Lista dupla (2)

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Integrais Duplas 
 
 
Exercício 1 – Calcule as integrais duplas dadas abaixo. Em seguida, identifique a região de 
integração, inverta a ordem de integração e recalcule a integral resultante. 
 
a) 
120
1632
1 1
2  
x
x
dxdyyx b)   86,214
2
1 42
1
3
  eedxdye
x
x
x
y
 
 
c)   40,131
4
1 41
0
2
2
2
  edxdyex
y d) 46,0
sen1
0 0
 
x
dxdy
x
x
 
 
Exercício 2: Calcule a integral R dAxy
2 dupla sobre a região R triangular de vértices 
)1,2(e)1,3(,)0,0(  . Solução: 
2
121
0
3
2
  dydxxy
y
y
 
 
Exercício 3: Expresse a área da região delimitada pelas curvas y = x + 1 e y = x² como 
uma integral dupla. 
 
Exercício 4: Escreva em coordenadas cartesianas, as integrais que permitem calcular a área 
da menor região delimitada pelas curvas x²+y² = 9 e y²+1 = 3x, tomando 
 
a) x como variável independente b) y como variável independente 
 
Exercício 5: Calcule a área da região R limitada pela parábola 2xy  e pela reta 
2 xy . 
a) Calcule como uma região xR b) Calcule como uma região yR 
 Solução: 9/2 (unidades de área) 
 
Exercício 6: Estabeleça uma integral dupla para calcular a área da parte do gráfico da 
equação dada, situada acima da região R no plano-xy e com a fronteira indicada. Utilize a 
simetria sempre que possível. 
 
 4222  zyx Região R : quadrado de vértice (1,1) , (1,-1) , (-1,1) e (-1,-1). 
 
Exercício 7: Ache a área da superfície S, se S é a parte do parabolóide 22 yxz  
cortada pelo plano 1z . Resposta: 



 15
6
2
3
 
 
Exercício 8: Uma tenda em forma de uma cúpula deve Ter o chão circular com raio de 
5m e o teto com a forma do gráfico de   0com
25
7
7 22  zyxz . Calcule a 
quantidade de metros quadrados de lona para construir a tenda. Solução: 247,4 m
2
. 
 
 
Exercício 9: Determine a área das regiões usando coordenadas polares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 10: Com base na fórmula abaixo, determine a área da superfície 2 2z y x  
definida na região 2 21 4x y   . Dica: Coord. Polares. 
 
 
 
 
 
 
2 2 25x y 
2 2 4x y y x 
)a
3r sen
r sen
3

 
)b
32
:
3 2
R


22
1
R
z z
A dA
x y
   
     
    
 : (17 17 5 5)6R

