AULA - Integral Dupla - IME

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Capítulo 9
INTEGRAÇÃO DUPLA
9.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por:
R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
um retângulo em R2.
Consideremos P1 = {x0, x1, ...., xn} e P2 = {y0, y1, ...., yn} partições de or-
dem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d
e xi+1 − xi =
b− a
n
, yj+1 − yj =
d− c
n
.
a b
c
d
x x
R
i i+1
yj+1
yj
R ij
Figura 9.1: Partição de R.
O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n.
271
272 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Sejam os n2 sub-retângulos Rij = [xi, xi+1] × [yj, yj+1] e cij ∈ Rij arbitrário
(i, j = 0, ...., n− 1). Considere a função limitada f : R −→ R. A soma
Sn =
n−1
∑
i=0
n−1
∑
j=0
f(cij) ∆x∆y,
onde ∆x =
b− a
n
e ∆y =
d− c
n
é dita soma de Riemann de f sobre R.
Definição 9.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim
n→+∞
Sn,
existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso deno-
tamos este limite por:
∫∫
R
f(x, y) dx dy,
que é denominada integral dupla de f sobre R.
Teorema 9.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].
9.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral
dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o
sólidoW ⊂ R3 definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
Figura 9.2: O sólidoW .
9.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 273
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferi-
ormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se
denotamos por V (W ) o volume deW , então:
V (W ) =
∫∫
R
f(x, y) dx dy
De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij
(poisR é fechado, limitado e f é contínua), então f(cij)×∆x×∆y é o volume
do paralelepípedo de base Rij e altura f(cij).
Figura 9.3: Partição e os paralelepípedos deW , respectivamente.
Sn =
n−1
∑
i=0
n−1
∑
j=0
f(cij) ∆x∆y
é o volume do sólido circunscrito aW . Analogamente se eij é o ponto onde
f atinge seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua),
então:
sn =
n−1
∑
i=0
n−1
∑
j=0
f(eij) ∆x∆y
é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das
somas de Riemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij :
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
sn =
∫∫
R
f(x, y) dx dy.
Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W ,
tendem aomesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume
deW .
Matheus
Realce
Matheus
Realce
274 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Figura 9.4: Reconstrução do sólido.
Figura 9.5: Reconstrução do sólido.
Figura 9.6: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o signifi-
cado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos
pontos cij e eij .
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de
uma variável.
9.3. INTEGRAIS ITERADAS 275
Proposição 9.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre
R então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
∫∫
R
(
α f(x, y)+β g(x, y)
)
dx dy = α
∫∫
R
f(x, y) dx dy+β
∫∫
R
g(x, y) dx dy.
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f(x, y), para todo (x, y) ∈ R,
então:
∫∫
R
g(x, y) dx dy ≤
∫∫
R
f(x, y) dx dy.
3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i =
1, ..., k então f é integrável sobre R e,
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
k
∑
i=1
∫∫
Ri
f(x, y) dx dy.
9.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:
∫ d
c
[
∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
∫ b
a
f(x, y) dx como integral
de uma veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente
integrada em y, com limites de integração c e d.
A integral
∫ b
a
[
∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx é calculada de forma análoga.
Exemplos 9.1.
[1] Calcule
∫ 2
0
[
∫ 3
1
x2y dy
]
dx.
276 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
∫ 3
1
x2y dy = x2
∫ 3
1
y dy = 4x2 e
∫ 2
0
[
∫ 3
1
x2y dy
]
dx =
∫ 2
0
4x2 dx =
32
3
.
[2] Calcule
∫ π
0
[
∫ π
0
cos(x+ y) dx
]
dy.
∫ π
0
cos(x+ y) dx = sen(x+ y)
∣
∣
x=π
x=0
= sen(y + π) − sen(y),
e
∫ π
0
[
∫ π
0
cos(x+ y) dx
]
dy =
∫ π
0
(sen(y + π) − sen(y)) dy = −4.
[3] Calcule
∫ 1
−1
[
∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy.
∫ 1
−2
(x2 + y2) dx =
(x3
3
+ x y2
)
∣
∣
∣
∣
x=1
x=−2
= 3 + 3 y2
e
∫ 1
−1
[
∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
−1
(3 + 3 y2) dy = 8.
[4] Calcule
∫ π
3
π
6
[
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ.
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ = sen(φ)
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
dρ = sen(φ)
eρ
3
3
∣
∣
∣
∣
4
0
;
logo:
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ == sen(φ)
e64 − 1
3
e
∫ π
3
π
6
[
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
e64 − 1
3
∫ π
3
π
6
sen(φ) dφ
logo:
9.4. TEOREMA DE FUBINI 277
∫ π
3
π
6
[
∫ 4
0
ρ2 eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
(e64 − 1) (
√
3 − 1)
6
.
[5] Calcule
∫ 1
0
[
∫
√
1−y2
0
√
1 − y2 dx
]
dy.
∫
√
1−y2
0
√
1 − y2 dx = 1 − y2
e:
e
∫ 1
0
[
∫
√
1−y2
0
√
1 − y2 dx
]
dy =
∫ 1
0
(1 − y2) dy = 2
3
.
[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:
f(x, y) =
{
1 se x ∈ Q
2 y se x /∈ Q.
Então:
∫ 1
0
dy =







∫ 1
0
dy = 1 se x ∈ Q
∫ 1
0
2 y dy = 1 se x /∈ Q.
Logo,
∫ 1
0
[
∫ 1
0
dy
]
dx = 1.
Por outro lado
∫ 1
0
f(x, y) dx não existe, exceto quando y =
1
2
; logo,
∫ 1
0
[
∫ 1
0
dx
]
dy
não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.
9.4 Teorema de Fubini
O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais
iteradas, o que facilitará seu cálculo.
278 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Teorema 9.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[
∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy =
∫ b
a
[
∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx
Prova: Veja o apêndice.
Observações 9.1.
1. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita u-
sando o princípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por
A(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y de
umplano de referência, o volume do sólido é dado por: V =
∫ d
c
A(y) dy,
onde c e d são as distâncias mínima e máxima ao plano de referência”.
2. Se f é uma função contínua e f(x, y) ≥ 0 em todo R, então:
∫∫
R
f(x, y) dx dy
representa o volume do sólidoW :
W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.
c
R
b
d
a
Figura 9.7:
3. Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma
distância x da origem, obtemos uma seção plana que tem como área
9.4. TEOREMA DE FUBINI 279
A(x) =
∫ d
c
f(x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do
sólido é:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
[
∫ d
c
f(x, y) dy
]
dx.
4. Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao
plano xz a uma distância y da origem obtemos uma seção plana de
área A(y) =
∫ b
a
f(x, y) dx e pelo princípio de Cavalieri:
∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
A(y) dy =
∫ d
c
[
∫ b
a
f(x, y) dx
]
dy.
Exemplos 9.2.
[1] Calcule
∫∫
R
dx dy, onde R = [a, b] × [c, d].
∫∫
R
dx dy =
∫ b
a
[
∫ d
c
dy
]
dx =
∫ b
a
(d− c) dx = (b− a) (d− c);
numericamente a integral dupla
∫∫
R
dx dy, corresponde a área de R ou ao
volume do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, onde R = [a, b]× [c, d] e f(x, y) = h, h constante
positiva.
∫∫
R
f(x, y) dx dy = h
∫∫
R
dx dy = h× A(R) = h (b− a) (d− c),
onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e
altura h.
[3] Calcule
∫∫
R
(x y + x2) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1].
∫∫
R
(x y + x2) dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 1
0
(x y + x2) dx
]
dy =
∫ 1
0
[
x2 y
2
+
x3
3
]
∣
∣
∣
∣
x=1
x=0
dy
=
∫ 1
0
[
y
2
+
1
3
]
dy =
7
12
.
280 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
O número
7
12
representao volume do sólido limitado superiormente pelo
gráfico da função f(x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈
[0, 1] × [0, 1]).
0
1
0
1
Figura 9.8: Exemplo [4].
[4] Calcule
∫∫
R
x y2 dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].
∫∫
R
x y2 dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 0
−1
x y2 dx
]
dy = −1
2
∫ 1
0
y2dy = −1
6
.
[5] Calcule
∫∫
R
sen(x+ y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2π].
∫∫
R
sen(x+ y) dx dy =
∫ 2π
0
[
∫ π
0
sen(x+ y) dx
]
dy
=
∫ 2π
0
(cos(y) − cos(y + π)) dy = 0.
[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 − y e
inferiormente pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
9.4. TEOREMA DE FUBINI 281
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
Figura 9.9: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente
pelo retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
V =
∫∫
R
(1 − y) dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 1
0
(1 − y) dx
]
dy =
∫ 1
0
(1 − y) dy = 1
2
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 +y2 e pelos planos x = 0,
x = 3, y = 0 e y = 1.
Figura 9.10: Sólido do exemplo [7].
R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(x2 + y2) dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 3
0
(x2 + y2) dx
]
dy =
∫ 1
0
(9 + 3y2) dy = 10 u.v.
u.v. =unidades de volume.
282 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y2 e pelos planos x = −1,
x = 1, y = −1 e y = 1.
Figura 9.11: Sólido do exemplo [8].
R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:
V =
∫∫
R
(1 − y2) dx dy =
∫ 1
−1
[
∫ 1
−1
(1 − y2) dx
]
dy = 2
∫ 1
−1
(1 − y2) dy = 8
3
u.v.
9.5 Extensão do Teorema de Fubini
Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma
genereralização do teorema 9.1.
Definição 9.2. SejaA ⊂ R,R = [a, b]×[c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo
nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais
que A ⊂ R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪Rn−1 ∪Rn e:
lim
n→+∞
n
∑
i=1
|Ri| = 0;
onde |Ri| é a área de Ri.
Exemplos 9.3.
[1] Se A = {p1, p2, ......., pm}, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo
nulo. Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:
|Ri| =
(b− a) (d− c)
n2
,
9.5. EXTENSÃO DO TEOREMA DE FUBINI 283
1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-
retângulos, então:
0 <
n
∑
i=1
|Ri| ≤
4m (b− a) (d− c)
n2
.
Logo lim
n→+∞
n
∑
i=1
|Ri| = 0.
[2] ∂R tem conteúdo nulo.
b
c
d
x xa i i+1
yj+1
y
RRij
j
Figura 9.12: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4n− 4 sub-retângulos Rij :
0 <
n
∑
i=1
|Ri| ≤
(4n− 4) (b− a) (d− c)
n2
≤ 4 (b− a) (d− c)
n
,
pois n−1
n
< 1. Logo:
lim
n→+∞
n
∑
i=1
|Ri| = 0.
É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem
conteúdo nulo.
284 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Figura 9.13: G(f).
Teorema 9.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é
descontínua tem conteúdo nulo, então f é integrav́el sobre R.
Prova: Veja [EL] na bibliografia.
9.6 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utili-
zados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões
mais gerais
9.7 Regiões Elementares
Seja D ⊂ R2.
9.7.1 Regiões de tipo I
D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x)
para todo x ∈ [a, b].
Matheus
Realce
9.7. REGIÕES ELEMENTARES 285
a b
D
D
ba
φ
φ
φ
φ
1
2
2
1
Figura 9.14: Regiões de tipo I.
9.7.2 Regiões de tipo II
D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}
sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y)
para todo y ∈ [c, d].
D
d
c
ψ Dψ ψ1 2
ψ
1
2
Figura 9.15: Regiões de tipo II.
9.7.3 Regiões de tipo III
D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de
tipo II.
Observações 9.2.
1. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares.
2. As regiões elementares são fechadas e limitadas.
286 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Exemplos 9.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descrita
como de tipo I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
{
y = x2
y = 4 x− x2,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤
y ≤ 4x− x2}.
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
5
Figura 9.16: Região de tipo I.
[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y2 − x = 1 e y2 + x = 1.
A região pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y2};
D é uma região de tipo II.
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 9.17: Região de tipo II.
9.7. REGIÕES ELEMENTARES 287
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no
primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 9.18: Região de tipo III.
[4] A regiãoD limitada pelas curvas y = x−1 e y2 = 2 x+6, pode ser descrita
como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
{
y = x− 1
y2 = 2 x+ 6,
do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2/− 2 ≤ y ≤ 4, y
2
2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
Figura 9.19: Região de tipo II.
288 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y2 = 1; esta região é do tipo III.
De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = −
√
1 − x2 ≤ y ≤ φ2(x) =
√
1 − x2}.
De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = −
√
1 − y2 ≤ x ≤ ψ2(y) =
√
1 − y2}.
9.8 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f :
D −→ R uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:
f ∗(x, y) =
{
f(x, y) se (x, y) ∈ D
0 se (x, y) ∈ R −D.
f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste
de uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo
teorema 9.1, f ∗ é integrável sobre R.
D
R
R
D
Figura 9.20: Gráficos de f e f ∗, respectivamente.
Definição 9.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e
em tal caso definimos:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
R
f ∗(x, y) dx dy.
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 289
Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f ∗1 : R1 −→ R é definida como
antes, então:
∫∫
R
f ∗(x, y) dx dy =
∫∫
R1
f ∗1 (x, y) dx dy,
pois f ∗ = f ∗1 = 0 onde R e R1 diferem.
R
D
R
f* =f* =0
1
1
Figura 9.21:
Logo,
∫∫
D
f(x, y) dx dy não depende da escolha do retângulo.
9.9 Integral Dupla e Volume de Sólidos
Proposição 9.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D,
então:
1. Se D é uma região de tipo I:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
[
∫ φ2(x)
φ1(x)
f(x, y) dy
]
dx
2. Se D é uma região de tipo II:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
[
∫ ψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y) dx
]
dy
Para a prova, veja o apêndice.
Matheus
Realce
290 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Corolário 9.4. Se f(x, y) = 1 em todo D, então:
∫∫
D
dx dy = Área(D)
De fato, se D é de tipo I, temos
∫∫
D
dx dy =
∫ b
a
[
φ2(x) − φ1(x)
]
dx = A(D).
Se f(x, y) ≥ 0 e é contínua emD, podemos novamente interpretar a integral
dupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente
pelo gráfico de f e inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
D é a projeção deW sobre o plano xy e:
V (W ) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
9.9.1 Exemplos
[1] Calcule
∫ 1
0
[
∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy. A integral não pode ser calculada na ordem
dada. Observe que:
∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 1
y
ex
2
dx
]
dy.
A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1
1
1
1
Figura 9.22: A região D.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 291
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e
0 ≤ y ≤ x e:
∫∫
D
ex
2
dx dy =
∫ 1
0[
∫ x
0
ex
2
dy
]
dx =
∫ 1
0
x ex
2
dx =
1
2
(e− 1).
[2] Calcule
∫ 1
0
[
∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx.
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1.
Por outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e
0 ≤ x ≤ y:
1
1
1
1
Figura 9.23: A região D.
∫ 1
0
[
∫ 1
x
sen(y)
y
dy
]
dx =
∫ 1
0
[
∫ y
0
sen(y)
y
dx
]
dy =
∫ 1
0
sen(y) dy = 1 − cos(1).
[3] Calcule
∫∫
D
√
1 − y2 dx dy, ondeD é a região limitada por x2 + y2 = 1 no
primeiro quadrante.
1
1
1
1
Figura 9.24: A região D.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
292 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤
√
1 − y2}.
Pela proposicão:
∫∫
D
√
1 − y2 dx dy =
∫ 1
0
[
∫
√
1−y2
0
√
1 − y2 dx
]
dy =
∫ 1
0
(1 − y2) dy = 2
3
.
Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais
complicada.
[4] Calcule
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy, seD é a região limitada por y = x, 2 y = x+ 2
e o eixo dos y.
1 2
1
1 2
1
Figura 9.25: A região D.
As retas se intersectam no ponto (2, 2). EscrevendoD como região de tipo I:
0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x
2
+ 1.
∫∫
D
(x+ y)2 dx dy =
∫ 2
0
[
∫ x
2
+1
x
(x+ y)2 dy
]
dx
=
1
3
∫ 2
0
((3x
2
+ 1
)3 − 8x3
)
dx =
21
6
.
[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x+ z = 1 e pelos planos
coordenados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido,
que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1),
(0, 1, 0), (−1, 0, 0) e inferiormente pelo plano z = 0.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 293
-1
1
-1
1
Figura 9.26: O sólido e a região, respectivamente.
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente
pelo gráfico da função z = f(x, y) = 1+x− y e, inferiormente pela regiãoD
projeção deW no plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x− y},
ondeD = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x+ 1} é região do tipo I. Seu
volume é:
V (W ) =
∫∫
D
(1 + x− y) dx dy =
∫ 0
−1
[
∫ x+1
0
(1 + x− y) dy
]
dx
=
1
2
∫ 0
−1
(x+ 1)2dx =
1
6
u.v.
[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x+1, x = y2 e x−y = 2.
Matheus
Realce
294 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
-2
0
2
4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
-2
0
2
4
-2
0
2
4
0
1
2
3
4
5
-2
0
2
4
Figura 9.27: O sólido do exemplo [6].
1 2
-1
1
1 2
-1
1
Figura 9.28: A região D.
Observe que z = f(x, y) = 2 x+ 1 e
V (W ) =
∫∫
D
(2 x+ 1) dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região
do tipo II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 295
V (W ) =
∫∫
D
(2x+ 1) dx dy =
∫ 2
−1
[
∫ y+2
y2
(2 x+ 1) dx
]
dy
=
∫ 2
−1
(5 y + 6 − y4) dy = 189
10
u.v.
[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por
z = x2 + 4 y2 e x2 + 4 y2 = 4.
O gráfico de z = x2 + 4 y2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y2 = 4 é um
cilindro elítico.
-2
-1
0
1
2
x
-0.5
0
0.5
1
y
0
1
2
3
z
-2
-1
0
1
x
-0.5
0
0.5
-2
-1
0
1
2
x
-1
-0.5
0
0.5 1
y
0
1
2
3
z
-2
-1
0
1x
-1
-0.5
0
0.5
Figura 9.29: O sólido do exemplo [7].
1-1 2
-1
1
1-1 2
-1
1
Figura 9.30: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multi-
plicamos o resultado por 4.
296 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
1 2
1
1 2
1
Figura 9.31: A região D.
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤√
4 − x2
2
e,
V = 4
∫∫
D
(x2 + 4y2) dx dy = 4
∫ 2
0
[
∫
√
4−x2
2
0
(x2 + 4 y2) dy
]
dx
= 2
∫ 2
0
(
x2
√
4 − x2 + (4 − x
2)
3
2
3
)
dx = 4 π u.v.
[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x−x2.
Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
5
Figura 9.32: A região D.
D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x− x2.
A =
∫∫
D
dx dy =
∫ 2
0
[
∫ 4x−x2
x2
dy
]
dx = 2
∫ 2
0
(2x− x2) dx = 8
3
u.a.
[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2+y2 =
a2 e x2 + z2 = a2, a 6= 0.
O sólido é simétrico em relação à origem.
Matheus
Realce
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 297
Figura 9.33: Interseção dos cilindros.
Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplica-
mos o resultado por 8.
Figura 9.34: O sólido no primeiro octante.
Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤
√
a2 − x2. A altura do
sólidoW é dada por z = f(x, y) =
√
a2 − x2 e:
298 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
V = 8
∫∫
D
√
a2 − x2 dx dy
= 8
∫ a
0
[
∫
√
a2−x2
0
√
a2 − x2dy
]
dx
= 8
∫ a
0
(a2 − x2) dx = 16 a
3
3
.
[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y2 e
situado acima do plano xy, no primeiro octante.
0 1 2 3
0
1
2
3
0
2
4
6
8
0
2
4
6
1 2 3
1
2
1 2 3
1
2
Figura 9.35: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.
D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 5
2
e 0 ≤ x ≤ 10 − 4y
3
; logo:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫ 5
2
0
[
∫
10−4 y
3
0
(x2 + y2) dx
]
dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[2 y − 5] [43 y2 − 80 y + 100] dy
= − 2
81
∫ 5
2
0
[86 y3 − 375 y2 + 600 y − 500] dy = 15625
1296
u.v.
[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e
y2 − x = 0.
9.9. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 299
Figura 9.36: Sólido do exemplo [11].
D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ √x,
1
1
1
1
Figura 9.37: Região D.
Logo:
V =
∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[
∫
√
x
x2
x y dy
]
dx =
1
2
∫ 1
0
[x2 − x5] dx = 1
12
u.v.
300 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
9.10 Exercícios
1. Calcule
∫∫
R
f(x, y) dx dy, se:
(a) f(x, y) = x2 y3 e R = [0, 1] × [0, 1]
(b) f(x, y) = (x+ y)2 (x2 − y2) e R = [0, 1] × [0, 1]
(c) f(x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]
(d) f(x, y) =
x2
y2 + 1
e R = [−1, 1] × [−1, 1]
(e) f(x, y) = ex y (x2 + y2) e R = [−1, 3] × [−2, 1]
(f) f(x, y) = x y − y2 e R = [0, 5] × [0, 4]
(g) f(x, y) = 5 x y2 e R = [1, 3] × [1, 4]
(h) f(x, y) = 2 x+ c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]
(i) f(x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2] × [−1, 1].
2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da
função e inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z =
√
9 − y2 e R = [0, 4] × [0, 2]
(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2] × [−3, 3]
(c) z = y2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3]
(d) z = 2 x+ 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3]
(e) z = a cos(2 θ) + b sen(2α) e R = [0, π
2
] × [0, π
2
]
(f) z = x sen(y) e R = [0, π] × [0, π]
3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
(a)
∫ 1
0
[
∫ 1
y
tg(x2) dx
]
dy
(b)
∫ 2
1
[
∫ x
1
x2
y2
dy
]
dx
(c)
∫ 1
0
[
∫
√
1−x2
0
√
1 − y2 dy
]
dx
(d)
∫ 1
0
[
∫ 1
x
sen(y2) dy
]
dx
(e)
∫ 1
0
[
∫ y
3y
ex
2
dx
]
dy
(f)
∫ 3
0
[
∫ 9
y2
y cos(x2) dx
]
dy
9.10. EXERCÍCIOS 301
4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas
dadas:
(a)
∫∫
D
y dx dy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x
(b)
∫∫
D
x y dx dy; x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, x, y ≥ 0
(c)
∫∫
D
x dx dy; x− y2 = 0, x = 1
(d)
∫∫
D
dx dy
x2 + 1
; y − x2 = 0, y = 1
(e)
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy; y = 0, y = x− 1 e x = 1, x = 0
(f)
∫∫
D
ex+y dx dy; y = 0, y = x e x− 1 = 0
(g)
∫∫
D
x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1
(h)
∫∫
D
4 y3 dx dy; y = x− 6 e y2 = x
(i)
∫∫
D
(y2 − x) dx dy; y2 = x e x = 3 − 2 y2
(j)
∫∫
D
(x2 + 2 y) dx dy; y = 2 x2 e y = x2 + 1
(k)
∫∫
D
(1 + 2 x) dx dy; x = y2 e y + x = 2
(l)
∫∫
D
dx dy; y2 = x3 e y = x
302 CAPÍTULO 9. INTEGRAÇÃODUPLA
Capítulo 10
MUDANÇADE COORDENADAS
10.1 Introdução
Seja D∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:
x, y : D∗ −→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parci-
ais contínuas num retângulo aberto R tal que D∗ ⊂ R. Estas duas funções
determinam uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:
T : D∗ −→ R2,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformaçãoT é também denotada por:
{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Denotemos a imagen de D∗ por T como D = T (D∗), contida no plano xy.
303
Matheus
Realce
304 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
TD*
D
y
x
v
u
Figura 10.1: Mudança de coordenadas.
Exemplos 10.1.
Seja D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Determinemos D = T (D∗) no plano xy.
{
x = r cos(t)
y = r sen(t);
logo: x2 + y2 = r2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.
π2
L D
t
1 r
* D
x
y
1
T
Figura 10.2:
Definição 10.1. Uma transformação T é injetiva em D∗ se:
T (u1, v1) = T (u2, v2)
implica em u1 = u2 e v1 = v2, para todo (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.
10.2. JACOBIANO DAMUDANÇA DE COORDENADAS 305
No exemplo 10.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0) para
t1 6= t2. Observe que:
T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}.
Mas se D∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.
10.2 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D∗ −→ D uma transformação definida por:
{
x = x(u, v)
y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.
Considere a seguinte matriz:
J =





∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v





onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗. J é cha-
mada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
Definição 10.2. O determinante da matriz J , dito jacobiano de T , é deno-
tado e definido por:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det(J) =
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.
Observação 10.1. A importância damatriz Jacobiana de uma transformação
deverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por
enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova:
Matheus
Realce
306 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
Proposição 10.1. Se:
∂(x, y)
∂(u, v)
(u0, v0) 6= 0, (u0, v0) ∈ D∗,
então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0) tal que a restrição de T a esta
vizinhança é injetiva.
Exemplos 10.2.
[1] No exemplo 10.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). Logo,
∂(x, y)
∂(r, t)
= r.
Note que para todo (r, t) ∈ L temos ∂(x, y)
∂(r, t)
= 0.
[2] Seja o quadrado D∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u+ v, u− v).
{
x = u+ v
y = u− v.
Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se
v = 1, então y = x− 2.
A região D = T (D∗) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x,
y = −x, y = x− 2 e y = 2 − x. O jacobiano:
∂(x, y)
∂(u, v)
= −2.
1
1
1 2
-1
1
Figura 10.3: Regiões D∗ e D, respectivamente.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.3. MUDANÇA DE COORDENADAS E INTEGRAIS DUPLAS 307
[3] Seja D∗ a região limitada pelas curvas u2 − v2 = 1, u2 − v2 = 9, u v = 1 e
u v = 4 no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v2, u v).
Determinemos T (D∗) = D, fazendo:
{
x = u2 − v2
y = u v;
se u2 − v2 = 1, então x = 1; se u2 − v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então
y = 1 e se u v = 4, então y = 4
1 2 3
1
2
1 2 3
1
2
1 5 9
1
4
Figura 10.4: Regiões D∗ e D, respectivamente.
∂(x, y)
∂(u, v)
= 2(u2 + v2), que não se anula em D∗.
10.3 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob
mudanças de coordenadas.
Teorema 10.1. Sejam D e D∗ regiões elementares no plano, T uma transfor-
mação de classe C1 e injetiva em D∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, para
toda função integrável f sobre D temos:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
f(u, v)
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
du dv
onde:
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
Matheus
Realce
308 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e a função nas novas coorde-
nadas f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Em particular a área deD é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
du dv
Observações 10.1.
1. É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é
injetiva num subconjunto de conteúdo nulo deD∗, como no caso de L,
no exemplo 1.
2. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T
é bijetiva.
10.4 Mudança Linear de Coordenadas
Consideremos a seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1 u+ b1 v
y = y(u, v) = a2 u+ b2 v
onde a1 b2 − a2 b1 6= 0. Como:
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
= |a1b2 − a2b1|,
do teorema anterior, segue:
Corolário 10.2. Se f(u, v) = f(a1 u+ b1 v, a2 u+ b2 v), então:
∫∫
D
f(x, y) dx dy = |a1b2 − a2b1|
∫∫
D∗
f(u, v) du dv
Em particular, a área de D é:
A(D) = |a1b2 − a2b1|A(D∗)
10.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 309
Observação 10.2. Note que as inversas são:









u = u(x, y) =
b2 x− b1 y
a1b2 − a2b1
v = v(x, y) =
−a2 x+ a1 y
a1b2 − a2b1
,
e que:
∣
∣
∣
∣
∂(u, v)
∂(x, y)
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
−1
.
Exemplos 10.3.
[1] SejaD a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x−2 e y = x+1,
calcule:
∫∫
D
x y dx dy.
A presença dos termos 2 x− y e y − x sugerem a seguinte mudança:
{
u = 2 x− y
v = y − x.
A nova região D∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e
v = 1.
1 2 3
1
2
3
4
1 2 3
1
2
3
4
-2 1
1
Figura 10.5: Regiões D eD∗, respectivamente.
Note que:
u = 2
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Riscado
310 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
{
x = u+ v
y = u+ 2 v,
logo,
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
= 1 e f(u, v) = (u+ v) (u+ 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v2. Então:
∫∫
D
x y dx dy =
∫ 1
0
[
∫ 0
−2
(u2 + 3 u v + 2 v2) du
]
dv = 1.
[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados,
calcule:
∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy.
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:
{
u = x+ y
v = y − x.
D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x+y = 2; então,D∗ é limitada pelas
curvas u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.
1 2
1
2
1 2
1
2
1 2
-2
2
Figura 10.6: Regiões D∗ e D, respectivamente.
∣
∣
∣
∣
∂(u, v)
∂(x, y)
∣
∣
∣
∣
= 2 e
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
2
, f(u, v) = e
v
u ; então:
Matheus
Realce
10.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 311
∫∫
D
e
y−x
x+y dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u du dv =
1
2
∫ 2
0
[
∫ u
−u
e
v
u dv
]
du
=
1
2
∫ 2
0
u e
v
u
∣
∣
∣
∣
v=u
v=−u
du
=
e− e−1
2
∫ 2
0
u du
= e− e−1.
[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada
(2 x− 4 y + 7)2 + (x− 5 y)2 = 16.
Considere a mudança:
{
u = 2 x− 4 y
v = x− 5 y.
D∗ é a região limitada pela curva (u+7)2+v2 = 16 que é um círculo centrado
em (−7, 0) de raio 4.
-10 -5 1
-3
1
-10 -5 1
-3
1
-14 -12 -10 - 8 - 6 - 4 - 2
- 6
- 4
- 2
2
4
6
Figura 10.7: Regiões D∗ e D, respectivamente.
∣
∣
∣
∣
∂(u, v)
∂(x, y)
∣
∣
∣
∣
= 6; então
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
6
e:
A(D) =
1
6
∫∫
D∗
du dv =
1
6
A(D∗) =
8
3
πu.a.
[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados,
calcule:
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
312 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
∫∫
D
cos
(x− y
x+ y
)
dx dy.
A presença dos termos x+ y e x− y sugerem a seguinte mudança:
{
u = x− y
v = x+ y.
1
1
1
1
1-1
1
1-1
1
Figura 10.8: Regiões D∗ e D, respectivamente.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
2
e
f(u, v) = cos
(u
v
)
; então:
∫∫
D
cos
(
y − x
x+ y
)
dx dy =
1
2
∫∫
D∗
cos
(u
v
)
du dv
=
1
2
∫ 1
0
[
∫ v
−v
cos
(u
v
)
du
]
dv
=
1
2
∫ 1
0
v
(
sen(1) − sen(−1)
)
dv = sen(1)
∫ 1
0
v dv
=
sen(1)
2
.
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1
e y + 2 x = 1, calcule:
∫∫
D
y + 2 x
(y − 2 x)2 dx dy.
Matheus
Realce
10.4. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 313
A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança:
{
u = y + 2 x
v = y − 2 x.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.-0.5-1 10.5
1
2
-0.5-1 10.5
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
Figura 10.9: Regiões D∗ e D, respectivamente.
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
4
e f(u, v) =
u
v2
; então:
∫∫
D
y + 2 x
(y − 2 x)2 dx dy =
1
4
∫∫
D∗
u
v2
du dv
=
1
4
∫ 2
1
[
∫ 2
1
u
v2
du
]
dv
=
3
16
.
[5] Seja D a região limitada pelas curvas y + x = 1, y + x = 4, x − y = −1 e
x− y = 1, calcule:
∫∫
D
(x+ y)2 ex−y dx dy.
A presença dos termos y + x e y − x sugerem a seguinte mudança:
{
u = x+ y
v = x− y.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 4, v = −1 e v = 1.
[6]
= 3/8
=1/2
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Realce
314 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1 2 3 4
-1.0
- 0.5
0.5
1.0
Figura 10.10: Regiões D∗ eD, respectivamente.
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
2
e f(u, v) = u2 ev; então:
∫∫
D
(x+ y)2 ex−y dx dy =
1
2
∫∫
D∗
u2 ev du dv
=
1
1
∫ 1
−1
[
∫ 4
1
u2 ev du
]
dv
=
21
2
(e− e−1).
10.5 Mudança Polar de Coordenadas
Umponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares
(r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo
dos x e o segmento de reta que liga a origem a P .
r
x
y
θ
P’
r
P
Figura 10.11: Mudança polar de coordenadas.
Matheus
Realce
10.5. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 315
A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:
{
r =
√
x2 + y2
θ = arctg
(y
x
)
x 6= 0.
Ou, equivalentemente:
{
x = r cos(θ)
y = r sen(θ).
Esta mudança é injetiva em:
D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y2 ≤ a2} corresponde, em coor-
denadas polares, à região retangular:
D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].
Exemplos 10.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 =
√
x2 + y2 − y;
em coordenadas polares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0.
-1 1
-1
-2
Figura 10.12: Cardióide.
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:
(x2 + y2)2 = a2 (x2 − y2);
em coordenadas polares fica r2 = a2 cos(2θ).
316 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
Figura 10.13: Lemniscata.
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido
como o seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 = a2, a ≥ 0};
em coordenadas polares:
C∗ = {(r, θ, z) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
= r > 0.
Do teorema anterior, segue:
Corolário 10.3. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
r f(r, θ) dr dθ
Esta igualdade ainda é válida se D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.
Em particular a área deD é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
r dr dθ
10.6 Regiões Limitadas por Círculos
Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y2 = a2, em coordenadas
polares é dada por:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 317
Figura 10.14: A região D.
Neste caso:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 2π
0
[
∫ a
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A regiãoD, limitada pelo círculo (x−a)2 +y2 ≤ a2, em coordenadas polares
é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −π
2
≤ θ ≤ π
2
}.
Figura 10.15: A região D.
Neste caso:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ π
2
−π
2
[
∫ 2 acos(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
A regiãoD, limitada pelo círculo x2 +(y−a)2 ≤ a2, em coordenadas polares
é:
Matheus
Realce
Matheus
Realce
318 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
Figura 10.16: A região D.
Neste caso:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ π
0
[
∫ 2a sen(θ)
0
r f(r, θ) dr
]
dθ
Exemplos 10.5.
[1] Calcule
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =
√
3 x
3
,
no primeiro quadrante.
1 2
1
1 2
1
Figura 10.17: A região D.
Usando coordenadas polares, a nova região D∗ no plano rθ é determinada
por:
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 319
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, π
6
≤ θ ≤ π
4
}.
Como x2 + y2 = r2, temos:
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ π
4
π
6
[
∫ 2
1
r3 dr
]
dθ =
5 π
16
.
[2] Calcule
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:
x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, (0 < a < b).
Usando coordenadas polares temos queD∗ está determinada por:
a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Por outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
2 r ln(r) dr dθ
= 4 π
∫ b
a
r ln(r) dr
= π (r2(2 ln(r) − 1))
∣
∣
∣
∣
b
a
= π (2 b2 ln(b) − 2 a2 ln(a) + a2 − b2).
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado
pelos gráficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.
O gráfico de z = x2 + y2 é um parabolóide centrado na origem e o do cilin-
dro circular reto x2 + y2 = 2y que é centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois,
podemos escrever x2 + y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
320 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
00.25
0.5
0.75
1
x
0
0.5
1
1.5
2
y
0
1
2
3
4
z
0.25
0.5
0.75
1
0
1
2
3
Figura 10.18: O sólido do exemplo [3].
Logo D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
O sólidoW é limitado superiormente pelo parabolóide; logo:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy.
Utilizando coordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:
V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
D∗
r3 dr dθ =
∫ π
0
[
∫ 2sen(θ)
0
r3 dr
]
dθ
= 4
∫ π
0
sen4(θ) dθ = 4
∫ π
0
[
3
8
+
cos(4θ
8
− sen(2θ
2
]
dθ
= −sen3(θ) cos(θ) − 3
2
cos(θ) sen(θ) +
3 θ
2
∣
∣
∣
∣
π
0
=
3π
2
u.v.
[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25
e internamente por x2 + y2 = 9.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 321
0
1
2
3
4
5x
0
1
2
3
y
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
x
0
1
2
Figura 10.19: O sólido do exemplo [4].
3 5
3
5
3 5
3
5
Figura 10.20: A região D.
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multi-
plicamos o resultado por 8.
V = 8
∫∫
D
√
25 − x2 − y2 dx dy,
onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares
obtemos a nova região D∗ definida por:
D∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π
2
}
e
√
25 − x2 − y2 =
√
25 − r2:
V = 8
∫∫
D
√
25 − x2 − y2 dx dy = 8
∫ π
2
0
[
∫ 5
3
r
√
25 − r2 dr
]
dθ =
256π
3
u.v.
Matheus
Realce
322 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
[5] Calcule
∫ +∞
0
e−x
2
dx.
Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a].
Então:
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy =
∫ a
−a
[
∫ a
−a
e−x
2
e−y
2
dy
]
dx =
[
∫ a
−a
e−x
2
dx
] [
∫ a
−a
e−y
2
dy
]
.
O gráfico de f(x, y) = e−(x
2+y2) é:
Figura 10.21:
Se denotamos por L(a) =
∫ a
−a
e−u
2
du = 2
∫ a
0
e−u
2
du, temos:
L2(a) =
∫∫
R
e−(x
2+y2) dx dy.
Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a região
limitada pelo círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo
circunscrito a R:
R
D1
D
Figura 10.22:
10.6. REGIÕES LIMITADAS POR CÍRCULOS 323
Como f(x, y) = e−(x2+y2) é contínua emD1 e e−(x
2+y2) > 0, para todo x, y,
∫∫
D
e−(x
2+y2) dx dy ≤ L2(a) ≤
∫∫
D1
e−(x
2+y2) dx dy.
Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 é
definida por 0 ≤ r ≤
√
2 a e 0 ≤ θ ≤ 2π:
e−(x
2+y2) = e−r
2
e:
∫ 2π
0
[
∫ a
0
r e−r
2
dr
]
dθ = π (1 − e−a2);
então,
√
π (1 − e−a2) ≤ L(a) ≤
√
π (1 − e−2a2).
Como:
lim
a→+∞
∫ a
0
e−u
2
du =
∫ +∞
0
e−u
2
du,
temos:
∫ +∞
0
e−u
2
du =
√
π
2
.
[6] SeD = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x−y)2 +(x+y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x+y ≥ 0}, calcule:
∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy.
Usamos mudança linear:
{
u = x− y
v = x+ y.
Logo, a novaregiãoD∗ é limitada pelas curvas u2+v2 = 1, u2 +v2 = 4, v ≤ u
e 0 ≤ v:
324 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
1 2
1
2
1 2
1
2
Figura 10.23: Região D.
∂(u, v)
∂(x, y)
= 2 então
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
2
e
∫∫
D
e
x+y
x−y
(x− y)2dx dy =
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv.
Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2
e 0 ≤ θ ≤ π
4
:
1
2
∫∫
D∗
e
v
u
u2
du dv =
1
2
∫∫
D∗∗
r etg(θ)
r2 cos2(θ)
dr dθ =
ln(2)
2
(e− 1).
10.7 Aplicação
Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar):
r = g(θ) e r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},
onde g, h : [θ1, θ2] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).
D
h
g
y
x
θ1
θ2
r
θ
D*
θ
2
θ1
Figura 10.24:
Matheus
Realce
10.7. APLICAÇÃO 325
Então:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ θ2
θ1
[
∫ h(θ2)
g(θ1)
r f(r, θ) dr
]
dθ
Em particular, a área deD é:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
1
2
∫ θ2
θ1
[
(h(θ))2 − (g(θ))2
]
dθ
Exemplos 10.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e pelo
cilindro r = 4 sen(θ), no primeiro octante.
Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano
r θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e
0 ≤ θ ≤ π
2
.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
1
2
3
4
0
0.5
1
1.5
2x
0 1
2 3
4
y
0
1
2
3
4
z
0
0.5
1
1.5
0 1
2 3
Figura 10.25:
V =
∫∫
D∗
r2 dr dθ =
∫ π
2
0
[
∫ 4 sen(θ)
0
r2dr
]
dθ =
128
9
u.v.
[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e
pelo exterior do círculo r = 2.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
326 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
-2 2
-2
2
-2 2
-2
2
Figura 10.26:
Os círculos se intersectam em: θ = π
6
e θ = 5π
6
e:
A(D) =
1
2
∫ 5π
6
π
6
(16 sen2(θ) − 4) dθ =
(2π
3
+ 2
√
3
)
u.a.
[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 10.27:
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
A(D) = 2
∫ 2π
0
(1 + sen(θ))2dθ = 6πu.a.
[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).
= (4pi/3) +2*sqrt(3)
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Riscado
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 327
Figura 10.28:
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
A(D) =
1
2
∫ 2π
0
sen2(3θ) dθ =
π
2
u.a.
10.8 Exercícios de Mudança de Coordenadas
Nesta seção apresentaremos mudanças de coordenadas não usuais. Lem-
bremos, que utilizaremos o teorema de mudança de coordenadas e a fór-
mula:
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D∗
f(u, v)
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
du dv
onde:
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Exemplos 10.7.
[1] Calcule:
∫ 2
1
[
∫
√
x
0
y e
√
x dy
]
dx.
Primeiramente observamos que:
Matheus
Realce
Matheus
Realce
Matheus
Realce
328 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
∫ 2
1
[
∫
√
x
0
y e
√
x dy
]
dx =
∫∫
D
y e
√
x dx dy,
onde D = {(x, y) / 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √x}; D é região de tipo I.
1 2
1
Figura 10.29: A região D.
Utilizemos a mudança de coordenadas:
{
x = u2
y = v;
=⇒









x = 1 =⇒ u = 1
x = 2 =⇒ u =
√
2
y = 0 =⇒ v = 0
y =
√
x =⇒ v = u.
Logo, D∗ = {(u, v) / 1 ≤ u ≤
√
2, 0 ≤ v ≤ u}.
1 2
1
Figura 10.30: A região D∗.
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 329
O jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
[
2 u 0
0 1
]
= 2 u;
que é não nulo emD∗ e f(x, y) = y e
√
x = v eu. Logo:
∫∫
D
y e
√
x dx dy =
∫∫
D∗
2 u v eu du dv
= 2
∫
√
2
1
[
∫ u
0
u v eu dv
]
du
=
∫
√
2
1
u3 eu du
= 6 + 4 e
√
2 (2
√
2 − 3).
[2] Calcule:
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy,
ondeD é limitada por x y = 2, x y = 4, x2 − y2 = 1 e x2 − y2 = 9, no primeiro
quadrante.
1 2 3
1
2
1 2 3
1
2
Figura 10.31: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
= 2*e(1) + (2^1.5 -12 +6*2^0.5)*e(2^0.5) = 2,6136
Matheus
Riscado
Matheus
Realce
Matheus
Realce
330 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
{
u = x2 − y2
v = 2 x y.
=⇒









x y = 2 =⇒ v = 4
x y = 4 =⇒ v = 8
x2 − y2 = 1 =⇒ u = 1
x2 − y2 = 9 =⇒ u = 9.
Então D∗ = [1, 9] × [4, 8]. Por outro lado:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
2 x −2 y
2 y 2 x
]
= 4 (x2 + y2) =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
4 (x2 + y2)
;
logo:
(x2 + y2)
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
1
4
,
e:
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
1
4
∫∫
D∗
du dv
=
1
4
∫ 9
1
∫ 8
4
dv du
= 8.
[3] Calcule:
∫∫
D
(y + 2 x2) (y − x2) dx dy,
onde D é limitada por x y = 1, x y = 2, y = x2 e y = x2 − 1, no primeiro
quadrante.
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 10.32: A região D.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 331
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
u = x y
v = y − x2
=⇒









x y = 1 =⇒ u = 1
x y = 2 =⇒ u = 2
y = x2 =⇒ v = 0
y = x2 − 1 =⇒ v = −1.
Então D∗ = [1, 2] × [−1, 0]. O jacobiano da mudança é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
y x
−2 x 1
]
= y + 2 x2 =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
y + 2 x2
.
Então:
(y + 2 x2) (y − x2)
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
= v,
logo:
∫∫
D
(y + 2 x2) (y − x2) dx dy =
∫∫
D∗
v du dv
=
∫ 0
−1
∫ 2
1
v du dv
= −1
2
.
[4] Calcule:
∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy,
onde D é limitada por x2 + y2 + x y ≤ 1.
- 1 1
- 1
1
Figura 10.33: A região D.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
332 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
Completando os quadrados:
x2 + y2 + x y =
(
x+
y
2
)2
+
(
√
3 y
2
)2
.
Utilizemos a mudança linear de coordenadas:





u = x+
y
2
v =
√
3 y
2
A região é dada por D∗ = {(u, v) / u2 + v2 ≤ 1}. Por outro lado, o jacobiano
da mudança é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det




1
1
2
0
√
3
2




=
√
3
2
=⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
2
√
3
3
.
Então:
∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy =
2
√
3
3
∫∫
D∗
e−(u
2+v2) du dv.
Utilizando coordenadas polares, temos que D∗∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤
θ ≤ 2 π} e:
∫∫
D
e−x
2−x y−y2dx dy =
2
√
3
3
∫∫
D∗
e−(u
2+v2) du dv
=
2
√
3
3
∫∫
D∗∗
e−r
2
r dr dθ
=
2
√
3
3
∫ 1
0
∫ 2π
0
r e−r
2
dθ dr
=
2 π
√
3
3
(1 − e−1).
[5] Calcule:
∫∫
D
(x2 − y2) exy dx dy,
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 333
onde D é limitada por x y = 1, x y = 4, y = x e y = x + 2 no primeiro
quadrante.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1
2
3
4
Figura 10.34: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
u = x y
v = −x+ y.
=⇒









x y = 1 =⇒ u = 1
x y = 4 =⇒ u = 4
−x+ y = 0 =⇒ v = 0
−x+ y = 2 =⇒ v = 2.
Logo a região D∗ = [1, 4] × [0, 2]:
1 4
2
Figura 10.35: A região D∗.
O jacobiano da mudança é:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det
[
y x
−1 1
]
= x+ y =⇒ ∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
x+ y
;
334 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
observe que como x, y > 0, temos:
(x2 − y2) exy
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
(x− y) (x+ y) exy
x+ y
= (x− y) exy = −v eu.
Então:
∫∫
D
(x2 − y2) exy dx dy = −
∫∫
D∗
v eu du dv
= −
∫ 4
1
∫ 2
0
v eu dv du
= 2 (e− e4).
[6] Calcule:
∫∫
D
e
x3+y3
xy dx dy,
onde D = {(x, y) / y2 − 2 x ≤ 0, x2 − 2 y ≤ 0}.
2
2
Figura 10.36: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
{
x = u2 v
y = u v2.
Então:
{
y2 − 2 x ≤ 0 =⇒ 0 ≤ v ≤ 3
√
2
x2 − 2 y ≤ 0 =⇒ 0 ≤ u ≤ 3
√
2.
Matheus
Realce
Matheus
Realce
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 335
A região D∗ = [0, 3
√
2] × [0, 3
√
2]. Por outro lado:
x3 + y3
xy
= u3 + v3 e
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
= 3 u2 v2.
Então:
∫∫
D
e
x3+y3
xy dx dy =
∫∫
D∗
3 u2 v2 eu
3+v3 du dv
= 3
∫∫
D∗
u2 v2 eu
3
ev
3
du dv
= 3
∫
3
√
2
0
[
∫
3
√
2
0
u2 v2 eu
3
ev
3
du
]
dv
=
∫
3
√
2
0
v2 ev
3 [
eu
3
∣
∣
∣
∣
3
√
2
0
]
dv
= (e2 − 1)
∫
3
√
2
0
v2 ev
3
dv
=
1
3
(e2 − 1)2.
[7] Calcule:
∫∫
D
x3 y3
√
1 − x4 − y4 dx dy,
onde D = {(x, y) / x4 + y4 ≤ 1}, no primeiro quadrante.
1- 1
- 1
1
Figura 10.37: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
Matheus
Realce
MatheusRealce
336 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
{
x =
√
r cos(θ)
y =
√
r sen(θ).
O jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
1
4
√
sen(θ)
√
cos(θ)
Então:
x3 y3
√
1 − x4 − y4
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(r, θ)
∣
∣
∣
∣
=
1
4
cos(θ) sen(θ) r3
√
1 − r2
Logo, D∗ = {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π
2
} e:
∫∫
D
x3 y3
√
1 − x4 − y4 dx dy = 1
4
∫∫
D∗
cos(θ) sen(θ) r3
√
1 − r2 dr dθ
=
1
4
[
∫ 1
0
r3
√
1 − r2 dr
][
∫ π/2
0
cos(θ) sen(θ) dθ
]
=
1
60
.
[8] Determine a área da região limitada por y2 = 2 p x, y2 = 2 q x, x2 = 2 r y e
x2 = 2 s y tais que 0 < p < q e 0 < r < s.
Figura 10.38: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
10.8. EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE COORDENADAS 337











u =
y2
2 x
v =
x2
2 y
=⇒









y2 = 2 p x =⇒ u = p
y2 = 2 q x =⇒ u = q
x2 = 2 r y =⇒ v = r
x2 = 2 s y =⇒ v = s.
Então D∗ = [p, q] × [r, s]. Por outro lado:
∂(u, v)
∂(x, y)
= det




− y
2
2x2
y
x
x
y
− x
2
2y2




= −3
4
=⇒
∣
∣
∣
∣
∂(x, y)
∂(u, v)
∣
∣
∣
∣
=
4
3
.
Então:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
4
3
du dv =
4
3
(q − p) (s− r).
[9] Determine a área da região limitada por:
√
x
a
+
√
y
b
= 1,
√
x
a
+
√
y
b
= 4,
y =
b x
a
e y =
9 b x
a
, tal que a, b > 0.
Figura 10.39: A região D.
Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
338 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS











u =
√
a y
b x
v =
√
x
a
+
√
y
b
=⇒

















a y = b x =⇒ u = 1
a y = 9 b x =⇒ u = 3
√
x
a
+
√
y
b
= 1 =⇒ v = 1
√
x
a
+
√
y
b
= 4 =⇒ v = 4.
Então D∗ = [1, 3] × [1, 4]. Não é difícil calcular a inversa da transformação
de coordenadas:













x =
a v2
(1 + u)2
y =
b u2 v2
(1 + u)2
.
Logo:
∂(x, y)
∂(u, v)
= det





− 2 v
2 a
(1 + u)3
2 v a
(1 + u)2
2 u v2 b
(1 + u)3
2 u2 v b
(1 + u)2





= −4 a b u v
3
(1 + u)4
.
E:
A(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫∫
D∗
4 a b u v3
(1 + u)4
du dv
=
∫ 3
1
[
∫ 4
1
4 a b u v3
(1 + u)4
dv
]
du
= 255 a b
∫ 3
1
u
(1 + u)4
du
=
935 a b
64
.
[10] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1;
onde a, b, c 6= 0.
10.9. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 339
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante;
logo:
V = 8 c
∫∫
D
√
1 −
[
x2
a2
+
y2
b2
]
dx dy.
A região D é limitada pela porção de elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 no primeiro qua-
drante. Usemos a seguinte mudança:
{
x = a r cos(θ)
y = b r sen(θ);
o determinante Jacobiano da mudança é:
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
[
a cos (t) −ar sin (t)
b sin (t) br cos (t)
]
= a b r.
Por outro lado:
√
1 −
[
x2
a2
+
y2
b2
]
=
√
1 − r2.
A região D∗ = [0, 1] × [0, π
2
]:
V = 8 a b c
∫∫
D∗
r
√
1 − r2 dr dθ = 4 a b c π
∫ 1
0
r
√
1 − r2 dr = 4 a b c π
3
u.v.
Em particular, se a = b = c, temos uma esfera de raio a e V =
4 π a3
3
u.v.
10.9 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, po-
dem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro
de massa e momento de inércia.
340 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
10.10 Massa Total
Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e
consideremos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhe-
cida, isto é, existe uma função z = f(x, y) > 0 em D que representa a massa
por unidade de área em cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de ma-
terial homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total da
lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina.
Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função inte-
grável sobre D, a massa totalM(D) deD é dada por:
M(D) =
∫∫
D
f(x, y) dx dy
10.11 Momento de Massa
Omomento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de
sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos
de massa da lâminaD em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
Mx =
∫∫
D
y f(x, y) dx dy, My =
∫∫
D
x f(x, y) dx dy
x
y (x,y) D
Figura 10.40:
10.11. MOMENTO DE MASSA 341
10.11.1 Centro de Massa
O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:
x =
My
M(D)
, y =
Mx
M(D)
Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar
concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se
f(x, y) = k, (k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso
o centro de massa é o centro geométrico da região D.
Exemplos 10.8.
[1] Calcule o centro demassa do retângulo [0, 1]×[0, 1] se a densidade é dada
pela função: f(x, y) = ex+y.
A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é:
M(D) =
∫ 1
0
[
∫ 1
0
ex+y dx
]
dy = e2 − 2e+ 1.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ 1
0
[
∫ 1
0
y ex+y dx
]
dy = e− 1 e My =
∫ 1
0
[
∫ 1
0
x ex+y dx
]
dy = e− 1
e o centro de massa deD é (
1
e− 1 ,
1
e− 1).
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D
de raio a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é
proporcional à distância do ponto à origem.
Exe
Figura 10.41:
342 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
f(x, y) = k
√
x2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas pola-
res. A nova região D∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π;
√
x2 + y2 = r:
M(D) = k
∫ π
0
[
∫ a
0
r2 dr
]
dθ =
k π a3
3
.
Os momentos de massa respectivos são:
Mx =
∫ a
0
[
∫ π
0
r3 cos(θ) dθ
]
dr = 0 e My =
∫ a
0
[
∫ π
0
r3 sen(θ) dθ
]
dr =
a4
2
;
o centro de massa deD é (0,
3 a
2 k π
).
[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y =
4 x− x2.
1 2
4
2
1 2
4
2
Figura 10.42:
Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x− x2}
eM(D) = A(D) =
8
3
. Esta área já foi calculada anteriormente.
Mx =
∫ 2
0
[
∫ 4x−x2
x2
y dy
]
dx =
16
3
e My =
∫ 2
0
[
∫ 4x−x2
x2
x dy
]
dx =
8
3
;
o centróide deD é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x+ x2,
y = 0 e x = 2 se a densidade em cada ponto é Exe f(x, y) = y
1+x
.
10.12. MOMENTO DE INÉRCIA 343
M(D) =
∫ 2
0
[
∫ x(x+1)
0
y
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x3 + x2) dx =
10
3
,
Mx =
∫ 2
0
[
∫ x(x+1)
0
y2
1 + x
dy
]
dx =
1
2
∫ 2
0
(x4 + x3) dx =
412
45
,
My =
∫ 2
0
[
∫ x(x+1)
0
x y
1 + x
dy
]
dx =
1
3
∫ 2
0
(x5 + 2 x4 + x3) dx =
26
5
;
o centro de massa de D é (
39
25
,
206
75
).
10.12 Momento de Inércia
SejamL uma reta no plano,D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L),
onde d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.
D
L(x,y)
δ
Figura 10.43:
Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da
lâmina em relação à reta L é:
IL =
∫∫
D
δ2(x, y) f(x, y) dx dy
Em particular, se L é o eixo dos x:
344 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
Ix =
∫∫
D
y2 f(x, y) dx dy
Se L é o eixo dos y:
Iy =
∫∫
D
x2 f(x, y) dx dy
Omomento de inércia polar em relação à origem é:
I0 = Ix + Iy =
∫∫
D
(x2 + y2) f(x, y) dx dy
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade
de resistir à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplos 10.9.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas
y = ex, x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f(x, y) = x y.
Ix =
∫∫
D
xy3 dx dy =
∫ 1
0
[
∫ ex
0
x y3 dy
]
dx =
1
64
(3 e4 + 1),
Iy =
∫∫
D
yx3 dx dy =
∫ 1
0
[
∫ ex
0
y x3 dy
]
dx =
1
16
(e2 + 3);
logo, o momento de inércia polar é:
I0 = Ix + Iy =
1
64
(3 e4 + 4 e2 + 13).
[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y2 = a2
e x2 + y2 = b2, (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.
Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e
0 ≤ θ ≤ 2 π e o momento de inércia polar é:
I0 = k
∫ 2π
0
[
∫ b
a
r3 dr
]
dθ =
k (b4 − a4)π
2
.
10.13. EXERCÍCIOS 345
10.13 Exercícios1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela re-
gião limitada por y = x2 e x = y2.
(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y2 e inferiormente pela
região limitada por y = x e x = y2 − y.
(c) Limitado por y2 + z2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro
octante.
(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1.
(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro
octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x)
e y = cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y = x2, y = 2x+ 5
4
(b) y = −x2 − 4, y = −8
(c) y = 5 − x2, y = x+ 3
(d) x = y2, y = x + 3, y =
−2, y = 3
(e) y3 = x, y = x
(f) y = −x2 − 1, y = −2x− 4
(g) x = y2 + 1, y + x = 7
(h) y = 4 − x2, y = x2 − 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densi-
dade dada f :
(a) R é limitado por x2 + y2 =
1 no primeiro quadrante e
f(x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e
y = x2 e f(x, y) = x2 + y2
5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:
VM =
1
A
∫∫
D
f(x, y) dx dy,
onde A é a área deD. Calcule VM se:
346 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS
(a) f(x, y) = x2, eD do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
(b) f(x, y) = x2 y2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e
(0, 2)
(c) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
(d) f(x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)
Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u+ v e y = u− v, calcule:
∫ 1
0
[
∫ 1
0
(
x2 + y2
)
dx
]
dy.
2. Utilizando a mudança de variáveis: x+ y = u e x− y = v, calcule:
∫∫
D
(
x+ y
)2
(x− y)2 dx dy,
ondeD é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x− y e v = x+ y, calcule:
∫∫
D
(
x2 − y2
)
sen2(x+ y) dx dy,
ondeD = {(x, y)/− π ≤ x+ y ≤ π, −π ≤ x− y ≤ π}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
∫∫
D
ex
2+y2 dx dy, sendo D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}
(b)
∫∫
D
ln(x2 + y2) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 +
y2 ≤ b2}
(c)
∫∫
D
sen(
√
x2 + y2)
√
x2 + y2
dx dy, sendo D limitadas por x2 + y2 = π
2
4
e
x2 + y2 = π2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y2 e
x+ 2 y − 4 = 0.
10.13. EXERCÍCIOS 347
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pe-
las curvas:
(a) r = 1 e r = 2cos(θ)√
3
(fora a circunferência r = 1).
(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).
(c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2.
7. Calcule
∫∫
D
sen(x2 + y2) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na
origem.
8. Sendo dadas a parábola y2 = x+1 e a reta x+y = 1, calcule o momento
de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
9. Calcule
∫∫
D
(x2 − y2) dx dy, ondeD é a região limitada por x2 + y2 ≤ 1,
y ≥ 0 e x2 + y2 = 2.
10. Calcule
∫∫
D
y + 1
x2 + (y + 1)2
dx dy, onde D é a região limitada por x2 +
y2 ≤ 1 e y ≥ 0.
11. Calcule
∫∫
D
y ln(x+ y)
x2
dx dy, ondeD é a região limitada por x+y = 1,
x+ y = 2, y = x e y = 0.
12. Determine a área da região limitada por x2 + 3 y2 − 2 x− 6 y + 1 = 0.
13. Determine a área da região limitada por x y = 4, x y = 8, x y3 = 5 e
x y3 = 15.
14. Calcule
∫∫
D
cos(x + 2 y) sen(x − y) dx dy, onde D é a região limitada
por y = x, x+ 2 y = 2 e y = 0.
15. Calcule
∫∫
D
√
x+ y
x− 2 y dx dy, onde D é a região limitada por y = 0,
2 y = x e y = 1 − x.
16. Determine omomento de inércia polar da região limitada por x2−y2 =
1, x2 − y2 = 9, x y = 2 e x y = 4.
348 CAPÍTULO 10. MUDANÇA DE COORDENADAS