Mapa da tenda

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Me´todos Computacionais da F´ısica II
Trabalho 4
Fabio Rasera Figueiredo
244430
26 de junho de 2016
1 Introduc¸a˜o
Neste trabalho sera˜o analisadas as propriedades do seguinte mapa:
xn+1 =
{
kxn, 0 ≤ x < 0.5
k(1− xn), 0.5 ≤ x ≤ 1 (1)
Esta e´ uma func¸a˜o recursiva, onde desejaremos que o domı´nio [0, 1] leve
a uma imagem tambe´m limitada por 0 e 1. Veremos que o comportamento
do mapa e´ bastante diferente para regio˜es distintas de x0 e k.
2 Ana´lise
Pode-se verificar graficamente quais sa˜o os pontos fixos deste mapa para
determinadas condic¸o˜es inicias. Existem pontos fixos de va´rias ordens, os
pontos fixos de ordem 1 sa˜o pontos em que xn+1 = xn, os pontos fixos de
ordem 2 sa˜o pontos em que xn+2 = xn, e assim por diante. Dessa forma,
quando um mapa tende a um ponto fixo de ordem 1, e´ de se esperar que
xn+1 tenda assinto´ticamente ao ponto fixo, enquanto que nos pontos de
ordem maior que 1, espera-se uma passagem c´ıclica pelos pontos fixos. O
programa que calcula os pontos se chama mapa1.c.
Vejamos o que ocorre para diferentes limites de k.
2.1 0 ≤ k ≤ 1
Analisando a equac¸a˜o 1 veˆ-se que, para 0 < k < 1, xn+1 tende assinto´ticamente
a` zero, pois tera´ valor sempre menor que xn, independentemente de x0 (con-
tando que 0 ≤ x0 < 1).
1
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0 5 10 15 20
x
n
+
1
n
x0=0.1 ; k=0.5
x0=0.5 ; k=0.5
x0=0.7 ; k=0.5
Figura 1: Mapa com 0 < k < 1 e 0 < x0 < 1
A figura 1 confirma que o mapa converge para 0 para valores variados
de x0, contanto que 0 < k < 1.
2.2 k = 1
Quando k = 1, e´ fa´cil perceber que a equac¸a˜o 1 dara´ pontos fixos iguais ao
ponto incial quando 0 <≤ x0 < 0.5, pois a equac¸a˜o se reduzira´ a xn+1 = xn.
Para 0.5 ≤< x0 ≤ 1, a equac¸a˜o se reduzira´ a xn+1 = 1 − xn, de forma
que o ponto fixo tera´ valor diferente do ponto inicial, com excec¸a˜o do ponto
x0 = 0.5, que resulta em xn+1 = xn novamente. Pore´m, para todos os casos
se verifica que havera˜o pontos fixos, desde que 0 ≤ x0 ≤ 1.
2
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 0 5 10 15 20
x
n
+
1
n
x0=0.3 ; k=1.0
x0=0.5 ; k=1.0
x0=0.9 ; k=1.0
Figura 2: Mapa com k = 1 e 0 < x0 < 1
Como esperado, veˆ-se que o mapa da´ pontos fixos para qualquer x0 entre
0 e 1, e ainda veˆ-se que para pontos iniciais menores ou iguais a 0.5 o mapa
da´ pontos fixos iguais aos pontos iniciais.
2.3 1 < k < 2
Nesse caso vemos que, se 0 ≤ x0 < 0.5, xn+1 deve aumentar proporcio-
nalmente a` k ate´ que alcance o valor de 0.5. Quando 0.5 ≤ xn, o mapa
apresentara´ um comportamento cao´tico em que os pontos oscilara˜o, pois os
pontos fixos sera˜o insta´veis.
3
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 0 5 10 15 20 25 30 35 40
x
n
+
1
n
x0=0.1 ; k=1.5
x0=0.5 ; k=1.5
x0=0.9 ; k=1.5
Figura 3: Mapa com 1 < k < 2 e 0 < x0 < 1
Nota-se que os pontos oscilam mas na˜o apresentam pontos fixos de qual-
quer ordem.
3 Bifurcac¸a˜o
Sera´ analisado o comportamento do mapa conforme k varia, para que se
possa visualizar graficamente o ponto em que se observa um comportamento
cao´tico. O programa que faz este ca´lculo chama-se mapa2.c.
4
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.5 1 1.5 2
x
n
+
1
k
Figura 4: U´ltimos 400 pontos do mapa em func¸a˜o de k, com ∆k = 1/400
Nota-se o comportamento cao´tico a partir de k = 1, onde ha´ uma bi-
furcac¸a˜o.
4 Coeficiente de Lyapunov
O coeficiente de Lyapunov representa a taxa com que a distaˆncia entre 2
trajeto´rias aumenta com o tempo. E` definido de tal forma:
λL = lim
n→∞
1
n
n∑
i=1
ln|f ′(xi)|, (2)
onde f(x) = xn+1.
Pela definic¸a˜o, quando λL > 0 as trajeto´rias estara˜o se afastando, re-
presentando um comportamento cao´tico, enquanto que quando λL < 0 as
trajeto´rias estara˜o convergindo para um ponto fixo ou para um limite c´ıclico
onde havera˜o pontos fixos de ordens maiores que 1.
A derivada do mapa analisado e´:
f ′(xn) =
{
k, 0 ≤ x ≤ 0.5
−k, 0.5 ≤ x ≤ 1 (3)
Portanto, temos que λL = k, para 0 ≤ x ≤ 1. De acordo com a definic¸a˜o
do coeficiente de Lyapunov, o comportamento deve se tornar cao´tico para
5
k > 1, conforme visualizado no diagrama de bifurcac¸a˜o.
−2
−1.5
−1
−0.5
 0
 0.5
 0 0.5 1 1.5 2
λ L
k
Coeficiente de Lyapunov
Figura 5: Coeficiente de Lyapunov em func¸a˜o de k
A figura 5 demonstra que ha´ uma intersecc¸a˜o entre o eixo das abscissas
e o coeficiente de Lyapunov quando k = 1, de acordo com o comportamento
visto na ana´lise anterior.
6
	Introdução
	Análise
	0 k 1
	k=1
	1<k<2
	Bifurcação
	Coeficiente de Lyapunov