Determinantes - Parte 2

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8/3/2013
1
Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Determinantes de Matrizes –
Parte 2
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
Determinante de Matriz de ordem n>2
• Apesar de o cálculo do
determinante de matrizes
quadradas de ordem 1 até 3 ser
relativamente simples, em alguns
momentos nos veremos obrigados
a calcular este valor para matrizes
maiores.
• Neste caso, para matrizes
maiores do que 2x2, calculamos o
seu determinante pelo
Desenvolvimento de Laplace.
• Para efetuar o desenvolvimento
de Laplace, primeiro devemos
entender o conceito de Cofator.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 2
???)det(
2341001
63492191
8782910299
111003652
4312778
658958515
131088290423
























A
A
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Cofator
• Seja A uma matriz quadrada de ordem n>2. Chama-se cofator de um
elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i+j . Dij, em que Dij é o
determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em
que se encontram o elemento aij .
• Então, a relação aplicável a cofatores é
• A partir de todos os obtidos para os cofatores (Aij), podemos montar a
matriz de cofatores, que tem como elementos todos os resultados para
Aij. Ela é representada por cof(A).
• A matriz transposta da matriz cof(A) é denominada Matriz Adjunta, ou
seja, adj(A). Nota: adj(A)=(cof (A))t
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 3
ij
ji
ij DA .)1(

Exemplo Cofator
• Determine o cofator do elemento
a12, ou seja A12 da matriz abaixo:
• Primeiro, elimina-se a linha e a
coluna correspondente ao
elemento
• Calcula-se o determinante da
matriz que restou:
• Aplica-se, finalmente, a equação
dos cofatores, considerando i = 1
e j = 2:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 4












524
213
021
A












524
213
021
A
7
54
23
det12 





D
77.)1(7.)1(
.)1(
321
12 



A
DA ij
ji
ij
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Desenvolvimento de Laplace
• O determinante de uma matriz A, de ordem n > 2, é a soma dos
produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna)
pelos seus respectivos cofatores.
• De maneira geral, aplicamos a seguinte relação:
• De maneira expandida, por exemplo, escolhemos a linha 1:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 5
ij
ji
ijij
n
j
ij DaAaA .)1.()det(
1



nn AaAaAaAaA 11131312121111 ....)det(  
Exemplo:
• Calcule o determinante da matriz
abaixo:
• Escolha uma linha ou coluna.
Recomenda-se escolher a que
tiver maior número de zeros
para simplificar os cálculos.
• Calcule os cofatores da linha ou
coluna escolhida e multiplique-os
pelos respectivos elementos.
• Efetue o somatório.
Agora demonstrando os cálculos:
Escolhemos a linha 3!
Efetuando-se os cálculos temos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 6














5234
2003
3412
2121
A














5234
2003
3412
2121
A
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Exemplo:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 7
206)det(
206)16.(2)58.(3
)81246322.(2)512244940.(3
234
412
121
det.2
523
341
212
det.3
.2.0.0.3)det( 34333231



























A
AAAAA
Propriedades de Determinantes
1. Se uma linha ou coluna da matriz for igual a zero, seu determinante será
igual a zero:
2. Se duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais ou proporcionais,
seu determinante será igual a zero:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 8
0)det( 
210131
0000
6514
21543













 AA
0)det(
808
545
232










 

A
A
0)det(
504
426
213















B
B
A segunda linha é o 
dobro da primeira!
A segunda linha é o 
dobro da primeira!
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Propriedades de Determinantes
3. O determinante de uma matriz
será igual ao determinante de sua
matriz transposta, ou seja,
det(A)=det(At)
4. Se A e B são matrizes quadradas 
de mesma ordem, então det(A.B) 
= det(A).det(B). (Teorema de Binet)
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 9
53530)5.7()10.3()det(
53530)7.5()10.3()det(
105
73
 
107
53















t
t
A
A
AA
6010.6)det().det(
6)1.0()2.3()det(
10)2.1()3.4()det(
21
03
 
32
14
















BA
B
A
BA
601878)2.9()6.13().det(
69
213
21
03
.
32
14
.




















BA
BA
Propriedades de Determinantes
5. Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A
por k, formaremos uma matriz A’ cujo determinante é det(A’) = k.det(A)
6. Se trocarmos duas linhas ou colunas de uma matriz A, obteremos uma
nova matriz A’, de modo que det(A’) = - det(A).
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 10
10)2.1()3.4()det(
32
14








A
A
10)3.4()1.2()'det(
14
32
'








A
A
10)2.1()3.4()det(
32
14








A
A
70)2.7()21.4()det(
212
74








A
A
Multiplicando a 
2ª coluna por 7
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Propriedades de Determinantes
7. A determinante de uma matriz inversa é igual a det(A-1)=1/det(A)
8. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos
de sua diagonal principal.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 11
5)2.1()1.3()det(
12
13









A
A
5
1
25
5
25
2
25
3)det(
5
3
5
2
5
1
5
1
1
1















A
A
408.1.5)det( 
872
019
005












 AA
Propriedades de Determinantes
9. Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila
paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma
nova matriz A´, tal que det(A) = det(A’) (Teorema de Jacobi)
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 12






















 6114
7104
501
det
614
724
531
det
-3