Matematica Financeira - material de apoio - Faculdade de Olinda

Prévia do material em texto

FACULDADE DE OLINDA 
 
 
2012 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Material de Apoio 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ROBERTO Página b 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO 
 
 
 
 
Cálculo numérico 
 
Operações com potências: 
 
44348 2 
  
2348 
 
 
 9 
 
 36 
 
 44 
 
 
 
 
504843 2 
 
 
 16 
 
 48 2 
 
 50 
 
 
Cálculo numérico com parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } 
 
      10732243 
 
 
 7 5 
 
 14 
 
 70 
 
 10 
 
 
 
 
 
 
 9 3 5 
 
 3 
 
 6 
 
 1 
 
 5 
 
 0 
 
 
Propriedades da multiplicação e divisão 
Multiplicação Divisão 
 
Comutativa 
 
 
abba 
 
 
4884 
 
 
 
 Comutativa 
 
 
abba 
 
 
 
4884 
 
 
 0,5 2 
 
 
Associativa 
 
   cbacba 
 
 
    24432432 
 
 
 6 x 4 = 2 x 12 = 24 
 
 
Associativa 
 
   cbacba 
 
 
   248248 
 
 
 2 2 
 
 1 ≠ 4 
 
 
Distributiva 
 
 
  cabacba 
 
 
  5343543 
 
 
 
Distributiva 
 
 
  cabacba 
 
 
  6242642 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ROBERTO Página c 
 
 
 
Elemento neutro da multiplicação ( um ) 
 
aa  11
 
 
5115 
 
 
Elemento neutro da divisão 
 
aa  11
 
 
5115 
 
 
 
Propriedades da Potenciação 
 
Potência de mesma base 
 
3aaaa 
 
 
273333 3 
 
 
 
Multiplicação de potência de mesma base 
 
mnmn aaa 
 
 
243333 532 
 
 
 
Divisão de potências de mesma base 
 
pn
p
n
a
a
a 
  
822
2
2 325
2
5
 
 
 
 
Potência de potência 
 
 mna
  
  64222 62323  
 
 
Expoente zero 
 
10 a
  
1120 
 
 
Sendo a ≠ 0 
 
 
Expoente um 
 
aa 1
  
12121 
 
 
Potência de um produto 
 
  nnn baba 
 
 
  36492323 222 
 
 
 
 
 
 
Potência de uma fração 
 
n
nn
b
a
b
a






 
 
4
16
64
4
8
4
8
2
22






 
 
 
Conversão 
 
n
n
ba
b
a 
 
 
016,0008,02
125
1
252
5
2 3
3
 
 
 
 
 
m
n
m n aa 
 
 
 
64888 23
6
3 6 
 
 
 
 
 
  71 5  n
  
  55 5 71  n
  
  5
1
5
5
71  n
  
20,071  n
  
475773,01475773,1 n
 
 
 
 
Preservação da igualdade 
 
mm ba
ba


 
 
 
mbma
ba


 
 
 
 
mbma
ba


 
 
 
mbma
ba


 
 
m
b
m
a
ba

 
 
 
mm ba
ba


 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ROBERTO Página d 
 
 
Operações com fração 
 
Adição e subtração 
 
 
n
m
b
a

 
 
 
 
 
nb
mban
nb
m
n
nb
a
b
nb








 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação 
 
nb
ma
n
m
b
a



 
 
 
 
Divisão 
mb
na
m
n
b
a
n
m
b
a
n
m
b
a




 
 
 
Estruturas algébricas 
 
Adição e subtração 
 
 
6
41044
104



x
x
x 
 
 
 
Potenciação 
 
 
422
264
64
23
6
3
1
63
3
33 3
3



xxx
xx
x
 
 
 
 Multiplicação e divisão 
 
 
6
5
30
5
5
305



x
x
x
 
 
 
 Radiciação 
 
   2433
3
5
5
555
5


xx
x
  x = 243 
 
Exponencial e Logaritmo 
 
 
322
28
3 

xx
x
 
x38 
  
xLogLog 38 
 
3
8
38
Log
Log
x
LogxLog

 
892790,1
477121,0
903090,0
x
 
 
 
 
 
 
O ponto e a vírgula 
 
No Brasil a parte inteira de uma expressão numérica é separada da parte fracionária por uma 
vírgula, servindo o ponto, apenas, como elemento de separação de milhares da parte inteira, 
tendo, portanto, função estética na organização visual. 
Exemplo: 1.234.467.890,26843 
 
Esta é a forma de apresentação que será utilizada em nosso curso de Matemática Financeira. 
 
 
Bases iguais, os expoentes são iguais. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ROBERTO Página e 
 
 
A vírgula tem posição fundamental na composição de uma expressão numérica, dado que o seu 
deslocamento para direita ou para a esquerda, nessa expressão numérica, implica, 
respectivamente, a multiplicação ou divisão por 10 (dez) no resultado. 
Exemplo: 
345,12
 
10345,122345,1
10345,1245,123


 
 
É extremamente recomendável que o aluno de Matemática Financeira faça uso de uma 
calculadora financeira para utilização em sala de aula para resolução dos exercícios. 
Calculadoras não financeiras, mas que tenha a tecla yx, servem para resolução dos 
problemas propostos. 
 
 
Resultado de expressões em Matemática Financeira 
 
 
Os resultados obtidos na solução dos problemas de Matemática Financeira envolvem, quase 
sempre, inúmeras casas decimais após a vírgula. O tratamento desses resultados envolve dois 
conceitos: 
1. Na apresentação da solução do problema, utiliza-se o conceito de aproximação ou 
arredondamento do resultado; 
2. Na utilização de um resultado obtido, para a solução de uma segunda questão, utiliza-se o 
conceito de preservação da expressão matemática. 
 
Aproximação ou arredondamento do resultado 
 
 O conceito de aproximação ou arredondamento do resultado de uma operação 
aritmética está relacionado à quantidade de casas decimais após a vírgula com que se deseja 
apresentar o resultado de uma expressão aritmética. Normalmente, utiliza-se duas casas decimais 
na apresentação do resultado. 
 A forma de aproximação ou arredondamento mais aceita nos meios financeiros é a 
apresentada na tabela abaixo, para o caso de apresentação do resultado com duas casas decimais: 
 
Aproximação com 2 casas decimais 
Resultado obtido Resultado apresentado 
358,910 
 
358,91 
358,911 
358,912 
358,913 
358,914 
358,915 
 
358,92 
358,916 
358,917 
358,918 
358,919 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
ROBERTO Página f 
 
 
Preservação da expressão Matemática 
 
 Consiste em se manter a expressão que deu origem a um determinado resultado. Por 
exemplo: o capital de R$ 400,00 foi dividido igualmente para seis pessoas  
666666,66
6
400

 por 
pessoa. Por aproximação, cada pessoa receberá R$ 66,67. Mas, se o resultado apresentado for 
utilizado pra qualquer outro cálculo, aconselha-se o uso do maior número de casas decimaispossível ou o uso de fração  
3
2
66
6
400

. 
Utilizaremos seis casas decimais nos cálculos para resolução dos problemas. 
 
Porcentagem ou percentagem 
 
 É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas de uma outra. 
 É um resultado de uma fração onde o numerador é uma parte do todo e o 
denominador representa o todo 
 
 
Exemplo: Uma pizza cortado em oito pedaços, cada pedaço dessa pizza representa 1/8 do todo (a 
pizza). 1 pedaço de pizza  
8
1
, onde 
 Caso a pizza fosse dividida em 6 pedaços, cada pedaço seria representado por 1/6, 
agora qual o pedaço de pizza maior? 1/8 ou 1/6? Como reduzir essas medidas para padrões 
uniformes de comparação? 
 
 A solução consiste em apresentá-las em uma base de valor 100, (olha o por que: cem por 
cento). 
 
Assim temos: 
5,12
8
100
81001
1008
1
 XX
X
, ou seja, cada pedaço representa 12,5/100, 
ou 12,5% de toda pizza. 
 
Para a pizza de seis pedaços, 
67,16
6
100
61001
1006
1
 XX
X
, ou seja, cada pedaço 
representa 16,67/100, ou 16,67% de toda pizza. 
1  Pedaço 
8  Pizza inteira 
Matemática Financeira 
 Roberto 
1 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 A Matemática Financeira está presente no nosso cotidiano em forma de financiamentos de 
casa e carros, de empréstimos, compras a crediário, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de 
valores etc. 
 A Matemática Financeira estuda a dinâmica do valor do dinheiro ao longo do tempo. Tem como 
objetivo analisar as modificações dos recursos financeiros num determinado período de tempo. 
 Faro (2006), afirma que o cálculo financeiro tem por objetivo estudar as relações que envolvem 
unidades monetárias consideradas em distintos pontos no tempo. Deste modo, a Matemática Financeira 
estuda a evolução do dinheiro ao longo do tempo. 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS NA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
a) CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( PV ) 
 Qualquer valor expresso em moeda disponível em determinada época é geralmente conhecido 
como: CAPITAL, VALOR PRESENTE, VALOR INICIAL de uma operação. 
 CAPITAL é a quantidade monetária envolvida em uma transação, referenciada geralmente na 
data inicial. 
 
b) FLUXO DE CAIXA 
 Denominamos Fluxo de Caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro no caixa de uma 
empresa, ao longo de um determinado período de tempo. 
 
 Podemos representar fluxo de caixa pelos diagramas abaixo. 
 
 Recebimentos 
 
 0 1 4 5 n Pagamentos 
 
 
c) JUROS ( J ) 
 A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no 
presente e não no futuro, neste caso, tendo preferência para consumir hoje, as pessoas querem uma 
compensação pelo fato de não usar o dinheiro no presente. Abaixo algumas definições de juros: 
 É uma complementação financeira para uma aplicação de recursos monetários por certo 
período de tempo; 
 É a remuneração do capital empregado num determinado período de tempo; 
 É o aluguel recebido ou pago pelo uso do dinheiro durante um determinado período de tempo; 
 Remuneração pelo direito do uso de determinado capital durante certo período de tempo; 
 É a remuneração aos serviços prestados pelo capital financeiro, proveniente de uma atividade 
estritamente financeira. 
Do ponto de vista do tomador de empréstimo, o juro é o preço do capital e do ponto de vista do 
investidor é a renda do capital investido. 
 
2 3 
Matemática Financeira 
 Roberto 
2 
d) TAXA DE JURO ( i ) 
 Na determinação do valor do juro, que é cobrado em qualquer transação financeira, é utilizado 
um coeficiente denominado “taxa de juro”. 
 Então taxa de juro é: 
 Um coeficiente monetário aplicado ao capital por um determinado período de tempo para 
remunerar o capital; 
 É o índice que determina a remuneração do capital financeiro num determinado tempo; 
 É a proporção existente entre o recurso financeiro aplicado e sua remuneração; 
 É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de certo período de tempo e o capital 
aplicado; 
 É a relação percentual existente entre a remuneração do principal e o próprio capital. Portanto, 
é o percentual que aplicado ao principal define o valor do juro a ser pago ou recebido. 
 
A taxa de juro se expressa de duas formas: 
 
1. Forma percentual: Nesta forma a taxa é acompanhada do símbolo % e de um período de 
aplicação. 
a) Exemplo: 12% ao mês; 20% ao ano; 10% ao dia; 120% ao semestre etc. 
 
2. Forma unitária: Nesta forma a taxa percentual é dividida por 100. 
Exemplos: 
a) 12% a.m. a taxa unitária correspondente é 0,12; 
b) 20% a.a. a taxa unitária correspondente é 0,20; 
c) 10% a.s. a taxa unitária correspondente é 0,10; 
d) 120% a.t. a taxa unitária correspondente é 1,20; 
 
A taxa unitária é a forma utilizada nas expressões algébricas. 
 
e) PRAZO ( n ) 
 Duração, período de tempo existente entre datas dos fluxos de caixa de uma operação. Prazo 
de aplicação, normalmente refere-se ao prazo total de uma aplicação. 
 
f) PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
 É a unidade de tempo em que à taxa de juro e o prazo da operação se expressam. É utilizado 
na conversão da taxa de juro, com a finalidade de se calcular juro, capitalizar (acumular ou ajuntar 
dinheiro, com vista à formação de um capital) valores e comparar taxas. 
 O período de capitalização é expresso em unidade de tempo (dia, mês, ano...) e se refere à 
taxa de juro e ao prazo em que os juros são recebidos ou pagos. 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
 Roberto 
3 
g) MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( FV ) 
 Montante é o Capital acrescido dos Juros, ao fim de um período de capitalização. É o valor 
monetário resultante de uma transação financeira, sendo, portanto um valor futuro. O montante é igual 
ao capital inicial mais o juro num determinado período de tempo. 
 
 
 i, J 
 C M 
 
h) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
 É o processo das diferentes formas como os rendimentos (juros) são gerados e agregados ao 
recurso financeiro aplicado. 
a) Regime de Capitalização Simples: se os juros, nos vários períodos, forem calculados 
sempre sobre o capital inicialmente empregado, dizemos que a capitalização é feita no 
regime de juros simples. Neste tipo de capitalização somente o capital inicial rende 
juros. 
 
b) Regime de Capitalização Composta: o juro de cada período de capitalização da 
operação decorre da aplicação da taxa de juro sobre o último saldo (capital + juros) do 
período anterior. 
 
Em função do tempo de geração de rendimentos, a capitalização simples e composta, podem ocorrer 
em processos continuo ou descontínuos. 
 
a) Processo contínuo de capitalização: caracteriza-se por uma agregação dos juros ao 
capital aplicado de uma forma instantânea ou sem interrupção. É quando o juro é 
formado a cada instante e incorporado ao capital, sem interrupção. 
 
 Capital Capital 
 
 
 
 
 Co CoTempo Tempo 
 
 Capitalização contínua Composta Capitalização continua Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Descontinuo: Foi convencionado que o rendimento ou juro só será formado e 
agregado ao capital no fim de cada período de tempo. Neste processo o rendimento se 
dá no final de cada período (poupança). 
 
 Capital 
 
 
 
 
 
 Co 
 
 Tempo 
M = C + J 
 
 
Dado o capital inicial, C0, a função continua com 
crescimento exponencial, fornece em qualquer 
tempo “t”, o capital acumulado, Ct. 
 
 
Dado o capital inicial, C0, a função continua com 
crescimento linear, fornece em qualquer tempo 
“t”, o capital acumulado, Ct. 
 
Matemática Financeira 
 Roberto 
4 
i) DIFERENÇA ENTRE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
 
 1.000 
 0 1 2 3 
 !--------------------!--------------------!--------------------! 
 20% 20% 20% 
 
 
 
Formação dos juros e montante pelo processo da Capitalização Simples 
 
 
a) 1.000 + 1.000 x 0,20 = 1.200 
b) 1.200 + 1.000 x 0,20 = 1.400 
c) 1.400 + 1.000 x 0,20 = 1.600 
 
Formação dos juros e montante pelo processo da Capitalização Composta 
 
a) 1.000 + 1.000 x 0,20 = 1.200 
b) 1.200 + 1.200 x 0,20 = 1.440 
c) 1.440 + 1.440 x 0,20 = 1.728 
 
 
O capital de R$ 20,00 foi aplicada na Capitalização Simples e na Capitalização Composta nos seguintes 
períodos de tempo, 72 dias, 144 dias, 216 dias, 288 dias, 360 dias, 432 dias e 504 dias, à taxa simples 
de 60% ao ano e à taxa composta de 60% ao ano. 
 
Capitalização Simples Capitalização Composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa de juros será sempre aplicada ao capital inicial. 
Observe que, a taxa de juros total da aplicação é a soma das 
taxas parciais, ou seja, 60% para os três meses. 
%601001
000.1
600.1







 
A taxa de juros será sempre aplicada ao saldo ou capital 
final. A taxa de juros total da aplicação será a multiplicação 
das taxas parciais, 72,80% para os três meses. 
%8,721001
000.1
728.1







 
Matemática Financeira 
 Roberto 
5 
Gráfico dos Mantantes das duas Capitalizações 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432 468 504 540 576
Capitalização Simples Capitalização Composta
Os montantes são iguais 
O mantante da capitalização simples 
é maior do que o montante da 
capitalização composta 
O mantante da capitalização 
composta é maior do que o 
montante da capitalização simples 
Taxa de juros 
Dias 
Matemática Financeira 
Roberto 
6 
1. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 É empregado em operações típicas de curto prazo. No regime de capitalização simples, a taxa 
de juro de cada período, incide sempre sobre o capital inicial para formação dos juros. Os juros 
produzidos em cada período são constantes e proporcionais ao capital inicial aplicado 
 
1.1. Juros Simples 
 Os juros simples são formados a partir da aplicação da taxa de juro, de cada período, sobre o 
capital inicial. 
 
I. Cálculo dos Juros Simples 
 
a) Cálculo dos juros simples para taxas diferentes 
 Suponha que um determinado capital “C” foi aplicado em “n” períodos e recebeu certo 
rendimento “Jt “ proporcional a uma taxa variável “ it “ período a período. 
Vejamos no diagrama abaixo: 
 
C J1 J2 J3 J4 J5 Jn 
 ------------------------------!--------------------------------------------------------------- 
0 i1 1 i2 2 i3 3 i4 4 i5 5 in n 
 
 
Na data 1  o cálculo do juro simples  J1 = C x i1 
Na data 2  o cálculo do juro simples  J2 = C x i2 
Na data 3  o cálculo do juro simples  J3 = C x i3 
 
Na data n  o cálculo do juro simples  Jn = C x in 
 
Denominando de “J” o rendimento total: J = J1 + J2 + J3 + J4 + J5 + .......... + Jn 
 
 
Substituindo J = C x i1 + C x i2 + C x i3 + C x i4 + C x i5 + ........ + C x in 
 
 
 Colocando C em evidencia teremos a seguinte equação: 
 
 (1) 
 
 
A expressão, acima, fornece o total de juros simples ao final de “n” períodos de aplicação, quando se 
investe um único capital e taxas variáveis em cada período. 
Exemplo: Uma pessoa deposita em certa instituição financeira a quantia de R$ 2.000,00 para receber 
durante um ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 1
o
. trimestre: 10% ; 2
o
. trimestre: 12%; 
3
o
. trimestre: 15% e 4
o
. trimestre: 18%. Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. 
 
Solução 
Sendo as taxas variáveis, temos: 
 
 
C = R$ 2.000,00; i1 = 10% a.t.; i2 = 12% a.t. ; i3 = 15% a.t. e i4 = 18% a.t. 
Logo: 
J = 2.000 (0,10 + 0,12 + 0,15 + 0,18)  J = 2.000,00 x 0,55  J = 1.100,00 
 J = C x ( i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ......... + in ) 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
7 
Exemplo: Certo título de crédito é oferecido a um custo de R$ 10.000,00 para fornecer ao seu futuro 
possuidor rendimentos, a juros simples, de acordo com as taxas e prazos de aplicação seguintes: 
 Taxas Prazo 
0,50% a.m. durante 3 meses 
1,12% a.b. durante 4 meses 
4,20% a.s. durante 6 meses 
 Determinar os juros simples totais ao final do prazo de aplicação. 
 
Solução 
C = R$ 10.000,00 
J = 10.000 (0,0050 + 0,0050 + 0,0050 + 0,0112 + 0,0112 + 0,0420) 
J = 10.000 x 0,0794  J = 794,00 
 
b) Cálculo dos Juros Simples para taxas iguais 
 
 Admitindo que i1 = i2 = i3 = i4 = i5 =...... = in = i, ou seja, as taxas de juros simples são iguais em 
todos os períodos da aplicação, neste caso a expressão (1), acima, ficará: J = ( i + i + i + ... + i ) 
resultando na expressão:Esta expressão permite calcular os juros simples totais de uma aplicação quando as taxas de 
juros forem fixas, iguais em todos os períodos de aplicação. 
Exemplo: Qual a remuneração obtida por um capital de $ 2.000 aplicados durante dois anos à taxa de 
juro simples igual a 10% ao mês? 
 
Solução 
C = 2.000 
i = 10% ao mês 
n = 2 anos 
 
II. Cálculo do montante 
Montante é o soma do capital inicial mais os juros ganhos: M = C + J . 
 
a) Montante Simples para taxas variáveis de juro simples 
 
 M = C + C ( i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ......... + in ), colocando C em evidencia: 
 
 (3) 
 
Exemplo: Calcular o montante simples de $ 2.000 aplicados durante um ano com as seguintes taxas 
trimestrais: 10%; 12%; 15 e 18% respectivamente. 
Solução 
M = 2.000 ( 1 + 0,10 + 0,12 +. 0,15 + 0,18) 
M = 2.000 x 1,55  M = 3.100,00 
J = C x i x n 
J = 2.000 x 0,10 x 24 
 
J = 4.800,00 
M = C ( 1 + i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + ......... + in ) 
(2) 
Matemática Financeira 
Roberto 
8 
b) Montante Simples para taxas fixas de juro simples 
 Admitindo que i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = ...... = in = i , ou seja, as taxas de juros 
simples são iguais em todos os períodos da aplicação, a expressão (3), acima, será igual a: 
 
 M = C + C x i x n ou (4) 
 
Exemplo: Calcular o montante fornecido por um capital de R$ 500,00 aplicado a uma taxa de juro 
simples de 54% ao ano durante 35 dias. 
Solução 
C = R$ 500,00 
i = 54% ao ano 
n = 35 dias 
 
homogeneizando 
C = R$ 500,00 
i = 54% ao ano / 360 = 0,15% ao dia 
n = 35 dias 
 Logo: 
 M = 500 [1 + 0,0015 x 35]  M = 500 x 1,0525  M = 526,25 
 
 
1.2. Homogeneização entre Taxa de Juro e Prazo de Capitalização 
 
 Para a resolução de problemas relativos a análise financeira exige-se que a taxa de juro e o 
prazo de capitalização estejam na mesma unidade de tempo. 
 
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três meses a taxa de juro simples de 120% ao 
ano. Calcular os juros simples. 
 
Podemos resolver das seguintes formas: 
C = R$ 1.000,00 C = R$ 1.000,00 C = R$ 1.000,00 
i = 120% ao ano i = 10% ao mês i = 30% ao trimestre 
n = 3 meses n = 3 meses n = 1 trimestre 
 
3003
12
20,1
000.1J 
 
300310,0000.1J 
 
300130,0000.1J 
 
Em toda aplicação financeira a unidade de tempo da taxa de juros tem que ser igual a unidade de tempo do período de 
capitalização, portanto, devemos transformar a taxa de juros ou o prazo de aplicação para que fiquem mesma unidade de tempo. 
 
Em um problema: Se a taxa de juros for igual a 120% ao ano e o prazo de aplicação for igual a três 
meses, deve-se transformar a unidade de tempo da taxa de juros (ao ano) para mês 
 
 
 
ou transformar a unidade de tempo do prazo para ano 
 
 
 
 
M = C (1 + i x n) 
Matemática Financeira 
Roberto 
9 
1.3. Taxa de Juro Proporcional na Capitalização Simples 
 A taxa de juro simples pode ser expressa em qualquer unidade de tempo e pode ser convertida 
para qualquer outra unidade sem alterar seu valor intrínseco. 
 
Portanto, duas taxas de juros quaisquer são ditas proporcionais se houver proporcionalidade entre as 
mesmas e seus respectivos prazos,
 
Exemplo: as taxas de 3% a.m. e 36% a.a. são proporcionais porque 
%3
%36
 é proporcional a 
 
 
 
 
Exemplo: Dada à taxa de 30% a.t. determinar as taxas proporcionais: 
a) Mensal, 
b) Semestral e 
c) Anual. 
 
SOLUÇÃO 
a) 

1
3
X
%30
 encontrando o valor de X, tem-se que X = 10% a.m. 
b) 

6
3
X
%30
 o valor de X será: 
X
3
6%30


 60% a.s. 
c) 

12
3
X
%30
 o valor de X será: 
X
3
12%30


 120% a.a. 
 
1.4. Taxas Equivalentes na Capitalização Simples 
 Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
período de tempo, produzem o mesmo juros. 
 
Exemplo 1: Verificar se as taxas de 4% a.m. e 12% a.t. são equivalentes. 
 
Solução 
Vamos aplicar as taxas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo e verificar se os juros produzidos são 
iguais ou não. 
 Admitindo que as taxas foram aplicadas ao capital de R$ 20.000,00 durante dois anos. 
a) Para a primeira taxa, temos: J = 20.000 x 0,04 x 24 = 19.200,00 
b) Para a segunda taxa, temos: J = 20.000 x 0,12 x 8 = 19.200,00 
Como os juros são iguais, podemos dizer que as taxas são equivalentes. 
 
Exemplo 2: Verificar se as taxas de 4% a.m. e 12% a.a. são equivalentes. 
 
a) No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 24 = 19.200,00 
b) No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00 
Como os juros são diferentes, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.a., não são taxas equivalentes. 
 
Nota: Na capitalização simples as taxas proporcionais são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = Período 
i = Taxa 
i
i
n
n ''

 
Matemática Financeira 
Roberto 
10 
1.5. Juro Comercial e Juro Exato 
Nas operações de curto prazo, no regime de capitalização simples, os prazos costumam ser 
expressos em dias. No caso da taxa de juros apresentada seja anual, para utilizarmos as expressões de 
juros simples, é necessário colocar o prazo também na unidade ano. Para isso têm-se duas formas: 
1. Juros comerciais levam em consideração o ano comercial com 360 dias e, conseqüentemente, 
os meses, indistintamente, têm 30 dias. 
 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado durante 120 dias à taxa de juros simples de 240% a.a. 
Calcular os juros simples dessa aplicação. 
 
 
00,448
360
120
4,2560 J
 
2. Juros exatos consideram o ano civil de 365 dias ou 366 se bissexto, com os meses se 
apresentado com as quantidades de dias normais, 28, 29, 30 ou 31 dias. 
 
Exemplo: Um capital de R$ 560,00 foi aplicado no dia 21.04.2010 à taxa de juros simples de 240% a.a. e 
resgatado no dia 19.08.2010. Calcular os juros simples dessa aplicação. 
 
86,441
365
120
4,2560J 
 
 
1.6. Equivalência de Capitais a Juros Simples 
 Dois ou mais capitais, com vencimento em datas distintas, são equivalentes quando levados 
para uma mesma data (data de comparação) e aplicado a mesma taxa de juros produzirem o mesmo 
valor. 
 A equivalência de capitais no regime de juros simples, por característica, depende da data de 
comparação. Isto é, capitais equivalentes em uma determinada data não serão em outra data distinta. 
 
Exemplo: Verificar se os capitais R$ 3.900,00 no prazo de 3 meses é equivalente a R$ 5.100,00 no 
prazo de 7 meses, considerando a taxa de juros simples de 10% a.m. e a data de comparação o mês 5. 
 
A verificação consiste em levar os dois capitais para o mês cinco e averiguar se as quantias são iguais ou não. 
 
 
 
 3.900 5.100 
 
 0 1 2 3 45 6 7 
 
 
1º. Capital 
006804
2019003
210019003
,.M
,.M
),(.M


 
 
2º. Capital 
 
210,01
100.5

M
 
 
00,250.4
20,1
100.5
M
 
Data de comparação 
O capital de 3.900 no instante (5) é igual a 4.680, 
enquanto o capital de 5.100 no instante (5) é igual a 
4.250, portanto são diferentes na data de comparação, 
logo não são equivalentes para o instante (5) e taxa de 
10% a.m. 
Matemática Financeira 
Roberto 
11 
 
Vejamos o mesmo exemplo com a data de comparação no instante zero (0), hoje. 
 
 
 
 
 
 3.900 5.100 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 
 
 
1º. Capital 
 
310,01
900.3

M
 
 
000.3
30,1
900.3
M
 
 
 
2º. Capital 
 
710,01
100.5

M 
 
 000.370,1
100.5
M
 
 
 
 
 
 
 
1.7. TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 
a) Cálculo da Taxa Média 
 A taxa média, no juro simples, é calculada pela ponderação dos prazos e pelos valores 
aplicados, como segue: 







n
t
tt
n
t
ttt
m
nC
niC
i
1
1 
 O numerador é igual à soma do valor dos juros totais. O denominador é igual à soma dos 
produtos do capital pelo prazo de aplicação. 
 
b) Cálculo do Prazo Médio 
 O prazo médio é calculado por uma ponderação simples, isto é, os prazos são ponderados 
apenas pelo valor atual das aplicações, vejamos: 






n
t
t
n
t
tt
m
C
nC
n
1
1
_
 
 
O capital (1) no instante 0 é igual a 3.000,00 e o capital (2) 
também é igual a 3.000,00 no instante 0, portanto, no instante 
0 os valores são iguais – neste caso os capitais são 
equivalentes para o instante 0 e taxa de juros de 10% a.m. 
Matemática Financeira 
Roberto 
12 
Exemplo: Um escritório de prestação de serviços empresta dinheiro a três pessoas diferentes, cujos 
valores, taxas de juro e prazos foram os seguintes. 
 
 
Op. 
Valor 
Emprestado 
Taxa de juro mensal 
 Cobrada 
Prazo do 
Empréstimo (Mês) 
1 12.000,00 7% 3 
2 7.000,00 8% 4 
3 10.000,00 9% 5 
 
Calcular a taxa média e o prazo médio correspondente a essas três operações, sabendo-se que o valor 
emprestado mais os juros serão pagos nos respectivos vencimentos, e que o regime de capitalização 
dos juros é o simples. 
 
Cálculo da Taxa Média 
08122,0
000.114
260.9
5000.104000.73000.12
509,0000.10408,0000.7307,0000.12
im 



 8,122% a.m. 
 
Cálculo do Prazo Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste: 
 
 
 



n
1t
tmmt CniJ
  0,08122 x 3,931 x 29.000,00 = 9.260,00 
Nota: 
1. O cálculo da taxa de juro média de operações com prazos iguais: A taxa de juro média será 
aquela que, aplicada à soma dos capitais de n operações, todas com o mesmo prazo, produz juro 
igual à soma dos juros de cada umas dessas operações. 
 
niC...niCniCni)C...CC( nn2211mn21  
Desse modo: 
n)iC...iCiC(ni)C...CC( nnmn  221121
 
 
Dividindo ambos os termos por n e solucionando para im, temos: 
n21
nn2211
m
C...CC
iC...iCiC
i



 
Exemplo (1): Calcular a taxa de juro média das operações a seguir: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00 C = 300,00 
n = 30 dias n = 30 dias n = 30 dias 
i = 24% ao ano i = 36% ao ano i = 48% ao ano 
 
Total dos juros: 
2.520 + 2.240 + 4.500 = 9.260 
Matemática Financeira 
Roberto 
13 
400
600
240
300200100
480300360200240100
,
,,,
im 



 ou 40% ao ano 
Teste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros totais: 2 + 6 + 12 = 20,00 
----------------------------------------- 
C = C1 + C2 + C3 = 100 + 200 + 300 = 600 
n = 30 dias (para todas as operações) 
im = 40% ao ano 
 
Jt = C x im x n = 
20
360
30
40,0600  
 
Exemplo (2). Calcular a taxa de juro média das operações abaixo: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 4ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00 C = 300,00 C = 400,00 
n = 2 anos n = 2 anos n = 2 anos n = 2 anos 
i = 48% ao ano i = 5% ao mês i = 36% ao ano I = 2% ao mês 
 
Neste caso, convertem-se as taxas de juro para o prazo das operações (dois anos), com o objetivo de 
homogeneizá-las: 
i1 = 48% ao ano x 2 = 96% 
i2 = 5% ao mês x 24 = 120% 
i3 = 36% ao ano x 2 = 72% 
i4 = 2% ao mês x 24 = 48% 
 
7440
400300200100
480400720300201200960100
,
,,,,
im 



  ou im = 74,40% por dois anos, ou 37,20% a.a. 
Teste: 
 
 
 
 
 
 
C = C1 + C2 + C3 + C4 = 100 + 200 + 300 + 400 = 1.000 
n = 2 anos (para todas as operações) 
im = 37,20% ao ano 
 Jt = C x im x n = 
74423720,0000.1 
 
Total dos juros: 
96 + 240 + 216 + 192 = 744 
Matemática Financeira 
Roberto 
14 
2. O cálculo do prazo médio de operações com taxas de juro iguais: é o período de tempo durante o 
qual a soma dos capitais de operações com diferentes prazos e mesma taxa de juro produz juro de 
valor igual à soma dos juros de cada uma dessas operações. 
 
nnmn niC...niCniCni)C...CC(  221121 
Desse modo: 
i)nC...nCnC(ni)C...CC( nnmn  221121
 
 
Dividindo ambos os termos por i e solucionando para nm , temos: 
n21
nn2211
m
C...CC
nC...nCnC
n



 
 
Exemplo (3): Calcular a taxa de juro média das operações a seguir: 
1ª. Operação 2ª. Operação 3ª. Operação 
C = 100,00 C = 200,00 C = 300,00 
n = 30 dias n = 60 dias n = 90 dias 
i = 24% ao ano i = 24% ao ano i = 24% ao ano 
 
diasnm 70
300200100
903006020030100



 
 
 Teste: 
C = C1 + C2 + C3 = 100 + 200 + 300 = 600 
nm = 70 dias 
i = 24% ao ano (para todas as operações) 
 
 Jt = C x i x nm = 
28
360
70
24,0600 
 
 
18
360
90
240300
8
360
60
240200
2
360
30
240100
3
2
1



,J
,J
,J
 
Juros totais = 2 + 8 + 18 = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
15 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Um capital de R$2.500,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros simples de 6% a.b. Qual o 
juro simples total produzido nesta aplicação? 
 
 
 
 
 
  
 
2) Que prazo duplica um capital aplicado à taxa de juro simples igual a 4% ao mês? 
 
M = C + J 
C2M
.m.a%4i


   
n04,01
C
C2


  
25nn
04,0
12


meses 
3) Qual o montante produzido por um capital aplicado à taxa de juro simples de 4% a.s. durante 2 
meses e 12 dias, sabendo que produz juro simples igual a $96,00? 
 
M = C + J 
J = $ 96,00 
.a.a%82.s.a%..4i 
 
n = 2 meses e 12 dias = 72 dias ou 72/360 = 0,2 anos 
niCJ 
  
2008096 ,,C , logo 
600
16,0
96
C 
  M = 600 + 96 = $ 696 
4) Um capital de $ 500,00 é aplicado durante oito meses produzindo um montante de $ 560,00. Qual 
a taxa de juro simples mensal aplicada na operação? 
 
C = $ 500,00 
n = 8 meses 
CMJ 
  
60500560J 
 
M = $ 560,00 
i = ? 
niCJ 
  
8i50060 
  
015,0
000.4
60
i 
 ou 1,5% ao mês 
5) Uma pessoa aplicou $ 100.000,00 numa operação de “overnight” (prazo de um dia), à taxa de juro 
simples de 38% ao mês. Admitindo-se uma alíquota de 45% de Imposto de Renda sobre os 
rendimentos auferidos, qual o juro líquido recebido por essa pessoa? 
 
C = $100.000,00 
i = 38% ao mês 
IR = 45% sobre os juros recebidos 
n = 1 dia 
6726611
30
380
000100 ,.$
,
.J 
  
570$45,067,266.1IR 
 os juros totais 
Recebido foi igual a  
67,696$57067,266.1J 
 
 
6) Os capitais de $ 240.000,00 e $ 400.000,00 foram aplicados no regime de juros simples a mesma 
taxa de juro. O primeiro rendeu, em 50 dias, $10.000,00 mais que o segundo em 21 dias. Qual foi 
a taxa de juro simples diária aplicada aos capitais? 
 
000.10JJ 21 
  
000.10niCniC 2211 
  
000.1021i000.40050i000.240 
  
000.10i000.400.8i000.000.12 
 
 
000.10i000.400.8i000.000.12 
, logo 
002778,0
000.600.3
000.000.1
i 
 ou 0,28% ao dia 
Matemática Financeira 
Roberto 
16 
7) Calcular os juros simples que um capital de $ 2.000,00 rende em um ano e meio aplicado a taxa 
de juro simples de 6% ao ano. 
 
 
 
8) Um capital aplicado à taxa de juro simples de 36% ao ano durante n semestres, rendeu $ 
72.000,00 de juros e acumulou o montante de $ 112.000,00. Calcular o período de tempo que 
esse capital ficou aplicado. 
 
M = 112.000,00 
J = 72.000,00 
C = 112.000,00 – 72.000,00 = 40.000,00 
i = 36% ao ano 
n = ? 
n36,0000.40000.72 
  
5
400.14
000.72
n 
 anos ou 10 semestres 
 
9) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que num mesmo prazo, seja obtido o mesmo 
rendimento, a taxa de juro simples do menor capital deve superar a do maior em quanto? 
 
3
2
C
C
2
1 
 ou 
3
C2
C 21


  sabemos que os juros são iguais, então 
niCniC 2211 
 
 
 
221
2 iCi
3
C2


  
21 ii
3
2

 ou 
21 i
2
3
i 
, ou seja, i1 = 1,5 i2  i1 é 50% maior que i2 
 
10) (AFRF) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo 
prazo, a taxas de juros simples de 6% a.m., 4% a.m. e 3,25% a.m., respectivamente. Calcule a 
taxa média de aplicação desses capitais. 
a) 4,38% a.m. 
b) 3,206% a.m. 
c) 4,4167% a.m. 
d) 4% a.m. 
e) 4,859% a.m. 
 
Taxa média: 
321
332211
m
CCC
iCiCiC
i



 (tempo constante para todas as aplicações) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
17 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. (Concurso BB) Uma pessoa empregou parte dos R$ 20.000,00 de que dispunha a 8% a.a., e parte 
5% a.a., recebendo semestralmente R$ 740,00 de juros. Determinar que parte foi aplicada a cada 
taxa. Resp. R$ 4.000,00 e R$ 16.000,00 
 
2. (Concurso BB) Há 5 anos, o capital de R$ 15.000,00 foi aplicado à taxa de 7% a.a. Se aplicamos 
hoje o capital de R$ 18.000,00, à taxa de 10% a.a., daqui a quantos anos os capitais produzirão os 
mesmos rendimentos? Resp. 7 anos 
 
3. Na capitalização simples, a taxa que faz duplicar um capital em dois meses vale: 
a) 100% 
b) 50% * 
c) 40% 
d) 30% 
e) 10% 
 
4. O prazo em que duplica um capital à taxa de juros simples de 4% ao mês é: 
a) 1 ano 
b) 15 meses 
c) 20 meses 
d) 25 meses* 
e) Impossível determinar 
 
5. (BNB 2003) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 á vista ou por 50% deste valor à 
vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200 após 4 meses. Qual é a taxa de juros 
simples mensal cobrada? 
a) 0,025% ao mês 
b) 0,150% ao mês 
c) 1,500% ao mês 
d) 2,500% ao mês 
e) 5,000% ao mês 
 
6. Uma mercadoria é oferecida por R$ 12.000,00 à vista ou na condição a prazo: 20% do valor à vista 
como entrada e mais um pagamento de R$ 12.480,00 após seis meses. Qual a taxa de juros 
simples anual cobrada pela loja? 
a) 20% a.a. 
b) 40% a.a. 
c) 60% a.a. 
d) 30% a.a. 
e) 77% a.a. 
 
 
7. Um comerciante aceita cheque pré-datado para 30 dias, mas cobra juros de 8% sobre o preço à 
vista. Uma mercadoria que é paga em 30 dias sai por R$ 27,00, e custa à vista: 
a) R$ 19,00 
b) R$ 21,40 
c) R$ 24,80 
d) R$ 25,00 
e) R$ 29,15 
 
 
8. Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após dez meses o capital e os 
juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual o 
capital inicial? 
a) R$ 9.000,00 
b) R$ 6.912,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 8.600,00 
e) R$ 9.600,00 
 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
18 
9. (BNB 2003) José tomou emprestado R$ 10.000,00 a um banco, pretendendo saldar a divida após 2 
anos. A taxa de juros simples combinada foi de 30% a.a. Qual o menor valor com o qual José 
pagaria a divida 5 meses antes do vencimento combinado, sem prejuízo para o banco, se nesta 
época a taxa de juros simples anual fosse de 24% e fosse utilizado o desconto simples racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 17.600,00 
c) R$ 13.800,00 
d) R$ 14.545,45 
e) R$ 14.800,00 
 
10. (Concurso da CEF 2002) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 
ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa 
aplicação foi de: 
a) 2% 
b) 2,2% 
c) 2,5% 
d) 2,6% 
e) 2,8% 
 
11. (Concurso da CEF 2002) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 
3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: 
a) 1 ano e 10 meses. 
b) 1 ano e 9 meses. 
c) 1 ano e 8 meses. 
d) 1 ano e 6 meses. 
e) 1 ano e 4 meses. 
 
12. (Concurso CEF 2000) Certo capital, aplicado a juros simples durante 15 meses, rendeu um 
determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido 
será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação? 
a) 5 meses. 
b) 7 meses e meio. 
c) 10 meses. 
d) 12 meses. 
e) 18 meses. 
 
13. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% 
ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo 
médio de aplicação destes capitais. 
a) 4 meses. 
b) 4 meses e cinco dias. 
c) 3 meses e vinte e dois dias. 
d) 2 meses e vinte dias. 
e) 8 meses. 
 
14. (Concurso da RF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence 
dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o 
capital de R4 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 
b) R$ 11.080,00 
c) R$ 12.080,00 
d) R$ 12.640,00 
e) R$ 12.820,00 
 
15. (Concurso BB) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a 
primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses após, no valor de R$ 880,00. 
Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?a) 6% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3% 
e) 2% 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
19 
16. Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso 
a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal de juros 
simples empregada? 
a) 4% 
b) 5% 
c) 6% 
d) 7% 
e) 8% 
 
17. Qual a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de R$ 1.300 que produz após um ano 
um montante de $$ 1.750,00? Resp. 34,61% a.a. 
 
18. Qual é a remuneração obtida por um capital de R$ 2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juro 
simples de 60% a.a.? Resp. $ 2.040 
 
19. Calcular o rendimento de uma capital de R$ 80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juro simples 
de 26% a.m. Resp. $ 19.413,33 
 
20. Aplicando R$ 80.000,00 durante 17 meses, resgatamos R$ 140.000,00. Qual a taxa de juro simples 
anual ganha na operação? Resp. 52,94% a.a. 
 
21. Em quantos meses um capital de R$ 28.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 48% a.a. produz 
um montante de R$ 38.000,00? Resp. 9 meses 
 
22. Um capital aplicado transformou-se em R$ 13.000,00. Considerando uma taxa de juro simples de 
42% a.a. e uma remuneração de R$ 4.065,29, determine o prazo de aplicação. Resp. 13 meses 
 
23. Um capital de R$ 135.000,00 transformou-se em R$ 180.000,00 após 44 dias de aplicação. 
Calcular a taxa de juro simples ganha na aplicação. Resp. 22,73% a.m. 
 
24. Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma mesma taxa de 
juro simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu R$ 17,00 a 
mais que o segundo em 30 dias. Resp. 10% a.a. 
 
25. Um capital aplicado durante 144 dias gerou R$ 2.880,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros 
simples foi de 6% a.m., calcular o valor do montante. Resp. R$ 12.880,00 
 
26. (TRE) Apliquei 3/5 de um capital, à taxa de 12% ao ano, e o restante a 18% ao ano. Se, após 8 
meses, obtive juros simples num total de R$ 17.280,00, o capital empregado era: 
a) R$ 180.000,00 
b) R$ 184.000,00 
c) R$ 200.000,00 
d) R$ 240.000,00 
e) R$ 248.000,00 
 
27. Um capitalista empregou 2/5 de seu capital a juros simples a taxa de 48% a.a, durante 5 meses, e o 
restante do capital também a juros simples à taxa de 60% a a, durante 6 meses. Sabendo-se que a 
soma dos montantes recebidos nas duas aplicações foi de R$ 302.400,00, o capital inicial total era 
de: 
a) 230.000 
b) 240.000 
c) 250.000 
d) 255.000 
e) 260.000 
 
28. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00 durante 3 anos, sabendo-se que se um 
capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo a juros simples de 5% a.a., 
renderia mais R$ 600,00 que o primeiro a taxa de: 
a) 8% a.a. 
b) 7,5% a.a. 
c) 7,1% a.a. 
d) 6,9% a.a. 
e) 6,2% a.a. 
Matemática Financeira 
Roberto 
20 
29. Um investidor aplicou um principal a juros simples e obteve um montante de R$10.600,00, após três 
meses. Se o prazo do investimento fosse de nove meses, o montante obtido seria de R$11.800,00. 
Determinar o principal aplicado e a taxa de juros simples mensal dessas duas aplicações. 
a) $10.000,00 e 2,00% a.m. 
b) $10.000,00 e 1,80% a.m. 
c) $10.500,00 e 2,00% a.m. 
d) $10.800,00 e 2,00% a.m. 
e) $10.000,00 e 1,75% a.m. 
 
30. Um investidor fez uma aplicação, a juros simples, que produziu um montante de R$13.800,00 no 
final de 12 meses. O mesmo investidor fez uma segunda aplicação, 20% superior à primeira, que 
rendeu um total de juros de R$ 1.440,00 no final de oito meses. Determinar a taxa de juros simples 
mensal e os valores dessas duas aplicações. 
a) 1,15% a.m.; $10.000,00 e $12.000,00 
b) 1,25% a.m.; $10.500,00 e $12.600,00 
c) 1,25% a.m.; $11.000,00 e $13.200,00 
d) 1,25% a.m.; $12.000,00 e $14.400,00 
e) 1,10% a.m.; $12.000,00 e $14.400,00 
 
31. Um valor monetário é aplicado, no regime de juros simples, em duas aplicações diferentes com 
taxas de rentabilidade de 10% ao ano e 12% ao ano. Determinar dentro de quantos anos a 
diferença entre os montantes acumulados nessas duas aplicações será igual a 10% do valor da 
aplicação inicial. 
a) Cinco anos* 
b) Seis anos 
c) Oito anos 
d) Dez anos 
e) Quatro anos 
 
32. Um fogão está sendo vendido nas seguintes condições: à vista por R$ 400,00 ou a prazo com 50% 
do valor à vista no ato da compra e mais uma parcela de R$ 230,00 a ser paga 45 dias da compra. 
Qual a taxa de juros simples mensal cobrada na compra a prazo? Resp. 10% a.m. 
 
33. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a taxa de 33% a.a. e o segundo a 45% 
a.a. Se o rendimento de ambas as aplicações totalizou $ 52.500,00 no prazo de um ano, determinar 
o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. Resp. 50.000 e 80.000 
 
34. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $ 13.000,00. Esse 
montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa de juros simples 20% maior que a ganha na 
primeira aplicação, obtendo-se um montante de $ 22.360,00. Calcular o valor do capital inicialmente 
aplicado e a taxa de juro simples anual à qual foi aplicado? Resp $10.000 e 30% a.a 
 
35. Uma pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples à taxa de 30% 
a.a. Depois de três anos resgatou metade dos juros ganho e reaplicou o restante desses juros por 
um ano à taxa de juro simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $ 20,16 nessa última 
aplicação. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. Resp. $ 140,00 
 
36. Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo a 40% 
a.a. Calcular os capitais sabendo-se que somados montam $ 500,00 e que os dois em um ano 
renderam juros totais de $ 130,00. Resp. $ 350 e $ 150 
 
37. Dois capitais, o primeiro de R$ 1.100,00 e o segundo de R$ 500,00, estiveram aplicados a juros 
simples, durante 3 meses. A que taxa de juros simples foi aplicado o primeiro se o segundo, 
aplicado à taxa de juro simples de 10% a.m. rende R$ 246,00 menos que a aplicação do primeiro? 
Resp. 12% a.m. 
 
38. Um capital de $ 50.000,00 aplicado a juros simples rendeu $ 1.875,00 em um determinado prazo. 
Se o prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria $ 250. Calcular a taxa de juro simples ao 
ano e o prazo da operação em dias. Resp. 5% a.a. e 270 dias 
 
39. Um televisor é vendido nas seguintes condições: - preço à vista = R$ 1.800,00; - condições a prazo: 
30% do valor à vista como entrada e R$ 1.379,70 em 30 dias. Determine a taxa de juros simples 
cobrada na venda a prazo. Resp 9,5% a.m. 
 
Matemática Financeira 
Roberto 
21 
40. Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 200.000,00 a taxa de juro simples de 10% ao ano. 
Certo tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomouum novo empréstimo de R$ 
300.000,00 a taxa de juro simples de 8% ao ano. Dezoito meses após o primeiro empréstimo 
liquidou todos seus débitos, tendo pago R$ 35.000,00 de juros totais nos dois empréstimos. 
Determinar os prazos dos dois empréstimos em meses. Resp. 3 e 15 meses 
 
41. Um capital foi aplicado por 186 dias à taxa simples de 2% a.m. Ao término desse prazo, um quarto 
dos juros ganhos foi reaplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.m, obtendo-se um montante após 
144 dias de R$ 347,20 Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. Resp 10.000,00 
 
42. Dois capitais colocados – o primeiro a 36% a.a. em seis meses e o segundo a 4% a.m em 72 dias – 
rendem juros iguais. Calcular o valor de cada capital sabendo que a diferença entre eles é de R$ 
1.575,00. Resp. $ 1.800 e $ 3.375 
 
43. Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15.07.08 e resgatou essa aplicação no dia 21.07.08 por 
R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? Resp. 4,5% a.m 
 
44. O capital de R$ 7.500,00 foi aplicado no dia 21 de março de 2008, à taxa de juros simples de 0,2% 
ao dia no regime de juros simples exatos. Até que data deverá permanecer aplicado para render R$ 
675,00. Resp. 05.05.2008; 45 dias 
 
45. Um capital foi aplicado por 234 dias à taxa de juros simples de 90% a.a. Ao término desse prazo, 
metade dos juros ganhos foi reaplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.m, obtendo-se um 
montante após 195 dias de R$ 204.018,75 Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. Resp. 
600.000,00 
 
46. Um capital foi aplicado por 180 dias á taxa de juro simples de 50% a.a. Ao final da operação, o valor 
bruto de resgate foi aplicado à taxa de juro simples de 60% a.a., pelo período de 60 dias. Ao 
término dos 240 dias, o montante era igual á R$ 1.375,00. Calcular o valor investido. Resp. 1.000,00. 
 
47. Um investidor empregou 70% de seu capital à taxa de juros simples de 24% ao ano e o restante à 
taxa de juros simples de 18% a.a., sabendo-se que os capitais foram aplicados pelo prazo de nove 
meses e que juntos renderam juros totais de R$ 1.998,00, qual o valor do capital inicial do 
investidor? Resp R$ 12.000,00 
 
48. A empresa LIDER paga, a cada um dos seus funcionários, salários de R$ 10.000,00 com reajuste 
mensal de 10%. A empresa GAMA paga salários de R$ 14.400,00 a seus funcionários com reajuste 
mensal de 5,9896%. Indique o número de meses em que o salário da empresa LIDER é igual ao da 
empresa GAMA. Resp. 32 meses 
 
49. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de juros simples de 9% ao mês; quarenta e cinco dias 
depois pagou a divida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo 
de dez meses a taxa de juros simples de 6% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 13.350,00 
de juros, calcular o valor do primeiro empréstimo. Resp. R$ 10.000,00 
 
50. Um capital foi aplicado por três anos à taxa de juros simples de 20% a.a. Ao término desse prazo, 
um terço dos juros ganhos foi reaplicado à taxa de juros simples de 25% a.a., obtendo-se uma 
remuneração após seis meses de R$ 300,00. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado? Resp. 
R$ 12.000,00 
 
51. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de juros simples de 9% ao ano; seis meses depois 
pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de 
nove meses a taxa de juros simples de 6% ao ano. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 1.080,00 de 
juros, calcular o valor do primeiro empréstimo. Resp. $ 8.000,00 
 
52. Um capital foi aplicado por dois anos à taxa de juros simples de 20% a.a. Ao término desse prazo 
um quarto dos juros ganhos foi reaplicado à taxa de juros simples de 25% a.a., obtendo-se uma 
remuneração após seis meses de R$ 150,00. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. Resp. 
R$ 12.000,00 
 
53. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em duas partes. A primeira aplicada à taxa de juro simples 
igual a 4% ao mês, rendeu durante cinco meses os mesmo juros que a segunda parte aplicada 
durante oito meses à taxa de juro simples de 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte. Resp. 3.472 e 
4.340 
Matemática Financeira 
Roberto 
22 
54. Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. 
A primeira a taxa de juro simples de 4% ao trimestre, a segunda a taxa de juro de simples de 6% ao 
trimestre e a terceira a taxa de juro simples de 10% ao trimestre. Se o rendimento da primeira 
parcela for R$ 160,00 e o rendimento das três totalizar R$ 1.320,00, calcular o valor de cada 
parcela. Resp. 1.000; 1.500 e 2.000. 
 
55. A aquisição de um bem pode ser feita à vista por R$ 40.000,00 ou mediante uma entrada de 30% 
do valor a vista e mais um pagamento de R$ 32.032,00 daqui a seis meses. Qual a taxa mensal de 
juros simples mensal cobrada na aquisição do bem. Resp. 2,40% a.m. 
 
56. Uma loja oferece um objeto por R$ 1.050,00 à vista ou a prazo com uma entrada de R$ 400,00 e 
mais um pagamento de R$ 780,00 em 60 dias. Qual a taxa de juro simples mensal cobrada pela 
loja? Resp. 10% a.m. 
 
57. Uma loja oferece um relógio por R$ 900,00 à vista ou por 25% do valor à vista como entrada e mais 
um pagamento único de R$ 837,00 de hoje a quatro meses. Qual a taxa de juro simples mensal 
cobrada pela loja? Resp. 6% a.m 
 . 
58. Dois capitais foram aplicados da seguinte forma: o primeiro à taxa de juros simples de 36% ao ano 
durante seis meses e o segundo à taxa de juros simples de 4% ao mês durante 72 dias, rederam 
juros iguais. Calcular o valor de cada capital, sabendo que a soma dos dois é igual a R$ 5.175,00. 
Resp. 1.800 e 3.375,00 
 
59. Determinada pessoa deseja dispor de R$ 1.000,00 no fim de 6 meses e de R$ 2.000,00 no fim de 
um ano. Que quantia deverá depositar, na data de hoje, em um estabelecimento bancário que 
pague a taxa de juro simples de 2% ao mês, de modo que possa fazer as retiradas indicadas, sem 
deixar saldo final? Resp. $ 2.487,24 
 
60. Um engenheiro fez um empréstimo à taxa de juros simples de 18% a.a. Um mês e dez dias depois 
pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo, agora o dobro do valor do anterior, mas pagando 
juros a taxa de 13% a.a. Dez meses depois desse segundo empréstimo, liquidou o débito. 
Sabendo-se que o engenheiro pagou ao todo R$ 1.100,00 de juros nos dois empréstimos, calcule 
do valor do primeiro empréstimo. Resp: 4.647,83 
 
61. Fiz uma aplicação de R$ 3.000,00 à taxa de juros simples de 60% ao ano. Após certo período a 
taxa de juros simples foi reduzida para4% a.m. Qual foi o prazo em que vigorou a segunda taxa se, 
depois de 10 meses, o capital rendeu R$ 1.410,00 de juros? Resp. 7 meses. 
 
62. Um investidor empregou 70% de seu capital à taxa de juros simples de 24% ao ano e o restante à 
taxa de juros simples de 18% ao ano, sabendo-se que os capitais foram aplicados pelo prazo de 
nove meses e que juntas rederam juros totais de R$ 1.998,00, qual o valor do capital inicial do 
investidor? Resp. R$ 12.000,00 
 
63. Um investidor com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado 
financeiro. Para tanto aplica 3/5 do seu capital numa alternativa de investimento que paga a taxa de 
juros simples de 74,4% ao ano pelo prazo de 60 dias. A outra parte é investida em uma aplicação 
que é remunerada pela taxa de juro simples de 5,8% ao mês no prazo de 135 dias. O total de 
rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$ 17.880,00. Calcular o valor de todo capital investido. 
Resp. R$ 100.000,00 
 
64. Uma pessoa realizou um investimento no Banco “A” por um prazo de 24 meses, a uma taxa de 
juros simples de 22% ao ano. No vencimento, resgatou a aplicação e investiu todo o montante no 
Banco “B”, a uma taxa de juros simples de 25% ao ano, por um prazo de 36 meses, retirando ao 
final um montante no valor de R$ 30.240,00. Qual foi o valor aplicado inicialmente no Banco “A”? 
Resp. R$ 12.000,00 
 
65. Um empresário compra um equipamento no valor de R$ 60.000,00. Paga R$ 20.000,00 à vista, no 
ato da compra, e se compromete a pagar R$ 46.960,00 em 3 meses. Qual a taxa de juros simples 
cobrada na operação? Resp. 5,8% a.m 
 
66. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de juros simples de 9% ao ano; seis meses depois 
pagou a divida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de 
nove meses a taxa de juros simples de 6% ao ano. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 1.080,00 de 
juros, calcular o valor do primeiro empréstimo. Resp. $ 8.000,00 
Matemática Financeira 
Roberto 
23 
67. Uma pessoa aplicou seu capital à taxa de juros simples igual a 5% ao mês, durante 4 meses. Ao 
final deste período, reaplicou 80% do montante à taxa de juros simples de 3% ao mês, durante 69 
dias, resgatando R$ 1.621,48. Determinar o capital inicial aplicado por esta pessoa. Resp. $ 1.580,00 
 
68. Coloquei R$ 1.800,00 em um Banco que remunera a taxa de juros simples de 14,45% ao mês e, 
em outra instituição financeira coloquei a quantia de R$ 3.000,00 a taxa de juros simples de 2% ao 
mês. Depois de quanto tempo os montantes serão iguais? Resp. 6 meses aproximadamente. 
 
69. R$ 5.400,00 foram divididos em duas partes. A primeira parte foi aplicada à taxa de juros simples 
de 6% ao mês durante 69 dias e a segunda parte à taxa de juros simples de 5% ao mês durante 42 
dias produzindo juros totais de R$ 531,00. Qual o valor de cada parte? Resp. 3.150,00 e 2.250,00 
 
70. Quatro sétimos de um capital foram aplicados à taxa de juros simples de 7% ao ano e o restante do 
capital foi aplicado à taxa de juros simples de 14% ao ano. No final de um ano e meio de aplicação 
a soma dos juros obtidos é igual a R$ 315,00. Determinar o valor do capital aplicado. Resp. 2.100,00 
 
71. Uma loja vende um aparelho de som por R$ 1.800,00 à vista. A prazo, o aparelho é vendido por R$ 
2.016,00, sendo R$ 360,00 de entrada e o restante pago em 45 dias. Qual a taxa de juros simples 
mensal adotada nessa operação? Resp. 10% a.m. 
 
72. João tem uma dívida de $ 35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $ 12.000 no fim de 158 
dias e $ 13.000, 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de 
vencimento de modo que liquide a dívida? Considere a taxa de juro simples de 50% a.a. e a data 
focal no vencimento da operação. Resp. 2.231,95 
 
73. Uma indústria estocou 10.000 toneladas de um produto e recusou a oferta de um atacadista para 
vender na base de R$ 300,00 a tonelada. Passados dois meses, a indústria coloca todo estoque a 
R$ 330,00 a tonelada. Considerando-se que a taxa de juros simples corrente é 4% ao mês, 
pergunta-se a indústria teve lucro ou prejuízo? De quanto? Resp: Lucro de R$ 6,00 por tonelada. 
 
 
 
EXERCÍCIOS: Taxa e prazo médio 
 
1. Calcular o prazo médio das operações colocadas a seguir: 
 1ª. operação 1ª. operação 1ª. operação 1ª. operação 
C R$ 900,00 R$ 500,00 R$ 300,00 R$ 800,00 
i 36% ao ano 36% ao ano 36% ao ano 36% ao ano 
n 45 dias 90 dias 30 dias 60 dias 
 
2. Calcular a taxa de juro simples média das operações a seguir: 
 1ª. operação 1ª. operação 1ª. operação 1ª. operação 
C R$ 900,00 R$ 500,00 R$ 300,00 R$ 800,00 
I 12% ao ano 36% ao ano 72% ao ano 24% ao ano 
n 60 dias 60 dias 60 dias 60 dias 
 
3. Foram aplicados na mesma data, os seguintes capitais: $ 570,00 a 4% a.m., em dois meses; $ 
4.500,00 a 3,5% a.m., em três meses e $ 520 a 3% a.m. em 60 dias. Objetivando estabelecer 
vencimento único para as três aplicações, calcular o tempo médio, ou seja, em quantos dias esses 
capitais colocados às respectivas taxas de juro renderão os mesmo juros totais. Resp. 84 dias 
aproximadamente. 
 
4. Três capitais foram aplicados: o primeiro, no valor de $ 3.000,00, durante 40 dias; o segundo, $ 
4.000,00, em dois meses e o terceiro, de $ 2.600,00, em três meses. Determinar o prazo único 
durante o qual um capital igual à soma desse três renda, à mesma taxa, os mesmos juros totais. 
Resp. 62,81 dias 
 
5. Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, à 
taxa de juros simples de 6% a.m., 4% a.m. e 3,25% a.m. Calcule a taxa média de aplicação desses 
capitais. Resp. 4% a.m. 
 
Resp. 57 dias 
Resp 27,84% a.a. 
Matemática Financeira 
Roberto 
24 
6. Aplica-se pelo prazo de dois anos os seguintes capitais: R$ 1.000,00 a taxa de juros simples de 5% 
a.a., R$ 2.000,00 a 30% a.a. e R$ 3.000,00 a 40% a.a. Determinar o valor único de capital que deve 
ser aplicado às mesmas taxa de modo a se obter o mesmo juro total dos investimentos. Resp. R$ 
1.916,67 
 
7. Puseram-se a render juros três capitais a saber: R$ 2.660,00 a 4,5% a.m. , em 45 dias; R$ 
1.200,00, a 5% a.m., em 60 dias e R$ 1.250,00, a 3,5% a.m. em três meses. Calcular a taxa média. 
Resp. 4,25% a.m. aproximadamente 
Matemática Financeira 
 
Roberto 
 
25 
 
2. OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES 
 
Com o objetivo de estimular as vendas a prazo, foi instituído os títulos de crédito. Esses títulos 
podem ser negociados com instituições financeiras, gerando uma operação denominada de Desconto. 
A operação de desconto consiste na antecipação de recursos financeiros em contrapartida de 
títulos crédito (Duplicatas, Nota Promissórias, etc.) com prazo de vencimento futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Descontos de Títulos: 
a) Desconto Racional ou Por Dentro 
b) Desconto Comercial ou Por Fora 
c) Desconto Bancário 
 
O desconto “D” é a diferença entre o valor do título de crédito (duplicata) “N” e o valor pago pelo banco 
na data que for apresentado para desconto “A”. 
 D = N – A 
 
 D = Desconto 
 N = Valor nominal, valor de resgate ou valor futuro (quantia declarada no 
título, valor de emissão)A = valor atual ou valor presente (é o valor na data da apresentação) 
 
2.1. Desconto Simples Racional ou Por Dentro 
Tem como característica a aplicação da taxa de juro simples sobre o valor atual do título e pode 
ser determinado tanto em função do valor atual “A” como em função do valor nominal do título “N”. Em 
resumo, o Desconto simples racional é o juro simples no desconto. 
 
DR = f (A)  Equação do desconto em função do valor atual (A) 
 
DR = N - A Substituindo N = A ( 1 + i x n) 
 
Temos: 
DR = A ( 1 + i x n) - A  DR = A + A x i x n - A .: DR = A x i x n 
 
DR = f (N)  Equação do desconto em função do valor nominal (N) 
 
 
Ao realizar uma venda a prazo, o dono da loja vai ao banco com a duplicata do cliente recebendo certa quantia em troca. 
 
 
Matemática Financeira 
 
Roberto 
 
26 
 
 
DR = N - A Substituindo 
)ni1(
N
A


 
Temos: 
)ni1(
N
NDR


  








ni1
1
1NDR
  DR = 
ni1
niN


 
 
Exemplo: Calcular o desconto racional de um título no valor de R$ 5.000,00 descontado 45 dias antes 
do seu vencimento à taxa simples de desconto de 6% ao mês. 
 
5,106,01
5,106,0000.5
DR



 = 412,84 
 
2.2. Desconto Simples Comercial ou Por Fora 
 
Tem como característica a aplicação da taxa de juros simples sobre o valor nominal. É calculado 
pela seguinte equação: 
 
DC = N x i x n 
 
Nesta modalidade de desconto ficou arbitrado ou convencionado que, o desconto seria um valor 
resultante da aplicação de uma taxa de desconto i sobre o valor nominal do título “N” vezes a quantidade 
de dias “n“ até o seu vencimento. 
 
Da expressão D = N - A podemos derivar a que fornece o “valor atual descontado” ou “Valor atual 
comercial” do título submetido à operação de desconto. 
 
DC = N - AC .: AC = N - DC 
 
AC = N - N x i x n ou AC = N (1 - i x n) 
 
Exemplo: Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada comercialmente a 
uma taxa de desconto de 5% ao mês para um prazo de 63 dias, determinar: 
 
a) Desconto comercial; 
b) Valor atual comercial e 
 
Dados 
N = R$ 10.000,00; i = 5% ao mês; n = 63 dias; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
Roberto 
 
27 
2.3. Desconto Bancário 
O Desconto bancário é calculado da mesma forma do Desconto comercial D = N x i x n, no 
entanto, retira-se do valor do título (N) o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), que é calculado da 
seguinte forma: IOF = N x i x n, a taxa do IOF é igual a 0,0082% a.d. 
É cobrado, ainda do portador do título, um valor denominado Taxa de Serviço, que não tem um 
padrão de cobrança. Alguns bancos têm um valor fixo por título descontado ou um percentual sobre o 
valor do título. 
 
Exemplo: Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada a uma taxa de desconto de 5% 
ao mês para um prazo de 63 dias e é cobrada uma taxa de serviço de R$ 3,20 por título descontado, determinar o 
valor creditado na conta do cliente. 
Desconto: 
050.1
30
63
05,0000.10 D
 
Imposto: 
66,5163000082,0000.10 IOF
 
Valor creditado na conta do cliente: 
14,895.820,366,51050.1000.10 cV
 
 
2.4. Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Comercial 
 
Como a taxa de juro cobrada no desconto comercial é aplicada sobre “N” (valor nominal), ela não 
representa a taxa real que esta sendo cobrada na operação, pois a taxa real é aquela que torna o capital 
inicial “A” no montante “N” no período “n”, a essa taxa, denominamos de taxa de juro efetiva “ie”, ou 
seja, é a taxa que realmente está sendo aplicada na operação de desconto. 
 
Exemplo: Um título com valor nominal igual a R$ 1.000,00 é descontado comercialmente 47 dias antes 
do vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês Determinar a taxa efetiva de juros simples 
implícita (para o cliente) na operação de desconto. 
 
N = R$ 1.000,00; i = 4% ao mês; e n = 47 dias 
47
30
04,0
1000DC 
  DC = 62,67 
A = N - DC  VC = 1.000 - 62,67  A = 937,33 
 
A operação no diagrama: 
 
 937,33 1.000 
 
 0 47 
 
Aplicando a fórmula de juros simples J = C x i x n para determinar a taxa de juro efetiva da operação, 
temos, Juros = 1.000 – 937,33 = 62,67 (que é igual ao DC) 
Capital inicial = 937,33 (valor creditado ou valor atual do título) e Prazo = 47 dias 
 
Utilizando a expressão de juros simples, temos: 62,67 = 937,33 x ie x 47 
4733,937
67,62
ie


 = 0,001423 ou 0,1423% a.d ou multiplicando por 30 dias, temos 4,26% a.m. 
Matemática Financeira 
 
Roberto 
 
28 
 
Neste caso, podemos determinar a taxa efetiva do desconto pela expressão: 
 
 
OBS: No Desconto Racional a taxa de juro cobrada é a taxa real do desconto “i”, é a taxa efetiva do 
desconto pois faz o capital inicial “A” no período “n” ser igual ao valor de resgate “N”. 
 
2.5. Desconto Simples Comercial X Desconto Simples Racional 
 
Podemos calcular a taxa efetiva utilizando a igualdade DC = DR 
ni
niN
niN d



1
  
  niNniniN d  1
 .: 
  iniid  1
 
ni
i
id


1
 ou 
iniii dd 
  
  niiiniiii dddd 1 
 
 
Id = taxa de desconto simples comercial e 
i = a taxa efetiva do desconto. 
 
Exemplo: Qual a taxa mensal efetiva de juros simples, equivalente a uma taxa de desconto simples de 
20% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6. Cálculo da Taxa Efetiva no Desconto Bancário 
 
Uma Nota Promissória com valor nominal de R$ 10.000,00 é descontada a uma taxa de desconto de 5% ao mês 
para um prazo de 63 dias e é cobrada uma taxa de serviço de R$ 3,20 por título descontado, determinar a taxa 
efetiva no desconto bancário. 
Desconto: 
050.1
30
63
05,0000.10 D
 
Imposto: 
66,5163000082,0000.10 IOF
 
Valor creditado na conta do cliente: 
14,895.820,366,51050.1000.10 cV
 
O cliente recebeu R$ 8.895,14 de um título de R$ 10.000,00 
 
Logo, a diferença R$ 1.104,86 corresponde aos juros simples da operação, desse modo, 
 
63000.1086,104.1  i
  
63000.10
86,104.1

i
  
001754,0
000.630
86,104.1
i
 ou 0,1754% ao dia. 
 
Multiplicando-se por 30 tem-se 5,2612% ao mês. 
 
Neste caso, podemos determinar a taxa efetiva do desconto pela expressão: 
 
nA
D
i Ce


 
nV
TSIOFD
i
c
C
e



 
ni
i
i
d
d


1
 
Matemática Financeira 
 
Roberto 
 
29 
2.7. TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO PARA OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
 
 Cálculo da Taxa Média 
 O cálculo da taxa de juro média de desconto utiliza-se a ponderação das taxas pelos prazos e 
pelos valores nominais dos títulos apresentados para desconto. 







n
t
tt
n
t
ttt
m
nN
niN
i
1
1
'
 
 Cálculo do Prazo Médio 
 O prazo médio é determinado por meio de uma ponderação dupla, isto é, ponderado pelos 
valores nominais dos títulos e pelos respectivos