Série de pagamentos com carência

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. ELISSON DE ANDRADE 
 
 
Blog: www.profelisson.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6: SÉRIE DE PAGAMENTOS 
COM CARÊNCIA (DIFERIDA) 
 
 
Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO SOBRE SÉRIE DE PAGAMENTOS 
COM CARÊNCIA 
 
 
Fórmulas: 
 
Abaixo são apresentadas as mesmas fórmulas referentes à vídeo-aula 6 
 
 
Obs: considerar um mês contendo 30 dias; e um ano contendo 360 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na 
resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo 
correspondente à Aula 6. 
 
EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA – Prof. Elisson 
 
1) Um eletrodoméstico será parcelado em 12 parcelas mensais, no valor de R$150,00 cada 
uma. Porém, a primeira parcela só será paga ao final do 3º mês. Sabendo-se que a taxa de 
juros é de 3,25% ao mês, calcule o valor do preço a vista desse produto. 
 
 
2) Um empréstimo de R$10.000,00 será pago em 12 parcelas mensais, sendo que a primeira 
só irá ser paga a partir do quarto mês. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, qual 
o valor das parcelas? 
 
3) Calcule o preço à vista de um produto, que será pago em 18 parcelas mensais de 
R$60,00, sendo que a primeira parcela será paga somente depois de 90 dias. A taxa de 
juros a ser cobrada é de 4,04% ao bimestre. 
 
4) Uma câmera fotográfica, com um preço à vista de R$1.500,00 será paga em 24 
parcelas mensais. Sabendo que a primeira delas só será depositada em 2 meses e que a 
taxa de juros cobrada é de 15% ao ano, qual o valor de cada parcela? 
 
5) Calcule o valor das 15 parcelas mensais de um financiamento, em que o primeiro 
depósito será realizado no sexto mês, sendo a taxa de juros de 10% ao semestre e o 
valor financiado de R$3.000,00. 
 
 
 
 
 
 
1) Um eletrodoméstico será parcelado em 12 parcelas mensais, no valor de 
R$150,00 cada uma. Porém, a primeira parcela só será paga ao final do 3º 
mês. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3,25% ao mês, calcule o valor do 
preço a vista desse produto. 
 
 
RESOLUÇÃO 
Vimos nos exemplos da vídeo-aula 6, que podemos considerar as séries de pagamentos 
como termos vencidos ou antecipados. Para facilitar a exposição dos exercícios, iremos 
sempre considerar as séries como termos ANTECIPADOS. Isso facilita na resolução 
dos exercícios, pois encontraremos VP* sempre na mesma data do pagamento da 
primeira parcela, facilitando o cálculo de juros compostos. Obviamente, se 
utilizássemos termos VENCIDOS, mudaria um pouco a resolução, mas a resposta 
deverá ser a mesma. 
Dessa forma, como temos o valor das parcelas e queremos achar VP, começaremos pela 
fórmula de série de pagamentos. 
��∗ = ���	(1 + �)	 
(1 + �)� − 1(1 + �)�	. � � 
 
Substituindo os valores: 
��∗ = 150	(1 + 0,0325)	 � (1 + 0,0325)�� − 1(1 + 0,0325)��	. 0,0325� 
Chegando ao resultado parcial de 
��∗ = 1518,87 
 
Agora, basta substituir na fórmula de juros compostos. Como o período de carência é de 
3 meses, ao utilizar termos antecipados, é exatamente esse o período a substituir na 
fórmula (relembrando que agora VP* é o nosso valor futuro). 
 
��∗ = ��. (1 + �)� 
1518,87 = ��. (1 + 0,0325)� 
�� = $". #$%, %& 
 
 
 
2) Um empréstimo de R$10.000,00 será pago em 12 parcelas mensais, sendo 
que a primeira só irá ser paga a partir do quarto mês. Sabendo-se que a taxa 
de juros é de 3% ao mês, qual o valor das parcelas? 
 
RESOLUÇÃO 
Como temos o valor presente e queremos achar PMT, começaremos pela fórmula de 
juros compostos. Mais uma vez, para fazer o valor de VP* coincidir com o valor do 
primeiro pagamento (PMT), iremos fazer o juros compostos para 4 meses (que é o 
período de carência). 
 
��∗ = ��. (1 + �)� 
��∗ = 10000	. (1 + 0,03)' 
��∗ = 11255,0881 
 
Como calculamos o valor de VP* de forma a coincidir com o primeiro pagamento, 
podemos usar a fórmula de termos antecipados, para resolver a série de pagamentos. 
 
11255,0881 = ���	(1 + 0,03)	 � (1 + 0,03)�� − 1(1 + 0,03)��	. 0,03� 
 
11255,0881 = ���	(1 + 0,03)	.		9,9540039 
 
�*+	 = $". &%$, $$ 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule o preço à vista de um produto, que será pago em 18 parcelas 
mensais de R$60,00, sendo que a primeira parcela será paga somente depois 
de 90 dias. A taxa de juros a ser cobrada é de 4,04% ao bimestre. 
 
RESOLUÇÃO 
Como temos o valor das parcelas e queremos achar VP, começaremos pela fórmula de 
série de pagamentos (termos antecipados). Porém, antes, é necessário que a taxa esteja 
na mesma unidade de PMT. Logo, faremos a equivalência de taxas, transformando a 
taxa bimestral em mensal. 
 
�, = 1,0404�� − 1 = 0,02	-.	2%	0-	1ê3 
 
Substituindo os valores na equação de série de pagamentos: 
��∗ = 60	(1 + 0,02)	 � (1 + 0,02)�5 − 1(1 + 0,02)�5	. 0,02� 
 
Chegando ao resultado parcial de 
��∗ = 917,512312 
 
Agora, basta substituir os valores na fórmula de juros compostos. Como o período de 
carência é de 3 meses (mesmo que 90 dias), ao utilizar termos antecipados, é 
exatamente esse o período a substituir na fórmula (relembrando que agora VP* é o nosso 
valor futuro). 
 
��∗ = ��. (1 + �)� 
917,512312 = ��. (1 + 0,02)� 
�� = $678, 9% 
 
 
 
 
 
4) Uma câmera fotográfica, com um preço à vista de R$1.500,00 será paga 
em 24 parcelas mensais. Sabendo que a primeira delas só será depositada em 
2 meses e que a taxa de juros cobrada é de 15% ao ano, qual o valor de cada 
parcela? 
 
RESOLUÇÃO 
Primeiramente, vamos fazer uma equivalência de taxas, para transformar 15% ao ano 
em meses. 
�, = 1,15 ��� − 1 = 0,01171	-.	1,171%	0-	1ê3 
 
Como temos o valor presente e queremos achar PMT, começaremos pela fórmula de 
juros compostos. Mais uma vez, para fazer o valor de VP* coincidir com o valor do 
primeiro pagamento (PMT), iremos fazer o juros compostos para 2 meses (que é o 
período de carência). 
 
��∗ = ��. (1 + �)� 
��∗ = 1500	. (1 + 0,01171)� 
��∗ = 1535,33 
 
Como calculamos o valor de VP* de forma a coincidir com o primeiro pagamento, 
podemos usar a fórmula de termos antecipados, para resolver a série de pagamentos. 
 
1535,33 = ���	(1 + 0,01171)	 � (1 + 0,01171)�' − 1(1 + 0,01171)�'	. 0,01171� 
 
1535,33 = ���	(1 + 0,01171)	.		20,817090 
 
�*+	 = $$:, 6% 
 
 
 
 
5) Calcule o valor das 15 parcelas mensais de um financiamento, em que o 
primeiro depósito será realizado no sexto mês, sendo a taxa de juros de 10% 
ao semestre e o valor financiado de R$3.000,00. 
 
RESOLUÇÃO 
Primeiramente, vamos fazer uma equivalência de taxas, para transformar 10% ao 
semestre em taxa mensal. 
�, = 1,10�; − 1 = 0,01601	-.	1,601%	0-	1ê3 
 
Como temos o valor presente e queremos achar PMT, começaremos pela fórmula de 
juros compostos. Mais uma vez, para fazer o valor de VP* coincidir com o valor do 
primeiro pagamento (PMT), iremos fazer o juros compostos para 6 meses (que é o 
período de carência). 
 
��∗ = ��. (1 + �)� 
��∗ = 3000	. (1 + 0,01601)� 
��∗ = 3096,8289 
 
Como calculamos o valor de VP* de forma a coincidir com o primeiro pagamento, 
podemos usar a fórmula de termos antecipados, para resolver a série de pagamentos. 
 
3096,8289 = ���	(1 + 0,01601)	 � (1 + 0,01601)�< − 1(1 + 0,01601)�<	. 0,01601� 
 
3096,8289 = ���	(1 + 0,01601)	.		13,241265 
 
�*+	 = $:#&, "%