Órbitas (Fehlberg)

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Me´todos Computacionais da F´ısica II
Trabalho 3.a
Fabio Rasera Figueiredo
244430
2 de junho de 2016
1 Introduc¸a˜o
Neste trabalho sera˜o analisadas soluc¸o˜es nume´ricas para o problema de 2
corpos interagindo gravitacionalmente. Pore´m, sera˜o vistos apenas casos em
que a massa de um dos corpos e´ muito maior que a do outro. A expressa˜o
que descreve o movimento e´ a seguinte equac¸a˜o diferencial:
d2~r
dt2
= −GM
r3
~r (1)
Uma abordagem do problema contendo sua soluc¸a˜o anal´ıtica bem de-
talhada pode ser encontrada no site do MIT[1] . As equac¸o˜es utilizadas
para a soluc¸a˜o exata foram retiradas de um artigo da Wikipe´dia[2] sobre o
problema de Kepler.
Neste trabalho sera˜o utilizados dois me´todos distintos de soluc¸a˜o nume´rica
para equac¸o˜es diferenciais: os me´todos RK4 e de Fehlberg.
1.1 Problema 1
O problema a ser resolvido foi retirado do livro Me´todos Computacionais
da F´ısica[3] (Scherer, 2010, pp.81-84). Trata-se da o´rbita de um cometa em
torno do sol cuja massa e´ desprez´ıvel em relac¸a˜o ao sol. A u´nica modificac¸a˜o
em relac¸a˜o ao original e´ o valor de uma das condic¸o˜es iniciais. O problema
foi resolvido com o me´todo RK4 utilizando passo fixo (orbitaRK4.c) e o
me´todo de Fehlberg com incremento adaptativo (orbitaFehl.c).
A seguir esta˜o os gra´ficos com as soluc¸o˜es nume´ricas para ambos os
me´todos e a soluc¸a˜o exata, descrevendo a trajeto´ria do cometa.
1
 600
 400
 200
 0
 200
 400
 600
 200 0 200 400 600 800 1000
 0 500 1000y
(x
)
x
hfixo=5.0, x(0)=1000.0, y(0)=0.0, vx(0)=0.0, vy(0)=0.02
RK4
Exata
Figura 1: O´rbita com o me´todo RK4 utilizando passo fixo
 600
 400
 200
 0
 200
 400
 600
 200 0 200 400 600 800 1000
 0 500 1000y
(x
)
x
h0=5.0, x(0)=1000.0, y(0)=0.0, vx(0)=0.0, vy(0)=0.02
Fehlberg
Exata
Figura 2: O´rbita com o me´todo de Fehlberg utilizando incremento adaptativo
Na figura 1 foram plotados menos pontos para que se possa visualizar
2
que, com o passo fixo, quando o cometa esta´ passando pelo afe´lio, e portanto
com a menor velocidade orbital, os pontos se apresentam mais pro´ximos. Isso
se deve ao fato de que o cometa se deslocara´ menos que em outras sec¸o˜es da
o´rbita durante o passo h, justamente por conta de sua velocidade reduzida.
Ja´ ao passar pelo perie´lio, onde o cometa esta´ com a maior velocidade orbital,
este se desloca mais durante o intervalo h e os pontos se apresentam mais
afastados.
Na figura 2 veˆ-se que na˜o ha´ ocorreˆncia do mesmo efeito, pois o me´todo
empregado na˜o utiliza um passo fixo, mas um passo que se modifica con-
forme a avaliac¸a˜o do programa, podendo aumentar ou diminuir dependendo
da ana´lise do erro corrente do passo seguinte. Pode-se notar que, inclusive,
ocorre o efeito contra´rio, em que aparecem pontos mais pro´ximos na passa-
gem do cometa pelo perie´lio, mostrando que nessa sec¸a˜o ha´ necessidade de
reduzir o passo.
A seguir esta˜o os gra´ficos representando a variac¸a˜o de energia do cometa
ao longo do tempo, para ambos os me´todos, junto com a energia total exata.
−0.005
−0.004
−0.003
−0.002
−0.001
 0
 0.001
 0.002
 0.003
 0.004
 0 20000 40000 60000 80000 100000
E
n
e
rg
ia
Tempo
h0=5.0, x(0)=1000.0, y(0)=0.0, vx(0)=0.0, vy(0)=0.02
Energia total
Energia cinética
Energia potencial
Energia total exata
Figura 3: Energias nume´rica e exata durante a o´rbita do cometa com o me´todo
RK4.
3
−0.005
−0.004
−0.003
−0.002
−0.001
 0
 0.001
 0.002
 0.003
 0.004
 0 20000 40000 60000 80000 100000
E
n
e
rg
ia
Tempo
h0=5.0 (anos), x(0)=1000.0, y(0)=0.0, vx(0)=0.0, vy(0)=0.02
Energia total
Energia cinética
Energia potencial
Energia total exata
Figura 4: Energias nume´rica e exata durante a o´rbita do cometa com o me´todo
de Fehlberg.
Percebe-se que a conservac¸a˜o de energia e´ respeitada e o valor nume´rico
para a energia total esta´ de acordo com o valor exato.
1.2 Problema 2
Neste problema considera-se o sol na origem do sistema solar se obte´m a
o´rbita de um planeta do sistema solar devido a` atrac¸a˜o gravitacional do
sol. O planeta utilizado aqui sera´ Ju´piter e os dados referentes ao planeta
foram obtidos de uma tabela cedida virtualmente pela NASA[4]. O me´todo
utilizado para calcular numericamente a soluc¸a˜o deste problema sera´ o de
Fehlberg com passo variado (incremento adaptativo).
Primeiramente, e´ preciso contornar uma dificuldade oriunda da natureza
dos dados. Diferentemente do primeiro problema, sera´ necessa´rio utilizar
dados reais para a soluc¸a˜o deste. Como tratam-se de dados astronoˆmicos,
veremos nu´meros de ordem muito grande, como a distaˆncia e a massa dos
corpos, ou de ordem muito pequena, como a constante gravitacional, se uti-
lizarmos o sistema internacional de unidades. Assim, ao adotar-se a unidade
de distaˆncia como UA (Unidade Astronoˆmica), a unidade de massa como
MS (Massa Solar) e a unidade de tempo como ano, evitam-se ordens muito
grandes ou pequenas, que causariam problemas devido ao limite de precisa˜o
intr´ınseco ao ca´lculo nume´rico.
4
A constante gravitacional em unidades do sistema internacional e´
G = 6.67408x10−11m3kg−1s−2 ,
se utilizarmos MS = 1.98892x10
30kg, UA = 1.495978707x1011m e ano =
3.1596x107s obteˆm-se:
G = 39.58196 UA3M−1S ano
−2 ,
cuja ordem de grandeza na˜o apresenta nenhum poss´ıvel problema de arre-
dondamento, ao contra´rio do primeiro caso. Ao utilizarmos estas unidades
para representar o problema veremos que todas as grandezas f´ısicas se tor-
nam mais fa´ceis de serem tratadas computacionalmente.
A seguir esta˜o os gra´ficos com a trajeto´ria e energia de Ju´piter, tendo o
Sol posicionado na origem.
 6
 4
 2
 0
 2
 4
 6
 6 4 2 0 2 4 6
 0 2 4 6y 
(U
.A
)
x (U.A)
h0=5.0 (anos), r(0)=[5.459 ; 0] (U.A), v(0)=[0 ; 2.622] (U.A/ano)
Júpiter
Sol
Exata
Figura 5: O´rbitas nume´rica e exata de Ju´piter com o me´todo de Fehlberg.
5
−0.008
−0.006
−0.004
−0.002
 0
 0.002
 0.004
 0.006
 0.008
 0 4 8 12 16 20 24
E
 (
M
a
s
s
a
s
 S
o
la
re
s
 U
.A
2
 /
 a
n
o
s
2
)
t (anos)
h0=5.0 (anos), r(0)=[5.459 ; 0] (U.A), v(0)=[0 ; 2.622] (U.A/ano)
Energia total
Energia cinética
Energia potencial
Energia total exata
Figura 6: Energias nume´rica e exata durante a o´rbita de Ju´piter com o me´todo
de Fehlberg.
Veˆ-se que a o´rbita de Ju´piter e a o´rbita do cometa possuem grandes dife-
renc¸as. A o´rbita de Ju´piter na˜o apresenta grande variac¸a˜o entre a distaˆncia
do afe´lio e do perie´lio, enquanto que na o´rbita do cometa a diferenc¸a e´ ex-
tremamente grande. A diferenc¸a entre o afe´lio e o perie´lio de Ju´piter e´ da
ordem de 70 milho˜es de metros, pore´m, isso se traduz em cerca de apenas
0.5 UA, enquanto que a diferenc¸a entre afe´lio e perie´lio para o cometa e´ de
cerca de 250 UA.
Como esperado, a energia total, tanto de Ju´piter quanto do cometa,
permanecem constantes ao longo da trajeto´ria, enquanto as energias cine´tica
e potencial oscilam conforme a posic¸a˜o do corpo. E´ poss´ıvel verificar tambe´m
pela periodicidade da energia cine´tica e potencial na Figura 6 que o per´ıodo
de o´rbita do planeta Ju´piter e´ de aproximadamente 12 anos, o que esta´ de
acordo com as observac¸o˜es reais. Para os dois problemas verificou-se que
a soluc¸a˜o nume´rica coincide com os valores exatos para a posic¸a˜o e energia
total dos corpos em suas o´rbitas.
Refereˆncias
[1] MIT, The Kepler Problem: Planetary Mechanics and the Bohr
Atom. Dispon´ıvel em: http://web.mit.edu/8.01t/www/materials/
modules/guide17.pdf.
6
[2] WIKIPEDIA, Kepler Problem. Dispon´ıvel em: https://en.wikipedia.
org/wiki/Kepler_problem.[3] Scherer, C., Me´todos Computacionais da F´ısica Versa˜o Scilab, Livraria
da F´ısica, 2a ed. 2010.
[4] NASA, Jupiter Fact Sheet. Dispon´ıvel em: http://nssdc.gsfc.nasa.
gov/planetary/factsheet/jupiterfact.html.
7
	Introdução
	Problema 1
	Problema 2