Lista de Exercícios 2

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Universidade Federal do Maranha˜o
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Departamento de Matema´tica
Curso de Engenharia Qu´ımica
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral III Professor: Elivaldo Macedo
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
Func¸o˜es de Va´rias varia´veis reais a valores reais
1o Problema:
Determine e represente graficamente o domı´mio das func¸o˜es f dadas por:
(a) f(x, y) = 5x3y + x4 + 4 (b) f(x, y) =
√
ln(x2 + y2 − 1).
(c) f(x, y) = arcsen(2− x2 − y2) (d) f(x, y) = √4− x2 +√1− y2.
(e) f(x, y) =
ln(x+ y)√
4− x2 − y2 (f) f(x, y) =
2
x2 + y2
.
(f) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2 (g) f(x, y, z) = 1
x2 + y2 + z2
.
2o Problema:
Sendo f uma func¸a˜o dada por f(x1, x2, x3, · · · , x2013) = x21 + x22 + x23 + · · · + x22013, determine o
valor de f(1, 2, 3, · · · , 2013).
3o Problema:
Desenhe um diagrama do conjunto de n´ıvel para a func¸a˜o f definida por:
(a) f(x, y) = x · y (b) f(x, y) = x2 + 2y2 (c) f(x, y) = ln(x+ y)
(d) f(x, y) = −x2 − y2 + 1 (e) f(x, y, z) = x
2
4
+ z2 (f) f(x, y, z) = e−(x
2+y2+z2)
Limite e continuidade
4o Problema:
Utilizando as propriedades de limite, calcule:
(a) lim
(x,y)→(1,1)
(x2y + y3 + 3)
(b) lim
(x,y)→(0,0)
sen2(x · y)
(x · y)2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x · y
x2 + y2 + 2
(d) lim
(x,y)→(1,1)
ln(|1 + x2 · y3|)
5o Problema:
Calcule, caso exista:
(a) lim
(x,y)→(0,0))
x2
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 · y2
x3 + y3
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
6x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x · y√
x2 + y2
6o Problema:
Dois alunos do ca´lculo III do curso de engenharia qu´ımica filosofando sobre a vida afirmaram o
seguinte:
Aluno A: ”O lim
(x,y)→(0,0)
x2013 + y2013
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
[
x2013
x2 + y2
+
y2013
x2 + y2
]
= 0. ”
Aluno B: ”O lim
(x,y)→(0,0)
2013x3y4√
x2 + y2
na˜o existe, porque a func¸a˜o g dada por g(x, y) =
y√
x2 + y2
na˜o e´ limitada. ”
Quais das afirmac¸o˜es esta´ incorreta ? Justifique sua resposta.
7o Problema:
Podemos afirmar que a func¸a˜o f dada por f(x, y) =
 x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0)2, se (x, y) = (0, 0) e´ cont´ınua
em (0, 0) ?
8o Problema:
Encontre um valor paraK que torna a func¸a˜o f dada por f(x, y) =
 x2 + y2 + 1, se (x, y) 6= (0, 0)K, se (x, y) = (0, 0)
cont´ınua em (0, 0).
9o Problema:
Discuta a continuidade da func¸a˜o f definida por:
(a) f(x, y) =
y
x2 + 1
(b) f(x, y) = ln(x2 + y2) (c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 − 1
(d) f(x, y) =

x3 · y4√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(e) f(x, y) =

x2 · y
x4 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(f) f(x, y) =

x+ y3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
10o Problema:
(a) Sabendo que | cos(1/y)| ≤ 1. O que podemos dizer sobre o lim
(x,y)→(0,0)
x cos(1/y) ? Justifique
sua resposta.
(b) Podemos afimar que f definida por f(x, y) =
 xy
(x2 − y2)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e´ des-
cont´ınua em (0, 0) ? Justifique sua resposta.
2
(c) Discuta sobre a continuidade a func¸a˜o f dada por f(x, y) =

y4 + 3x2y2 + 2yx3
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
Derivada Parcial
11o Problema:
Seja fuma func¸a˜o de duas varia´veis reais dada por f(x, y) = 2x2 + xy + y2. Determine:
(a) O valor aproximado de
∂f
∂y
(3, 2) usando ∆y = 0, 01.
(b) O valor exato de
∂f
∂y
(3, 2).
12o Problema:
Determine as derivadas parciais indicadas:
(a)
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, f(x, y) = 5x2y3 + 8xy2 − 3x2
(b)
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, f(x, y) = sen(5x3y − 5y2)
(c)
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, f(x, y) =
3x2y7 − y2
15xy − 8
(d)
∂V
∂r
,
∂V
∂h
, V (r, h) =
4
3
pi · r2 · h
(e)
∂u
∂E
,
∂u
∂B
, u(E,B) =
1
2
�0E
2 +
1
2µ0
B2
(f)
∂f
∂x
(pi/3, 1),
∂f
∂y
(pi/3, 1), f(x, y) = x · ln(y cosx)
13o Problema:
Seja f(x, y) =
∫ y2
x2
e−t
2
dt, calcule
∂f
∂x
e
∂f
∂y
14o Problema:
Ligando-se em paralelo as resisteˆncias R1, R2, R3 e R4 a resisteˆncia total R e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+
1
R4
Verifique que
∂R
∂Ri
=
(
R
Ri
)2
, i = 1, 2, 3, 4
15o Problema:
Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
sendo
f(x, y) =

x3y
x6 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
16o Problema:
A func¸a˜o w = ex−y + cos(y − z) +√z − x satisfaz a equac¸a˜o ∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
= 0 ? Justifique
sua resposta.
3
Diferenciabilidade
17o Problema:
Seja func¸a˜o f definida por f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(a) Mostre que f e´ cont´ınua, mas na˜o diferencia´vel em (0, 0).
(b) As derivadas parciais de f sa˜o cont´ınuas em (0, 0).
18o Problema:
f e´ diferencia´vel em (0, 0) ? Justifique
(c) f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(b) f(x, y) =

x4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
19o Problema:
Verifique que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel:
(a) f(x, y) = ex−y
2
(b) f(x, y) = x4 + y3
(c) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2) (d) f(x, y) = arctg(x · y)
20o Problema:
Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. Justifique
(a) f(x, y, z) =

x · y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(b) f(x, y) =

x · y3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(d) f(x, y) =
 e
 1
x2 + y2 − 1

, se x2 + y2 < 1
0, se x2 + y2 ≥ 1
21o Problema:
Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis reais dada por f(x, y) =

xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (0, 0) ? Justifique sua resposta.
Diferenciais
22o Problema:
Calcule, a aproximadamente:
(a) (12, 03× 10, 04)1,08
(b) 8, 99×√9, 99× (1, 01)3
(c) (1, 01)2,03
4
23o Problema:
Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆A na a´rea de um retaˆngulo quando os lados
variam de x = 2m e y = 3m para x = 2, 01m e y = 2, 97m.
24o Problema:
A energia consumida num resistor ele´trico e´ dada por P =
V 2
R
watts. Se V = 100 volts e R = 10
ohms, calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆P em P , quando V decresce 0, 2 volts e R
aumenta de 0, 01 ohns.
25o Problema: (Uma Breve Visita a` F´ısico-Qu´ımica)
Um qu´ımico investiga as propriedades de um ga´s como o dio´xido de carbono pode querer saber
como a energia interna U de certa quantidade do ga´s depende de sua temperatura T , de sua
pressa˜o P , e de seu volume V . Entretanto, as treˆs quantidades T , P e V na˜o sa˜o independentes.
Por exemplo, de acordo com a lei dos gases ideias, elas satisfazem a equac¸a˜o
PV = kT
onde k e´ uma constante que so´ depende da quantidade do ga´s. A energia interna pode ser
considerada uma func¸a˜o de quaisquer duas, dentre as treˆs quantidades T , P e V ;
U = U1(T, P ) = U2(T, V ) = U3(P, V )
O qu´ımico escreve, por exemplo,
(
∂U
∂T
)
P
para indicar a derivada parcial de U em ralc¸a˜o a T
mantendo-se P constante, o que significa que para esse ca´lculo U e´ visto como uma func¸a˜o de T
e P . Assim, interpretamos
(
∂U
∂T
)
P
como
(
∂U
∂T
)
P
=
∂U1(T, P )
∂T
Cada uma das func¸o˜es U1, U2, U3, conduz a cada uma das seguintes fo´mulas para as diferenciais
dU :
dU =
(
∂U
∂T
)
P
dT +
(
∂U
∂P
)
T
dP corresponde a U1
dU =
(
∂U
∂T
)
V
dT +
(
∂U
∂V
)
T
dV corresponde a U2
dU =
(
∂U
∂P
)
V
dP +
(
∂U
∂V
)
P
dV corresponde a U3
Suponha que um ga´s satisfaz a equac¸a˜o PV = 2T e que P =3 quando V = 4. Se
(
∂U
∂P
)
V
= 7
e
(
∂U
∂V
)
P
= 8, determine os valores de
(
∂U
∂P
)
T
e de
(
∂U
∂T
)
P
.
5
24o Problema:
A pressa˜o, o volume e a temperatura de um mol de um ga´s ideal esta˜o relacionados pela equac¸a˜o
PV = 8, 31T , onde P e´ medido em quilopascals, V em litros e T em Kelvins. Utilize diferenciais
para determinar a variac¸a˜o aproximada da pressa˜o se o volume aumenta de 12L para 12, 3L e a
temperatura decresce de 310K para 305K.
6