = 0, logo, . Sendo assim:
 (movimento de rotação e translação)
Substituindo, temos que:
 
Como , substituindo: 
Com relação ao movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), temos a seguinte relação:
 e . Substituindo, temos que:
Sendo assim, substituindo na fórmula do momento de inércia:
Sendo a massa suspensa, o tempo médio, obtemos a equação do momento de inércia experimental, via conservação da energia mecânica:
	(1.5)
VIA TORQUE
Podemos determinar o momento de inércia experimental. Utilizando a 2° Lei de Newton:
Figura 1.2 – Forças que atuam no sistema disco-massa suspensa
Analisando a figura 1, as únicas forças do sistema são a tração (T) e peso (P).
Utilizando o conceito de torque para determinar o momento de inércia experimental:
Como a única força que atua sobre os discos é a tração, e utilizando o conceito de produto vetorial, considerando que o raio do disco é perpendicular à tração:
Como o peso é P = m.g, substituindo:
 e como :
 e como encontramos:
 (1.5)
Onde r é o raio do disco menor, é a massa suspensa e o é o tempo médio de percurso que a massa suspensa leva para percorrer uma determinada altura h até o solo e g é a aceleração gravitacional. Para o cálculo do momento de inércia experimental, será desprezado as forças dissipativas e considerando o movimento de rotação do disco e translação da massa suspensa simultâneos.	
Uma vez que todas as medidas foram obtidas da mesma forma (com as mesmas condições), o peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a média que utilizaremos será uma média aritmética simples, o tempo médio calculado no experimento é a soma dos tempos obtidos em cada procedimento dividido pelo número de vezes em que foi repetido.
 (1.6)
O desvio padrão (σ) atribuído à medida de uma dada grandeza é uma dispersão estatística. Este informa o quanto de variação ou dispersão existe em relação à média ou o valor esperado da medida, e é dado por:
 (1.7)
Onde i corresponde a i-ésima medida e n o número total de medidas realizadas do tempo.
Porém, para obter o desvio de medidas indiretas, quando tivermos uma multiplicação ou divisão, aplica-se o logaritmo neperiano (ln) em ambos os lados da equação. 
 (1.8)
	v = v (x,y)
	Expressão para 
	Soma: v = x + y
	
	Subtração: v = x - y
	
	Multiplicação: v = ax.y
a é uma constante.
	 + 
	Divisão: a
a é uma constante.
	 + 
	v = 
n é uma constante.
	
	v = k
k, n e m são constantes.
	
Tabela 1.1 - Expressões utilizadas no experimento para o calculo do desvio padrão por meio da propagação dos erros, para variáveis independentes entre si.
Sendo assim, para obter o desvio padrão do momento de inércia (teórico e experimental), temos que:
Calculando separadamente o momento de inércia:
Utilizando a equação (1.8):
Como 2 é um número exato, logo, não apresenta desvio padrão (desvio padrão nulo), portanto, o desvio do momento de inércia é dado pela equação:
 (1.9a)
Então:
 (1.9b)
Sendo assim, o desvio padrão do momento de inércia é calculado pela seguinte equação:
 (1.9)
Utilizando a mesma ideia ao calcular o desvio padrão teórica, obtém-se o desvio padrão para o momento de inércia experimental, que é dada pela equação:
 (2.0)
Para calcular o desvio percentual, quando se compara uma medida experimental com um valor teórico, utiliza-se a seguinte expressão:
 (2.1)	[1]
Desenvolvimento Experimental
Materiais utilizados
Discos acoplados na parede;
Cilindro metálico maciço;
Fio inextensível;
Cronômetro (precisão de 0,01s);
Trena Bellota (precisão de 0,5mm);
Régua trident (precisão de 0,5mm);
Fita Adesiva;
Paquímetro (precisão de 0,05mm);
Balança digital Bel (precisão de 1g).	[1]
Montagem Experimental
Figura 2.1 - Foto do disco na parede DFI/UEM. (I)
Na figura temos:
Discos acoplados na parede: Sistema formado por dois discos, o qual será calculado o momento de inércia.Figura 2.2 - Figura esquemática ilustrando os equipamentos utilizados no experimento (II ao VIII)
Na figura temos:
Cilindro metálico maciço: massa suspensa, a qual provoca um torque pela queda livre do mesmo;
Fio inextensível: utilizado para amarrar a massa suspensa com o disco;
Cronômetro (precisão de 0,01s): utilizado para obter o tempo que a massa suspensa leva para percorrer a distância h;
Trena Lufkin (precisão de 0,5mm): utilizado para medir a altura entre a massa suspensa até o centro dos discos acoplados;
Régua trident (precisão de 0,5mm): utilizado para medir o diâmetro do disco maior;
Fita Adesiva: utilizada para prender o fio na superfície do disco maior;
Paquímetro (precisão de 0,05mm) para conferir o diâmetro do disco menor;
Balança digital Bel (precisão de 1g): utilizada para a pesagem da massa suspensa.
Descrição do experimento
O experimento consiste em analisar um sistema onde um corpo translada (massa suspensa) enquanto o outro rotacional em torno de um único eixo fixo (dois discos homogêneos de diâmetros diferentes acoplados pelo centro em um único eixo). A massa suspensa e os discos estão conectados por um fio. [1]
Figura 3.1 - Foto do Disco na parede do DFI/UEM e figura esquemática apresentando as grandezas: R o raio do disco maior, ms a massa suspensa, h a trajetória de percurso da massa suspensa, e em destaque: r o raio do disco menor, ω a velocidade angular, τ torque, T tração e P a força peso.
Iniciando o experimento foi aferido e anotado o valor da massa do objeto a ser suspenso, assim como os valores das massas e diâmetros dos discos utilizados. Adotando um fio inextensível de comprimento suficiente afim de que uma das suas extremidades dê uma volta completa ao disco, e a outra extremidade o objeto suspenso toque o solo.
Posteriormente, amarrou-se uma das extremidades do fio o objeto suspenso e a outra extremidade foi enrolada uniformemente até a altura h no disco menor, de tal forma que não deslizasse. Utilizando uma fita adesiva para prender a extremidade do fio na superfície do disco maior após dar uma volta no disco menor com uma altura definida.
Com o auxílio de uma trena foi medido a altura do trajeto da base do objeto ao solo, mantendo o corpo parado sem movimento na altura h estipulada. 
Ao liberar o disco e quando a massa suspensa começa a transladar, com auxílio de um cronômetro, acionou-se o cronometro e travou-se o mesmo quando o corpo atingiu o solo. Foi anotado o valor do tempo de percurso que a massa suspensa leva para percorrer a altura h na Tabela 2.2. Repetiu-se este procedimento mais 9 vezes.
Dados obtidos experimentalmente 
A Tabela 2.1 apresenta os dados medidos no sistema discos-massa suspensos, sendo: ms a massa do corpo suspenso, M e D massa e diâmetro do disco maior, e m e d massa e diâmetro do disco menor, respectivamente, e h a altura do percurso do corpo suspenso. 
Tabela 2.1 – Dados experimentais das massas, diâmetros e alturas, com seus desvios.
	(ms±0,1)g
	(D±0,05)cm
	(h±0,05)cm
	68,0
	49,48
	160,00
	(M±0,1)g
	(d±0,05)cm
	
	1388,0
	17,06
	
	(m±0,1)g
	
	
	68,5
	
	
Tabela 2.2 – Apresenta-se os dados dos tempos aferidos paa eu o corpo suspenso percorra uma mesma altura h.
	(t1±0,001)s
	(t2±0,001)s
	(t3±0,001)s
	(t4±0,001)s
	(t5±0,001)s
	(t6±0,001)s
	(t7±0,001)s
	(t8±0,001)s
	(t9±0,001)s
	(t10±0,001)s
	5,04
	4,90
	4,90
	4,84
	4,97
	4,91
	4,91
	4,85
	5,03
	5,00
Interpretação dos resultados
Utilizando os dados da tabela 2.1, e como o raio é a metade do diâmetro, temos que: 
Tabela 3.1 – Raio dos discos.
	(R±0,05)cm
	(r±0,05)cm
	24,74
	8,53
Posteriormente, calculou-se o valor do momento de inercial teórico com auxílio da tabela 2.1 e com a equação (1.4) e o seu respectivo desvio através da equação (1.9):
Como se utilizou o raio em cm e a massa em g, o momento inercial tem como unidade: g.cm2.
Para o cálculo do desvio padrão, separou-se a equação em duas partes:
	(primeira parte)
Devido à teoria de propagação de erros:
 
 
Fazendo o mesmo cálculo do desvio padrão para o momento de inércia, encontramos:
	(segunda parte)
Como: 
Portanto: 
 
Onde é o desvio.
	Com isso, obteve-se que:
	Com os dados da tabela 2.2, calculou-se o tempo médio através da equação (1.6) com seu respectivo desvio com a equação (1.7) através da calculadora. Assim, encontrou-se:
.
	Através da equação (1.5) e da massa do corpo suspenso e da altura contidos na tabela 2.1, o valor do raio do disco menor, o tempo médio, e g=980,665m/s2, calculou-se o momento de inércia experimental com seu desvio. Sendo o desvio obtido com o auxílio da equação (2.0).
Como se utilizou o raio em cm e a massa em g, o momento inercial tem como unidade: g.cm2.
Substituindo os valores experimentais na equação (2.0), temos que:
Onde é o desvio.
	Com isso, obteve-se que:
Onde σ é o desvio.
	Com isso, foi possível comparar os momentos inerciais teórico com o experimental, obteve-se um desvio percentual através da equação (2.1):
Análise (discussão) dos resultados
Primeiramente, o tempo médio obtido no experimento foi satisfatório, já que se anotaram todas as casas decimais após a vírgula do cronômetro e seu respectivo desvio, além disso, foram feitas dez medidas a fim de diminuir a incidência de erros. Entretanto, como o instrumento possui uma incerteza de 0,001s, ou seja, o último algarismo pode sofrer variações, houve pequenas falhas na precisão do tempo. Em relação à grandeza comprimento, foi utilizada uma trena a qual possui uma incerteza de 0,05cm, podendo este valor afetar nos dados calculados.
Os resultados adquiridos para as medidas indiretas, o momento de inércia experimental e teórico, foram suscetíveis a vários erros. No caso do momento inercial teórico, o valor obtido foi aceitável já que seu desvio é proporcional ao seu resultado, . Porém, no momento inercial experimental, o desvio encontrado foi maior que o esperado, . Ao calcular o desvio entre os dois momentos inerciais, a fim de comparar os resultados, obteve-se um valor de .
 
Conclusões 
Conclui-se que o experimento foi realizado de modo parcial, já que o desvio percentual entre os valores teóricos e experimentais foi alto, além disso, não foi deduzida a fórmula do momento inercial pelo método da energia mecânica. Contudo, foi possível calcular o momento de inércia de um disco investigando os movimentos de translação e rotação. 
Também, explorou-se o conceito de torque do sistema, pois foi necessário este conceito para a dedução da fórmula do momento inercial. Desta forma, achou o valor do momento inercial experimental do disco juntamente com seu desvio padrão, assim, o objetivo principal do experimento foi alcançado.
Referência Bibliográfica
[1]	Manual de Laboratório – Física Experimental I – Hatsumi Mukai e Paulo R.G Fernandes – 2015;
[2]	HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J., Fundamentos de física. 9ª edição, vol. 1, editora LTC, 2010. 
[3] H. Moysés Nussenzveig, Curso de física Básica – 1 – Mecânica; Editora Edgar Blucher Ltda, 3ª edição, 1981.