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UFMG-ICEX-Departamento de Matema´tica
Ca´lculo de Va´rias Varia´veis- Prof: Samuel
Lista: Integrais Mu´ltiplas
1. Calcule
(a)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy)dxdy Resp: 10
(b)
∫ 4
2
∫ 1
−1
(x2 + y2)dydx Resp:116
3
(c)
∫
2
0
∫ pi
2
0
x sen ydydx Resp:2
(d)
∫ 4
1
∫ 2
0
(x+
√
y)dxdy Resp:46
3
.
(e)
∫ 1
0
∫ 2
1
xex
y
dydx Resp:ln 2.
(f)
∫
2
1
∫
1
0
1
(x+ y)2
dxdy Resp:ln 4
3
.
(g)
∫ ln 2
0
∫ ln 5
0
e2x−ydxdy Resp:6.
2. Calcule
∫∫
R
f(x, y)dA, nos seguintes casos
(a) f(x, y) = 4 + x2 − y2 e R = [−1, 1]× [0, 2]. Resp:12
(b) f(x, y) = 6x2y3 − 5y4 e R = [0, 3]× [0, 1]. Resp:21
2
(c) f(x, y) = xyey e R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Resp:2.
(d) f(x, y) = xy
2
x2+1
e R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}. Resp:9 ln 2.
3. Calcule as integrais iteradas:
(a)
∫
1
0
∫ x2
0
(x+ 2y)dydx Resp: 9
20
(b)
∫
2
0
∫ x
−x
x3y2dydx Resp:256
21
(c)
∫ 2
1
∫ 2
y
xydxdy Resp:9
8
.
(d)
∫ 1
0
∫ 2−x
x
(x2 − y)dydx Resp:−5
6
4.
∫∫
D
y3dA em que D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2). Resp:147
20
.
5.
∫∫
D
xy2dA em que D e´ a regia˜o limitada por x = 0 e x =
√
1− y2. Resp: 2
15
.
6.
∫∫
D
(2x− y)dA em que D e´ a regia˜o limitada pela circunfereˆncia de centro na origem e
raio 2. Resp:0.
7.
∫∫
D
2xydA em que D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 2) e (0, 3). Resp:7
4
.
8. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = x2+3y2 e acima da regia˜o delimitada
pelas curvas y = 1 e y = x e x = 0. Resp:5
6
.
9. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = 1−x−y e acima da regia˜o delimitada
por y = 1− x e y = 0 e x = 0. Resp:1
6
.
10. Determine o volume do so´lido sob o plano z = 4x e acima regia˜o limitada pela circunfereˆncia
x2 + y2 = 16 no plano xy. Resp:512
3
.
11. Usando integrais duplas calcule a a´rea da regia˜o D, dada por:
(a) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2.
Resp: 8
3
(b) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x3 e y = x2.
Resp: 1
12
(c) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 − 9 e y = 9− x2.
Resp: 72.
12. Determine a massa e o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D e tem func¸a˜o
densidade ρ(x, y). (massa: m =
∫∫
D
ρ(x, y)dA centro de massa (x, y) em que
x =
1
m
∫∫
D
xρ(x, y)dA e y =
1
m
∫∫
D
yρ(x, y)dA)
(a) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = xy2
Resp: m = 4
3
(x, y) = (4
3
, 0).
(b) D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices em (0, 0), (2, 1) e (0, 3); ρ(x, y) = x+ y.
Resp: m = 6 (x, y) = (3
4
, 3
2
).
(c) D e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1 ; ρ(x, y) = x.
Resp: m = 2
5
(x, y) = (5
7
, 5
12
).
(d) D e´ a regia˜o delimitada pelas curvas x = y2, y = x− 2 ; ρ(x, y) = 3.
Resp: m = 27
2
(x, y) = (8
5
, 1
2
).
13. Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral
(a)
∫
2pi
0
∫
7
0
rdrdθ Resp:33pi
2
(b)
∫ pi
2
0
∫ 4 cos θ
0
rdrdθ Resp:2pi
14. Calcule
∫∫
D
(x + y)dA em que D e´ a regia˜o que esta´ a esquerda do eixo y e entre as
circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Resp:−14
3
15. Calcule
∫∫
D
cos(x2 + y2)dA em que D e´ a regia˜o acima do eixo x delimitada pela circun-
fereˆncia x2 + y2 = 9.
Resp:pi
2
sen 9
16. Calcule
∫∫
D
(
√
4− x2 − y2)dA em que D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4 , x ≥ 0}.
Resp:8
3
pi
17. Calcule
∫∫
D
e−x
2−y2dA em que D e´ a regia˜o delimitada pelo semi c´ırculo x =
√
4− y2 e
pelo eixo y.
Resp:pi
2
(1− e−4).
18. Calcule
∫∫
D
yexdA em que D e´ a regia˜o delimitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 25.
Dica:(usar coordenadas polares e integrar primeiro em θ)
Resp:4e5 − 23
2
.
19. Usando integrais duplas verifique que o volume de uma esfera de raio a e´ 4
3
pia3. (equac¸a˜o
da esfera de raio a e centro na origem z2 + x2 + y2 = a2).
20. Calcule a integral, convertendo antes para coordenadas polares.
(a)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
ex
2+y2dydx Resp:1
4
pi(e− 1).
(b)
∫ 1
0
∫ √2−y2
y
(x+ y)dxdy Resp:2
√
2
3
.