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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2015
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Considere os gra´ficos das func¸o˜es abaixo:
(a) Quais sa˜o os valores de f(−4) e g(7)?
(b) Para quais valores de x temos f(x) = g(x)?
(c) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f(x)?
(d) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de g(x)?
(e) Estas func¸o˜es sa˜o pares, ı´mpares ou sem paridade definida?
(f) Em que intervalos f(x) e´ crescente?
(g) Quais sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = −1?
2. Dada a func¸a˜o real f(x) = 4 + x2, determine:
(a) O esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(b) Os conjuntos domı´nio e imagem.
(c) A paridade da func¸a˜o (par/´ımpar/sem paridade).
(d) O intervalo de x no qual a func¸a˜o e´ crescente.
3. Sejam as func¸o˜es reais f(x) =
√
1 + x e g(x) =
√
1− x.
(a) Determine a raiz (x1) de cada func¸a˜o.
(b) Determine o domı´nio e a imagem de cada func¸a˜o.
(c) Esboce o gra´fico das duas func¸o˜es em um mesmo diagrama.
(d) Calcule a funcao (f + g)(x), e determine o seu dominio
(lembrete: D = Df ∩Dg).
(e) A partir dos gra´ficos de f(x) e g(x), esboce o gra´fico de (f + g)(x) utilizando
o me´todo da adic¸a˜o gra´fica.
4. Se f(x) =
x2 − 4
x− 1 determine:
(a) f(0)
(b) f(1/t)
(c) f(x− 2)
5. Se f(x) =
3x− 1
x− 7 determine
(a)
f(h)− f(0)
h
(b) f(f(5))
6. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) y =
√
3 + x+ 4
√
7− x
(b) y =
√
x
x+ 1
7. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) e determine seu domı´nio e imagem.
f(x) =

(x+ 1)2, se x ≤ −1
x+ 1, se −1 < x < 1
4− x2, se x ≥ 1
8. Para as func¸o˜es f(x) =
√
3− x e g(x) =
√
x2 − 1 determine a definic¸a˜o alge´brica e
o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) (g ◦ f)(x)
(b) (f + g)(x)
(c) (fg)(x)
9. Existem func¸o˜es na Matema´tica Aplicada chamadas de hiperbo´licas. Sa˜o definidas
como
senh(x) =
ex − e−x
2
, cosh(x) =
ex + e−x
2
(a) Prove que cosh2(x)− senh2(x) = 1.
(b) Prove que o senh(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar e cosh(x) e´ uma func¸a˜o par.
10. Dada Φ(u) = ln
(
1− u
1 + u
)
, verifique que Φ(a) + Φ(b) = Φ
(
a+ b
1 + ab
)
11. Considere uma populac¸a˜o cujo crescimento em func¸a˜o do tempo pode ser explicado
pelo modelo de Malthus atrave´s da seguinte a expressa˜o:
N(t) = 300 e0,2t
onde N representa o nu´mero de indiv´ıduos e t representa o tempo em anos.
A B
0
FHxL=logH x3 -2L
Figura 1: Exerc´ıcio 13
(a) Determine a func¸a˜o inversa, isto e´, determine t em func¸a˜o de N.
(b) Determine em quantos anos a populac¸a˜o atingira´ 1000 indiv´ıduos.
12. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa. Caso na˜o seja poss´ıvel, justifique.
(a) f(x) =
1 + 3x
5− 2x
(b) f(x) =
√
2 + 5x
(c) f(x) = x3 − x
(d) y = ln(x+ 3)
13. Se g(x) = 3 + x+ ex, ache g−1(4).
14. A figura (1) mostra o gra´fico da func¸a˜o composta F (x) = log ( 3
√
x− 2) em um certo
intevalo do eixo das abcissas. Com base no gra´fico, responda:
(a) Qual a coordenada do ponto A?
(b) Qual a coordenada do ponto B?
(c) Escreva o domı´nio e a imagem da func¸a˜o F (x).
(d) Se f(x) = log(x) e g(x) = 3
√
x − 2, F (x) = fog(x). Escreva a composic¸a˜o
G(x) = gof(x), seu domı´nio e imagem.
15. Seja F (x) uma func¸a˜o sem paridade definida, P (x) e´ uma func¸a˜o par e I(x) uma
func¸a˜o ı´mpar. Suponha que o domı´nio de todas estas func¸o˜es e´ o R.
(a) Mostre que F (x)−F (−x)
2
e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(b) Mostre que F (x)+F (−x)
2
e´ uma func¸a˜o par.
(c) Diga qual e´ a paridade (par, ı´mpar, ou sem paridade definida) das seguintes
composic¸o˜es: P (P (x)), P (I(x)), I (P (x)) e I (I(x)).
(d) F (P (x)), F (I(x)) e P (F (x))tem paridade definida?
16. Dadas as func¸o˜es definidas por f(x) =
√
x+ 4, g(x) = 1
x2−4 e h(x) = 3
x−1, pede-se:
(a) h−1(x)
(b)
(
h+g
f
)
(−1)
(c) Dom(g ◦ f)
(d) Dom(f · g)
(e) (g ◦ f)(x)
(f) O gra´fico cartesiano de (g ◦ f)
(g) g(a+ h)
17. Encontre a func¸a˜o inversa de f(t) = 50e0,1t.
18. A func¸a˜o g(x) =

1− x se x ≤ −1
2 se −1 < x < 1
x2 + 1 se x ≥ 1
tem sua imagem dada por:
(a) (−∞, 2)
(b) R
(c) [0,+∞)
(d) [2,+∞)
19. O domı´nio da func¸a˜o g(x) = 1√
1−x2 e´ dado por:
(a) (−1, 1)
(b) [−1, 1]
(c) (−∞, 1)⋃(1,+∞)
(d) (−∞, 0)
20. A func¸a˜o inversa de f(x) = 1−x
1+x
e´
(a) f−1(y) = 1−y
1+y
(b) f−1(y) = 1+y
1−y
(c) f−1(y) = 1−y
y
(d) f−1(y) = y
1−y
21. A evoluc¸a˜o do valor gasto com pesticidas (”p”) na agricultura convencional (em
milho˜es de reais) entre 1991 e 2005 e´ aproximada pelo seguinte modelo matema´tico:
p(t) =
{
0, 68t2–0, 3t+ 45, 1 ≤ t ≤ 8
16, 7t–45, 9 ≤ t ≤ 15
onde t = 1 corresponde ao ano de 1991 e assim por diante. Com base neste modelo:
(a) Esboce o gra´fico desta func¸a˜o no domı´nio apresentado; e
(b) Determine os valores gastos com pesticidas nos anos 1997, 2000 e 2004.
22. A populac¸a˜o de tucanos em uma fazenda do pantanal matogrossense esta´ decaindo
e, no momento, possui 36 indiv´ıduos. O modelo matema´tico desenvolvido por uma
pesquisadora indica que em nove anos na˜o havera´ mais nenhum indiv´ıduo naquele
territo´rio. Com base nesta informac¸a˜o:
(a) Escreva o modelo matema´tico da pesquisadora em forma de uma equac¸a˜o lin-
ear, fornecendo a populac¸a˜o de tucanos, p, em termos do tempo, t ;
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o linear do item (a) no intervalo t = [0, 12] respei-
tando a imagem p ∈ Z+ ;
(c) Usando seu gra´fico, estime a populac¸a˜o de tucanos daqui a 4 anos; e
(d) Usando a equac¸a˜o do item (a) estime em quanto tempo, a partir do presente,
a populac¸a˜o sera´ de 4 tucanos.
23. Verifique se as func¸o˜es f e g, definidas por f(x) =
1 +
√
x
1−√x para x ≥ 0, x 6= 1 e
g(x) = (
x− 1
x+ 1
)2 para x 6= −1, sa˜o inversas uma da outra.
24. Suponha que A, B e C sejam constantes com A > 0. Seja f a func¸a˜o definida por
f(x) = Ax2 +Bx+ C com x ≥ − B
2A
. Ache a func¸a˜o inversa.
25. Verificar quais dais func¸o˜es dadas sa˜o pares e quais sa˜o ı´mpares
(a) f(x) = (a
x+a−x)
2
.
(b) f(x) =
√
1 + x+ x2 −√1− x+ x2.
(c) f(x) = ln(1 + x)− ln(1− x).
(d) f(x) = ln(x+
√
1 + x2).
26. Seja ϕ(x) = (a
x+a−x)
2
e ψ(x) = (a
x−a−x)
2
. Demosntre que
ϕ(x+ y) = ϕ(x)ϕ(y) + ψ(x)ψ(y)
ψ(x+ y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x)
Respostas:
1. (a) 6 e −2
(b) −6, −1 e 4
(c) Df = [−7, 8), Imf = [−5, 6]
(d) Dg = [−8, 8], Img = [−4, 4]
(e) f(x) sem paridade, g(x) e´
ı´mpar.
(f) [−7,−4] e [−1, 8)
(g) −1 e −6
2. (b) Df = R, Imf = [4,∞) (c) func¸a˜o par (d) [0,∞)
3. (a) f(x1) = −1, g(x1) = 1
(b) Df = [−1,∞), Dg = (−∞, 1], Imf = Img = [0,∞)
(d) (f + g)(x) =
√
1 + x +
√
1− x, Df+g = [−1, 1]
4. (a) 4 (b)
1− 4t2
t− t2 (c)
x2 − 4x
x− 3
5. (a)
20
7(h− 7) (b)
11
7
6. (a) [−3, 7] (b) [0,+∞)∪ (−∞,−1)
7. Df = R, Imf = R
8. (a)
√
2− x, D = (−∞, 2] (b) √3− x +
√
x2 − 1,
D = (−∞,−1] ∪ [1, 3]
(c)
√
(3− x)(x2 − 1),
D = (−∞,−1] ∪ [1, 3]
11. (a) t =
lnN − ln 300
0, 2
(b) ∼ 6 anos
12. (a) f−1(x) =
5x− 1
2x + 3
(b) f−1(x) =
x2 − 2
5
, x ≥ 0 (c) na˜o
(d) y = ex − 3
13. 0
14. (a) A(8,0) (b)B(27,0) (c) Dominio=x ∈ R/x > 8, Imagem=R (d) G(x) = 3√log(x) − 2, Domı´nio=x ∈ R/x > 0,
Imagem=R
15. (c) par,par,par ı´mpar (d) sim e e´ par, na˜o tem paridade definida, na˜o tem paridade definida
16. (a) log3(x + 1)
(b) −
√
3
3
(c) [−4,+∞)− {0}
(d) [−4,+∞)− {−2, 2}
(e) 1
x
17. f−1(t) = 10ln(t)− ln 10√50
18. d
19. a
20. a
21. a)
b) p(1997)= R$ 76,2 milho˜es; p(2000)= R$ 122 milho˜es, p(2004)=R$ 188,8 milho˜es.
22. a p(t) = −4t + 36
b
c 20 tucanos daqui a` 4 anos
d 8 anos a` partir de 2015.
23. na˜o
24. f−1(x) =
−B ±√B2 − 4AC + Ax
2A
para x ≥ 4AC −B
2
4A
25.
a par
b ı´mpar
c par
d ı´mpar
e ı´mpar