Produto Interno

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Produto Interno 
 
Na Geometria Analítica, definimos o produto escalar de dois vetores no ℝ� � ℝ� e 
foram estabelecidas algumas propriedades geométricas desses vetores. A ideia agora é 
generalizar o conceito de produto interno e, bem como as noções de comprimento, 
distância, e ângulo em espaços vetoriais. 
Definição: Considere dois vetores � e � em ℝ� o qual todo par de vetores (�, �) ∈ � ×
� associa um número real (� , �), tal que 
�. � = ���� + ���� + ���� 
Que satisfazem: 
i. �. � ≥ 0 e �. � = 0 se, e somente se � = 0 
ii. �. � = �. � 
iii. �. (� + �) = �� + �� 
iv. (��). � = �(��) 
Observações: consequência dos axiomas: 
a. 0. � = �. 0 = 0, para todo � ∈ � 
b. (� + �). � = �. � + �. � 
c. �. (��) = �(�. �) 
d. �. (�� + ⋯ + ��) = �. �� + ⋯ + �. �� 
Exemplo: a. Considere � = ℝ� e dados � = (��, ��), � = (��, ��), verifique que 
�. � = 6���� + 3���� é um produto interno. 
b. Calcular o produto interno dos vetores � = (1,2), � = (−2,3) do produto do item (a). 
 
Exercício 1: Considere � = ℝ� e dados � = (��, ��), � = (��, ��), verifique que 
�. � = ���� + ���� é um produto interno. E, calcular o produto interno dos vetores 
� = (2,3), � = (−2,3) do produto do item anterior. 
Exercício 2: Sejam � = (��, ��), � = (��, ��) ∈ ℝ�. Verifique quais das funções 
!: � × � ⟶ ℝ, definidas abaixo são produtos internos: 
a. !(�, �) = 3���� − ���� − ���� + 3���� 
b. !(�, �) = 6���� 
Exercício 3: Sejam � = (��, ��, ��), � = (��, ��, ��) ∈ ℝ�. Verifique se função é um 
produto interno sobre ℝ�: �. � = 3���� + 5���� + 2����. 
 
Espaço vetorial Euclidiano: Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está 
definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano. 
Módulo: é o número real não negativo, |�|, definido por |�| = √�. � = '��� + ��� + ���. 
Propriedades: |�| ≥ 0, para todo � ∈ � e |�| = 0 se , e somente se � = 0. 
 
|��| = |�||�|, para todo � ∈ �, ∀� ∈ ℝ. 
 
|�. �| ≤ |�||�|, ∀�, � ∈ �. 
 
|�. �| ≤ |�| + |�|, ∀�, � ∈ �. 
Distância: *(�, �) = |� − �| = '(�� − ��)� + (�� − ��)� + (�� − ��)�. 
Ângulo de dois vetores: cos . = /.0|/||0| , 0 ≤ . ≤ 1. 
Vetores ortogonais: �, � ∈ �, diz-se que � e � são ortogonais se �. � = 0, (� ⊥ �). 
Conjunto ortogonal de vetores: Seja � um espaço vetorial. Um conjunto de vetores 
{45, 46, … , 48} ⊂ � é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto 
é, �; . �< = 0 para = ≠ ?. 
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos @ = {45, 46, … , 48} é linearmente 
independente. 
Base Ortogonal: Uma base {45, 46, … , 48} de � é ortogonal se seus vetores são dois a 
dois ortogonais. 
Base Ortonormal: Uma base {45, 46, … , 48} de um espaço vetorial euclidiano � é 
ortonormal se A é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, 
�; . �< = B0 para = ≠ ?1 para = = ?C 
Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: Dado um espaço vetorial euclidiano � e 
uma base A = {45, 46, … , 48} desse espaço, é possível a partir dessa base, determinar 
uma base ortogonal de �. Supondo que 45, 46, … , 48não são ortogonais, considera-se 
�� = �� 
E determina-se o valor de � de modo que �� = �� − ��� seja ortogonal a ��: � =
0D.EF
EF.EF, isto é, �� = �� − (
0D.EF
EF.EF)��. Assim, os vetores ��e �� são ortogonais. 
Considere o vetor: �� = �� − G��� − G���, determina-se os valores de G� � G� de 
maneira que o vetor �� seja ortogonal aos vetores �� � ��. Assim, 
�� = �� − H��. ����. ��I �� − (
��. ��
��. ��)�� 
Então, os vetores ��, ��e �� são ortogonais. 
Pode-se concluir o teorema por indução. 
�� = �� − (G�J�)��J� − ⋯ − G��� − G��� 
Os valores de G�, ⋯ , G� : G� = 0K.EFEF.EF , ⋯ , G� =
0K.EKLF
EKLF.EKLF. 
 
 
1. BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra linear, Campinas: Harbra, 1986. 
2. LAY, D.C. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2007. 
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw Hill, 1987. 
5. SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: 
Imprensa Universitária da UFGM, 2007.