REVISÃO CÁLCULO I UNIBTA

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REVISÃO CÁLCULO I UNIBTA 
Função, na linguagem matemática, é uma relação entre variáveis, 
em que teremos, por exemplo, uma variável dependente e uma variável independente. 
Normalmente, chamamos de x a variável independente 
e de y a variável dependente. Portanto, teremos uma relação em que y depende de x, ou 
seja, y será uma função de x. Uma das maneiras 
de representar relações se dá por meio de diagramas, no entanto 
nem sempre essas relações são capazes de representar uma função. Nesse contexto, avalie os 
diagramas a seguir, assinalando a alternativa que pode representar uma função. 
 
O conceito de funções é um dos mais importantes da matemática, aplicável em vários 
conteúdos dessa área do conhecimento. Porém, 
ele vai muito além disso, visto ser essencial para expressar fenômenos físicos, biológicos, 
sociais, econômicos, etc. Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte forma: “Uma função 
f é uma relação 
que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio, 
um único elemento f(x) ou y, de um conjunto C, denominado contradomínio”. 
Nesse contexto, no que diz respeito aos três tipos de funções — sobrejetora, injetora e bijetora 
—, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta correta: 
I. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora se, e somente 
se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência de um ou mais elementos do 
conjunto B. 
II. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora se, e somente 
se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência com um único elemento do 
conjunto B. 
III. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se todos os elementos do 
conjunto A estão associados a um único elemento do conjunto B. 
IV. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se, e somente se, a função for 
injetora duas vezes. 
V. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será sobrejetora se, e somente se, não sobrar 
elementos do conjunto B sem receber correspondência. 
 
 
E. II e V. Considerando a função de A em B: 
Função injetora: quando elementos distintos do domínio (A) têm imagens (B) distintas, ou seja, 
uma função será injetora quando dois elementos não tiverem a mesma imagem; assim, não pode 
haver nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas. 
Função bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, ou seja, será 
bijetora quando os elementos de B são flechados uma só vez (o que a caracterizaria como 
injetora) e quando não existem elementos sobrando em B sem receber flechas (o que a 
caracterizaria como sobrejetora). 
Função sobrejetora: quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio, ou seja, uma função 
será sobrejetora quando não sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. 
 
O conceito formal de limites pode ser bastante trabalhoso na prática; por isso, regras 
(propriedades) foram desenvolvidas de modo a poder resolver problemas envolvendo limites 
de forma mais eficiente e prática. Nesse contexto, supondo que c seja uma constante e os 
limites limx → af(x) e limx → ag(x) existam, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta 
correta: 
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta constante 
ao limite da função. 
II. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
. 
III. O limite de uma função elevada a n é equivalente a n vezes o limite dessa função, 
ou seja, lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝑛lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
IV. O limite de uma constante é a própria constante. 
V. limx → axn=an onde n é um inteiro positivo. 
 
A. IV e V. 
Apenas as afirmativas IV e V estão corretas. 
 
Stewart (2016, p. 81-83) apresenta as propriedades da seguinte forma: 
“Supondo que 𝑐 seja uma constante e os limites lim 𝑓(𝑥) e lim 𝑔(𝑥) existam, 
então: 𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
 
1. lim[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥). O limite de uma soma é a soma 
𝑥→𝑎 
dos limites. 
𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
 
2. lim[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑔(𝑥). O limite de uma diferença é a 
𝑥→𝑎 𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
diferença dos limites. 
 
3. lim [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐 lim 𝑓(𝑥). O limite de uma constante multiplicando uma 
𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
função é a constante multiplicando o limite desta função. 
 
4. lim [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥). O limite de um produto é o produto 
𝑥 → 𝑎 
dos limites. 
𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
 
5. lim 
4(𝑥) 
 
 
678 4(𝑥) 
= 𝑥 → 𝑎 𝑠𝑒 lim 𝑔(𝑥) ≠ 0. O limite de um quociente é o quociente 
𝑥 → 𝑎 5(𝑥) 678 5(𝑥) 
𝑥 → 𝑎 
𝑥 → 𝑎 
dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero). 
 
6. lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = [ lim 𝑓(𝑥)]𝑛 onde 𝑛 é um inteiro positivo. O limite de uma 
𝑥 → 𝑎 𝑥 → 𝑎 
função elevada a 𝑛 é equivalente ao limite elevado a 𝑛 dessa função. 
 
7. lim 𝑐 = 𝑐. O limite de uma constante é a própria constante. 
𝑥 → 𝑎 
 
8. lim 𝑥 = 𝑎. O limite de uma função será equivalente ao valor que o 𝑥 se 
𝑥 → 𝑎 
aproxima; nesse caso, o valor é “a”. 
 
9. lim 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 onde 𝑛 é um inteiro positivo. 
𝑥 → 𝑎 
 
 
 
O estudo de limites possibilita avançar para conceitos importantes da matemática, como o 
cálculo de áreas, regiões entre curvas, derivadas, solução de problemas práticos em física, 
economia, química, biologia, engenharia, etc. Ele nos permite compreender o 
comportamento de uma função, além de ter uma noção intuitiva sobre a sua definição. 
Assim, analise o gráfico que representa lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1
 a seguir assinalando a alternativa correta 
no que diz respeito ao conceito 
e ao gráfico apresentado: 
 
 
B. A função 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
𝑥2−1
 não está definida em x = 1, no entanto isso não é relevante para 
o cálculo do limite, pois consideram-se valores de x que estão próximos de a, mas não iguais 
a a. 
 
 
A função não está definida em x = 1, no entanto, isso não é relevante 
para o cálculo do limite, pois consideram-se valores de x que estão próximos de a, mas não 
iguais a a. Pela definição de limite, é possível encontrar o limite de uma função que não esteja 
definida em determinado ponto. Perceba, pelo gráfico, que os valores de x estão se 
aproximando cada vez mais de 1, mas não são iguais a 1. 
 Também podemos observar como a função está se comportando através da tabela: 
 
Isso nos permite dizer que quando a função f(x) tende a 1 tanto pela direita quanto pela 
esquerda, o limite desta função é igual a 0,5. Matematicamente: 
 
Uma das propriedades de limites diz que o limite de um quociente é o quociente dos 
limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Matematicamente, representado 
por . lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑠𝑒lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
Assim, calcule o limite da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥−3
𝑥−2
 quando x tende a –2, assinalando a 
alternativa que contém a resposta correta. 
 
Para o limite lim
𝑥→3
(√𝑥 − 2) = 1, assinale a alternativa que determina o intervalo com δ>0 que 
sirva para ε = 1. 
 E. [2,4]. 
 
 
Considere o limite lim
𝑥→2
(√𝑥 − 2) utilizando limites laterais e avalie as afirmativas: 
I. lim
𝑥→2 −
√𝑥 − 2 = 0 
II. lim
𝑥→2 −
√𝑥 − 2 = ∄ 
III. lim
𝑥→2 +
√𝑥 − 2 = 0 
1. Assinale a alternativa correta. 
 
D. Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
 
 
Dado limx→4(2x+2)=10 e ε=0,1, assinale a alternativa que representa o valor de δ positivo. 
 
A. 0,05. 
 
 
Considere a função 𝑓(𝑥) =｛
𝑥 + 3, 𝑠𝑒𝑥 ← 1
−𝑥 + 2, 𝑠𝑒𝑥 ≥ −1
e avalie as afirmativas: 
I. limx→-1- f(x)=1 
II. lim x→-1-f(x)=2 
III. limx→-1f(x)=∄ 
IV. limx→-1+f(x)=2 
V. limx→-1 +f(x)=3 
Assinale a alternativa correta. 
 
D. Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras. 
 
 
 
Dado o limx→4(-x+4)=0 e ε=0,02, assinale a alternativa que representa um δ positivo. 
A. 0,02. 
 
 
 
 
 
Analise o comportamento da função: lim
𝑥→5
(𝑥 + 9) 
 
D. 14 
Observe que a função x + 9 é uma soma de funções. Pela Lei da Soma: 
 lim
𝑥→5
(𝑥 + 9) = lim𝑥→5
𝑥 + lim
𝑥→5
9 = 5 + 9 = 14 
Note que a função constante y = 9 não altera seu comportamento com a variação de x. 
 
 
Determine o limite da função : 
lim
𝑥→2
√𝑥 + 1 + √3
√𝑥2 − 1
 
 
A. 2 
Observe que a função √𝑥+1+√3
√𝑥2−1
 é um quociente de funções. Pela Lei do Quociente: 
 
lim
𝑥→2
√𝑥 + 1 + √3
√𝑥2 − 1
=
√2 + 1 + √3
√22 − 1
=
√3 + √3
√3
=
2√3
√3
= 2 
 
 
Qual o valor do: lim
𝑥→3
𝑥2−𝑥−2
3𝑥2−5𝑥−2
 
D. 0,4 
Observe que a função 𝑥
2−𝑥−2
3𝑥2−5𝑥−2
 é um quociente de funções. Pela Lei do Quociente: 
 
lim
𝑥→3
𝑥2 − 𝑥 − 2
3𝑥2 − 5𝑥 − 2
=
32 − 3 − 2
3 ∙ 32 − 5 ∙ 3 − 2
=
9 − 5
27 − 15 − 2
=
4
10
= 0,4 
 
 
Aplique as leis básicas de limites para calcular o lim
𝑥→2
√𝑥−√2
𝑥+2
 
A. 0 
 
Observe que a função √𝑥−√2
𝑥+2
 é um quociente de funções. Pela Lei do Quociente: 
 
lim
𝑥→2
√𝑥 − √2
𝑥 + 2
=
√2 − √2
2 + 2
=
0
4
= 0 
 
Calcule lim
𝑥→
1
2
(4𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) 
 
E. 0 
Observe que a função (4𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) é um produto de funções. Pela Lei do Produto: 
 
lim
𝑥→
1
2
(4𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = lim
𝑥→
1
2
(4𝑥 + 1) ⋅ lim
𝑥→
1
2
(2𝑥 − 1) = (4
1
2
+ 1)(2
1
2
− 1)
= (2 + 1)(1 − 1) = 3 ⋅ 0 = 0
 
 
Encontre o lim
𝑥→2
(𝑥2 + 3𝑥 + 5) 
e assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
 
B. 15 
 
 
 
Encontre 
lim
𝑥→3
𝑥−5
𝑥3−7
 o 
e assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
E. 
−1
10
 
 
 
Complete a tabela a seguir, calculando 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 para os valores especificados 
de x; depois, use a tabela para estimar o limite lim
𝑥→2
𝑓(𝑥). Assinale a alternativa que 
contém lim
𝑥→2
𝑥2 − 𝑥. 
 
A. 2. 
 
 
 
 
Complete a tabela a seguir, calculando 𝑓(𝑥) = 𝑥
3+1
𝑥−1
 para os valores especificados 
de x; depois, use a tabela para estimar o limite lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). Assinale a alternativa que contém 
lim
𝑥→1
𝑥3+1
𝑥−1
 . 
 
 
 
B. Não existe. 
 
 
 
Encontre o lim
𝑥→−2
𝑥3−3𝑥+2
𝑥2−4
 e assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
C. 
−9
4
 
 ou 
 
 
Sejam A um subconjunto aberto de C e f: A⟶C uma função de variáveis complexas. Dado 
z0 ∈ A, diz-se que w ∈ A é ________________ de f quando z ∈ A tende a z0, se para todo ϵ > 0 
existe um δ > 0, tal que, 
se 0 < | z − z0 | < δ, então | f(z) − w0 | < ε. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna: 
 
B. o limite. 
 
A teoria de perturbação consiste em uma coleção de métodos iterativos para a obtenção 
aproximada de problemas que envolvem um pequeno parâmetro. O ponto fixo de uma 
função consiste em um ponto que não é alterado por uma aplicação. A derivada se refere à 
taxa de variação de uma função. O coeficiente angular de uma reta consiste na inclinação 
de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Portanto, no caso em questão, o trecho está 
se referindo especificamente ao limite, e pode-se escrever: 
 
 
O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites 
de funções reais. No entanto, no primeiro caso, está-se trabalhando no corpo dos 
números complexos, e, no segundo, com o corpo dos números reais. 
 
C. 4 − 4i. 
Resolve-se esse problema da seguinte forma: 
 
 
Muitas estratégias empregadas para o cálculo dos limites de funções reais também 
podem ser empregadas para o caso das funções complexas. 
 
D. V – F – V – V. 
 
O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito, z→∞, se, para todo ϵ > 0, existir R > 
0, tal que | f(z) − L | < ϵ sempre que z ∈ A e | z | > R. Assim, ∀ϵ > 0, ∃R > 0, z ∈ A e | z | > R 
⇒ | f (z) − L | < ϵ. 
 
A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A fim de resolver o problema, é preciso desenvolver algebricamente as expressões 
envolvendo o limite e realizar os cálculos. Assim: 
 
Logo, as asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
 
 
Sejam A, B ⊂ C abertos, considere as funções de variáveis complexas f1: A→C, f2: A→C e g: 
B→C, sendo que f1: A ⊂ B. Suponha que as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 ∈ A, e a 
função g é contínua em f1(z0). 
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem: 
I. Sejam f1(z), f2(z) como apresentados, então f1(z) + f2(z) = (f1 + f2)(z) é contínua. 
II. Seja f1 como apresentado, sendo f1(z) ≠ 0, então 1/f1(z) é contínua. 
III. Sejam f1(z), g(z) como apresentados, então g ∘ f1: A→C é contínua em z0. 
Está correto o que se afirma em: 
 
E. I, II e III. 
Considerando o enunciado da questão, então: 
As funções c ∙ f1: A→C, f1 + f2: A→C, f1 ∙ f2: A→C são contínuas em z0, em que c é um número 
complexo arbitrário, porém fixado. 
Se f1(z0) ≠ 0, então existe uma vizinhança de z0, tal que 1/f1 restrita a essa vizinhança está 
definida e é contínua em z0. 
A função g ∘ f1: A→C é contínua em z0. 
Portanto, pode-se concluir que as afirmações I, II e III estão corretas. 
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função: 
 
 
 
 
 
Dada a seguinte equação: 
y = x tg(x) + 5 sen(x) – 10 
Qual das alternativas é verdadeira? 
 
 
Encontre a derivada da seguinte função inversa: 
y = arccossec(x²). 
 
 
 
 
Encontre a segunda derivada em relação a x da seguinte função: 
y = x cos(x) + sec(x). 
 
D. y'' = –x cos(x) – 2 sen(x) + sec(x) tg²(x) + sec³(x). 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que uma escada de 6 metros esteja apoiada em uma parede, formando um 
ângulo θcom o chão, e uma distância x de sua base superior até o chão, como mostrado 
na imagem a seguir. Se a base da escada for 
empurrada em relação à parede, haverá uma taxa de variação de x em relação a θ. Qual 
será o valor dessa taxa, em metros por grau, quando θ = 45º? 
 
 
D. 
 
 
 
A segurança auditiva é fundamental para qualquer profissional, e o estudo do som compõe 
importante parte dos conhecimentos dos profissionais da área da saúde. Uma aplicação 
prática das funções logarítmicas é o seu uso para expressar som ou ruído. Podemos 
classificar as funções logarítmicas como: 
A. crescentes ou decrescentes. 
As funções logarítmicas são aquelas que utilizam na sua lei de formação o operador logaritmo. 
Como o logaritmo é a operação inversa da exponencial, suas respectivas funções também são 
inversas uma da outra. Por esse motivo, as funções logarítmicas são na maioria das vezes 
utilizadas nas mesmas áreas de aplicação. É importante observar que o coeficiente irá 
determinar o sentido da função: quando a>1, a função será crescente; quando 0<a<1, será 
decrescente. 
As funções exponenciais são utilizadas para representar, por exemplo, a taxa de crescimento 
ou decrescimento de determinados organismos vivos, como os vírus. Assim, uma vez que é 
fundamental para o profissional da saúde conhecer a velocidade com que determinadas 
doenças virais crescem ou decrescem, também é importante que ele saiba aplicar as funções 
exponenciais. Portanto, é importante saber que, em uma função exponencial, se a 
constante "a" for maior que 1, a função será: 
 
C. crescente. 
O gráfico de uma função exponencial, y = a^x, com a > 0 e diferente de 1, permite o estudo 
de situações que podem ser modeladas em uma curva de crescimento ou decrescimento. 
Quando a > 0, a função será crescente; quando 0 < a < 1, a função será decrescente. 
 
Segundo uma das propriedades das funções exponenciais, a função será ilimitada: 
B. superiormente. 
As propriedades de potência determinam que: para qualquer base, se o expoente for igual a 
1, o resultado será a própria base; se o expoente for igual a zero, o resultado da potenciação 
será igual a 1; e se o expoente for negativo, deverá ser elevada a potência pelo inverso da 
base, ou seja, teremos um resultado fracionário. Com isso, os resultados sempre serão 
próximos a zero na parte inferior, mas ilimitados no sentido superior da função. 
 
 
Na pesquisa de situações-problema da área da saúde, relacionam-se diferentes conjuntos 
(grupos de elementos), como, porexemplo, a idade materna e sua relação com o nascimento 
de bebês acima do peso. Por essa razão, é importante conhecer a classificação das 
funções matemáticas para realizar modelagens com maior grau de acerto. Assim, uma função 
é denominada injetiva ou injetora se, e somente se: 
A. x1≠ x2⟹ f(x1) ≠ f(x2). 
Por definição, uma função é denominada injetora se, e somente se, para qualquer valor de x, 
distinto dos demais elementos pertencentes ao domínio, há um valor f(x) diferente dos 
demais. 
 
 
 
Funções logarítmicas são utilizadas para realizar modelagem de sons e ruídos. Conhecer suas 
bases elementares ou mais comuns é fundamental para calcular o risco ou o limite de um 
ruído aceitável para o indivíduo, por exemplo. Assim, é importante reconhecer que, no 
estudo dos logaritmos, 10, 2 e a base e são bases denominadas, respectivamente: 
E. comum, binária e natural. 
As bases logarítmicas estão presentes em nosso cotidiano. A base 10 compartilha do nosso 
princípio de contagem, que a cada 10 unidades muda de elemento; a base 2, assim como na 
linguagem computacional, elabora suas relações de forma binária; e a base representada 
por e define o logaritmo natural. 
 
 
Um voo supersônico se desloca a uma velocidade maior que a velocidade local do som. A 
velocidade do som (Mach 1) varia 
com a pressão atmosférica e a temperatura: no ar, a uma 
temperatura de 15°C e à pressão ao nível do mar, o som viaja a, 
aproximadamente, 1.225km/h. Em velocidades além de cerca 
de cinco vezes a velocidade do som (Mach 5), o termo voo 
hipersônico é empregado. 
Determinado veículo supersônico de uso militar se desloca 
seguindo a equação dependente de tempo: 
𝑠(𝑡) = 3𝑡4 − 40𝑡3 + 126𝑡2 − 9 
Diante disso, você é um engenheiro espacial que precisa determinar três itens: 
1) A velocidade do objeto no instante de tempo t. 
2) Se o objeto irá parar de se mover em algum instante. 
3) Quando o objeto irá se mover para a direita e para a esquerda. 
 
D. O veículo se desloca com v(t) = 12t(t-3)(t-7). Irá parar quando t = 0; t = 3; t = 7. 
O veículo estará: 
 
Movendo para a direita: 0 < t < 3; 7 < t 
Movendo para a esquerda: t < 0 ; 3< t < 7 
 
1) A velocidade do objeto no instante de tempo t. Lembre-se de que uma das interpretações 
da derivada é que ela fornece a velocidade de um objeto se a função de posição do objeto 
for conhecida. Recebe-se a função de posição do objeto e, portanto, tudo o que é preciso 
fazer é encontrar sua derivada, e se obterá a velocidade do objeto a qualquer momento t. 
A velocidade do objeto, então, será: 
 
2) Se o objeto irá parar de se mover em algum instante. O objeto não se moverá se a 
velocidade for zero e, portanto, tudo o que é preciso fazer é definir a derivada igual a zero 
e resolver. 
 
 
A partir disso, é muito fácil ver que a derivada será zero e, portanto, o objeto não estará se 
movendo em: 
 
3) Quando o objeto irá se mover para a direita e para a esquerda. Tudo o que é preciso saber 
é onde a derivada é positiva (e, portanto, o objeto está se movendo para a direita) ou 
negativa (o objeto está se movendo para a esquerda). Como a derivada é contínua, sabe-se 
que o único lugar em que ela pode mudar de sinal é onde a derivada é zero. Assim, como 
feito nessa seção, uma reta numérica rápida dará o sinal da derivada para os vários 
intervalos. Aqui está a reta numérica para esse problema: 
 
A partir disso, obtêm-se as seguintes informações de movimento para a direita/esquerda: 
Movendo para a direita: 0 < t < 3; 7 < t 
Movendo para a esquerda: t < 0 ; 3< t < 7 
Os cometas se movem no meio interplanetário a centenas de milhares de quilômetros da 
Terra. Os meteoros são fenômenos que acontecem na atmosfera do planeta. O núcleo de 
um cometa é uma pedra que, em geral, tem vários quilômetros de diâmetro. A grande maioria 
dos meteoros é produzida por pedras menores que um centímetro. 
Um cometa nas proximidades do sistema solar se move seguindo a seguinte função de x, 
onde x é o espaço percorrido em torno do sistema solar em unidades astronômicas: 
𝑓(𝑥) = (1 + 12√𝑥)(4 − 𝑥²) 
Diante desse fato, encontre a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto f(9), que 
é o ponto de distância mínima entre o Sol e o objeto. 
 
A. y = 820x + 4531 
 
 Sabe-se que a derivada da função dará a inclinação da reta tangente. Portanto, precisa-se 
da derivada da função. Será usada a regra do produto para obter a derivada: 
 
 
 Observe que não há uma preocupação em “simplificar” a derivada (além de converter o 
expoente fracionário de volta em uma raiz), pois é necessária apenas uma avaliação 
rápida. Por falar nisso, aqui estão as avaliações de que precisaremos para esse problema. 
 
Agora, deve-se escrever a equação da reta tangente: 
 
Resultando em y = −820x + 4531 
 
O custo de produção de carros em uma montadora é dado pela seguinte fórmula, onde x é o 
número de carros produzidos: 
C(x) = 1750 + 6x - 0,04x² + 0,0003x³ 
O custo marginal da produção é dado pela derivada da função de custo no respectivo ponto 
de interesse. 
 
Qual é o custo marginal quando são produzidos 175 carros por dia? E na situação onde são 
produzidos 300 carros? 
 
B. C’(175) = 19,5625 
 C’(300) = 63 
Sabe-se que a derivada do custo informa o custo marginal. 
Portanto 
Onde x = 175; x = 300: 
C’(175) = 19,5625 C’(300) = 63 
 
Uma partícula de poeira se movimenta dentro de um tubo de vento seguindo uma equação 
que depende do tempo da forma: 
V(t) = (4-t²) - (1 + 5t²) 
Sabendo disso, você, engenheiro espacial, foi chamado para determinar o comportamento 
dessa partícula, de modo que tenha impacto nos ensaios físicos para a construção de um 
novo modelo de avião. 
 
Determine em que instantes a partícula estará subindo, descendo ou parada. 
C. Aumentando: t < -(19/10)(1/2); entre 0 e t < (19/10)(1/2) 
 Diminuindo: -(19/10)(1/2)< t < 0; entre (19/10)(1/2)< t 
 
Precisa-se primeiramente da derivada, para a qual será usada a regra do produto, porque se 
sabe que a derivada dará a taxa de variação da função: 
V′(t)=(-2t)(1+5t²)+(4-t²)(10t)=38t-20t3=2t(19-10t2) 
Em seguida, é necessário saber onde a função não está mudando e, portanto, definir a 
derivada igual a zero e resolver. A partir da forma fatorada da derivada, é fácil ver que a 
derivada será zero em: 
 
Para obter a resposta, é preciso saber onde a derivada é positiva (a função está aumentando) 
ou negativa (a função está diminuindo). Como a derivada é contínua, sabe-se que o único lugar 
em que ela pode mudar de sinal é onde a derivada é zero. Assim, uma reta numérica rápida dará 
o sinal da derivada para os vários intervalos. Aqui está a reta numérica para este problema: 
 
 
Suponha que a quantidade de ar em um balão a qualquer momento t é dado por: 
𝑉(𝑡) = 6
√𝑡
3
4𝑡 + 1
 
Determine se o balão está sendo preenchido com ar ou sem ar no instante t = 8. 
 
D. A taxa de variação do volume em t = 8 é negativa e, portanto, o volume deve estar 
diminuindo. Portanto, o ar está sendo drenado para fora do balão em t = 8. 
Se o balão estiver sendo preenchido com ar, o volume está aumentando e, se o ar estiver sendo 
drenado, o volume estará diminuindo. Em outras palavras, é preciso obter a derivada para 
determinar a taxa de variação do volume em t = 8. 
 Isso exigirá a aplicação da regra do quociente: 
 
Então, a taxa de variação do volume em t = 8 é negativo e, assim, o volume deve estar 
diminuindo. Portanto, o ar está sendo drenado para fora do balão em t = 8. 
Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à 
curva y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente 
nesse ponto. 
 
C. y = 3x + 2. 
 
 
 
 
Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa 
correta. 
A. f'(3) = –2. 
 
 
 
Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥e assinale a alternativa correta. 
 
E. 𝑓′(2) =
−1
4
 
 
 
 
Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e 
assinale a alternativa correta. 
D. f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir: 
 
B. Retas B e D. 
 
 
 
Analise as afirmativas a seguir e identifique o que é verdadeiro e o que é falso. 
 
1. Se eu escolher uma variação do espaço e uma variação do tempo e dividi-las, terei uma 
taxa de variação na velocidade. 
2. É possível ter uma taxa de variação de luminosidade do sol em relação à hora do dia. 
3. Limite é o valor que uma certa função tende a retornar quando aplicado um certo valor na 
variável independente. 
4. Escolhendo dois pontos A e B de uma função, a taxa de variação da reta tangente em 
qualquer um dos pontos é igual à taxa de variação média entre os dois pontos. 
A. 1-F, 2-V, 3-V, 4-F. 
1. É falsa, pois as variações podem não estar relacionadas. 
2. É verdadeira, pois, em certos horários, há mais luz e há relação com o horário. 
3. É verdadeira, apesar de estar de forma simplificada e não formal, essa é a definição de 
limite. 
4. É falsa. A reta tangente é o gráfico que teríamos se, em um dado ponto, a taxa de variação 
fosse constante, enquanto a outra é uma variação média, ou seja, que retorna alguns 
parâmetros de forma simplificada. 
Dada uma equação do tipo: R(t)=R1+z'(t)+q'(t³), marque a alternativa correta sobre a equação 
e as taxas de variações. 
C. z' e q' são taxas de variações. 
z’ é a taxa de variação de R em relação ao tempo t, e q’ é a taxa de variação de R em relação a 
uma ordem cúbica do tempo, t3. 
 
Reta tangente é a reta que toca uma dada curva num único ponto. Tem relação direta com o 
limite e a taxa de variação. Por isso, dada uma reta tangente a um certo ponto descrito pela 
equação: Y=3*X+2, marque a afirmativa correta. 
 
B. Tomando o limite da variável independente da taxa de variação num dado ponto de 
uma curva tendendo a zero, obteremos a inclinação da reta tangente naquele ponto. No 
exemplo, o valor é 3. 
Essa é uma resposta completa e que relaciona os três conteúdos. 
 
Use o conceito de limite e calcule o seu primeiro limite. Se, simplificadamente, o significado 
de limite é o valor que uma dada função tende a retornar para um certo valor da variável 
independente, qual o limite quando x tende a zero, da função: f(x)=x/x? 
Julgue os argumentos das alternativas e escolha o correto. 
D. Em x=0 teremos 0/0, mas a função sempre retorna o valor f(x)=1 para qualquer valor de x, 
então, podemos concluir que para x=0, o limite do x tendendo a zero leva a função a convergir 
para 1. 
Multiplique em cima e embaixo por x, o que simplifica a função para 1. Em x=0 teremos 0/0, 
então não está definido, mas mesmo assim podemos achar o limite da função. 
 
 
Se duas retas se encontram exatamente num único ponto, podemos dizer que, para aquele 
ponto, uma é a reta tangente da outra? Marque a alternativa que tenha resposta e 
justificativa coerentes. 
A. Não, pois a premissa para ser reta tangente é ter a mesma taxa de variação da outra 
naquele dado ponto, o que em todos os outros casos leva a tocar num só ponto. 
Observe que este problema está exemplificado no conteúdo do livro (página 44). 
Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a 
derivada dessa função no ponto P. 
 
B. A derivada da função é 5. 
A derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto P. 
Dada a equação da reta tangente, na forma y = ax+ b, onde a é o coeficiente angular, ou seja, 
a inclinação da reta, a derivada dessa função é igual a 5 . 
 
 
 
Determine a derivada da função f(x) = 5x9. 
E. F’(x) = 45x8. 
 
 
Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3). 
 
D. F’(x) = 24x²-12. 
 
Determine a derivada da função f(x) (3x²+1)/(2x). 
 
C. f' (x)= (3x²-1)/2x². 
 
Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2. 
B. f' (x)=3x²-8x+3. 
Utilizando os conceitos de soma e subtração, pode-se calcular a derivada da seguinte forma: