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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I (Apontamentos) Cursos: Engª Química, Engª Mecânica Departamento de Engenharias e Tecnologias Professor Responsável: Sílvia Santos 1º Semestre/2016 Fenómenos de transporte I - Apontamentos 41 5.6. Conservação da Energia A terceira lei fundamental aplicada à análise de escoamento de fluidos refere-se ao primeiro princípio da termodinâmica: ∆𝐸 = 𝑄 ± 𝑊 Em que E é a energia total por unidade de massa do fluido, Q é o calor absorvido por unidade de massa do fluido e W é o trabalho realizado, por unidade de massa do fluido, sobre a vizinhança. Estes termos têm dimensões de energia/massa, i.e., no Sistema Internacional, corresponde a J/Kg. Por análise da Figura 19, é possível efectuar um balanço de energia. De facto, a região I é ocupada pelo sistema no tempo t, a região II é ocupada pelo sistema no tempo t+t, enquanto que a região III é comum ao sistema em t e t+t. (Welty et al., 2008) No tempo t+t, a energia total do sistema pode ser expressa por: 𝐸|𝑡+∆𝑡 = 𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 E, no tempo t: 𝐸|𝑡 = 𝐸𝐼|𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡 Subtraindo a 2ª expressão da primeira e dividindo por t: 𝐸|𝑡+∆𝑡 − 𝐸|𝑡 ∆𝑡 = 𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 + 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼|𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡 ∆𝑡 Rearranjando e tomando o limite quando t→0: lim ∆𝑡→0 𝐸|𝑡+∆𝑡 − 𝐸|𝑡 ∆𝑡 = 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡 ∆𝑡 + lim ∆𝑡→0 𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼|𝑡 ∆𝑡 Por outro lado: lim ∆𝑡→0 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝐼𝐼𝐼|𝑡 ∆𝑡 = 𝑑𝐸𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑡 Que não é mais do que a taxa de modificação de energia do sistema, uma vez que, quando t→0, a região III torna-se o próprio volume de controlo. Fenómenos de transporte I - Apontamentos 42 Também, lim ∆𝑡→0 𝐸𝐼𝐼|𝑡+∆𝑡−𝐸𝐼|𝑡 ∆𝑡 , à medida que t→0, representa a taxa de energia que abandona a superfície de controlo no intervalo de tempo t. É então possível escrever por palavras a lei da conservação da energia como: ( Calor fornecido ao V. C. ) − ( Trabalho realizado pelo V. C. sobre a vizinhança ) = ( Energia que sai do V.C. com o fluido ) − ( Energia que entra no V.C. com o fluido ) + ( Energia acumulada no V. C. ) Relativamente à energia contida no sistema, esta pode ser dividida em três tipos (expressa como energia/massa): - Energia Potencial, devida à presença do fluido num campo gravitacional. É dada por gz (por unidade de massa), sendo z a altura em relação a um determinado ponto. - Energia cinética, devida à existência de movimento. É dada por 𝑣2 2 (por unidade de massa), sendo 𝑣 a velocidade em relação às fronteiras do sistema. - Energia interna, U, relacionada com o estado térmico do fluido, ou seja, com a energia rotacional e vibracional nas ligações químicas. (atenção que este U também apresenta unidades de energia/massa). 𝐸 = 𝑈 + 𝑔𝑧 + 𝑣2 2 A entrada e saída de energia com o fluxo (transporte convectivo), pode ser expressa por: ∬ 𝐸𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 = ∬ (𝑈 + 𝑔𝑧 + 𝑣2 2 ) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 E o termo de acumulação: 𝜕 𝜕𝑡 ∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉 0 𝑉𝐶 = 𝜕 𝜕𝑡 ∭ (𝑈 + 𝑔𝑧 + 𝑣2 2 ) 𝜌𝑑𝑉 0 𝑉𝐶 Logo, 𝑞 − �̇� = ∬ 𝐸𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 + 𝜕 𝜕𝑡 ∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉 0 𝑉𝐶 Fenómenos de transporte I - Apontamentos 43 Onde q e �̇� represental calor e trabalho por unidade de massa. Também o trabalho realizado pelo fluido sobre as vizinhanças está associado: - às forças de pressão (na S.C.), uma vez que o trabalho é o produto entre a força e o deslocamento; - ao atrito, uma vez que nas fronteiras do sistema existe uma força de corte que se opõe ao movimento. Este trabalho representa-se por Wμ̇ ; - ao trabalho mecânico útil (também designado por trabaljo de veio ou shaft work) que consiste no trabalho realizado pelo fluido na movimentação de equipamentos (por exemplo, a pôr uma pá de uma turbina em movimento). Este trabalho representa-se por WṠ . Então, o termo referente ao trabalho (�̇�) pode ser escrito: �̇� = ∬ 𝑃(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 + Wμ̇ + WṠ Assim: 𝑞 − WṠ = ∬ (𝐸 + 𝑃 𝜌 ) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 + 𝜕 𝜕𝑡 ∭ 𝐸𝜌𝑑𝑉 0 𝑉𝐶 + Wμ̇ Se, - Não há troca de energia calorífica entre o fluido e o exterior (q=0), - Não há sistemas mecânicos a fornecer energia mecânica ao fluido nem a receber energia mecânica do fluido (WṠ =0), - As forças de corte são consideradas desprezáveis (escoamento “sem atrito”), - o fluido pode ser considerado incompressível (ρ=constante), - o escoamento é estacionário ( ∂ ∂t ∭ EρdV 0 VC =0), A equação anterior pode ser escrita: ∬ (𝐸 + 𝑃 𝜌 ) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 = 0 ⇔ ∬ (𝑈 + 𝑔𝑧 + 𝑣2 2 + 𝑃 𝜌 ) 𝜌(�⃗�. �⃗⃗�)𝑑𝐴 0 𝑆𝐶 = 0 Fenómenos de transporte I - Apontamentos 44 Para o caso de um fluido a escoar com perfil plano (velocidade constante) ao longo de uma linha de corrente: A equação anterior toma a forma: (𝑈2 + 𝑔𝑧2 + 𝑣22 2 + 𝑃2 𝜌 ) 𝜌𝑣2𝐴2 − (𝑈1 + 𝑔𝑧1 + 𝑣21 2 + 𝑃1 𝜌 ) 𝜌𝑣1𝐴1 = 0 Que, assumindo escoamento isotérmico (U=0) e dividindo por g: 𝑃1 𝜌𝑔 + 𝑣1 2 2𝑔 + 𝑧1 = 𝑃2 𝜌𝑔 + 𝑣2 2 2𝑔 + 𝑧2 Que não é mais do que a Equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli traduz o conhecido princípio trabalho-energia: o trabalho realizado pela resultante das forças exteriores, pressão e gravidade, que actuam num elemento de fluido é igual à variação da energia cinética deste elemento. (Campos, 2013) Também pode ser interpretada de uma forma complementar, talvez mais simples de compreender: ao longo de uma linha de corrente, a energia mecânica total transportada por um elemento de fluido é constante. Esta energia é a soma das energias potencial, cinética e de “pressão”, esta última mais correctamente chamada energia de escoamento. A variação de uma destas formas de energia mecânica implica a variação de pelo menos uma das outras duas, para que a energia mecânica total permaneça constante.(Campos, 2013) Na realidade, a equação de Bernoulli é um caso particular da equação de balanço de energia. Se for importante considerar a geometria do perfil de velocidades, poderá ser considerado o coeficiente no termo da energia cinética: S.C.1 S.C.2 Fenómenos de transporte I - Apontamentos 45 𝑃1 𝜌𝑔 + 𝑣1 2 2𝛼𝑔 + 𝑧1 = 𝑃2 𝜌𝑔 + 𝑣2 2 2𝛼𝑔 + 𝑧2 Note que, cada um dos termos da equação de Bernoulli apresenta unidades de comprimento. Estes termos, tanto individualmente, como no colectivo, indicam as quantidades que podem ser directamente convertidas para a produção de energia mecânica. Um exemplo clássico da equação de Bernoulli pode ser observado na Figura seguinte, onde se pretende determinar a velocidade de saída de um fluido de um tanque. Figura 20: Volume de controlo para análise da equação de Bernoulli. (Welty et al., 2008) A aplicação da equação de Bernoulli resulta em: 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝜌𝑔 + 0 + 𝑦1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝜌𝑔 + 𝑣2 2 2𝑔 + 0 ⇔ 𝑣2 = √2𝑔𝑦1 5.7. Exercícios propostos - Conservação da Energia 1. A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2na horizontal, liga-se um manómetro diferencial. Sendo Q=3,14 L/s e v1=1 m/s, calcular os diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga (hf=0).Dados: Hg=13,6 g/cm3; água=1 g/cm3. Nível constante no tanque Fenómenos de transporte I - Apontamentos 46 2. No tubo recurvado abaixo, circula água (água=1 g/cm3). A pressão relativa no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2. Sabendo-se que o caudal é de 23,6 L/s, calcule a perda de carga (hf = ?) entre os pontos 1 e 2. Nota: 1 kgf/cm2=98,07 KPa. 3. Pretende-se desenvolver uma instalação laboratorial para divulgação científica, constituída por um tanque com duas saídas laterais. a) Se h2=2×h1, quais as velocidades de descarga nos dois tubos? b) Se h1=15 cm e h2=30 cm e os tubos tiverem diâmetro=5mm, qual o caudal de água a fornecer ao tanque (L/h) de forma a manter o nível da água? Fenómenos de transporte I - Apontamentos 47 c) Se se interrompe a corrente de alimentação, obtenha a equação diferencial que descreve a lei da variação temporal da altura h1, mantendo-se a distância h2-h1=15 cm e o diâmetro dos tubos. 4. A bomba representada na figura fornece água a uma instalação industrial a partir de um poço. O tubo de entrada tem diâmetro de 0,05 m, comprimento de 3,0 m e está 1,8 m submerso dentro da água do poço. Admitindo que a perda de carga por atrito é de 1,2 m, qual será o caudal que conduzirá a um abaixamento da pressão à entrada da bomba até à sua pressão de vapor? A pressão de vapor da água é de 1,70 kPa abs. Fenómenos de transporte I - Apontamentos 48 Bibliografia Azevedo, E.G., Termodinâmica Aplicada, 3ª Ed., Escolar Editora, 2011. Campos, J.M., Notas Para o Estudo da Mecânica do Fluidos, FEUP edições, 2013. Coulson, J.M. and Richardson, J. F., Chemical Engineering, Fluid Flow, Heat Transfer and Mass Transfer – Vol 1, 6th Edition, Butterworth –Heinemann, 1999. Geankoplis, C.J., Transport Processes and Unit Operations, 3rd Edition, Prentice Hall International Editions, 1993. Massey, B.S., Mechanics of Fluids, 8th Edition, Taylor & Francis, 2006. Welty, J.R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L. Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
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